专题01 高一下期末真题精选（考题猜想，常考23大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题01 高一下期末真题精选（23大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 平面向量的概念 · 题型二 平面向量的加减数乘运算 · 题型三 平面向量的数量积（重点） · 题型四 向量的模 · 题型五 向量的夹角（易错） · 题型六 向量的平行垂直关系（高频） · 题型七 三角形个数问题（重点） · 题型八 三角形周长（高频）（重点） · 题型九 三角形面积问题（高频，重点） · 题型十 三角形的实际应用 （重点） · 题型十一 复数的四则运算（易错） · 题型十二 复数的模（高频） · 题型十三 判断三角形形状（易错） · 题型十四 复数的类型 （难点） · 题型十五 立体图形直观图（易错） · 题型十六 空间几何体表面积与体积（高频，重点） · 题型十七 空间直线平面的平行关系（高频，重点） · 题型十八 空间直线平面的垂直关系（高频，重点） · 题型十九 空间角（高频，重点） · 题型二十 随机抽样（易错） · 题型二十一 用样本估计总体（重点） · 题型二十二 随机事件与概率 · 题型二十三 事件的相互独立性（重点） 题型一 平面向量的概念 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量） 【分析】根据共线向量、相反向量的定义判断即可. 【详解】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确； 对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误； 对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确. 故选：C 2．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断. 【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误； 对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误； 对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误； 对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确； 故选：D. 3．（多选）（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线 D．若，，则 【答案】BCD 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.根据，都是单位向量判断；D.由向量相等的定义判断. 【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B.由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确； C.因为，都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确； D.由向量相等的定义知D正确； 故选：BCD. 4．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【答案】BC 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量得定义、共线向量得概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C. 【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误； 对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确； 对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合， 又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误. 故选：BC 5．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】ABC 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据相等向量，共线向量的定义进行判断. 【详解】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误； B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 当它们反向共线时，与不相等，B选项错误； C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误； D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 即或，D选项正确. 故选：ABC. 题型二 平面向量的加减数乘运算 1．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知点为平行四边形对角线的交点，点为空间任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法运算可解. 【详解】由平行四边形法则得到：,同理得：,两式相加得：. 故选：D. 2．（24-25高三上·吉林长春·期末）在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则 【分析】设，用表示出，根据共线定理推论求出，然后可得. 【详解】 设， 则， 又， 所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 故选：B 3．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量加减运算可得结果． 【详解】， 故选：B． 4．（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，点D在边上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】因为点D在边上，且， 所以. 故选：C. 5．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知O为内部一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， 故选：D 6．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式求积的最大值 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】根据题意，， 所以 又， 所以 因为三点共线， 所以，即，由图可知，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1. 故选：B.    7．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）若，，且三点共线，则为 . 【答案】/ 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据共线向量定量列方程求解即可. 【详解】因为三点共线，所以存在唯一实数，使， 所以， 所以，解得. 故答案为： 8．（23-24高一下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解； （2）由向量的数乘运算计算可得. 【详解】（1）易知； （2）计算可得. 题型三 平面向量的数量积 1．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、用基底表示向量 【分析】，利用向量数量积公式计算出结果. 【详解】边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故， . 故选：D 2．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知正六边形的边长为2，点为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据平面向量向量积的计算公式计算求解即可. 【详解】因为正六边形的边长为2，点为线段的中点， 所以，，， 所以， 故选：C 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点，，为坐标原点，向量，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设点坐标，然后得到向量坐标，由得到方程组，求出点坐标，即可得到. 【详解】设，则，， ∵，∴，解得，即， ∴. 故选：A. 4．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】利用向量在方向上的投影向量为，代入数据计算可得. 【详解】由题意：. 故选：C 5．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知向量，.若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】根据向量数乘和加法的坐标运算求出的坐标，再根据向量数量积的坐标运算列出关于的方程，最后解方程求出的值. 【详解】已知，可得.又已知，得. 已知，得 ，解得. 故选：A 6．（24-25高三上·海南三亚·期末）若向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】借助向量的线性运算及共线的坐标运算求得，结合数量积坐标运算计算可得. 【详解】因为向量，，所以， 由，可得，故，即， 则. 故选：C. 7．（24-25高三上·河北·期末）在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则 . 【答案】12 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律、向量加法的法则 【分析】运用向量数量积的运算，结合向量三角形法则直接计算即可. 【详解】在中，因为D是边BC的中点， 所以， 又，所以，所以. 又因为，所以， 所以 . 故答案为：12. 题型四 向量的模 1．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知向量，满足，，且，则（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据模长公式以及向量垂直的关系，即可联合求解. 【详解】解：由已知，即， 又,则， 解得，故， 故选：D 2．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据不共线的平面向量，，两两夹角相等得出夹角为，平方应用数量积计算模长即可. 【详解】向量，，两两所成的角相等且不共线， 向量，，两两夹角为， ， 则， 故选： 3．（24-25高三上·广东·期末）已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】先根据向量的运算化简，再平方应用数量积公式计算求出模长即可. 【详解】因为，则， 左右两边平方得，计算得， 又因为， 所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知向量，且在上的投影为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】借助投影向量定义计算可得，则可得，再借助模长公式计算即可得. 【详解】，故， 则，故. 故选：A. 5．（24-25高三上·浙江金华·期末）已知向量与向量垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】由向量的数量积为零得到，再由向量模长的运算结合同角的三角函数关系求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：C. 6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量的夹角为，且，，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】借助向量模长与数量积的关系以及向量的数量积公式计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 7．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】2或4 【知识点】利用坐标求向量的模 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，可得答案. 【详解】由题意，得，则，解得或4. 故答案为：或. 题型五 向量的夹角 1．（24-25高三上·山东枣庄·期末）若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【详解】由，得，即，而， 因此，而， 所以. 故选：C 2．（24-25高三上·江西吉安·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据垂直关系的向量表示可得，即可得出结果. 【详解】由可得， 由于，可得， 解得， 由于，因此． 故选：D 3．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量夹角的计算 【分析】根据数量积的几何意义可得，再代入夹角公式运算求解即可. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量是，则， 设非零向量的夹角为， 根据题意可得， 且，所以． 故选：A. 4．（24-25高三上·安徽铜陵·期末）已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设，，根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示求夹角. 【详解】设，， 因为，， 所以，解得， 所以，，，则， 因为，则． 故选：B 5．（24-25高三下·四川乐山·期末）已知向量，满足，，且，则，的夹角是 . 【答案】 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算 【分析】根据向量的夹角公式结合已知条件求解即可. 【详解】由得，，即， 据此可得：， ， 又与的夹角的取值范围为， 故与的夹角为 故答案为： 6．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）在同一平面内的三个向量，若. (1)若，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】向量夹角的坐标表示、向量垂直的坐标表示、向量模的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用共线向量定义得，再利用向量模长的坐标表示得到方程，解出即可； （2）根据向量垂直得，展开代入数据计算得，最后利用向量夹角余弦值的公式即可. 【详解】（1），，其中， ， 或. （2）与垂直，， 于是，， ， . 7．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知，，，且. (1)求点P的坐标； (2)求实数t的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）利用向量线性运算与向量数量积的坐标表示即可得解； （3）利用向量夹角的坐标表示即可得解. 【详解】（1）依题意，设， 因为，， 所以， 则，解得， 所以点的坐标为. （2）因为， 所以， ， 又，所以，解得. （3）因为， 所以， 则，， 所以. 8．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量． (1)求； (2)设向量的夹角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由可得，， 即，               所以， 所以； （2）因为，                 所以． 题型六 向量的平行垂直关系 1．（24-25高三下·广东广州·期末）已知向量，若，则实数（    ） A． B．3 C．4 D．7 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】根据平面向量的坐标运算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴，解得. 故选：D. 2．（24-25高三上·福建福州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，即， 解得. 故选：B. 3．（24-25高二上·陕西汉中·期末）设，向量 且 ，则 等于（     ） A．9 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据求出关于和的关系式，根据求出和，求出，求出. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，所以. 故选：C. 4．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知向量，，若与垂直，则的值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值. 【详解】因为且与垂直， 故，故， 故选：A 5．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知向量，若，则 ． 【答案】 【知识点】向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量线性运算坐标公式求，再由结合向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若求的值； (3)若向量，若与共线，求 【答案】(1) (2) (3)18 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）由垂直向量的数量积为零，建立方程求得向量坐标，利用向量的坐标运算，可得答案； （2）由平行向量的坐标表示，建立方程求得向量坐标，利用向量的模长公式，可得答案； （3）由向量的坐标运算，求得向量坐标，利用平行向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】（1）因为，所以，则，解得， 故，. （2）因为，所以，则，. （3），， 若与共线，则，解得，即， 故. 7．