期末专题07 函数综合、立体几何、解析几何（5大题型42题）（江西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

期末专题07 函数综合、立体几何、解析几何（5大题型42题） 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数及其应用 题型03 函数新定义 题型04 立体几何 题型05 解析几何 ( 题型01 ) 函数及其性质 1．(23-24高二下·江西九江·期末)下列函数是定义在上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知函数是上的奇函数，，则 . 3．(23-24高二下·江西新余·期末)已知函数，则 . 4．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·江西九江·期末)（多选）设函数，则（   ） A．定义域为 B．图象关于原点对称 C．在上单调递减 D．不存在零点 6．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)（多选）已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二下·江西·期末)（多选）已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的图象关于对称 B． C． D． 8．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知定义在上的函数满足，当时，，则在上的零点个数为 个. 9．(23-24高二下·江西九江·期末)设函数且.若为偶函数，则 ；若在上单调递增，则的取值范围是 . 10．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)已知函数 . (1)判断 的奇偶性，并说明理由； (2)求 时， 的值域. 11．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知函数为二次函数，有，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①，②函数为偶函数，③ (1)求函数的解析式； (2)若，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 12．(23-24高二下·江西南昌第二中学·期末)定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，． (1)求证：在上是单调递增函数 (2)解关于的不等式： (3)已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围． ( 题型02 ) 指对幂函数及其应用 13．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数的定义域和值域都为，则（    ） A． B． C． D．不存在 14．(23-24高二下·江西九江·期末)牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（   ） A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟 15．(23-24高二下·江西九江·期末)（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 16．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)已知实数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 17．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)方程 的唯一正根为 . 18．(23-24高二下·江西九江·期末)已知函数为幂函数. (1)求的解析式； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. ( 题型03 ) 函数新定义 19．(23-24高二下·江西赣州·期末)在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论错误的是（    ） A．有解 B．是奇函数 C．不是周期函数 D．是单调递增函数 20．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)（多选）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．函数的值域为 C．若，则的最小值为 D．不等式的解集为 21．(23-24高二下·江西九江·期末)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 . ( 题型04 ) 立体几何 22．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)在三棱锥中，，，，D为BC中点. (1)求证：； (2)点M在棱PA上（不含端点），且二面角的余弦值为.求线段AM的长度. 23．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 24．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)在正四棱柱中，已知，O为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（    ） A． B． C．4 D． 25．(23-24高二下·江西萍乡·期末)我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大侧面积为（    ） A． B． C． D． 26．(23-24高二下·江西萍乡·期末)如图，在平行六面体中，， (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 27．(23-24高二下·江西·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点E在上，且． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 28．(23-24高二下·江西·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 29．(23-24高二下·江西·期末)如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 30．(23-24高二下·江西·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．CE与OF所成角的余弦值为 C．四点共面 D．的面积为 31．在正方体中，，M为上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．与AB共面且与共面的棱有5条 B． C．的最小值为 D．若与平面ABCD交于点E，则的面积为2 32．