期末专题01 计数原理、概率与统计（7大题型36题）（江西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

期末专题01 计数原理、概率与统计（7大题型36题） 题型概览 题型01 排列组合及基本计算 题型02 二项式定理 题型03 正态分布及应用 题型04 概率综合 题型05 多选题（多考点综合） 题型06 统计案例 题型07 随机变量及其分布解答题综合 优选提升题 ( 题型01 ) 排列组合及基本计算 1．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．360 2．(23-24高二下·江西·期末)2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（    ） A．6种 B．9种 C．18种 D．36种 3．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，从产品中随机抽件做检查，请计算当N=16，M=8时， ；若，，请计算 .（用组合数表示） ( 题型02 ) 二项式定理 4．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)在的展开式中，常数项为（    ） A．28 B．－28 C．30 D．360 5．(23-24高二下·江西·期末)多项式的展开式中，的系数是 . ( 题型03 ) 正态分布及应用 6．(23-24高二下·江西吉安·期末)已知随机变量X服从正态分布，则（    ） A．0.52 B．0.44 C．0.28 D．0.26 7．(23-24高二下·江西·期末)某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（    ） A．10辆 B．100辆 C．180辆 D．900辆 8．(23-24高二下·江西·期末)某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． (1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； (2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． ( 题型04 ) 概率综合 9．(23-24高二下·江西·期末)小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为 ． 10．(23-24高二下·江西吉安·期末)已知某厂甲、乙两车间生产同一批锂电池，合格率分别为，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的．现从该厂生产的一批锂电池中任取一件，则取到合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高二下·江西新余·期末)已知为随机事件，，则. . 12．(23-24高二下·江西·期末)泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量，的近似值为（    ） A． B． C． D． 13．(23-24高二下·江西·期末)2024年是安徽省实施“”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高二下·江西吉安·期末)如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，则移动6次后，最终质点位于数轴上的位置4的概率为 ． 15．(23-24高二下·江西萍乡·期末)用0与1两个数字随机填入如图所示的4个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为 . 16．(23-24高二下·江西·期末)A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 17．(23-24高二下·江西吉安·期末)口袋中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取一个球，事件A表示“取到的是红球”，事件B表示“取到的是白球”，事件C表示“取到的是黄球”，则（    ） A． B．事件可能同时发生 C．与互斥 D．事件A与事件B不相互独立 ( 题型0 5 ) 多选题（多考点综合） 18．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)已知随机变量的分布列如下表所示.其中成等差数列，则的值与的期望分别是（    ） -1 0 1 0.5 b c A． B． C． D． 19．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)下列说法正确的是（    ） A．若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 B．设随机变量X服从正态分布，若，则 C．若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 D．随机变量，若方差，则 20．(23-24高二下·江西吉安·期末)下列说法正确的是（    ） A．若样本数据的方差为3，则数据的方差为15 B．值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强 C．若，则事件相互独立 D．在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 21．(23-24高二下·江西萍乡·期末)下列说法正确的是（    ） A．利用简单随机抽样从61名同学中抽取5人，则每位同学被抽到的概率为 B．标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大 C．用相关系数判断线性相关强度，越接近于1，变量的线性相关程度越强 D．样本数据的分位数是38 22．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．在线性回归方程中，当自变量每增加1个单位时，相应变量y平均减少1.5个单位 B．一组数据的第百分位数为 C．若随机变量，，则 D．设随机事件A和，若，，，则 23．(23-24高二下·江西·期末)下列说法正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．若，则 C．已知，若，则事件M，N相互独立 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05 ( 题型0 6 ) 统计案例 24．(23-24高二下·江西·期末)下列说法正确的是（    ） A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D．若随机变量，满足，则 25．(23-24高二下·江西吉安·期末)为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（    ） 附：，且． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.7 3.8 6.6 7.9 10.8 A．8人 B．10人 C．15人 D．20人 26．(23-24高二下·江西·期末)某种产品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据上表数据得到关于的经验回归方程，则的值为 ． 27．(23-24高二下·江西吉安·期末)2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两．经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题．执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改．以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为（单位：），．