期末专题06 集合与常用逻辑用语、复数与平面向量、不等式与基本不等式、三角函数与解三角形（6大题型30题）（江西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

期末专题06 集合与常用逻辑用语、复数与平面向量、 不等式与基本不等式、三角函数与解三角形（6大题型30题） 题型概览 题型01 集合 题型02 常用逻辑用语 题型03 复数 题型04 平面向量 题型05 不等式与基本不等式 题型06 三角函数与解三角形 ( 题型01 ) 集合 1．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知集合，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】先解一元二次不等式，求解集合，再求交集即可. 【详解】因为，又 所以. 故选：A. 2．(23-24高二下·江西萍乡·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】结合函数的定义域、值域，再根据交集的定义即可求解. 【详解】由， 得， 所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：B. 3．(23-24高二下·江西新余·期末)设集合，则（    ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【来源】江西省新余市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】分别求得集合，然后求，进而求得. 【详解】对于集合，，所以； 因为集合； 所以，. 故选：B. 4．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】把集合B中的元素代入集合A检验，再结合交集运算求解. 【详解】因为， 可知，所以. 故选：C. 5．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)已知集合 ，则的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】先求出集合，再根据交集的定义及真子集的定义即可得解. 【详解】， 则， 所以的真子集个数为. 故选：A. 6．(23-24高二下·江西上饶·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省上饶市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷 【分析】先解不等式组，化简集合，再利用交集的运算即可求得. 【详解】由得，解得，故， 又因为，所以， 故选：C. 7．(23-24高二下·江西九江·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】先求出集合，再根据交集的概念求解即可. 【详解】由已知，， 所以. 故选：. 8．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 . 【答案】 【来源】江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解. 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为： ( 题型02 ) 常用逻辑用语 9．(23-24高二下·江西·期末)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可； 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：D 10．(23-24高二下·江西赣州·期末)“”是“函数在单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可. 【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知： 要满足函数在单调递增， 需要， 因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件． 故选：B． 11．(23-24高二下·江西九江·期末)是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据充分，必要条件的定义，结合不等式的性质，即可判断. 【详解】若，可能为负数，不能推出， 若，则，可得， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 12．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)若命题“，”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】转化为命题的否定“，”为真命题，用关于的一次函数来考虑，即可求解. 【详解】根据题意，知原命题的否定“，”为真命题. 令，故，解得. 故选：D. 13．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)（多选）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】先把已知化简为，再结合充分条件的定义得出条件即可. 【详解】因为所以恒成立， 因为，当取等号，所以， 因为，所以是的充分条件. 因为，所以是的充分条件， 又都不能推出，所以CD错误， 故选：AB. 14．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)已知命题 ，则 为 . 【答案】 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】根据存在性量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，. 故答案为： 15．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【来源】江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由“，使得成立”为假命题， 可得“，使得成立”为真命题， 设，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. ( 题型03 ) 复数 16．(23-24高二下·江西萍乡·期末)设复数，则的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】根据复数的乘方化简复数，从而得到其共轭复数，再判断其虚部. 【详解】由题意，, 所以, 所以的虚部为. 故选：A. ( 题型04 ) 平面向量 17．(23-24高二下·江西萍乡·期末)已知，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】利用平面向量投影向量公式结合平面向量数量积、模长公式计算即可. 【详解】由题意可知，， 所以， 而在方向上的投影向量为. 故选：D ( 题型0 5 ) 不等式与基本不等式 18．(23-24高二下·江西赣州·期末)（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 19．(23-24高二下·江西赣州·期末)（多选）已知，且，都不为0，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立. 【详解】当时，有，A选项错误； ，则，得，B选项正确； ，，得，C选项正确； 函数在R上单调递减，，则，D选项错误. 故选：BC 20．(23-24高二下·江西九江·期末)已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】将条件等式化成，由，利用1的代换法和基本不等式即可求得最小值. 【详解】解：由，得，又， 所以 . 当且仅当时等号成立. 故选：B. 21．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)（多选）已知正实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由正实数满足，可得， 当且仅当时，等号成立，所以，所以A不正确； 对于B中，由，因为，可得，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C不正确； 对于D中，由，当且仅当时，等号成立，所以D正确. 故选：BD. 22．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【来源】江西省重点中学协作体2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得正确； 对于C中，由，可得C错误； 对于D中，由，可得D错误. 故选：AB. 23．