(23-24高二下·江西萍乡·期末)如图，正方形的边长为2，将沿折到的位置，连接，得三棱锥.则下列所有正确结论的序号为 .    ①若分别为的中点，则平面； ②若三棱锥的体积为，则； ③若为的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为. ( 题型0 5 ) 解析几何 33．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 34．(23-24高二下·江西赣州·期末)已如是函数图像上的动点，是直线上的动点，则两点间距离的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 35．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为 . 36．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 37．(23-24高二下·江西萍乡·期末)（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（A在第一象限），点在上，以为直径的圆过点，且，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的面积的最小值为 D．的面积大于 38．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)设点为圆上任意一点，则的取值范围是 . 39．(23-24高二下·江西新余·期末)已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 40．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)已知椭圆E：的左焦点，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B是椭圆E的左、右顶点，是椭圆E的右焦点，过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（点M在x轴的上方），直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由. 41．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过椭圆上一点的切线方程为.设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆与轴交于定点. 42．(23-24高二下·江西萍乡·期末)在平面直角坐标系中，过椭圆外一动点作的两条切线，且. (1)求动点的轨迹的方程； (2)对于给定非空点集，若中的每个点在中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.已知直线与曲线相交于两点，若分别是线段和曲线上所有点构成的集合，为曲线上一点，当的面积最大时，求. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题07 函数综合、立体几何、解析几何（5大题型42题） 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数及其应用 题型03 函数新定义 题型04 立体几何 题型05 解析几何 ( 题型01 ) 函数及其性质 1．(23-24高二下·江西九江·期末)下列函数是定义在上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据基本初等函数的性质直接判断即可． 【详解】对于A为上的增函数； 对于为上的减函数； 对于C，在为减函数； 对于D，的定义域为. 故选：A. 2．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知函数是上的奇函数，，则 . 【答案】2 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据奇函数的定义得出，再由解析式得解. 【详解】因为函数是上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：2 3．(23-24高二下·江西新余·期末)已知函数，则 . 【答案】 【来源】江西省新余市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】由内向外，先求，依次进行即可求出答案． 【详解】因为，所以，则， 所以， 故答案为：. 4．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】分析可知在内单调递增，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】若，可知在内单调递增， 可知在内单调递增，可得对任意恒成立， 又因为在定义域内单调递增，可知在内单调递增， 由题意可得：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 5．(23-24高二下·江西九江·期末)（多选）设函数，则（   ） A．定义域为 B．图象关于原点对称 C．在上单调递减 D．不存在零点 【答案】ABD 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】由可判断A；判断是否是奇函数可判断B；由复合函数的单调性可判断C；直接解方程可判断D. 【详解】解：由，得或，故的定义域是，A正确； 为奇函数，B正确； 令，则在上单调递增，而函数在定义域内单调递增，在上单调递增，C错误； 令，得无实数解，不存在零点，D正确. 故选：ABD. 6．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)（多选）已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】根据奇偶性的定义依次分析判断即可. 【详解】对A,因为为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数， 所以， 所以，故A正确； 对B,，故B正确； 对C,，即，故C正确； 对D,，故D错误. 故选：ABC. 7．(23-24高二下·江西·期末)（多选）已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的图象关于对称 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A．利用偶函数的性质，结合赋值法即可得解；B．利用赋值法即可得解；CD．利用抽象函数的奇偶性、对称性与周期性得到与的周期均为4，进而求得与，从而得解． 【详解】A．为偶函数，， 即有，则的图象关于对称，A正确，符合题意； B．，令，可得， 又，，B正确，符合题意； C．，，， ①，②， 将①②式分别与联立，化简得： ，， ，， ，，即与的周期均为4， ，， ，， 又函数的图象关于对称， ，， ，C错误，不符合题意； D．又， ，， ，，， ，D正确，符合题意． 故选：ABD． 8．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知定义在上的函数满足，当时，，则在上的零点个数为 个. 