期末专题04 导数及其应用小题综合（6大题型38题）（江西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

期末专题04 导数及其应用小题综合（6大题型38题） 题型概览 题型01 导数的定义及基本计算 题型02 切线问题 题型03 极值与最值问题 题型04 恒成立问题 题型05 比较大小关系 题型06 导数多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 导数的定义及基本计算 1．(23-24高二下·江西·期末)已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二下·江西景德镇·期末)设函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 3．(23-24高二下·江西吉安·期末)已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)某物体走过的路程 (单位： ) 与时间 (单位： ) 的函数关系为 ，则该物体在 时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24高二下·江西上饶·期末)函数的导数（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二下·江西上饶广丰金桥学校·期末)已知函数，则 . 8．(23-24高二下·江西景德镇·期末)已知函数的图象如下，则不等式的解集为 . ( 题型02 ) 切线问题 9．(23-24高二下·江西抚州·)若直线与曲线相切，则 . 10．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)已知在点处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．2 D． 11．(23-24高二下·江西吉安·期末)函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 12．(23-24高二下·江西九江·期末)已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 13．(23-24高二下·江西景德镇·期末)将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 14．(23-24高二下·江西赣州·期末)已如是函数图像上的动点，是直线上的动点，则两点间距离的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 15．(23-24高二下·江西·期末)若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为 ( 题型03 ) 极值与最值问题 16．(23-24高二下·江西吉安·期末)函数满足，则的极大值点为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 17．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)设 为函数 的极值点，则（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 20．(23-24高二下·江西新余·期末)若函数，则的极大值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．(23-24高二下·江西九江·期末)函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． ( 题型04 ) 恒成立问题 22．(23-24高二下·江西萍乡·期末)已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 23．(23-24高二下·江西抚州·)已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 比较大小关系 24．(23-24高二下·江西景德镇·期末)设，且，其中是自然常数，则（    ） A． B． C． D． 25．(23-24高二下·江西萍乡·期末)下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 26．(23-24高二下·江西·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 27．(23-24高二下·江西·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 导数多选题（多考点综合） 28．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)设函数，则（    ） A．是的极小值点 B． C．不等式的解集为 D．当时， 29．(23-24高二下·江西景德镇·期末)三次函数的图像与轴有两个交点，则（    ） A．有唯一的极值 B． C．存在等差数列，使 D．过点可作曲线的两条切线 30．(23-24高二下·江西·期末)已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（    ） A．当时，在处的切线方程为 B．若有3个零点，则的取值范围为 C．当时，是的极大值点 D．当时，有唯一零点，且 31．(23-24高二下·江西上饶·期末)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的单调递增区间是 B．的值域为 C． D．若，，，则 32．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 33．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有 个零点. 34．(23-24高二下·江西景德镇·期末)牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的用“作切线”来近似求函数零点的一种方法，已知函数，在图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，称为“牛顿数列”.现取，则可知与的大小关系是 ，其中 . 35．(23-24高二下·江西九江·期末)设函数且.若为偶函数，则 ；若在上单调递增，则的取值范围是 . 36．(23-24高二下·江西赣州·期末)记方程的实数解为（是无理数），被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（    ） A． B． C． D．函数的最小值为 37．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．曲线关于直线对称 C． D． 38．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在处的3次泰勒多项式为 D． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题04 导数及其应用小题综合（6大题型38题） 题型概览 题型01 导数的定义及基本计算 题型02 切线问题 题型03 极值与最值问题 题型04 恒成立问题 题型05 比较大小关系 题型06 导数多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 导数的定义及基本计算 1．(23-24高二下·江西·期末)已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用极限的计算方法即可得解. 【详解】因为函数, 所以, 所以. 故选：A. 【点睛】 2．(23-24高二下·江西景德镇·期末)设函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【来源】江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】先求出，再结合导数定义即可得解. 【详解】由题， 故由导数定义得. 故选：A. 3．