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知向量. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦函数图象的应用、由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可； （2）根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）若，则，显然不合题意，则， 因为，所以. （2）若，则，显然不合题意，则， 因为，所以. 8．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知向量，. (1)若，求实数x的值； (2)若，，求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的坐标表示、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示列出方程，解方程即可； （2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】（1）已知， 因为，所以，解得； （2）因为， 又，所以， 解得，所以. 所以， 因为，所以. 题型七 三角形个数问题 1．（23-24高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理按角为锐角、直角分类求解即得. 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的集合为. 故选：C 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据题意得到三角形有两解的条件，进而得解. 【详解】三角形中，，如图， 当有两解时，， 即，即. 故选：A. 3．（23-24高一下·广东梅州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】要使得三角形有两解，需要满足且. 【详解】由正弦定理可得：，要使得三角形有两解，需要满足且，解得. 故选：A 4．（23-24高一下·陕西榆林·期末）在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理求外接圆半径，结合圆的性质分析求解. 【详解】的外接圆的半径， 如图所示，,是圆的直径. 可知点在优弧上（不包括端点）， 当为时，此时取到最大值； 当点从点A到时，此时越来越大，且； 当点从点到C时，此时越来越小，且； 综上所述：若只有一个解，则的取值范围为. 故选：D. 5．（多选）（23-24高一下·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 6．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）在中，内角的对边分别为，若，满足该条件的三角形有两个，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】依题意可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点，即可得. 【详解】根据题意画出图形如下所示：    由，即可得点到边的距离的最小值为； 因为符合题意的三角形有两个，可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点， 所以可得， 故答案为：. 题型八 三角形周长 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解； （2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长. 【详解】（1）由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． （2）由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 2．（24-25高三上·云南德宏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式进行化简求值； （2）由三角形的面积公式和余弦定理求出和，进而求出△ABC的周长． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 因为角A，B，C为的内角，即， 则，，可得，所以. （2）因为，则，所以， 由余弦定理得：，解得， 所以的周长为． 3．（24-25高三上·广东·期末）已知内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2). 【知识点】二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由二倍角公式结合同角三角函数关系可得答案； （2）由的面积为，结合余弦定理可得，然后可得答案. 【详解】（1）因为，即， 因为，所以， 因为，即，所以； （2）因为，所以， 因为，即， 因为，所以，得， 所以，所以的周长为. 4．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量 ，，且. (1)求A; (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式和两角差的余弦公式即可得，再根据三角形角的范围即可得到答案； （2）利用三角形面积公式和余弦定理即可得到值即可. 【详解】（1） ，解得， 又因为，则. （2）根据余弦定理得， 即①，又因为的面积为， 则②， 联立①②解得， 则的周长为. 5．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长. 【详解】（1）由余弦定理可得，且，故. （2）由三角形的面积公式可得，可得， 由余弦定理可得，故， 因此，的周长为. 6．（24-25高三上·广西河池·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求； (2)若，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理可得，利用三角恒等变换可求得，进而可求得； （2）由余弦定理可得，又由三角形的面积可得，进而可求的周长. 【详解】（1）因为，所以根据正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以； （2）因为，，所以由余弦定理可得， 所以，， 又因为边上的高为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以的周长为． 7．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式可得，从而可求的值； （2）利用两角和与差的余弦公式化简已知等式可得，则，，再利用正弦定理可求的周长. 【详解】（1）由，可得， 从而，化简得，， ，，故. （2）由，可得， 即， 即， ，， ，，所以， . 在中，由正弦定理，， 解得，， 故的周长为. 题型九 三角形面积问题 1．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知△中，是边上的点且，面积是面积的 倍. (1)求 的值； (2)若， ，求和的面积. 【答案】(1) (2)， 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用三角形内角平分线的性质定理，结合正弦定理可求的值. （2）设，并用结合余弦定理分别表示，，结合（1）中的结论，可求边，，进而求和的面积. 【详解】（1）如图： 由题意，为的角平分线，根据三角形角平分线的性质可知：， 又，， 所以，即. （2）设， 在中，因为，，所以，所以. 在中，，，所以， 所以. 所以，又，所以，. 在中，，，，因为，所以角为直角， 所以， 所以. 2．（24-25高三上·山东枣庄·期末）在中，为钝角，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）先应用二倍角余弦公式计算结合正弦定理计算求解即可； （2）应用正弦定理结合两角和正弦求解，最后应用面积公式计算. 【详解】（1）因为，又， 所以，又， 所以. 在中，由正弦定理得， 因为，所以. 因为为钝角， 所以. （2）因为， 所以. 由（1）知， 所以. 又 所以. 3．（24-25高三上·江苏·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，，求的面积 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由代入化简即可； （2）由余弦定理求得，再由面积公式即可求解； 【详解】（1）由， 可得：, 化简得 又，所以 因此 （2）由余弦定理得， ， ， ， ， 所以的面积为. 4．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)若的面积为，求 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先应用正弦定理，再结合两角和正弦公式计算求值； （2）由面积公式计算得出，再应用余弦定理计算即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以，解得， （2）由，得， 再由面积，得， 根据余弦定理得，解得 5．（24-25高三上·江西·期末）如图，在平面四边形中， 点E在上，且 (1)求; (2)求的面积. 【答案】(1)3 (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中，应用余弦定理列方程解之可得； （2）在中，由余弦定理求得，再计算出，然后由面积公式计算． 【详解】（1）在中，由余弦定理得. ， 即 整理得 ， 所以（负值舍去）. （2）在中，由余弦定理得 ， 所以 所以的面积为 6．（24-25高二上·云南昆明·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若c=4，△ABC的面积为，求a 【答案】(1) (2)a= 4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式和正弦定理可求出结果； （2）根据三角形面积得，再结合余弦定理可求出结果. 【详解】（1）根据正弦定理得， 则， 则， 所以， 由于，所以，所以， 所以，则，则， 由于，则，则，则． （2）由题意：，所以． 又由余弦定理以及， 得，所以，所以， 所以． 7．（24-25高二上·北京延庆·期末）在中，为钝角，，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由二倍角公式以及正弦定理计算可得； （2）结合余弦定理和三角形面积公式计算可得面积. 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 得，则， 由正弦定理得， 解得， 因为为钝角，则. （2）当时，由余弦定理， 得，即，解得， 则. 8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）通过正弦定理将边的关系化为角的关系，根据两角和的正弦公式即可得解； （2）通过余弦定理得到，最后根据三角形面积公式得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，所以，因为，所以. （2）由（1）知，，因为， ，，所以，解得， 所以的面积为. 9．（24-25高三上·北京朝阳·期末）在中，． (1)求； (2)若，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式和正弦定理可得，即可求解； （2）选①：根据余弦定理和完全平方公式求出，结合三角形面积公式计算即可求解； 选②：由（1）知，根据两角差的正弦公式和辅助角公式计算可得，不符合题意； 选③：根据同角的平方关系和正弦定理求出，由诱导公式和两角和正弦公式求出，结合三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． 由正弦定理得． 又，所以． 又，所以． （2）选条件①： 根据余弦定理有，则． 又，则． 两式相减，解得．可得或 所以． 选条件②： 由（1）知，则， 所以，不符合题意； 选条件③： 因为且，所以． 由正弦定理可知． 又． 所以． 题型十 三角形的实际应用 1．（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 【答案】(1)； (2)①；②万元，. 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、辅助角公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求出，再利用正弦定理求出距离. （2）①利用正弦定理及差角的正弦公式求出；②令，利用辅助角公式，结合正弦函数的性质求出最小值及的值. 【详解】（1）在中，由，得，解得， 则， 由正弦定理，得， 所以，两点间的距离. （2）①在中，由正弦定理得， 解得，， 所以. ②令，则，则， 其中锐角由确定，于是， 则有，而，解得，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值， 所以总费用的最小值为万元，此时的长度为. 2．（23-24高一下·贵州黔东南·期末）如图，某景区有景点，经测量得，，.    (1)求景点之间的距离； (2)现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）利用正弦定理求得的值，即可得解； （2）设的外心为，连接交于点，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径，利用余弦定理求得的值，即可得解. 【详解】（1）在中由正弦定理可得，即， 解得， ，，为正三角形， ，即景点之间的距离为. （2）设的外心为，连接交于点，设外接圆的半径为， 则，解得， ,， 的最小值为， ，， ， ， ， ，即， 的最小值为，即栈道长度的最小值为.    【点睛】关键点点睛：第二问关键是根据圆的性质转化为求，从而只需求出的值. 3．（23-24高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【知识点】高度测量问题、距离测量问题、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）首先根据正弦定理求出，再根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】（1）在中，. 由正弦定理得， ， （2）. 在中，由正弦定理得 ， ， 在中，. 4．（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】(1)70海里 (2)2小时 【知识点】正、余弦定理的其他应用、距离测量问题 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【详解】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 5．（23-24高一下·广东·期末）已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． (1)甲船航行3小时到达C处，求AC； (2)在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 【答案】(1)海里； (2)甲船能沿DE方向航行前往救援，理由见解析. 【知识点】距离测量问题 【分析】（1）在中使用余弦定理即可求得答案. （2）先根据题目所给的条件作图，在中，由求得长度，在中，先根据余弦定理求得长度，再利用等面积法求得长度，即可判断. 【详解】（1）由题意得，海里，海里，， 在中，由余弦定理得 ， 所以，(海里). （2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下： 如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作 交于点F， 在中，(海里)， 在中， (海里)， ， 由余弦定理得 ， 所以(海里)， 所以， 因此甲船能沿方向航行前往救援. 6．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.    (1)求B点到D点的距离； (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，） 【答案】(1)（海里） (2)救援船能够在1小时内到达救援地点，理由见解析 【知识点】距离测量问题、几何图形中的计算 【分析】（1）在中，由正弦定理直接解出即可； （2）在中，由余弦定理解出即可. 【详解】（1）    如图：由题意知：，，， 所以， 在中，由正弦定理可得：，即， 所以（海里）； （2）在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以海里， 所以需要的时间为（分钟）（分钟） 答：点到点的距离为海里，且救援船能够在小时内到达救援地点. 题型十一 复数的四则运算 1．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知是虚数单位，且，则实数为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【知识点】复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数乘除法运算化简复数，进而得结果 【详解】由，得， 故选：A 2．（24-25高三上·辽宁·期末）设，，为实数，，，方程的两个虚根，满足为实数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的相等、复数的除法运算 【分析】设，，将其代入方程中，得出的值，进而得出，互为共轭复数，代入得出的关系，化简即可. 【详解】设，， 因，是实系数方程的两个虚根， 则 ，则，同理，也符合，则， 若，则方程的一次项系数与常数项均为虚数，故， 即方程的两个虚根互为共轭复数， 故， 因, 故， 则， 故选：B 3．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）若，则对应复平面内的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】借助复数运算法则可计算出复数，即可得其对应复平面内的点所在象限. 