期末专题03 数列大题综合（5大题型30题）（江西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

期末专题03 数列大题综合（5大题型30题） 题型概览 题型01 等差、等比数列的基本计算 题型02 裂项相消求和 题型03 错位相减求和 题型04 最值与范围问题 题型05 数列新定义 优选提升题 ( 题型01 ) 等差、等比数列的基本计算 1．(23-24高二下·江西·期末)已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 . (1)求数列 的通项公式; (2)求 . 2．(23-24高二下·江西·期末)设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 3．(23-24高二下·江西·期末)已知数列的前n项和为，， (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． ( 题型02 ) 裂项相消求和 4．(23-24高二下·江西景德镇·期末)已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项. (1)求的通项公式； (2)求的值. 5．(23-24高二下·江西九江·期末)已知数列满足，且为等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 6．(23-24高二下·江西·期末)已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 7．(23-24高二下·江西·期末)已知数列是等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 8．(23-24高二下·江西·期末)已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： (2)若数列的前项和为，证明：. ( 题型03 ) 错位相减求和 9．(23-24高二下·江西·期末)已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 10．(23-24高二下·江西·期末)已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 11．(23-24高二下·江西·期末)已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为， (1)求的通项公式及； (2)设，为数列的前项和，求. 12．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)已知数列 的前 项和 满足 . (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 13．(23-24高二下·江西景德镇·期末)设为数列的前项和，且. (1)为何值时，是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 14．(23-24高二下·江西·期末)已知数列满足，，数列的前项和为，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 15．(23-24高二下·江西九江·期末)已知函数的定义域为，且对任意，都有. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)若，求的值. 16．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知等差数列的公差成等比数列，数列的前项和公式为. (1)求数列和的通项公式： (2)设，求数列的前项和. 17．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)已知数列的首项，且. (1)证明：是等比数列. (2)求数列的前n项和. ( 题型04 ) 最值与范围问题 18．(23-24高二下·江西吉安·期末)已知为数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求证：． 19．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 20．(23-24高二下·江西新余·期末)已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 21．(23-24高二下·江西·期末)已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，的前n项和为，，设，数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数λ的最大值． 22．(23-24高二下·江西·期末)已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足. ①求数列的前n项和； ②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. ( 题型0 5 ) 数列新定义 23．(23-24高二下·江西·期末)已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值； ②求的最小值． 24．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. (1)若 ，求 ； (2)证明： 数列 为等差数列. 25．(23-24高二下·江西赣州·期末)若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如. (1)求； (2)求的通项公式； (3)证明：. 26．(23-24高二下·江西·期末)若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 27．(23-24高二下·江西·期末)已知数列满足，数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”． （i）计算，，其中，． （ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值． 28．(23-24高二下·江西景德镇·期末)如图，一质点在大小随机的外力作用下，在轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. (1)记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； (2)已知，记质点从原点0运动到的位置的方法种数为，概率为. （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求. 29．