(23-24高二下·江西吉安·期末)已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】求出，再由导数定义可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)某物体走过的路程 (单位： ) 与时间 (单位： ) 的函数关系为 ，则该物体在 时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】利用导数的意义就是瞬时速度，所以求导即可得出结果. 【详解】由可得：， 当时，， 所以该物体在 时的瞬时速度为， 故选：A. 5．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省重点中学协作体2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】解：， 时，此木块在水平方向的瞬时速度为. 故选：C. 6．(23-24高二下·江西上饶·期末)函数的导数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江西省上饶市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷 【分析】借助导数公式计算即可得. 【详解】，则. 故选：A. 7．(23-24高二下·江西上饶广丰金桥学校·期末)已知函数，则 . 【答案】​ 【来源】江西省上饶市广丰金桥学校2023-2024学年高二下学期期末检测数学试卷 【分析】对求导，得，代值即可求出结果. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 8．(23-24高二下·江西景德镇·期末)已知函数的图象如下，则不等式的解集为 . 【答案】 【来源】江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】由函数的图象可得函数的增减区间，从而可得导函数的正负，进而可求出不等式的解集 【详解】由函数的图象可知， 在和上递增，在上递减， 所以当或时，，当时，， 所以当或时，， 所以不等式的解集为， 故答案为： ( 题型02 ) 切线问题 9．(23-24高二下·江西抚州·)若直线与曲线相切，则 . 【答案】2 【来源】江西省抚州市2023-2024学年高二下学期学生学业质量监测数学试卷 【分析】由函数的导数为3，求切点，根据切点在直线上，可求的值. 【详解】因为，所以. 由， 因为，所以切点坐标为， 因为点在直线上，所以. 故答案为：2 10．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)已知在点处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】根据导数的几何意义，求得，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可. 【详解】因为，故可得， 则在点处的切线斜率； 又因为. 故选：A. 11．(23-24高二下·江西吉安·期末)函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 12．(23-24高二下·江西九江·期末)已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】求导后运用导数几何意义解题即可． 【详解】， 将代入，得. 故选：D. 13．(23-24高二下·江西景德镇·期末)将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【来源】江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】首先根据导数求函数在定义域上切线斜率的最大值，转化为切线旋转，根据函数的定义，即可求解. 【详解】令原函数为，即，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 函数的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2，记时的点为， 令函数图象在处的切线倾斜角为，则， 曲线在除端点外的任意一点处的切线垂直于轴时，则曲线上存在两点，其横坐标相同， 而曲线始终为函数图象，因此，而， 则， 所以的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的定义，并转化为原点处的切线的旋转问题. 14．(23-24高二下·江西赣州·期末)已如是函数图像上的动点，是直线上的动点，则两点间距离的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】先求函数斜率为的切线，然后切线与直线的距离即为所求. 【详解】因为，（），所以， 由，得，又， 所以过点的切线为：即. 直线与的距离为：即为所求. 故选：C 15．(23-24高二下·江西·期末)若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为 【答案】 【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值. 【详解】由题意得，，． 设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点， ∴， ∴，∴， ∴，∴． 设，则， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴实数的最大值为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值. ( 题型03 ) 极值与最值问题 16．(23-24高二下·江西吉安·期末)函数满足，则的极大值点为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】根据得，即可求导，根据函数单调性求解极值点. 【详解】，解得， 故，则， 令，解得，令，解得，或， 故在单调递减，在单调递增，故是的极大值点， 故选：B 17．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】求导，分析可知原题意等价于与在内有交点，进而可得结果. 【详解】因为，则， 令，可得， 原题意等价于与在内有交点， 且当时，；当时，； 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 18．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)设 为函数 的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】根据极值点的概念，结合零点的存在性定理计算即可求解. 【详解】，则， 设，则， 因为是函数的极值点，所以是函数的零点， 又，， 所以，故. 故选：B 19．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】C 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知： 当时，；时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因此函数在时取得极小值，在取得极大值. 故ABD错误，C正确. 故选：C 20．(23-24高二下·江西新余·期末)若函数，则的极大值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】江西省新余市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】先分析函数的对称轴，再求导结合极大值点的定义求解即可. 【详解】由题意，， 故关于对称. 考虑在上，，则. 令， 当时，则为减函数， 设的零点为，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，故当时，，即，单调递增. 当时，，，故，单调递减. 故在上，有唯一极大值点，又关于对称，故在上，有唯一极大值点，综上的极大值点有和. 故选：B 21．