【详解】，则， 故， 则对应复平面内的点为， 故对应复平面内的点在第四象限. 故选：D. 4．（24-25高三上·江苏·期末）复数（为虚数单位）的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的除法运算求出即可得其虚部. 【详解】依题意，，所以所求虚部为. 故选：A 5．（24-25高三下·四川乐山·期末）若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的乘法法则计算可求结果. 【详解】， . 故选：C. 6．（24-25高二上·广西钦州·期末）设，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的乘方、判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】首先由复数的运算求得，则答案可得. 【详解】因为，所以， 其在复平面内所对应的点位于第四象限. 故选：D. 7．（多选）（24-25高二上·云南曲靖·期末）若（为虚数单位），在复平面内对应的点为，则（   ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D． 【答案】ABD 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、复数的坐标表示 【分析】借助复数运算可得，结合复数实部与虚部定义可得A、B，得到点坐标后即可得C，借助复数及其共轭复数概念计算可得D. 【详解】由，则， 故的实部为，的虚部为，故A、B正确； 则，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知复数满足，则复数 ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】首先求出，进一步即可得解. 【详解】因为，所以，所以，. 故答案为：. 9．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知复数，则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的乘除运算结合模长公式即可求解. 【详解】, 所以， 故答案为：. 10．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知，则 . 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】令，则可求得，然后代入化简可求得结果. 【详解】令，则，所以， 所以. 故答案为： 题型十二 复数的模 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模 【分析】先化简复数，再由共轭复数和复数的模长公式求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以，. 故选：B. 2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知复数（其中为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】利用复数的除法和复数的模的运算，直接求解即可. 【详解】， 故. 故选：B 3．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（    ） A．7 B．9 C．25 D．49 【答案】D 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由复数模的几何意义可知的几何意义为在复平面内所对应的点,到点的距离为2，再结合圆的知识可解. 【详解】设， 因为的几何意义为在复平面内所对应的点,到点的距离为2， 所以所对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以. 故选：D. 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】由复数的四则运算，模的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 5．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知复数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】求复数的模 【分析】由复数模计算公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：C 6．（24-25高三上·山西·期末）已知，，且，其中i是虚数单位，则（   ） A．10 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模、复数的相等 【分析】应用复数的乘法运算，再根据复数相等列方程计算求参，最后应用模长公式计算即可. 【详解】由得：， 所以解得， 所以. 故选:D. 7．（24-25高三上·湖北·期末）已知，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】先计算z，再求 【详解】解：因为，所以， 所以，则，所以 故选： 8．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的除法法则求得z，再由模的定义计算. 【详解】因为复数z满足，所以复数z满足， 所以. 故选：A. 9．（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数模的定义直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 题型十三 判断三角形形状 1．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（    ） A．三边均不相等的三角形 B．底边与腰不相等的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用三角函数值求角，再利用正弦定理进行三角恒等变形，即可得到结果. 【详解】因为，，所以，即， 又由，结合正弦定理得：， 即，则， 因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以为等边三角形. 故选：C. 2．（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（    ） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项. 【详解】对于A:因为由正弦定理, 当时，是钝角三角形, 当时，是钝角三角形,A选项错误； 对于B:因为,由, 所以是直角三角形,B选项正确； 对于C:因为,由 当时，,是锐角三角形,C选项错误； 对于D:因为,由,,, 因为，所以不是等腰三角形,D选项错误； 故选：B. 3．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形 【分析】设，利用余弦定理可判断角为钝角. 【详解】因为，所以设， 由余弦定理得， 因为，所以，所以为钝角三角形. 故选：C 4．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、利用三角恒等变换判断三角形的形状 【分析】利用正弦定理边化角以及三角公式变形整理即可. 【详解】由得， 即， 即， 所以， 在中，，所以，， 即的形状为直角三角形. 故选：B. 5．（23-24高一下·北京通州·期末）在△中，角所对的边为，△的面积为S，且． (1)求角； (2)若，试判断△的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、特殊角的三角函数值 【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角； （2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出，结合判断三角形形状即可. 【详解】（1）在中，因为，则， 整理得，且，所以. （2）由正弦定理得, , , , 于是, 又，故，所以或，因此（舍去）或，所以. 是等腰直角三角形. 6．（23-24高三上·江西赣州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)证明：； (2)记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状． 【答案】(1)证明见解析； (2)直角三角形. 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】（1）利用正弦定理计算即可； （2）利用正弦定理及（1）的结论证明即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，， 整理可得，， 又， 于是，即， 因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）根据等面积法可知，即， 由，可得， 又由及正弦定理可得，， 解得， 由于，所以， 所以，所以是直角三角形. 题型十四 复数的类型 1．（23-24高二上·西藏日喀则·期末）已知实部为正数的复数z满足，且复数为纯虚数． (1)求z； (2)若z是关于x的方程（）的根，求m和n的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【分析】（1）由已知结合复数的四则运算及复数的模长公式可求； （2）结合复数的性质及复数的四则运算即可求解． 【详解】（1）设（），则， 又为纯虚数，所以， 又，即， 解得，或，（舍）， 所以； （2）因为z是关于x的方程的根， 所以，即， 所以 解得，． 2．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知复数. (1)若复数的实部与虚部之差为0，求m的值； (2)若复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部 【分析】（1）化简得，结合已知可得，求解即可； （2）由题意可得，求解即可. 【详解】（1）， 则，解得； （2）因为复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限， 所以复数在复平面内的对应点在第四象限 于是得， ， 所以实数m的取值范围是. 3．（23-24高一下·四川雅安·期末）已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 【答案】(1) (2)、 【知识点】复数的除法运算、复数范围内方程的根、已知复数的类型求参数、复数的相等 【分析】（1）利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的类型得到方程，解得即可； （2）首先求出，代入方程，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为为实数，所以，解得． 故为实数时，的值为． （2）当时，，， 则复数， 因为是方程（，为实数）的一个根， 所以， 化简得， 由，解得. 4．（23-24高一下·天津东丽·期末）已知复数，m为实数. (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出等式与不等式得解； （2）根据复数对应的点在第二象限列出不等式组求解； （3）根据复数模的性质及模的定义求解. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 即为纯虚数， 所以，解得. （2）因为在复平面上对应的点在第二象限， 所以，即， 解得， 即m的取值范围为. （3）当时，， . 5．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，，其中 (1)若为纯虚数，求b的值； (2)若与互为共轭复数，求的值． 【答案】(1)3 (2)5 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据纯虚数的定义列式求解即可； （2）整理可得，结合共轭复数的定义列式求解即可. 【详解】（1）若为纯虚数，则，解得， 所以b的值为3. （2）因为，， 若与互为共轭复数，则，解得， 所以. 6．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据除法运算结果求参数、复数的除法运算、已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 题型十五 立体图形直观图 1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】求出矩形的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案. 【详解】依题意，矩形的面积， 而斜二测画法中直观图面积是原图形面积的， 所以的面积为. 故选：D 2．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，再轴旋转一周得到的圆柱和圆锥的组合几何体的体积. 【详解】由题意，，，，， ， 所以原图形中，，，，， ， 所以梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体， ． 故选：D． 3．（23-24高一下·重庆·期中）已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算、圆台表面积的有关计算 【分析】将梯形复原为原图即直角梯形，确定相关的边长，结合题意以及圆台的侧面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意将梯形复原为原图，即直角梯形， 其中，则， 故将梯形绕㯀转一周得到一个几何体为圆台， 圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5， 故该几何体的侧面积为， 故选：C 4．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】利用斜二测画法得到原图矩形中，，从而求出面积. 【详解】平行四边形，由斜二测画法得，在原图矩形中，，为正方形， 故该图形的面积为． 故选：A. 5．（多选）（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 6．（24-25高二下·上海·开学考试）用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】作出直观图，利用平行四边形的面积公式即可求解. 【详解】在矩形中，，作出其斜二测直观图，如下图所示： 由题意可知或， 由斜二测画法可知，四边形是平行四边形， 故矩形的直观图的面积为（或）. 故答案为：. 题型十六 空间几何体表面积与体积 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求线面角、台体体积的有关计算 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，得到即为棱与底面所成的角，再由棱台的体积公式求解即可. 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面所成角即为与平面所成角， 设点在平面上的射影为，在平面上的射影为， 则为的中心，为的中心， 则即为棱与底面所成的角，而， 设的高为，由等面积公式得， 解得，由等边三角形的性质得， 同理可得，故， 故， 所以棱台的高，因为正三棱台的上底面边长， 下底面边长，所以， 同理可得， 则上，下底面的面积分别为和， 则棱台的体积，故B正确. 故选：B 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】由题意得到上底面面积和下底面面积，然后由圆台体积公式求得结果. 【详解】由题意可知圆台下底面面积，上底面面积， 如图：由题意可知，则， ∴圆台体积. 故选：C. 3．（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据柱体的体积公式，即可求解. 【详解】因为直三棱柱， 所以直三棱柱的体积为. 故选：D. 4．（2025·浙江·一模）将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】由题意求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意知，半圆的周长为，设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，又母线长为4， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 5．（24-25高三上·浙江宁波·期末）圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的母线与下底面所成角为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据圆台上下底面半径以及夹角之间的关系求出圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】由题意该圆台的轴截面如图所示， 设上下底面半径分别为，圆台的高为， 则由题意可得，， 所以， 所以圆台的体积， 故选：D. 6．（24-25高三上·江苏南通·期末）某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、由线面角的大小求长度 【分析】利用线面角求出正四棱锥的高，再利用其体积. 【详解】在正四棱锥中，令，连接，平面， 则，由，得， 所以该正四棱锥的体积为. 故选：A. 7．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知某圆台的母线长为13，一个半径为6的球恰好与此圆台的各个面均相切，则这个圆台的体积为 . 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出辅助线，根据条件，得到方程，求出上下底面的半径，从而利用台体体积公式求出答案. 【详解】如图，球内切于圆台，故与上下底面的切点为，与侧面切于点， 则，， 设，则①， 过点作⊥于点，则，， 由勾股定理得， 又，故②， 由①②得， 所以圆台的上底面面积为，下底面面积为， 圆台的高为， 故圆台的体积为. 故答案为： 8．（24-25高三下·四川乐山·期末）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台外接球的表面积是 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设正四棱台的高为h，侧棱与底面所成角为，根据已知可求得，设正四棱台外接球的球心为O，半径为，利用已知可得，求解即可. 