(23-24高二下·江西吉安·期末)设函数． (1)讨论的单调性； (2)已知直线与曲线交于三点，且． （i）若成等差数列，求k； （ii）证明：． 30．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间.每个小区间长度为.在每个小区间上任取一点作和式.如果每个都无限接近于0（亦即）时，上述和式无限趋于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为.当时，定积分的几何意义表示由曲线，两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积.如下图所示： 如果函数是区间上的连续函数，并且，那么. (1)求； (2)过函数上一点作切线.该切线、曲线与轴围成图形的面积为，求该切线方程. (3)递增的等差数列，且，两条曲线、在第一象的交点的横坐标记为，两条曲线在第一象内与轴所围的图形的面积为，求证：. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题03 数列大题综合（5大题型30题） 题型概览 题型01 等差、等比数列的基本计算 题型02 裂项相消求和 题型03 错位相减求和 题型04 最值与范围问题 题型05 数列新定义 优选提升题 ( 题型01 ) 等差、等比数列的基本计算 1．(23-24高二下·江西·期末)已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 . (1)求数列 的通项公式; (2)求 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由题意 (1) 由(1)(2)可得 所以 （2），， ，故为等差数列， . 2．(23-24高二下·江西·期末)设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公比为q，由已知条件列方程组求和，可得数列的通项公式，再由得的通项公式； （2）由数列的通项，利用分组求和，结合等差数列和等比数列的前项和公式求. 【详解】（1）设数列的公比为q，由已知， ， 则有，由，解得，所以； 由，得. （2）， 所以 . 3．(23-24高二下·江西·期末)已知数列的前n项和为，， (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等比数列定义证明数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. （2）利用分组求和的方法求数列的前n项和. 【详解】（1）当时，，又，∴； 当时，，，两式相减得 又∵， ∴数列是首项为3，公比为2的等比数列， ∴. （2） ∴ ( 题型02 ) 裂项相消求和 4．(23-24高二下·江西景德镇·期末)已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项. (1)求的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）由等差中项的定义可得，再有等差数列的通项公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可求解. 【详解】（1）， ，又， . （2）原式 . 5．(23-24高二下·江西九江·期末)已知数列满足，且为等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）根据已知关系式，利用等比数列定义求通项公式即可； （2）利用裂项法求解前项和. 【详解】（1）由题意，得，由，得. 为等比数列，且公比， （2）由（1）得， 6．(23-24高二下·江西·期末)已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，由，① 得，② ①-②得，即， 经检验，也符合， 所以； （2）由题意得， 所以 . 7．(23-24高二下·江西·期末)已知数列是等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，采用裂项相消法求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为，解得. ，可得，解得. 所以. （2）， 所以 8．(23-24高二下·江西·期末)已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）将等式变形为，并通过累乘法求解数列通项公式； （2）由（1）可知，将放缩，再根据裂项相消法即可证明. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 将上述个式子相乘得， 所以，当时，成立， 故. （2）由（1）得， 所以， 所以， 即. ( 题型03 ) 错位相减求和 9．(23-24高二下·江西·期末)已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，即可求解； （2）由（1）可知，，利用错位相减法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得 解得或（舍） ∴ ； （2），， 此时；          ， ， ， ， 所以. 10．(23-24高二下·江西·期末)已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列的递推关系求出数列是公比为3的等比数列，即可求出数列的通项公式, （2）求出，再由错位相减法求出数列的前n项和 【详解】（1）当时，，得， 当时，，得， 数列是公比为3的等比数列， ; （2）由（1）得：， 又① ② 两式相减得：， 故， . 11．(23-24高二下·江西·期末)已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为， (1)求的通项公式及； (2)设，为数列的前项和，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义求等差数列的公差，再用裂项求和法求. （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）因为在，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列， 所以， 所以. （2）易知，所以， 两式相减得 ， 所以. 12．