【答案】 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在上的零点个数. 【详解】由可得， 所以周期， 当时，，令， 解得，即一个周期内有2个零点， 因为， 所以在上的零点个数为. 故答案为： 9．(23-24高二下·江西九江·期末)设函数且.若为偶函数，则 ；若在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 1 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据得到方程，求出，检验后得到结论；分，，或四种情况，结合指数函数单调性，导数，进行求解，得到答案. 【详解】为偶函数， ，即, ∴，经检验，此时为偶函数， 当时，在上单调递增，符合题意，此时. 当时，在上单调递减，不符合题意. 当或时，， 则需在上恒成立， 不妨设，则在上恒成立， 在上单调递增， ∴，即. 综上，的取值范围是. 故答案为：1， 【点睛】关键点点睛：恒成立问题，转化为恒成立，结合指数函数单调性，得到不等式，求出答案. 10．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)已知函数 . (1)判断 的奇偶性，并说明理由； (2)求 时， 的值域. 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2) 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】（1）根据奇偶函数的定义即可下结论； （2）根据指数型函数的单调性判断在上单调递增，进而求解. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 由题意知，的定义域为R， 由，得， 所以， 故为奇函数； （2）， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 则函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，且， 所以在上的值域为. 11．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知函数为二次函数，有，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①，②函数为偶函数，③ (1)求函数的解析式； (2)若，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式. （2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数. 【详解】（1）设，由题意：， 两式相减的： 若选①，则：抛物线的对称轴为：，即. 所以，所以； 若选②，则：抛物线的对称轴为：，同上； 若选③，则：，由，得：，所以. 综上： （2）对： 当时，由；由； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，. 当时，恒成立， 所以在上恒成立. 观察可知，函数在上单调递减，所以， 由. 所以实数的取值范围是： 12．(23-24高二下·江西南昌第二中学·期末)定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，． (1)求证：在上是单调递增函数 (2)解关于的不等式： (3)已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据函数单调性的定义及所给函数的性质证明即可； （2）利用函数的单调性及定义域解不等式即可； （3）转化为恒成立，即恒成立，构造函数，建立不等式组求解即可. 【详解】（1）任取，且， 设，则， 则， 即， 所以在上是单调递增函数. （2）由（1）知，， 解得， 所以不等式的解集为. （3）因为， 所以由对所有的成立， 可得对恒成立，即恒成立， 令， 则不等式恒成立只需满足， 解得或， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第一问证明抽象函数的单调性关键在于函数单调性的定义证明格式与抽象函数所给性质的结合，第三问恒成立问题关键在于转化，首先转化为恒成立，再利用构造关于的函数，由函数性质建立不等关系是关键所在. ( 题型02 ) 指对幂函数及其应用 13．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数的定义域和值域都为，则（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【来源】江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据题意结合指、对数函数性质分析求解. 【详解】因为函数的定义域为，则恒成立， 且，可得； 又因为函数的定义域和值域都为，则取到所有正数， 且，可得； 综上所述：. 故选：B. 14．(23-24高二下·江西九江·期末)牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（   ） A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟 【答案】C 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可． 【详解】解：依题意，得， 化简得，解得. 设这块面包总共经过分钟，温度降为30°， 则，化简得， 解得， 故大约再经过（分钟），这块面包温度降为30°， 故选：C. 15．(23-24高二下·江西九江·期末)（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】对于A,C可取特殊值判断；对于B,D,直接运用指数对数函数单调性判断即可． 【详解】解：取，则，A，C错误； 由，得，B正确； 由，得，D正确. 故选：BD. 16．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)已知实数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】将化为，构造函数，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】由，得， 令，则， 因为都是增函数， 所以函数是增函数， 所以，所以. 故选：D. 17．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)方程 的唯一正根为 . 【答案】 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】设，利用换元法和指数函数的图象与性质可得，即可求解. 【详解】，设，则， 等式两边同时除以，得， 令，则函数在R上单调递减， 由，得，所以， 即，解得. 即方程的唯一正根为. 故答案为： 18．(23-24高二下·江西九江·期末)已知函数为幂函数. (1)求的解析式； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）由幂函数的定义可得，求解即可； （2）由复合函数的单调性，得，求解即可. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得， 故. （2），由复合函数的单调性，得， 解得. 故实数的取值范围为. ( 题型03 ) 函数新定义 19．(23-24高二下·江西赣州·期末)在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论错误的是（    ） A．有解 B．是奇函数 C．不是周期函数 D．是单调递增函数 【答案】A 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】考虑函数的值域可判断A，根据函数的奇偶性定义判断B，由复合函数的单调性分析可判断D，由D结合周期定义判断C. 【详解】由， 因，则，可得 ，即，故A错误； 因为的定义域为，且，所以是奇函数，故B正确； ，因是增函数，是增函数且恒为正数，则是减函数，故是增函数，故D正确； 由D可知函数在上单调递增，所以当时，，所以函数不是周期函数，故C正确. 故选：A 20．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)（多选）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．函数的值域为 C．若，则的最小值为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【来源】江西省重点中学协作体2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】对于A，代值验证即可，对于B，根据高斯函数的定义分析判断，对于C，先求出的范围，然后根据对勾函数的性质求解判断即可，对于D，解不等式后再根据高斯函数的定义可求得结果. 【详解】对于A，，显然，故错误； 对于，由取整函数的定义知：， 函数的值域为，故B正确； 对于C，由于，则，易知， 而函数在上单调递增， 当时，的最小值为，故C正确； 对于D，，则，故，故D正确. 故选：BCD. 21．(23-24高二下·江西九江·期末)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】令得到，变形得到，令，，画出两图象如图所示，数形结合得到，求出答案. 【详解】由，得，因为，所以， 令，，画出两图象如图所示， 由图象结合题意得，即， 即的取值范围是. 故答案为： ( 题型04 ) 立体几何 22．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)在三棱锥中，，，，D为BC中点. (1)求证：； (2)点M在棱PA上（不含端点），且二面角的余弦值为.求线段AM的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由勾股定理逆定理得到从而 平面，又利用等腰三角形三线合一得到， 从而平面ABC，进而得到； （2）以D为原点，直线DB为y轴，直线DP为z轴，以过D与AB平行的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，设，用坐标求出平面MBC和平面ABC的法向量，根据二面角的余弦值为，列出等式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，所以，所以AB⊥BC， 又，，所以△PBC为等边三角形， 所以，又，所以，所以AB⊥PB， 又PB，平面PBC，且， 所以AB⊥平面PBC，又平面PBC，所以AB⊥， 因为，D为BC的中点，所以PD⊥BC， 又平面ABC，， 所以PD⊥平面ABC，又平面ABC，所以. （2）由（1）得，PD⊥平面ABC，， 以D为原点，直线DB为y轴，直线DP为z轴，过D与AB平行的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，所以， 设平面MBC的一个法向量，则，即， 令，解得，，故， 显然平面ABC的一个法向量，二面角为锐二面角设为， 所以， 解得或（舍）， 所以． 23．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】平行移动与相交构成三角形，指明或其补角就是异面直线与所成的角，在三角形中由余弦定理解出即可. 【详解】 如图连接，因为为正四棱柱， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角就是异面直线与所成的角， 设，则，，， 由余弦定理得：. 故选：A. 24．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)在正四棱柱中，已知，O为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【来源】江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以点平面的距离为， 所以线段在平面上的射影的长度为 . 故选：C 25．(23-24高二下·江西萍乡·期末)我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，体积为，由几何关系得，再根据圆柱的侧面积公式可得圆柱侧面积关于的函数，最后根据二次函数的最值即可求解. 【详解】如图，设圆柱的底面半径为，高为，侧面积为， 由题意得，，，所以， 在中，因为， 所以，即，解得， 所以圆柱的侧面积为， 又，所以时，取得最大值为， 故圆柱的最大侧面积为， 故选：C. 26．(23-24高二下·江西萍乡·期末)如图，在平行六面体中，， (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】（1）利用向量数量积证明线线垂直，可证线面垂直； （2）求平面的法向量，运用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）(法一) 以为坐标原点，方向为轴非负方向，方向为轴非负方向建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，，， 由，得， 由，得， 由，得，即， 再由得， 则，则，故， 又，，平面， 则平面； (法二) ， 则， 又，，平面， 则平面； （2）设平面的法向量，由（1）得， 则，不妨取，则，即， 又，设点到到平面的距离为， 则，故到面的距离为. 27．(23-24高二下·江西·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点E在上，且． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点F，连接，由， 得到，再由 ，得到，进而得到，利用线面平行的判定定理证明；    （2）以D为坐标原点，分别以直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量 和平面CPD的一个法向量，由求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点F，连接． 由，，所以．           又，所以，故． 又平面，平面，所以平面． （2）不妨设， 则．              以D为坐标原点，分别以直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．      