【详解】已知，， 设正四棱台的高为h，侧棱与底面所成角为，分别为上下底面的中心， 因为底面ABCD是边长为4的正方形，则， 已知，根据三角函数关系， 又因为， 即， 所以 设正四棱台外接球的球心为O，半径为 设球心O到上底面的距离为x，则球心O到下底面ABCD的距离为 上底面是边长为2的正方形，其外接圆半径， 下底面ABCD是边长为4的正方形，其外接圆半径 根据球心到正四棱台上下底面顶点距离相等 可得：， 则，即， 两边消去，可得，解得， 将代入，得 根据球的表面积公式，将代入可得 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用线面角求得正四棱台的高，进而利用空间几何体的性质求得外接球的半径. 题型十七 空间直线平面的平行关系 1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）根据中位线性质利用线面平行判定定理即可证明得出结论； 【详解】（1）连接，与相交于点，连接，如下图： 因为四边形为矩形，故为的中点. 又为的中点，故， 又平面平面， 所以平面 2．（24-25高三上·北京顺义·期末）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，连接，证明，利用线线平行推出线面平行即可； 【详解】（1）如图，取的中点，连接, 因E、F分别为、的中点.，则 又故即得四边形为平行四边形, 则,因平面，平面，故平面； 3．（24-25高三上·山东威海·期末）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点    (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】（1） 先得出平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）先应用面面垂直性质定理建系，再设，计算线面角即可求参. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点， 又因为为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. 4．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明面面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）利用面面平行的判定定理可得答案； 【详解】（1）因为平面，平面， 所以. 又平面，不在平面内， 所以平面. 因为，平面，不在平面内，所以平面. 又，平面,所以平面平面； 5．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明面面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）由已知可证以平面，四边形是平行四边形，进而可证平面，利用面面平行的判定定理可证结论； 【详解】（1）因为在中，E为的中点，O为中点，所以， 而平面平面，所以平面. 因为，所以，所以四边形是平行四边形， 所以而平面平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 6．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、面面平行证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）连接、、，推导出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）设，计算得出，证明出平面，可知为三棱锥的高，结合锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）连接、、. 因为、分别为、的中点，所以，，， 因为，，所以，，， 所以，四边形是平行四边形，所以，， 因为平面，平面，则平面， 又因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. （2）设，因为，则，则，    所以，，所以，. 由（1）知，平面，所以， 因为为的中点，则，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 即为三棱锥的高. 所以，，故. 7．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点，分别在线段，上，且，. (1)求证：平面 【答案】(1)证明见解析 【知识点】面面平行证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）过点作交于点，连接，由，得到，运用线面平行判定定理得到平面和平面，得到平面平面，再用面面平行性质得到线面平行即可.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和平面法向量坐标，结合向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】（1）证明：过点作交于点，连接 因为，且， 又因为，故，所以 又因为平面，平面， 所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面 又，平面，则平面平面， 因为平面，所以平面. 8．（2025·广东茂名·一模）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到. (1)线段上是否存在点，使得平面，并说明理由； 【答案】(1)存在，且为中点，证明见解析 【知识点】面面角的向量求法、面面平行证明线面平行 【分析】（1）根据题意，取中点，连接，由面面平行的判定定理可得平面平面，即可证明线面平行； 【详解】（1） 存在，且为中点，证明如下： 取中点，连接， 因为为中点，所以，， 又平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 题型十八 空间直线平面的垂直关系 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，， ，点为中点，． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）连接，根据线面垂直的判定定理证明平面，结合已知利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明平面，再根据勾股定理及线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）连接.因为，且，所以， 因为，所以．因为是棱的中点，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以． 由题意可得，则，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以． 因为，所以，所以． 因为平面，且，所以平面. 3．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】证明线面垂直、补全线面垂直的条件、求点面距离、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）利用等体积法即可求解； （2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1） 取的中点，连接，，， 则，，，， 于是，则， 由，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. 5．（24-25高三下·广东广州·期末）如图四棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，且，，点在棱上. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，连接，由条件易得，即可求证； 【详解】（1）证明：底面底面. 取的中点，连接， 点共线，从而得， 又都在平面内，平面， 平面平面平面. 6．（24-25高二上·重庆渝中·期末）在三棱柱中，四边形是菱形，是的中点，平面平面，． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、空间垂直的转化、面面角的向量求法 【分析】（1）推导出， 利用面面垂直的性质可得出面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； 【详解】（1）在中，由，是的中点，所以，             又平面平面，平面平面，面， 所以面，                        因为平面，故． 7．（24-25高二上·山西运城·期末）如图1，在直角梯形中，，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，点在线段上，且. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； 【详解】（1）因为分别为的中点，所以，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是二面角的平面角，所以， 因为，所以为等边三角形，所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. 8．（24-25高二上·云南曲靖·期末）如图1所示，在平面图形中，已知，，，，现在将梯形沿着折起到空间一个新位置使得，连接，得到直观图，如图2所示． (1)求证：； (2)试在线段上求一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 【答案】(1)证明见详解 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）取的中点，根据长度关系可知平面，进而可得平面，即可得结果； 【详解】（1）取的中点，连接， 由题意可知：∥，且，可知为平行四边形， 则∥，且， 因为，则， 又因为，，则， 即，则， 且，则，即， 又因为，平面，可得平面， 且平面，可得， 由∥可得， 且，平面，可得平面， 由平面，所以. 题型十九 空间角 1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求线面角 【分析】作出线面角，由正四面体的性质，即可求出其正弦值. 【详解】    如图，过作平面于点，连接， 则即为与平面所成角， 因为正四面体棱长为1， 则为的外心，则， ，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，则平面与平面夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【知识点】求二面角 【分析】作出平面与平面的夹角，利用余弦定理求得夹角的余弦值. 【详解】取的中点为，连接，过点作，则平面平面， ，是的中点，则，所以， 连接，依题意可知是等边三角形，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以，则， 所以是平面与平面的夹角， 在直角中，；在中，，. 由余弦定理可得，. 故答案为： 3．（24-25高三上·河北石家庄·期末）如图，在三棱柱中，平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法、求线面角 【分析】（1）过作于，由条件确定，再结合，即可求证； 【详解】（1）过作于， 因为面面，面面，在平面内， 所以面，而平面，故， 因为面，在面内， 所以，为面内两条相交直线， 所以面． 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以，所以面．    （2）解法一：由（1）可知：直线，，两两垂直， 由题意，，， 可得：，， 所以在平行四边形中，由性质可得： 可得：． 由（1）知：面，由直角三角形面积, 可得：， 所以点到面的距离为． 又因为，而平面，平面， 所以面，所以点到面的距离为． 设直线与面所成的角为，则． 故直线与面所成的角的正弦值为． 4．（24-25高二上·浙江金华·期末）如图，把矩形纸片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M为AD的中点． (1)若点Q为线段的中点，求证：∥平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 【知识点】求线面角、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）借助平行四边形性质，结合线面平行的判定即可解题；（2）方法一，借助辅助线找出线面角，结合三角函数知识解题；方法二，建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和平面法向量，结合向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】（1）证明：取的中点记为点E，由于矩形ABCD中，， 且点Q为线段的中点， 则，则四边形EMDQ为平行四边形， 则，∵平面平面， ∴平面. （2）方法一：取BC中点N，连AN交BM于点O，连CM，则四边形ABNM为正方形， 且， ∴， 则二面角的平面角为 ，        ∴平面ABCD， 又平面ABCD，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴平面， 则为直线与平面所成线面角 ，            又， ∴． 则直线与平面所成线面角的正弦值为，       5．（24-25高二上·广东·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. (1)求证：; (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】线面平行的性质、求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得平面，再由线面平行的性质，即可证明结果； （2）根据条件，利用几何关系得到，，再由线面垂直的判定定理，即可求解； （3）连接，与相交于点，取的中点，连接，，根据条件及（1）中结论，得到平面，从而有是直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）由多面体的定义知，四点共面，四点共面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面=，所以. （2）取的中点，连接，则， 由（1）知，所以，又因为，所以四边形是平行四边形， 得到，且，在中，， 又，得，所以， 在中，，，，所以， 所以，即， 又因为四边形是正方形，所以， 又，平面，平面， 所以平面. （3）连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接，，则，， 由（1）知，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 由（1）知平面，又平面， 所以，又因为，平面，平面， 所以平面，故平面， 又平面，所以，                                          又因为，平面，平面， 所以平面，故是直线与平面所成的角， 在中，，所以直线与平面所成角的正切值为. 6．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在三棱锥中，已知平面平面ABC，，D，E分别是棱PA，PC的中点，，，三棱锥的体积为． (1)求直线BD与直线CP所成角的大小； (2)求平面BDE与平面ABC的夹角的余弦值． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】锥体体积的有关计算、余弦定理解三角形、求线面角、求异面直线所成的角 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，根据三棱锥的体积求出，设，由勾股定理列出方程，求出或，分两种情况，作出辅助线，求出直线BD与直线CP所成角的大小； （2）在（1）的基础上，证明线面平行，并由线面平行的性质得到线线平行，作出辅助线，找到面面角的平面角，求出各边长，并由余弦定理进行求解. 【详解】（1）因为平面平面ABC，交线为，，平面， 所以平面PAB， 因为，为的中点，所以⊥， 故， 又，故， 三棱锥的体积为，故，解得， 设，故，则， 又，由勾股定理得， 即，解得或， 取的中点，连接， 因为，，由勾股定理得， 故， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理得，故， 当时，，为等边三角形， 所以，直线BD与直线CP所成角的大小为； 当时，，由勾股定理逆定理得⊥， 又，所以为等腰直角三角形，， 故直线BD与直线CP所成角的大小为或； （2）D，E分别是棱PA，PC的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面， 设平面平面，故，且， 由（1）知，，， 若，则，故为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥，，， 过点作⊥于点，连接， 故或其补角为平面BDE与平面ABC的夹角， 因为，，， 所以，故，， 所以，又，所以四边形为平行四边形， 故， ，由余弦定理得， 若，则，故⊥，且， 又，故为等边三角形，， 过点作⊥于点，连接， 故或其补角为平面BDE与平面ABC的夹角， 因为，， 在中，由余弦定理得 ， 又，， 由余弦定理得， 综上，平面BDE与平面ABC的夹角的余弦值为或 7．（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）过作交于，连接，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理可得面，故可得即为直线与平面所成角，由已知长度即可求线面角. 【详解】（1）由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 8．（24-25高二上·广东肇庆·期末）如图，在三棱锥中，平面． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，利用三角形的边角关系，结合勾股定理可得，即可利用线面垂直的判定求解， （2）方法一：建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，即可根据夹角根式即可求解； 方法二：利用二面角的几何法得是二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，，所以为直角三角形， 又因为， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，平面，所以平面． （2）如图，过点作于点，作于点，连接． 