(23-24高二下·江西九江·期末)函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】解法一：求出，令，根据的正负确定的单调性即可求解； 解法二：令，通过求导判断函数的单调性即可求解. 【详解】解法一：，则， 令，则在上单调递增， 且，， 故存在，使得，，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以. 解法二：，令， 则，因为， 所以时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， ，即. 故选：. 【点睛】关键点点睛：求导之后，的零点存在，但无法求出，可采用虚设零点，分析零点所在的区间，结合函数的单调性即可推断. ( 题型04 ) 恒成立问题 22．(23-24高二下·江西萍乡·期末)已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】运用绝对值不等式解法求解，然后参变分离，结合导数和二次函数求最值即可. 【详解】函数，若对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立． 当时，，显然成立； 当时，化为恒成立. 令，则, 由于，则，则在上单调递增，则. 令， 则时， 单调递增，则. 因此对于任意时恒成立，则. 故答案为：. 23．(23-24高二下·江西抚州·)已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省抚州市2023-2024学年高二下学期学生学业质量监测数学试卷 【分析】先把转化为，设函数，分析函数的单调性，问题转化为，再设，转化为求恒成立，利用导数求函数的最小值，利用最小值大于或等于0，可求的取值范围. 【详解】由， 两边同时加，得：. 设，则，所以在上单调递增. 所以. 设，，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于通过指对同构思想将问题为函数单调性问题，结合参变量分离法转化为函数最值问题来求解. ( 题型0 5 ) 比较大小关系 24．(23-24高二下·江西景德镇·期末)设，且，其中是自然常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据不等式结构特征可变形为，进而构造函数研究其单调性，根据其单调性以及参量取值范围即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以，且， 所以由即得. 故选：A. 25．(23-24高二下·江西萍乡·期末)下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】令函数，利用导数求得的单调区间，运用单调性比较大小即可. 【详解】由函数，可得， 故时，；时，， 所以在上单调递增，在上单递减， 对于A，由，可得，即，即,则A错误； 对于B，由，可得，即，则B错误； 对于C，由，可得，即，即，则C正确； 对于D，由，可得，即，所以，则.则D错误． 故选：C． 26．(23-24高二下·江西·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先构造函数，比较，再构造函数，通过求导，判断单调性，比较与的大小，最后构造函数，进而确定与的大小关系，从而得出结果. 【详解】令，则，所以在上单调递减，所以，也即， 令，则， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，故当时有， 所以， 令，则， 因为， 当时，，所以， 函数在上单调递减，所以，也即， 所以，故， 故选：B. 27．(23-24高二下·江西·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形a，b，构造函数比较a，b的大小，构造函数比较的大小，利用极值点偏移的方法判断的大小作答. 【详解】依题意，，， 令，， 当时，，即，函数在上单调递减， ，即，因此， 令，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，，而， 函数在上单调递增，显然， 则方程有两个不等实根，，有， ，而，则有， 令，，， 即函数在上单调递减，当时，，即， 因此，即有，而，在上单调递增， 于是得，即，取，，于是得， 又，在上单调递增，从而， 所以，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. ( 题型0 6 ) 导数多选题（多考点综合） 28．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)设函数，则（    ） A．是的极小值点 B． C．不等式的解集为 D．当时， 【答案】BD 【来源】江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值； 对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可； 对于D：分析可得，结合的单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为R， 且， 当时，；当或时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：对于不等式， 因为，即为不等式的解，但， 所以不等式的解集不为，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 因为函数在上单调递增，所以，故D正确； 故选：BD. 29．(23-24高二下·江西景德镇·期末)三次函数的图像与轴有两个交点，则（    ） A．有唯一的极值 B． C．存在等差数列，使 D．过点可作曲线的两条切线 【答案】BCD 【来源】江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】首先求函数的极值点，并根据极值点和零点的定义，即可判断AB，根据的特征，判断，即可求等差数列，判断C，根据导数的几何意义，求切点个数，即可判断D. 【详解】A.，得或， ，的变化情况如表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数有2个极值，故A错误； B.极小值，若函数的图象与轴的交点有2个，则，即， 即函数 其中极大值点就是一个零点，另一个零点是2，所以，故B正确； C.当时，满足， 则， ， 同理，满足，故C正确； D.设过点作曲线的切线的切点为，则，， 则，即， 即，得，或， 有两个切点，所以过点可作曲线的两条切线，故D正确. 故选：BCD 30．(23-24高二下·江西·期末)已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（    ） A．当时，在处的切线方程为 B．若有3个零点，则的取值范围为 C．当时，是的极大值点 D．当时，有唯一零点，且 【答案】ABD 【分析】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到，讨论函数的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当时，得到，函数单调递增，结合，可判定D正确； 【详解】对于A中，当时，可得，则，所以切线为A正确： 对于B中，若函数有3个零点，即有三个解， 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图像有3个交点， 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 又由时，，当时，且， 如下图： 所以，即实数的取值范围为，所以B正确： 对于中，当时，，可得， 令，在上单调递增， 且,所以存在使得， 所以在上，单调递减， 在上，单调递增，又, 所以在上，即，单调递减， 在上，即，单调递增， 所以是的极小值点，所以错误． 对于D中，当时，， 设，可得， 当时，在单调递减；当时，在单调递增， 所以当时，，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 又因为，即， 所以有唯一零点且，所以D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 31．