所以．             设为平面的一个法向量，则有 即可取．         设为平面的一个法向量，则有 即可取，            所以． 所以， 所以二面角的正弦值为． 28．(23-24高二下·江西·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 29．(23-24高二下·江西·期末)如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）通过证明线线垂直推导线面垂直，再由性质即得； （2）建系，写出相关点的坐标，分别求得和平面的一个法向量的坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得. 【详解】（1） 如图，连接，因为，为中点，所以．          因为为直三棱柱的侧棱，所以平面．     因为平面，所以．                     因为平面，所以平面．          因为平面，所以． （2） 以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图. 则，，，.        所以，，． 设平面的一个法向量为， 由可得，， 取，可得，，即可取．           设点到平面的距离为，则．        所以点到平面的距离为． 30．(23-24高二下·江西·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．CE与OF所成角的余弦值为 C．四点共面 D．的面积为 【答案】AC 【分析】先根据正方体结构建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标式计算判断A项，利用空间向量的夹角公式计算判断B项，利用空间向量共面定理判断C项，利用三角形面积公式判断D项即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 对于A项，因,则, 即，故A项正确； 对于B项，因，则, 设CE与OF所成角为，则，故B项错误； 对于C项，因,则, 易得，即为共面向量， 故四点共面，即C项正确； 对于D项，因，则，记， 则，故， 故的面积为，故D项错误. 故选：AC. 31．在正方体中，，M为上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．与AB共面且与共面的棱有5条 B． C．的最小值为 D．若与平面ABCD交于点E，则的面积为2 【答案】ABD 【来源】江西省部分学校2024届高三5月大联考数学试卷 【分析】对于A，考虑与AB平行且与相交，与AB相交且与平行，以及与AB相交且与相交的直线可得；对于B，证明平面，然后由线面垂直的性质可得；对于C，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，然后解三角形即可；对于D，证明平面与平面ABCD的交线平行于，然后由可解. 【详解】对于A，AB与不共面，因此没有同时与这两条直线平行的直线， 与AB平行且与相交的有CD，，与AB相交且与平行的有，， 与AB相交且与相交的有BC，所以共有5条，故A正确． 对于B，易知平面，，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故B正确． 对于C，如图，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则为的最小值， 所以A，M，三点共线． 因为，所以． 在中，根据正弦定理可得， 解得，故C错误． 对于D，设平面与平面ABCD的交线为l， 因为平面ABCD，所以，则， 又与平面ABCD交于点E，所以，则，故D正确． 故选：ABD 32．(23-24高二下·江西萍乡·期末)如图，正方形的边长为2，将沿折到的位置，连接，得三棱锥.则下列所有正确结论的序号为 .    ①若分别为的中点，则平面； ②若三棱锥的体积为，则； ③若为的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为. 【答案】①③ 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】对于①，分别取的中点，连接，可证得四边形为平行四边形，则∥，然后利用线面平行的判定定理进行判断；对于②，设三棱锥的高为，由体积求得，设在平面的投影为，然后分为钝角和锐角两种情况求解；对于③，在中，利用余弦定理可求得，设的中点为，过作平面，则三棱锥的外接球的球心在此直线上，球心设为，连接，过作于，则外接球的半径，求出半径，可求出其体积. 【详解】对于①，分别取的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以∥，，∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，所以①正确，    对于②，设三棱锥的高为，则，解得， 设在平面的投影为，则， 因为，所以点在直线上， 设，连接， 因为正方形的边长为2，所以，， 所以， 所以，所以为二面角的平面角， 当为钝角时，, 所以， 当为锐角时，, 所以， 综上，或，所以②错误，      对于③，在中，，则由余弦定理得， 因为，所以，所以，所以， 设的中点为，过作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心在此直线上，球心设为， 连接，过作于，则， 在中，，，， 所以由余弦定理得， 设，则，设棱锥的外接球的半径为，则， 因为， 所以， 所以，解得， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的体积为，所以③正确，    故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积，考查棱锥的外接球问题，考查空间图形折叠问题，解题的关键是要弄清折叠前后的边角关系，考查空间想象能力和计算能力，属于难题. ( 题型0 5 ) 解析几何 33．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【来源】江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【详解】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C 34．(23-24高二下·江西赣州·期末)已如是函数图像上的动点，是直线上的动点，则两点间距离的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】先求函数斜率为的切线，然后切线与直线的距离即为所求. 【详解】因为，（），所以， 由，得，又， 所以过点的切线为：即. 直线与的距离为：即为所求. 故选：C 35．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【来源】江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】先利用双曲线定义求出，然后把利用面积比求出最后代入余弦定理来求离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知：，结合， 所以，又有， 故由可得， 所以，则， 则为等边三角形，， 由余弦定理可得： ， 解得. 