因为平面，平面，所以平面平面． 又因为平面平面，， 所以平面，又平面，则． 又因为，，且平面， 所以平面，又平面，则， 所以是二面角的平面角． 易知，，则， 所以二面角的大小为． 9．（24-25高三上·浙江杭州·期末）如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面 (1)证明：平面 (2)若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求二面角、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定定理，即可得； （2）方法一，建立空间直角坐标系，利用空间向量，即可得； 【详解】（1）取中点， 中点，连接， 因为，所以， 又，所以， 又因为，，平面PCE， 所以平面， 又平面，故有， 因为， 所以， 又平面平面，平面平面， 又在平面内， 所以平面， 又平面，故有， 又，，平面 故有平面 （2）如图，作，垂足为 M，连接 因为平面，，故平面， 为与平面所成角， 有，得到， 设，则， 由，得，解得 作，垂足为 ，连接， 为平面与平面夹角， ，由得，， ， ， 平面与平面夹角的余弦值为 10．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，点分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）应用线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定及性质可得，最后根据三角形中位线、等腰三角形性质易证、，利用线面垂直的判定定理证结论； （2）法一：建立空间直角坐标系，求出相关点及向量的坐标，求平面、平面的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数的基本关系即可得解； 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 因为平面，所以． 因为点分别为的中点，所以，所以． 因为，且为的中点，所以， 又点分别为的中点，所以，所以． 因为，，平面，所以平面． （2）因为平面，，点分别为的中点， 所以，如图，取的中点，连接，则． 由（1）知平面，，所以平面， 因为平面，所以，又，所以， 取的中点，连接，则，所以， 所以为二面角的平面角． 易得，． 连接，，取的中点，连接，， 易得，，，， 在中，， 在中，． 在中，， 所以，故二面角的正弦值为． 题型二十 随机抽样 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】求出行政人员占的比例，从而得到应抽取人数. 【详解】行政人员占的比例为，故行政人员应抽取的人数为. 故选：C． 2．（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）某班有男生27人，女生18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽取5人参加跑步接力赛，则男生被抽取的人数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】应用分层抽样的等比例性质求男生被抽取的人数. 【详解】男生被抽取的人数为人． 故选：C 3．（24-25高二上·四川广元·期末）某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲、乙、丙三个品种牛的头数分别为（   ） A．6，18，36 B．6，20，34 C．10，18，32 D．10，20，30 【答案】A 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】先求出抽样比例，进而求解. 【详解】由题意知，抽样比例为， 则， 所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为. 故选：A 4．（24-25高一上·贵州·期末）某校男生与女生人数之比为，为了解该校学生的体重情况，按性别采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽样120人进行调查，则该校女生被抽取的人数是（    ） A．24 B．48 C．36 D．56 【答案】B 【知识点】分层抽样的特征及适用条件 【分析】根据分层抽样公式直接求解. 【详解】由分层抽样定义可知被抽取到的女学生人数是. 故选：B. 5．（24-25高二上·四川巴中·期末）某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】先求出抽样比例，进而求解. 【详解】由题意知，抽样比例为， 则， 所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为. 故选：A 6．（23-24高一下·陕西·期末）中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（    ） A．150 B．110 C．70 D．20 【答案】D 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的性质和抽样比计算即可. 【详解】由于分层抽样比为，则200个人中，中卷录取人数为. 故选：D. 7．（23-24高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（    ） A．100名学生是个体 B．样本容量是100 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．1000名学生是样本 【答案】B 【知识点】总体与样本 【分析】根据有关的概念可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结合题中选项即可得到答案． 【详解】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生， 根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误． C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体． B：样本的容量是100正确． 故选:B． 8．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取 人． 【答案】 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】田径队运动员的总人数是，容量为的样本占总体的比例为， 则应该在男运动员中随机抽取人． 故答案为： 题型二十一 用样本估计总体 1．（24-25高三上·云南楚雄·期末）按从小到大排列的一组数据的分位数为（    ） A．96 B．96.5 C．97 D．97.5 【答案】D 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】利用百分位数的计算原理计算即可. 【详解】共10个数，，所以分位数为第8个，第9个数据的平均数，即 故选：D 2．（24-25高一上·江西宜春·期末）数据的平均数是5，则数据的平均数是（ ） A．9 B．5 C．10 D．4 【答案】A 【知识点】计算几个数的平均数、平均数的和差倍分性质 【分析】根据平均数的定义求解即可. 【详解】解：由题意可得， 所以， 所以的平均数. 故选：A. 3．（24-25高三上·辽宁·期末）2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（   ） A．13 B．13.5 C．15 D．15.5 【答案】C 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】将数据从小到大排列，根据下四分位数的含义求解，即可得答案. 【详解】将这组数据从小到大排列为：12，14，16，16，18，20，40，40， 由于，故这组数据的下四分位数为， 故选：C 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）数据53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位数是（    ） A．67 B．42 C．62 D．78 【答案】D 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】由分位数的定义即可得解. 【详解】这组数据共9个数，从小到大排列是12，32，42，53，62，67，78，90，98， ，所以第三四分位数是第7个数，即. 故选：D. 5．（多选）（24-25高一上·山东日照·期末）已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（   ） A．极差是4 B．众数不等于平均数 C．方差是 D．分位数是3 【答案】AD 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的众数 【分析】由数据的最大值减去最小值可得极差，即可判断；出现次数最多的为众数，求出7个数据的平均数即可判断；根据方差公式求解即可判断；将数据从小到大排序，由百分位数的计算方法即可求解. 【详解】对于，由已知样本数据的最大值为，最小值为，所以极差为，故正确； 对于，样本数据的众数为，平均数为， 所以众数等于平均数，故错误； 对于，方差为，故错误； 对于，将数据按照从小到大的顺序排列可得，，，，，，， 因为，所以分位数是，故正确. 故选：. 6．（多选）（24-25高二上·云南曲靖·期末）小王，小李两位同学在6次考试中数学成绩（满分100）分别为：小王68，73，72，73，70，94；小李52，72，96，83，72，75，则下列说法正确的是（   ） A．小王和小李在6次考试中的平均分相同 B．小王成绩的极差大于小李成绩的极差 C．小王成绩的众数大于小李成绩的众数 D．小李成绩比小王成绩更稳定 【答案】AC 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的众数 【分析】计算出平均数、极差、方差与众数，即可判断. 【详解】小王的成绩从小到大排列为：68,70,72,73,73,94， 所以平均分为，极差为， 众数为，方差为； 小李的成绩从小到大排列为：52,72,72,75,83,96， 所以平均分为，极差为， 众数为，方差为； 所以小王和小李在6次考试中的平均分相同，故A正确； 小王成绩的极差小于小李成绩的极差，故B错误； 小王成绩的众数大于小李成绩的众数，故C正确； 小王成绩比小李成绩更稳定，故D错误. 故选：AC 7．（多选）（24-25高二上·安徽·期末）已知样本数据，则这组数据的（    ） A．众数为9 B．平均数为5 C．分位数为 D．方差为 【答案】ABD 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的众数 【分析】根据各数字特征的概念逐项判断可确定答案. 【详解】把数据从小到大排列，得到. 对于A：观察得数据9出现的次数最多，所以众数为9，故A正确. 对于B：平均数为，故B正确. 对于C：因为一共有6个数据，且，所以分位数为第3个数，即分位数为3，故C错误. 对于D：方差为，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如图所示，则可以估计该公司打字员每分钟的平均打字数的中位数为 ． 【答案】360 【知识点】由频率分布直方图估计中位数 【分析】由中位数的概念结合面积即可求解； 【详解】第一个矩形面积为， 第二个矩形面积为：， 前两个个面积和为：， 第三个矩形面积为：， 所以中位数为：， 故答案为：360 9．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知数据的平均数为3，方差为1，则数据，，，…，的平均数与方差的和为 ． 【答案】19 【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、各数据同时加减同一数对方差的影响、平均数的和差倍分性质 【分析】根据平均数和方差的公式即可计算. 【详解】设数据，，，…，的平均数为，方差为， 设，设的平均数为，方程为， 则有 ， ， 所以， 故答案为：19. 10．（23-24高一下·云南昭通·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【答案】(1) (2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60 (3)第70的分位数为75.83 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】（1）由频率分布直方图面积为1，求解即可； （2）由众数、中位数、平均数的计算公式即可求解； （3）由百分位数的计算公式即可求解； 【详解】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 则有，解得. 所以中位数为67.69. 这次数学考试的平均成绩为 . （3）成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内， 所以第70的分位数为. 11．（24-25高一上·山东威海·期末）研究小组经过研究发现某种病毒的感染者与未感染者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到感染者和未感染者该指标的频率分布直方图如下： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将感染者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未感染者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中的值及未感染者该指标的中位数； (2)当漏诊率时，求临界值和误诊率； (3)设函数，当时，求的解析式，并求在上的最小值． 【答案】(1)，未感梊者该指标的中位数为 (2)， (3)，0.02. 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计中位数、分段函数的值域或最值、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据第一个频率分布直方图面积之和为1求出a，利用第二个频率分布直方图中的中位数公式计算即可. （2）根据题意由第一个频率分布直方图可先求出，再根据第二个频率分布直方图求出的矩形面积即可解出； （3）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出. 【详解】（1）在感染者该指标的频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1， 所以，解得， 在未感染者该指标的频率分布直方图中，前两个小矩形的面积之和为， 前三个小矩形的面积之和为， 所以未感染者该指标的中位数在第三组，且为； （2）依题可知，第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得， ． （3）当时， ； 当时， ， 故， 所以在区间的最小值为． 12．（24-25高二上·四川·期末）2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? (3)四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】(1)，79.5 (2)合格 (3)总样本平均值为86，总样本方差为96 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值，再利用平均数的定义求解； （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于或等于75，利用百分位数的定义求解； （3）利用分层随机抽样的均值和方差公式求解. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计满意度得分的平均值为． （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 因为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． （3）把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96. 13．（24-25高一上·陕西·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)0.03；第80百分位数为86． (2)6人 (3)65；36 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1求出，判断出第80百分位数，进而可得答案； （2）先求出抽样比，再利用分层抽样的性质即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）， ． 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第80百分位数， ，解得， 第80百分位数为86． （2）由频率分布直方图知，样本成绩为，，的三组答卷的市民有个样本， 成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应在答卷成绩为的市民中，抽取人． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 总平均数， 总方差为． 14．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某公司生产A、B两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种电机中各抽取100台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)估计B型电机该项指标的平均值（同一组数据用该组区间中点值为代表）； (2)从A型电机指标在内采用分层抽样方式抽取2件，B型电机指标在内采用分层抽样方式抽取4件，再从这6件中任意抽取2件，求指标在和内各抽取1件的概率； (3)根据检测结果确定该项指标的一个临界值m，且，某汽车厂准备用A、B两种型号电机生产C牌和D牌汽车各1万辆，有以下两种方案可供选择： 方案一：将A型电机用于生产C牌汽车，其中该指标小于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失7000元；将B型电机用于生产D牌汽车，其中该指标大于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失3000元； 方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需1010万元.