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)已知数列 的前 项和 满足 . (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】（1）根据计算即可求解； （2）由（1）知，当时；当时，利用错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）， 当时，， 当时，， 则； 又不符合上式，所以. （2）由（1）知，设， 当时，； 当时，， 所以， 则， 两式相减得， 所以， 综上，. 13．(23-24高二下·江西景德镇·期末)设为数列的前项和，且. (1)为何值时，是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【来源】江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）利用已知条件，结合，得到，然后构造即可得解； （2）由（1）问求出的通项公式，从而求出的通项公式，然后用错位相减法求和即可得解. 【详解】（1）当时，，即，所以， 当时，①，②， ①②得：，即，所以， 所以，当时，是等比数列，首项为6，公比为3. （2）由第（1）问得，，所以， 所以， ， 故 所以. 14．(23-24高二下·江西·期末)已知数列满足，，数列的前项和为，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）作差得到，利用累乘法求出的通项公式，根据作差得到，结合等比数列的通项公式计算可得； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以当时，，得． 当时，， 所以，所以． 因为时也满足， 所以，所以，即， 又也满足，所以. 因为，所以当时，，解得． 当时，，所以，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列，故． （2）由（1）可得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以. 15．(23-24高二下·江西九江·期末)已知函数的定义域为，且对任意，都有. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)若，求的值. 【答案】(1)是奇函数，理由见解析 (2) 【来源】江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）令得，令，得，从而可判断； （2）令，得，利用等差数列的定义可得，再利用错位相减法即可求和. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 令，得， 令，得， 又函数的定义域为，所以是奇函数； （2）令，得， 令，则， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， ， 即为数列的前项和，设为， 则 ， 两式相减，得， ，即. 16．(23-24高二下·江西赣州·期末)已知等差数列的公差成等比数列，数列的前项和公式为. (1)求数列和的通项公式： (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前项和，求数列的通项公式. （2）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【详解】（1）由题意：，，， 因为成等比数列， 所以或， 又，所以，所以. 所以. 对数列：当时，， 当时，，， 两式相减得：， 所以是以2为首项，2为公比得等比数列，所以. （2）由（1）知：， 所以：， ， 两式相减得： ， 所以. 17．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)已知数列的首项，且. (1)证明：是等比数列. (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可； （2）结合（1）中结论求得的通项公式，再利用错位相减法及分组求和法即可得解. 【详解】（1）因为，所以 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列 （2）由（1）知，则， 所以.. 记， 则， 两式相减得 所以，故 ( 题型04 ) 最值与范围问题 18．(23-24高二下·江西吉安·期末)已知为数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】（1）由，可得：，两式相减化为：，利用等比数列的通项公式即可得出． （2）由，利用错位相减法即可得出．根据关于单调递增，即可证明结论． 【详解】（1）， ， 两式相减，得， ， 又当时，， 为等比数列，公比为， . （2）设， ，则， 两式相减，得 化简得． ，， ， ， 关于单调递增，， 19．(23-24高二下·江西重点中学协作体·期末)已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【来源】江西省重点中学协作体2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合等比数列定义推理即得. （2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和及错位相减法求和即得. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）由，得，而，则， 又，因此， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则， 令数列的前项和为，则， ， 两式相减得，则， 所以. （3）由（2）知， ， 而，所以. 20．(23-24高二下·江西新余·期末)已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【来源】江西省新余市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】(1)设数列的公差为，数列的公比为，由，求出，可得; (2)由的通项公式，利用错位相减求出的前项和,利用作差法求解单调递增，进而证明结果. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由， 则， 由①式平方除②式得：，得,或（舍） 故， 通项公式分别为. （2） ， 两式相减可得 . ， 数列为递增数列， 又，. 21．