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【来源】江西省重点中学协作体2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. ( 题型0 6 ) 三角函数与解三角形 24．(23-24高二下·江西萍乡·期末)当时，曲线与的交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】由得，求出，根据的范围求出的值，再求和. 【详解】由得，解得，或， 当时，，或，而， 所以， 当时，， 所以， 则. 故选：B. 25．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】换元令，可得，，根据题意结合二次函数性质分析求解. 【详解】令，则，， 可知的开口向上，对称轴为， 原题意等价于：当时，取最大值，当时，取最小值， 结合二次函数对称性可知：， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 26．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)已知在点处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】根据导数的几何意义，求得，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可. 【详解】因为，故可得， 则在点处的切线斜率； 又因为. 故选：A. 27．(23-24高二下·江西吉安·期末)当时，函数的值域为 ． 【答案】 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】先化解得，再采用换元法，令，求出的值域即可. 【详解】由题意可知，， 因为 所以 令， 记， 因为恒成立， 所以在单调递增， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 28．(23-24高二下·江西·期末) 在上是单调函数，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式可得，可得其单调区间为，根据题意即可求解. 【详解】， 令，得. 令,可得. 故函数在上是单调函数， 所以，解得. 所以的最大值是4. 故选:C. 29．(23-24高二下·江西·期末)已知函数. (1)求区数在区间上的值域； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和三角恒等变化，可得的解析式，再根据三角函数的性质，即可求出结果； （2）由（1）可得，再根据角的范围，和正弦的二倍角公式可得的值，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果. 【详解】（1）解：， 所以， 当时，， 故 从而， 所以函数在区间上的值域为：； （2）解： 所以， 因， 若，则，矛盾！ 故， 从而 所以. 30．(23-24高二下·江西萍乡·期末)在中，角所对边分别为，从以下两个条件中选择一个作为已知：①；②. (1)求； (2)若，且，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】（1）选择①，由正弦定理、余弦定理可得答案；选择②，利用平方关系、正弦定理、余弦定理可得答案； （2）利用正弦定理得，则周长化简为，根据的范围求出的范围可得答案. 【详解】（1）选择①，由正弦定理得， 所以， 即，由余弦定理得， 因为，所以； 选择②，由得， ， 即， 由正弦定理得，由余弦定理得， 因为，所以； （2）由，得，由，得， 又，得， 则周长为 ， 因为，则， 所以的周长的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题06 集合与常用逻辑用语、复数与平面向量、 不等式与基本不等式、三角函数与解三角形（6大题型30题） 题型概览 题型01 集合 题型02 常用逻辑用语 题型03 复数 题型04 平面向量 题型05 不等式与基本不等式 题型06 三角函数与解三角形 ( 题型01 ) 集合 1．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知集合，则（    ） A． B． C．或 D． 2．(23-24高二下·江西萍乡·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二下·江西新余·期末)设集合，则（    ） A． B． C．，或 D． 4．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)设集合，则（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)已知集合 ，则的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 6．(23-24高二下·江西上饶·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二下·江西九江·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 . ( 题型02 ) 常用逻辑用语 9．(23-24高二下·江西·期末)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．(23-24高二下·江西赣州·期末)“”是“函数在单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．(23-24高二下·江西九江·期末)是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)若命题“，”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 13．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)（多选）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)已知命题 ，则 为 . 15．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． ( 题型03 ) 复数 16．(23-24高二下·江西萍乡·期末)设复数，则的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． ( 题型04 ) 平面向量 17．(23-24高二下·江西萍乡·期末)已知，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 不等式与基本不等式 18．(23-24高二下·江西赣州·期末)（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 19．(23-24高二下·江西赣州·期末)（多选）已知，且，都不为0，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高二下·江西九江·期末)已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 21．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)（多选）已知正实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 22．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 23．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ ( 题型0 6 ) 三角函数与解三角形 24．(23-24高二下·江西萍乡·期末)当时，曲线与的交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 25．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)已知在点处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．2 D． 27．(23-24高二下·江西吉安·期末)当时，函数的值域为 ． 28．(23-24高二下·江西·期末) 在上是单调函数，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 29．(23-24高二下·江西·期末)已知函数. (1)求区数在区间上的值域； (2)若，且，求. 30．(23-24高二下·江西萍乡·期末)在中，角所对边分别为，从以下两个条件中选择一个作为已知：①；②. (1)求； (2)若，且，求的周长的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$