请从汽车厂节约成本的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的定义求解； （2）根据分层抽样的定义分别求出来自A型电机指标在和及来自B型电机指标在和的台数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解； （3）设将A、B两种型号电机应用C牌、D牌汽车时，该汽车厂损失y（万元），然后根据题意表示出，分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得B型电机该项指标的平均值为： . （2）根据分层抽样得，来自A型电机指标在和的各1台，分别记为x，y，来自B型电机指标在和分别为3台和1台，分别记为，，和p. 从中任意抽取两件，样本空间可记为 共15个样本点， 记事件M：指标在和内各抽取1件， 则共含3个样本点， 所以. （3）设将A、B两种型号电机应用C牌、D牌汽车时，该汽车厂损失y（万元）， ，， 所以当时，，当时，， 当时，. 综上所述，当临界值时，选择方案二； 当临界值时，选择方案一或二都行； 当临界值时，选择方案一. 题型二十二 随机事件与概率 1．（24-25高一上·江西吉安·期末）吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”分别记为, 随机安排三个景点的游览顺序，安排方法有，，，，，共有6种， 其中第一天游览“武功山”或“钓源古村”共有4种方法，其概率为, 故答案为： 2．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 【答案】(1)78分 (2)平均数90，方差 (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算频率分布直方图中的方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）利用平均数和方差的定义求解； （3）利用古典概型的概率公式求解． 【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以， 解得， 又， 解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为， 则， 解得， 所以晋级分数线划为78分合理； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自于同一小组”， 则，共7个样本点， 所以． 3．（24-25高一上·江西宜春·期末）宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】补全频率分布直方图、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得； （2）满意度评分位列前，即满意度评分达到以上，利用分位数的定义，结合直方图列式求解； （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由图可知：，解得，， 故的值为； （2）满意度评分位列前，即满意度评分达到以上， 因为， ， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得：， 所以满意度评分位列前的游客将发纪念品，获得纪念品的分数至少为分； （3）因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这3人中随机抽取2人，则有：共有3个基本事件， 选取的2人评分分别在和内各1人有，2个基本事件， 所以. 即选取的2人评分分别在和内各1人的概率为. 4．（24-25高一上·山东日照·期末）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4. (1)求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中点值代替）； (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组的概率. 【答案】(1)0.06，174.1 (2) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1可得第七组的频率，用每组数据中点值乘以相应频率相加即得平均数； （2）确定第6组和第8组的人数，分别编号后用列举法写出样本空间，计数后可计算出概率. 【详解】（1）第六组的频率为， 所以第七组的频率为； 由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 身高在第五组的频率为， 身高在第八组的频率为， 估计该校的800名男生的身高的平均数为； （2）第六组有4人，记为a，b，c，d， 第八组的人数为，记这2人分别为A，B， 因此样本空间可记为，共包含15个样本点， 记事件E：随机抽取的两名男生在同一组， 则，包含7个样本点， 所以，所以抽取的两名男生在同一组的概率为. 5．（24-25高二上·广西钦州·期末）某学校举办了一场趣味知识竞赛，将100名参赛学生的成绩（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中m的值，并估计这100名参赛学生的成绩的中位数； (2)若从竞赛成绩在[80，90），[90，100]内的两组学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中任意抽取2人代表学校参加竞赛，求抽取的2人中至少有1人的成绩在[90，100]内的概率. 【答案】(1)，68 (2) 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率分布直方图长方形面积和为1确定m，进而求出中位数即可；（2）根据古典概型求解基本事件总数与所求事件总数即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得. 设所求中位数的估计值为，则， 解得，即这100名参赛学生的成绩的中位数约为68. （2）由题意知，成绩在内的共有12人，在内的共有4人， 所以用分层抽样的方法抽取的8人中，成绩在内的有6人， 分别记为1，2，3，4，5，6，成绩在内的有2人，分别记为A，B. 从8人中抽取2人包含12，13，14，15，16，1A，1B，23，24，25，26，2A，2B， 34，35，36，3A，3B，45，46，4A，4B，56，5A，5B，6A，6B，AB，共28个基本事件， 而抽取的2人中至少有1人的成绩在内含有13个基本事件， 所以抽取的2人中至少有1人的成绩在内的概率为. 6．（24-25高二上·云南昆明·期末）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示内的人数为92． (1)求n的值； (2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）． (3)如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率． 【答案】(1)200 (2) (3) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出a，再计算n即可． （2）设中位数为x，由求出x即可． （3）列举出所有的基本事件及满足条件的事件，再利用古典概型概率公式求出这2人均是二等奖的概率． 【详解】（1）由已知可得， 则， 得 （2）， 所以，设中位数为， 则 ， 得． （3）按照分层抽样的方法从内选取的人数为， 从内选取的人数为. 记二等奖的4人分别为， 一等奖的1人为， 事件为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”. 从这5人中随机抽取2人的基本事件为共10种， 其中2人均是二等奖的情况有共6种， 由古典概型的概率计算公式得. 7．（24-25高一上·河南焦作·期末）某林场在海拔（单位：米）0至2500米内均种植树木，从中随机抽取100棵树，将其海拔分布情况绘制成如图所示的频率分布直方图，再从海拔在的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵深入检查，用频率估计概率． (1)根据频率分布直方图，估计该林场树木海拔的中位数； (2)从参与深入检查的5棵树中随机选择3棵，求有且仅有2棵海拔在内的概率． 【答案】(1)1125米 (2) 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）根据频率分布直方图判断海拔在的频率为0.4，海拔在的频率为0.8，则中位数在内，进而可估计该林场树木海拔的中位数； （2）从海拔在的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵，则从中抽取棵，从）中抽取棵，利用列举法，结合古典概型概率公式可得答案． 【详解】（1）计算各组对应的频率，海拔在为， 海拔在为，海拔在为， 故海拔在的频率为0.4， 海拔在的频率为0.8， 所以中位数在内， 故该林场树木海拔的中位数为（米） （2）从海拔在的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵深入检查， 故从的树中抽取（棵）， 从）的树中抽取（棵）， 设抽取的海拔在的树为，海拔在的树为， 故从这5棵树中随机选择3棵的可能结果有， ，，共10种， 其中有且仅有2棵海拔在内的可能结果有，，共6种， 故有且仅有2棵海拔在内的概率为． 8．（24-25高三上·重庆长寿·期末）口袋中装有3个不同的红球，2个不同的白球，从口袋中不放回地随机取出两个球． (1)共有多少种取法？ (2)求取出的2个球颜色不同的概率. 【答案】(1)10种 (2)． 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由已知，列举出取法，可得取法种数； （2）找出取出的2个球颜色不同的方法种数，利用古典概型即可求得概率. 【详解】（1）记3个红球分别为，2个白球分别为， 则从口袋中不放回地随机取出两个球共有 十种取法， 因此共有10种取法． （2）2个球颜色不同的取法有六种取法， 由古典概型知，取出的2个球颜色不同的概率为． 9．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 【答案】(1) (2) (3)该生态园选择方案获利更多． 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图中位数的计算方法列式求解即可； （2）先根据分层抽样的性质求出质量在和内的分别有4个和2个，然后列举法结合古典概型概率公式求解即可； （3）算出两种方案的利润，比较大小即可判断. 【详解】（1）设样本的中位数为， 则， 即，解得； （2）根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个． 设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D， 质量在内2个水果分别为， 其样本空间可记为 ， 共包含20个样本点． 记E：其中恰有一个在内，则 ， 则E包含的样本点个数为12，所以； （3）方案： 收益 元； 方案：低于250克获利元， 不低于250克获利元， 总计元． 因为，所以该生态园选择方案获利更多. 10．（23-24高一上·北京怀柔·期末）亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功亚运会的重要保障，为确保第19届亚运会在杭州顺利举行，2023年5月22日杭州亚运会赛会志愿者全球招募启动活动在浙大城市学院举行．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，绘制成如图所示频率分布直方图． (1)求直方图中x的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数及中位数； (3)若在成绩为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人分别安排去乒乓球场馆和跳水场馆志愿服务，求去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率． 【答案】(1) (2)众数为，中位数为72.5 (3) 【知识点】频率分布直方图的实际应用、计算古典概型问题的概率、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据总频率为1即可计算； （2）根据众数和中位数的求法即可求解； （3）将抽出的五人编号，采用列举法即可求解. 【详解】（1）根据题意知，面试成绩落在[50，60），[70，80），[80，90），[90，100]内的频率分别为0.12，0.40，0.16，0.04， 则落在[60，70）内的频率为1-0.12-0.40-0.16-0.04=0.28， 所以． （2）根据题意，可估计样本数据的众数为， 根据（1）得，面试成绩落在[50，70）内的频率是0.12+0.28=0.40， 落在[50，80）的频率是0.12+0.28+0.4=0.8， 故这组数据的中位数在[70，80）内，设为x，所以0.4+（x-70）×0.040=0.5， 则x=72.5，所以估计样本数据的中位数为72.5． （3）成绩为[80，90），[90，100]的两组人数比例为4：1， 由分层抽样等比性质知在[80，90）抽取4人为A，B，C，D，[90，100]抽取1人为a， 所以，任意抽出2人的情况为AB、AC，AD，Aa，BC，BD，Ba，CD，Ca，Da共10种情况， 成绩在[90，100]的情况为：Aa，Ba，Ca，Da， 则去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率为． 题型二十三 事件的相互独立性 1．（24-25高一上·山东威海·期末）现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为； 若比赛三场甲获胜，则概率为； 甲获得冠军的概率. 故选：A. 2．（24-25高一上·山东日照·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件的概率关系和相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为事件是相互独立事件，所以与相互独立， 所以， 则. 故选：C. 3．（24-25高三上·山西太原·期末）已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据要写条件，利用互斥事件、对立事件和相互独立的定义，逐一判断选项即可. 【详解】对于A，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，A错误； 对于B，，，，事件与事件相互独立，B正确； 对于C，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，C错误； 对于D，，，，事件与事件不独立，D错误. 故选：B 4．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率 【分析】对于A与C，根据互斥事件的定义判断即可；对于B，分别计算、、，验证是否成立即可；对于D，明确的含义即可求解其概率. 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，表示选出的盒子既有笔记本，又有笔袋，故只能选第四个礼盒，故，故D错误． 故选：B． 5．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知事件A，B互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】由互斥事件的加法及已知可得，再由对立事件概率求法求. 【详解】因为，且，所以， 所以． 故选：A 6．（多选）（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若相互独立，则 【答案】ACD 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件的概率性质即可求解AB，根据独立事件的性质以及公式即可求解CD. 【详解】对于A，若为互斥事件，则,A正确， 对于B，若为互斥事件， 则,故B错误， 对于C, ,故,C正确， 对于D，相互独立，则也相互独立，故，D正确， 故选：ACD 7．（多选）（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 【答案】BCD 【知识点】概率的基本性质、判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件B与C不互斥，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，事件A与C相互独立，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 8．（24-25高二上·四川凉山·期末）翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率； (2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）分别求甲、乙能进入政审这一关的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）分析可知恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：甲、乙分别能进入政审这一关的概率， 所以甲、乙都能进入政审这一关的概率. （2）甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙， 所以恰好有两个人通过复检的概率. 9．（24-25高二上·云南曲靖·期末）随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行评估，并据此制订针对性的教学方案．