(23-24高二下·江西·期末)已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，的前n项和为，，设，数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数λ的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得，即可求解； （2）利用等差数列的求和及乘公比错位相减法求和，根据题意转化为对一切恒成立，令，求得，结合数列的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，且， 可得，即，解得， 所以， 则 （2）由（1）知，， 可得，① 则，② 所以①－②得 ， 所以， 所以， 由（1）得，所以， 因为不等式对一切恒成立， 所以且， 所以对一切恒成立， 即对一切恒成立，所以， 令，则，所以， 当时，，所以单调递减； 当时，，即； 当时，，所以单调递增； 综上可得，的最小值为， 所以，所以λ的最大值为． 22．(23-24高二下·江西·期末)已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足. ①求数列的前n项和； ②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用数列的递推关系求的通项公式； （2）①利用错位相减求和即可；②设，根据数列的单调性，分n为偶数、为奇数讨论可得答案. 【详解】（1）因为①， 当时，，当时，②， 得，即；因为符合，所以； （2）①，由（1）知，所以，， 所以，两式相减得， ， 所以； ②，由①得， 设，则数列是递增数列. 当n为偶数时，恒成立，所以； 当n为奇数时，恒成立，所以即. 综上，的取值范围是. ( 题型0 5 ) 数列新定义 23．(23-24高二下·江西·期末)已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值； ②求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为4. 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前项和，再利用定义判断即得. （2）①根据给定条件，可得，再按，探讨，当时，，又按且讨论得解；②由定义，消去结合基本不等式得，再迭代得，借助正项数列建立不等式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得， 解得，则， 于是，即， 所以数列具有性质． （2）①由数列具有性质，得，又等比数列的公比为， 若，则，解得，与为任意正整数相矛盾； 当时，，而，整理得， 若，则，解得，与为任意正整数相矛盾； 若，则，当时，恒成立，满足题意； 当且时，，解得，与为任意正整数相矛盾； 所以. ②由，得，即， 因此，即， 则有， 由数列各项均为正数，得，从而，即， 若，则，与为任意正整数相矛盾， 因此当时，恒成立，符合题意， 所以的最小值为4． 【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论. 24．(23-24高二下·江西南昌第十九中学等校联考·期末)若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. (1)若 ，求 ； (2)证明： 数列 为等差数列. 【答案】(1) ，， (2)证明见解析 【来源】江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题 【分析】（1）由， ，解方程求，同理可求 ； （2）由条件，结合诱导公式可得或，结合条件 ，证明，结合等差数列定义证明结论. 【详解】（1）当时 ，由已知， ，知 ， 又由，可知， 所以，又， 所以符合题意， 同理，由 ，，得或， 又，所以， 由 ，，得， 又， 符合题意. （2）因为 ，所以 ， 所以或， 即或， 因为， 所以，， 所以，， 所以或或， 又，所以， 则， 所以， 所以数列 是公差为的等差数列. 【点睛】关键点点睛：由 ，由诱导公式可得 ，可得或，利用好“正余弦错位数列”的定义条件，即可得到，再利用等差数列的概念即可. 25．(23-24高二下·江西赣州·期末)若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如. (1)求； (2)求的通项公式； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【来源】江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可； （2）设出第次构造后得到的数列求出，则得到第次构造后得到的数列求出，可得与关系，再利用构造法求通项即可； （3）利用放缩法求等比数列和可得答案. 【详解】（1）因为第二次得到数列，所以第三次得到数列 所以； （2）设第次构造后得的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为 ， 则 ， ，可得，， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，即； （3）由（2）得， 所以当时，， 当时，所以 ， 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可. 26．(23-24高二下·江西·期末)若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)10. 【分析】（1）法一：由得到，，，，，累乘法得到； 法二：由得到； （2）法一：由题意得，从而得到，证明出； 法二：考虑反证法，假设，得到，进而推出，假设不成立； 法三：得到，且，利用累加法得到，证明出结论； （3）由可得，即，累加得，另外，故，故，化简得：，显然符合题意，此时，综上，的最大值为10． 【详解】（1）法一：由题意得：，∴， ∴，，，，， 将以上式子累乘得：，也即成立． 法二：由题意得：， ∴，∴成立． （2）法一：∵，∴， ∴， 则， ∴， ∴． 法二：考虑反证法，假设， 由得， ∴，∴， 同理：， ∴，∴， 同理可证：，，…，， 综上可得：，与条件矛盾， ∴假设不成立，∴成立． 法三：∵，∴，也即， 同时，由可得：， ∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：， 也即，同理可得： ， ， …… ， 将以上式子累加得：， ∴，∴，∴成立． （3）由可得：， ∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：，① 另外，，，…，， 将以上式子累加得：，② 结合①②式可得：， ∴，化简得：， 另外，显然有符合题意，此时， 综上，的最大值为10． 【点睛】思路点睛：数列的性质可参考这类下凸函数进行理解，不等式相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系． 27．(23-24高二下·江西·期末)已知数列满足，数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”． （i）计算，，其中，． （ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值． 