(23-24高二下·江西上饶·期末)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的单调递增区间是 B．的值域为 C． D．若，，，则 【答案】BD 【来源】江西省上饶市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷 【分析】对于，求出导函数，由导函数的正负即可判断单调性；对于，由的单调性即可求解值域；对于，计算，即可计算；对于，变形，由，的范围即可证. 【详解】的定义域为， 在定义域上恒成立， 所以的单调递增区间为，，故错误； 当趋近于0时，趋于， 当趋近于1，且在1的左侧时，趋于， 所以的值域为，故正确； ， 所以， 又， 所以，故错误； ， 因为，所以，又， 所以，即，故正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：函数的单调区间不能用并集符号，要用“和”或“，”连接. 32．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】设，则，构造函数，利用导数求出函数取得最大值时，点的坐标，进而可得出答案. 【详解】设， 则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以此时最大， 此时， 所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法： （1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值； （3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 33．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有 个零点. 【答案】6 【来源】江西省重点中学协作体2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】由的图象关于点对称得到是奇函数，由得到的图象关于直线对称，进而得到是函数的一个周期，由当时的解析式得到函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上，由上的草图结合周期性和对称性得到零点个数. 【详解】的图象关于点对称，函数是定义域为的奇函数，，且， 又，即函数的图象关于直线对称，且， ，是函数的一个周期，. 当时，，所以在上单调递增，且，， 函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上， 由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点， 是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，， 函数的图象关于点中心对称，函数在区间上有且仅有2个零点， 函数在区间上没有零点，函数在区间上没有零点， 结合，得函数在区间上有6个零点. 故答案为：6. 34．(23-24高二下·江西景德镇·期末)牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的用“作切线”来近似求函数零点的一种方法，已知函数，在图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，称为“牛顿数列”.现取，则可知与的大小关系是 ，其中 . 【答案】 【来源】江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据题意求出函数在处的切线与轴交点的横坐标，因为，，根据迭代公式求出并判断出，利用作差法比较与的大小关系即可. 【详解】由题意知，函数在处的切线方程为， 切线与轴交点的横坐标为， 因为，，所以， 所以， 令，则在单调递减， 所以， 所以，即. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：函数在处的切线为，切线与轴交点的横坐标为，这是本题牛顿迭代法的迭代关系式，利用迭代关系求出并判断出，再利用作差法比较与的大小关系. 35．(23-24高二下·江西九江·期末)设函数且.若为偶函数，则 ；若在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 1 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据得到方程，求出，检验后得到结论；分，，或四种情况，结合指数函数单调性，导数，进行求解，得到答案. 【详解】为偶函数， ，即, ∴，经检验，此时为偶函数， 当时，在上单调递增，符合题意，此时. 当时，在上单调递减，不符合题意. 当或时，， 则需在上恒成立， 不妨设，则在上恒成立， 在上单调递增， ∴，即. 综上，的取值范围是. 故答案为：1， 【点睛】关键点点睛：恒成立问题，转化为恒成立，结合指数函数单调性，得到不等式，求出答案. 36．(23-24高二下·江西赣州·期末)记方程的实数解为（是无理数），被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（    ） A． B． C． D．函数的最小值为 【答案】ACD 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B选项，对于A：对，，取对数整理即可；对于C：根据二次函数单调性判断；对于D：结合不等式分析可知，当且仅当时，等号成立. 【详解】构建，则为的零点， 因为， 若，则，可知在内单调递减，且， 所以在内无零点； 若，则，可知在内单调递增， 且，所以在内存在唯一零点； 对于选项A：因为，，即， 两边取对数可得：，，故A正确； 对于选项B：由上可知，故B不正确； 对于选项C：对称轴为，而，故单调递增， 当，最小值为，所以，故C正确； 对于选项D：构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 可得，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 37．(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．曲线关于直线对称 C． D． 【答案】BC 【来源】江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】对于A：结合赋值法与函数奇偶性的定义计算；对于B：结合复合函数导数公式与对称性可判断；对于CD：借助赋值法结合周期性分析求解. 【详解】因为的定义域为， 对于选项A：令，可得，即， 令，可得，且不恒为零， 则，即， 所以是奇函数，故A错误； 对于选项B：令，可得， 即，即，可得， 令，可得，即， 当时，有， 所以； 当，有， 可得， 当，结合，有， 可得，所以； 综上所述：， 两边同时求导可得，可知曲线关于直线对称， 所以曲线关于直线对称，故B正确； 对于选项C：由选项B可知：， 若，即， 可得，可知为的周期； 若，即， 可得，可知为的周期； 综上所述：为的周期. 且，所以，故C正确； 对于选项D：由选项B可知：， 令，可得， 可得， 结合周期性可得，故D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 38．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在处的3次泰勒多项式为 D． 【答案】BCD 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】对于AB，根据求导公式求导，然后观察规律即可；对于C，求出在处的次泰勒多项式；对于D，求出在处的3次泰勒多项式为，再令代入计算可得. 【详解】对于A，若，则，， ，， 所以，故A错误； 对于B，若，则， ，， 观察可知，故B正确； 对于C，，则， 因为， 所以在处的次泰勒多项式，故C正确 对于D，的阶导数， 得， 则，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对于D选项，关键在于理解次泰勒多项式的定义及作用，求出在处的次泰勒多项式，据此进行估算. / 学科网（北京）股份有限公司 $$