该校从初一、初二、初三三个年级的学生中各随机抽取6人进行模拟测试，测试结果显示初一、初二、初三年级学生成绩优秀的占比分别为，，． (1)为了解学生对英语人机测试的真实感受，从测试成绩优秀的学生中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人恰好来自两个年级的概率； (2)若某学生每次测试成绩优秀的概率为，且每次测试相互独立，互不影响，求该学生测试3次至少有2次测试成绩优秀的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概型公式应用列举法求解； （2）先设测试优秀的概率，再应用独立事件概率乘积公式结合互斥事件和对立事件概率公式计算求解. 【详解】（1）由题知测试结果中初一，初二，初三成绩优秀的学生人数分别为1，2，4． 记这7人分别为a，B，C，d，e，f，g，从这7人选出2人的基本事件有 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个， 其中2人来自不同年级的情况有，，，，，，，，，，，，，，共14个． 记“抽取的2人恰好来自两个年级”为事件，所以． （2）记“该学生测试1次，其成绩优秀”为事件，则． 记“该学生测试3次至少有2次测试成绩优秀”为事件， 则． 10．（24-25高二上·山东淄博·期末）在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三人是否通过测试互不影响， 求: (1)只有 2 人通过体能测试的概率； (2)至少有 1 人通过体能测试的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”， 由题意有． 设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则， 所以 ； （2）设事件“甲､乙､丙3人中至少有1人通过测试”，则的对立事件 . $$专题01 高一下期末真题精选（23大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 平面向量的概念 · 题型二 平面向量的加减数乘运算 · 题型三 平面向量的数量积（重点） · 题型四 向量的模 · 题型五 向量的夹角（易错） · 题型六 向量的平行垂直关系（高频） · 题型七 三角形个数问题（重点） · 题型八 三角形周长（高频）（重点） · 题型九 三角形面积问题（高频，重点） · 题型十 三角形的实际应用 （重点） · 题型十一 复数的四则运算（易错） · 题型十二 复数的模（高频） · 题型十三 判断三角形形状（易错） · 题型十四 复数的类型 （难点） · 题型十五 立体图形直观图（易错） · 题型十六 空间几何体表面积与体积（高频，重点） · 题型十七 空间直线平面的平行关系（高频，重点） · 题型十八 空间直线平面的垂直关系（高频，重点） · 题型十九 空间角（高频，重点） · 题型二十 随机抽样（易错） · 题型二十一 用样本估计总体（重点） · 题型二十二 随机事件与概率 · 题型二十三 事件的相互独立性（重点） 题型一 平面向量的概念 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 3．（多选）（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线 D．若，，则 4．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 5．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 题型二 平面向量的加减数乘运算 1．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知点为平行四边形对角线的交点，点为空间任意一点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·吉林长春·期末）在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，点D在边上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知O为内部一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 7．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）若，，且三点共线，则为 . 8．（23-24高一下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 题型三 平面向量的数量积 1．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知正六边形的边长为2，点为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点，，为坐标原点，向量，则=（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知向量，.若，则（   ） A． B． C． D．1 6．（24-25高三上·海南三亚·期末）若向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．1 7．（24-25高三上·河北·期末）在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则 . 题型四 向量的模 1．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知向量，满足，，且，则（     ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·期末）已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 4．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知向量，且在上的投影为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·浙江金华·期末）已知向量与向量垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量的夹角为，且，，则 ． 7．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知向量，，若，则 . 题型五 向量的夹角 1．（24-25高三上·山东枣庄·期末）若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西吉安·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·安徽铜陵·期末）已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·四川乐山·期末）已知向量，满足，，且，则，的夹角是 . 6．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）在同一平面内的三个向量，若. (1)若，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 7．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知，，，且. (1)求点P的坐标； (2)求实数t的值； (3)求的值. 8．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量． (1)求； (2)设向量的夹角为，求的值． 题型六 向量的平行垂直关系 1．（24-25高三下·广东广州·期末）已知向量，若，则实数（    ） A． B．3 C．4 D．7 2．（24-25高三上·福建福州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西汉中·期末）设，向量 且 ，则 等于（     ） A．9 B．3 C． D． 4．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知向量，，若与垂直，则的值为（   ） A． B．0 C． D．2 5．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知向量，若，则 ． 6．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若求的值； (3)若向量，若与共线，求 7．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知向量. (1)若，求； (2)若，求. 8．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知向量，. (1)若，求实数x的值； (2)若，，求向量与的夹角. 题型七 三角形个数问题 1．（23-24高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东梅州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·陕西榆林·期末）在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一下·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）在中，内角的对边分别为，若，满足该条件的三角形有两个，则的取值范围为 .（用区间表示） 题型八 三角形周长 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 2．（24-25高三上·云南德宏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 3．（24-25高三上·广东·期末）已知内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 4．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量 ，，且. (1)求A; (2)若，的面积为，求的周长. 5．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的周长. 6．（24-25高三上·广西河池·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求； (2)若，且边上的高为，求的周长． 7．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，，求的周长. 题型九 三角形面积问题 1．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知△中，是边上的点且，面积是面积的 倍. (1)求 的值； (2)若， ，求和的面积. 2．（24-25高三上·山东枣庄·期末）在中，为钝角，. (1)求； (2)若，求的面积. 3．（24-25高三上·江苏·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，，求的面积 4．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)若的面积为，求 5．（24-25高三上·江西·期末）如图，在平面四边形中， 点E在上，且 (1)求; (2)求的面积. 6．（24-25高二上·云南昆明·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若c=4，△ABC的面积为，求a 7．（24-25高二上·北京延庆·期末）在中，为钝角，，． (1)求； (2)若，求的面积． 8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 9．（24-25高三上·北京朝阳·期末）在中，． (1)求； (2)若，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 题型十 三角形的实际应用 1．（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 2．（23-24高一下·贵州黔东南·期末）如图，某景区有景点，经测量得，，.    (1)求景点之间的距离； (2)现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值. 3．（23-24高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 4．（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 5．（23-24高一下·广东·期末）已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． (1)甲船航行3小时到达C处，求AC； (2)在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 6．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.    (1)求B点到D点的距离； (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，） 题型十一 复数的四则运算 1．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知是虚数单位，且，则实数为（   ） A． B．0 C．1 D．3 2．（24-25高三上·辽宁·期末）设，，为实数，，，方程的两个虚根，满足为实数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）若，则对应复平面内的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高三上·江苏·期末）复数（为虚数单位）的虚部是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·四川乐山·期末）若复数，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广西钦州·期末）设，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（多选）（24-25高二上·云南曲靖·期末）若（为虚数单位），在复平面内对应的点为，则（   ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D． 8．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知复数满足，则复数 ． 9．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知复数，则 . 10．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知，则 . 题型十二 复数的模 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知复数（其中为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（    ） A．7 B．9 C．25 D．49 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知复数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 6．（24-25高三上·山西·期末）已知，，且，其中i是虚数单位，则（   ） A．10 B． C．2 D． 7．（24-25高三上·湖北·期末）已知，则（    ） A．1 B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 题型十三 判断三角形形状 1．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（    ） A．三边均不相等的三角形 B．底边与腰不相等的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（    ） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 3．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 5．（23-24高一下·北京通州·期末）在△中，角所对的边为，△的面积为S，且． (1)求角； (2)若，试判断△的形状，并说明理由． 6．（23-24高三上·江西赣州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)证明：； (2)记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状． 题型十四 复数的类型 1．（23-24高二上·西藏日喀则·期末）已知实部为正数的复数z满足，且复数为纯虚数． (1)求z； (2)若z是关于x的方程（）的根，求m和n的值． 2．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知复数. (1)若复数的实部与虚部之差为0，求m的值； (2)若复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围． 3．（23-24高一下·四川雅安·期末）已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 4．（23-24高一下·天津东丽·期末）已知复数，m为实数. (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围； (3)若，求的值. 5．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，，其中 (1)若为纯虚数，求b的值； (2)若与互为共轭复数，求的值． 6．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 题型十五 立体图形直观图 1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 2．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期中）已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 6．（24-25高二下·上海·开学考试）用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为 ． 题型十六 空间几何体表面积与体积 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．