【答案】(1)，． (2)（i），；（ii） 【分析】（1）因式分解得到，变形得到，故为公比为3的等比数列，求出通项公式； （2）（i）利用等差数列求和公式得到，并利用等比数列求和公式得到； （ii）方法一，根据得到，2，3不满足题意，满足要求，进一步得到，变形后结合二项式定理得到，并得到，得到结论； 方法二：根据得到，2，3不满足题意，满足要求，当时，，故，根据且，证明出结论. 【详解】（1）由可得， 根据可得， 由可得，且， 所以是以首项为3，公比为3的等比数列，故． （2）（i）， ． （ii）方法一：当时，， 显然，，2，3不满足题意，时，，满足要求， 当时，， ， 故，得证． 方法二：当时，， 显然，，2，3不满足题意．时，，满足要求， 当时，，， 因为且， 下面证明对恒成立， 令，则，当时，， 故在单调递增，故， 故对恒成立， 所以，得证， 故最小值为4. 【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 28．(23-24高二下·江西景德镇·期末)如图，一质点在大小随机的外力作用下，在轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. (1)记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； (2)已知，记质点从原点0运动到的位置的方法种数为，概率为. （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求. 【答案】(1)，此时； (2)（i），；（ii）证明见解析， 【来源】江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）先根据5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位得到，求导得到其单调性，从而得到最大值及此时； （2）（i）方法一：根据及，求出，，并根据求出；方法二：同法一求出，，并根据移动次数求出； （ii）由题意，，变形得到是等比数列，首项为，公比为，进而利用累加法求出通项公式 【详解】（1）由已知，可得5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位， ， ， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减， 当处，取得极大值，也是最大值， ，此时； （2）（i）法一：，则， ， ∴，，，，， ； 法二：，则， 移动到的位置，若每次移动2个单位，则移动4次，故至少移动4次， 若每次移动1个单位，则移动8次，故至多移动8次， 若需要移动8次，则8次移动1个单位，0次移动2个单位，则需要种方法， 若需要移动7次，则有1次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动6次，则有2次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动5次，则有3次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动4次，则有4次移动2个单位，故需要种方法， 故； （ii）由题意，， 是等比数列，首项为，公比为， ， . 【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， （1）若，采用累加法； （2）若，采用累乘法； （3）若，可利用构造进行求解； 29．(23-24高二下·江西吉安·期末)设函数． (1)讨论的单调性； (2)已知直线与曲线交于三点，且． （i）若成等差数列，求k； （ii）证明：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)（i），（ii）证明见解析 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解； （2）（i）令，即，故一个交点为原点．设，，结合导数分析的单调性，再由，，成等差数，结合等差数列的性质即可求解； （ii）证明：要证，即证，结合的单调性，即证，即证，构造函数，，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明． 【详解】（1）易得， 令，得,,；令，得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）（i）令，即，故一个交点为原点． 设，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，， 当时，，当时，， 要使有3个不同的交点，则，，，， 由，，成等差数列得，，则，且，， 故有，即，解得舍去）， 则，则； （ii）证明：要证，即证， 由于， 又在上单调递减，即证，即证， 令，，则 ， 故在上单调递增，故，则，故． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 30．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间.每个小区间长度为.在每个小区间上任取一点作和式.如果每个都无限接近于0（亦即）时，上述和式无限趋于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为.当时，定积分的几何意义表示由曲线，两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积.如下图所示： 如果函数是区间上的连续函数，并且，那么. (1)求； (2)过函数上一点作切线.该切线、曲线与轴围成图形的面积为，求该切线方程. (3)递增的等差数列，且，两条曲线、在第一象的交点的横坐标记为，两条曲线在第一象内与轴所围的图形的面积为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据定积分的定义即可求解； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，求得B的坐标，利用定积分表示曲线、切线、轴围成的面积，求得A的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解； （3）联立两曲线可得，进而，则，结合裂项相消求和法计算即可证明. 【详解】（1）； （2）设切点为，，则切线的斜率为， 切线方程，所以切线与轴的交点为， 所以曲线、切线、轴围成的面积， 解得，则切点为， 所以切线方程为； （3）由，解得， 因为递增等差数列，且，设公差为d，所以， ， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是导数的相关内容. / 学科网（北京）股份有限公司 $$