故答案为： 36．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】取为的中点，为右焦点，根据得，由在上的投影向量的模为得，利用双曲线的定义可得结果. 【详解】取为的中点，为右焦点， ， ，， 在上的投影为，， ，，， ， ，. 故选：C 37．(23-24高二下·江西萍乡·期末)（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（A在第一象限），点在上，以为直径的圆过点，且，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的面积的最小值为 D．的面积大于 【答案】ABD 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】利用抛物线的定义及平行线分线段成比例计算即可判定A；利用抛物线的定义及三角形全等判定为等边三角形即可得B正确；设，利用焦半径的倾斜角公式结合辅助角公式计算最值可判定C，利用线段关系结合C项结论可判定D项. 【详解】设在上的投影为与轴交于点，因为两点在上，则， 又，则，得，A正确； 设A在上的投影为，则，所以， 又，则， 即，为等边三角形， 则，，B正确； 若在第四象限，设，则， ，令， 则， 则，当且仅当时取最小值，易知错误； 易知，所以，当且仅当轴时取等号， 由C知，此时，故，D正确. 故选：ABD      【点睛】思路点睛：对于C项，由于三角形为直角三角形，可根据焦半径的倾斜角公式利用角来表示三角形面积，求最值过程用到了三角函数的平方关系，换元法求最值即可，对于D项，借助三角形面积的大小关系及C结论即可判定. 38．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)设点为圆上任意一点，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】利用表示的几何意义，作图先求出两条切线的斜率，再结合图形理解即得其范围. 【详解】 如图，作出圆，因点是圆上一点，故可看成圆上的点与原点连线的斜率. 考虑直线与圆相切时，设切线斜率为，则圆心到直线的距离为， 解得，由图知要使过原点的直线与圆有公共点， 需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角，或不超过切线的倾斜角， 故直线的斜率或，即的范围为. 故答案为：. 39．(23-24高二下·江西新余·期末)已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】(1)，； (2)1. 【来源】江西省新余市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 40．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)已知椭圆E：的左焦点，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B是椭圆E的左、右顶点，是椭圆E的右焦点，过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（点M在x轴的上方），直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【来源】江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）当时，代入椭圆方程，得，结合椭圆性质可得解； （2）先研究轴，再研究当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理化简，可得解. 【详解】（1）根据题意，当时，代入椭圆方程，得， 所以， 所以椭圆方程为； （2）是定值，理由如下： 由题意可得， 当轴时，直线的方程为，易知， 直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得，则， 设，则， 直线的方程为，令，则，所以， 直线的方程为，令，则，所以， 所以， 所以， 可得， 综上，. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 41．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过椭圆上一点的切线方程为.设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆与轴交于定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）设，根据题意求得，结合椭圆的定义求得，进而得到椭圆的方程； （2）由过椭圆上一点的切线方程为，设动点，得到直线l的方程，令，求得Q，设定点为结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设， 由的中点在y轴上，且O为，的中点，可得轴，即， 又由，可得，即，， 所以，即， 解得，则， 所以椭圆C的方程为. （2）解：由（1）和题意，可得过椭圆上一点的切线方程为， 因为点在椭圆，可设点， 则直线l的方程为， 即， 令，则代入①，解得，所以Q坐标为， 假设存在点，使得以为直径的圆与轴交于定点， 则，即，， 于是 整理得， 由该方程对于任意的恒成立，可得，此时点， 所以存在定点符合条件，使得以为直径的圆与轴交于定点. 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，（如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解），把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解. 42．(23-24高二下·江西萍乡·期末)在平面直角坐标系中，过椭圆外一动点作的两条切线，且. (1)求动点的轨迹的方程； (2)对于给定非空点集，若中的每个点在中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.已知直线与曲线相交于两点，若分别是线段和曲线上所有点构成的集合，为曲线上一点，当的面积最大时，求. 【答案】(1)； (2). 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】（1）先讨论切线斜率不存在或者为0时，求得P坐标，再讨论斜率存在时，设其点斜式与椭圆联立，利用判别式构造同解方程，计算即可； （2）过圆心作弦的垂线，利用弦长公式表示弦心距，再根据三角形面积公式及均值不等式计算得的面积最大时弦心距的取值，最后由的意义计算即可. 【详解】（1）当的斜率不存在或者为0时， 由题意可知点的坐标为或； 当切线的斜率存在且不为0时， 设过作椭圆的切线的斜率为， 则切线的方程为，将其与椭圆方程联立， 并化简得 由题意得，， 设的斜率分别为，则是上式的两个根，且， 所以，则， 又，则，即， 综上所述，动点的轨迹的方程为； （2）过圆心作直线的垂线，垂足为，设， 则， 由题意， 又，. 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 由题意得，.    / 学科网（北京）股份有限公司 $$