6 D． 4．（2025·浙江·一模）将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·浙江宁波·期末）圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的母线与下底面所成角为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏南通·期末）某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知某圆台的母线长为13，一个半径为6的球恰好与此圆台的各个面均相切，则这个圆台的体积为 . 8．（24-25高三下·四川乐山·期末）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台外接球的表面积是 . 题型十七 空间直线平面的平行关系 1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明：平面； 2．（24-25高三上·北京顺义·期末）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； 3．（24-25高三上·山东威海·期末）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点    (1)证明：平面； 4．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面平面； 5．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点. (1)证明：平面平面； 6．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 7．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点，分别在线段，上，且，. (1)求证：平面 8．（2025·广东茂名·一模）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到. (1)线段上是否存在点，使得平面，并说明理由； 题型十八 空间直线平面的垂直关系 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，， ，点为中点，． (1)求证：平面； 3．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． (1)求证：平面平面； 5．（24-25高三下·广东广州·期末）如图四棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，且，，点在棱上. (1)求证：平面平面； 6．（24-25高二上·重庆渝中·期末）在三棱柱中，四边形是菱形，是的中点，平面平面，． (1)证明：； 7．（24-25高二上·山西运城·期末）如图1，在直角梯形中，，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，点在线段上，且. (1)求证：； 8．（24-25高二上·云南曲靖·期末）如图1所示，在平面图形中，已知，，，，现在将梯形沿着折起到空间一个新位置使得，连接，得到直观图，如图2所示． (1)求证：； (2)试在线段上求一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 题型十九 空间角 1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，则平面与平面夹角的余弦值为 . 3．（24-25高三上·河北石家庄·期末）如图，在三棱柱中，平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成的角的正弦值． 4．（24-25高二上·浙江金华·期末）如图，把矩形纸片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M为AD的中点． (1)若点Q为线段的中点，求证：∥平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5．（24-25高二上·广东·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. (1)求证：; (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 6．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在三棱锥中，已知平面平面ABC，，D，E分别是棱PA，PC的中点，，，三棱锥的体积为． (1)求直线BD与直线CP所成角的大小； (2)求平面BDE与平面ABC的夹角的余弦值． 7．（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 8．（24-25高二上·广东肇庆·期末）如图，在三棱锥中，平面． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 9．（24-25高三上·浙江杭州·期末）如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面 (1)证明：平面 (2)若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 10．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，点分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 题型二十 随机抽样 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 2．（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）某班有男生27人，女生18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽取5人参加跑步接力赛，则男生被抽取的人数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·四川广元·期末）某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲、乙、丙三个品种牛的头数分别为（   ） A．6，18，36 B．6，20，34 C．10，18，32 D．10，20，30 4．（24-25高一上·贵州·期末）某校男生与女生人数之比为，为了解该校学生的体重情况，按性别采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽样120人进行调查，则该校女生被抽取的人数是（    ） A．24 B．48 C．36 D．56 5．（24-25高二上·四川巴中·期末）某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西·期末）中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（    ） A．150 B．110 C．70 D．20 7．（23-24高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（    ） A．100名学生是个体 B．样本容量是100 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．1000名学生是样本 8．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取 人． 题型二十一 用样本估计总体 1．（24-25高三上·云南楚雄·期末）按从小到大排列的一组数据的分位数为（    ） A．96 B．96.5 C．97 D．97.5 2．（24-25高一上·江西宜春·期末）数据的平均数是5，则数据的平均数是（ ） A．9 B．5 C．10 D．4 3．（24-25高三上·辽宁·期末）2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（   ） A．13 B．13.5 C．15 D．15.5 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）数据53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位数是（    ） A．67 B．42 C．62 D．78 5．（多选）（24-25高一上·山东日照·期末）已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（   ） A．极差是4 B．众数不等于平均数 C．方差是 D．分位数是3 6．（多选）（24-25高二上·云南曲靖·期末）小王，小李两位同学在6次考试中数学成绩（满分100）分别为：小王68，73，72，73，70，94；小李52，72，96，83，72，75，则下列说法正确的是（   ） A．小王和小李在6次考试中的平均分相同 B．小王成绩的极差大于小李成绩的极差 C．小王成绩的众数大于小李成绩的众数 D．小李成绩比小王成绩更稳定 7．（多选）（24-25高二上·安徽·期末）已知样本数据，则这组数据的（    ） A．众数为9 B．平均数为5 C．分位数为 D．方差为 8．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如图所示，则可以估计该公司打字员每分钟的平均打字数的中位数为 ． 9．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知数据的平均数为3，方差为1，则数据，，，…，的平均数与方差的和为 ． 10．（23-24高一下·云南昭通·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 11．（24-25高一上·山东威海·期末）研究小组经过研究发现某种病毒的感染者与未感染者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到感染者和未感染者该指标的频率分布直方图如下： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将感染者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未感染者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中的值及未感染者该指标的中位数； (2)当漏诊率时，求临界值和误诊率； (3)设函数，当时，求的解析式，并求在上的最小值． 12．（24-25高二上·四川·期末）2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? (3)四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 13．（24-25高一上·陕西·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 14．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某公司生产A、B两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种电机中各抽取100台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)估计B型电机该项指标的平均值（同一组数据用该组区间中点值为代表）； (2)从A型电机指标在内采用分层抽样方式抽取2件，B型电机指标在内采用分层抽样方式抽取4件，再从这6件中任意抽取2件，求指标在和内各抽取1件的概率； (3)根据检测结果确定该项指标的一个临界值m，且，某汽车厂准备用A、B两种型号电机生产C牌和D牌汽车各1万辆，有以下两种方案可供选择： 方案一：将A型电机用于生产C牌汽车，其中该指标小于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失7000元；将B型电机用于生产D牌汽车，其中该指标大于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失3000元； 方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需1010万元.请从汽车厂节约成本的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由. 题型二十二 随机事件与概率 1．（24-25高一上·江西吉安·期末）吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为 . 2．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 3．（24-25高一上·江西宜春·期末）宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 4．（24-25高一上·山东日照·期末）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4. (1)求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中点值代替）； (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组的概率. 5．（24-25高二上·广西钦州·期末）某学校举办了一场趣味知识竞赛，将100名参赛学生的成绩（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中m的值，并估计这100名参赛学生的成绩的中位数； (2)若从竞赛成绩在[80，90），[90，100]内的两组学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中任意抽取2人代表学校参加竞赛，求抽取的2人中至少有1人的成绩在[90，100]内的概率. 6．（24-25高二上·云南昆明·期末）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示内的人数为92． (1)求n的值； (2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）． (3)如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率． 7．（24-25高一上·河南焦作·期末）某林场在海拔（单位：米）0至2500米内均种植树木，从中随机抽取100棵树，将其海拔分布情况绘制成如图所示的频率分布直方图，再从海拔在的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵深入检查，用频率估计概率． (1)根据频率分布直方图，估计该林场树木海拔的中位数； (2)从参与深入检查的5棵树中随机选择3棵，求有且仅有2棵海拔在内的概率． 8．（24-25高三上·重庆长寿·期末）口袋中装有3个不同的红球，2个不同的白球，从口袋中不放回地随机取出两个球． (1)共有多少种取法？ (2)求取出的2个球颜色不同的概率. 9．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 10．（23-24高一上·北京怀柔·期末）亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功亚运会的重要保障，为确保第19届亚运会在杭州顺利举行，2023年5月22日杭州亚运会赛会志愿者全球招募启动活动在浙大城市学院举行．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，绘制成如图所示频率分布直方图． (1)求直方图中x的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数及中位数； (3)若在成绩为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人分别安排去乒乓球场馆和跳水场馆志愿服务，求去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率． 题型二十三 事件的相互独立性 1．（24-25高一上·山东威海·期末）现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东日照·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山西太原·期末）已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 4．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 5．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知事件A，B互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若相互独立，则 7．（多选）（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 8．（24-25高二上·四川凉山·期末）翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率； (2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率． 9．（24-25高二上·云南曲靖·期末）随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行评估，并据此制订针对性的教学方案．该校从初一、初二、初三三个年级的学生中各随机抽取6人进行模拟测试，测试结果显示初一、初二、初三年级学生成绩优秀的占比分别为，，． (1)为了解学生对英语人机测试的真实感受，从测试成绩优秀的学生中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人恰好来自两个年级的概率； (2)若某学生每次测试成绩优秀的概率为，且每次测试相互独立，互不影响，求该学生测试3次至少有2次测试成绩优秀的概率． 10．（24-25高二上·山东淄博·期末）在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三人是否通过测试互不影响， 求: (1)只有 2 人通过体能测试的概率； (2)至少有 1 人通过体能测试的概率. $$