其他数据如下：． (1)利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程（精确到小数点后2位，下同）； (2)经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程． 参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且． 28．(23-24高二下·江西·期末)二手车经销商小王对其所经营的型号二手汽车的使用年数与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据： 使用年数 售价 下面是关于的折线图： （1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）求关于的回归方程并预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约为多少？（、小数点后保留两位有效数字） （3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？ 参考数据： ，，， ，， ，，. 参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，. ，、为样本平均值. ( 题型0 7 ) 随机变量及其分布解答题综合 29．(23-24高二下·江西吉安·期末)将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 30．(23-24高二下·江西·期末)某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从7名社员中随机选择2名参加友谊赛.新学年友谊赛从10月份开始，此时7名社员中有3名新社员没有参加过此前的友谊赛. (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率. 31．(23-24高二下·江西·期末)学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 32．(23-24高二下·江西·期末)甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球． (1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望． 33．(23-24高二下·江西萍乡·期末)设集合为的非空子集，随机变量分别表示取到中的最小元素和最大元素的数值. (1)若，求事件“且”的概率； (2)若的概率为，求； (3)求随机变量的均值. 34．(23-24高二下·江西·期末)函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：； (3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：． 35．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分. (1)若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，并求该考生得0分的概率； (2)若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；在某考生此题已得正分的条件下，求该考生得2分的概率； (3)若某道多选题的正确答案是2个选项的概率是，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案： 方案一：只选择A选项； 方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项； 方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项. 36．(23-24高二下·江西景德镇·期末)如图，一质点在大小随机的外力作用下，在轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. (1)记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； (2)已知，记质点从原点0运动到的位置的方法种数为，概率为. （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题01 计数原理、概率与统计（7大题型36题） 题型概览 题型01 排列组合及基本计算 题型02 二项式定理 题型03 正态分布及应用 题型04 概率综合 题型05 多选题（多考点综合） 题型06 统计案例 题型07 随机变量及其分布解答题综合 优选提升题 ( 题型01 ) 排列组合及基本计算 1．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．360 【答案】D 【来源】江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲，再排其余6人即可. 【详解】分步完成：甲不担任四辩，共有3种方法；剩下6名同学任选3人，且任意排序，共有种，所以一共有种， 故选：D. 2．(23-24高二下·江西·期末)2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（    ） A．6种 B．9种 C．18种 D．36种 【答案】D 【分析】首先理解题意，再结合组合数公式，即可求解. 【详解】由题意可知，每支省内的足球队都要和省外一支球队比赛一场，则有种方法. 故选：D 3．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，从产品中随机抽件做检查，请计算当N=16，M=8时， ；若，，请计算 .（用组合数表示） 【答案】 / 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】根据超几何分布概率和为1，转化求解组合数式子的值. 【详解】当，，时，， 因为， 故． 当，时， 因为，即， 所以 故答案为：， ( 题型02 ) 二项式定理 4．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)在的展开式中，常数项为（    ） A．28 B．－28 C．30 D．360 【答案】A 【来源】江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】写出二项展开式的通项公式，由求出值，回代入计算即得. 【详解】二项式的通项公式为：，， 由解得，，代入通项得：,即常数项为28. 故选：A. 5．(23-24高二下·江西·期末)多项式的展开式中，的系数是 . 【答案】 【分析】将展开，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 所以的系数为. 故答案为： ( 题型03 ) 正态分布及应用 6．(23-24高二下·江西吉安·期末)已知随机变量X服从正态分布，则（    ） A．0.52 B．0.44 C．0.28 D．0.26 【答案】D 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】, 故， ， 故选：D 7．(23-24高二下·江西·期末)某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（    ） A．10辆 B．100辆 C．180辆 D．900辆 【答案】B 【分析】由，利用正态分布的对称性可得，从而得到答案. 【详解】因为，，所以， 故该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有辆； 故选：B 8．(23-24高二下·江西·期末)某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． (1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； (2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． 【答案】(1)159 (2)取得最大值时n的值为8 【分析】（1）利用正态分布的对称性可求，故可估算年龄不低于60岁的人数. （2）利用不等式组可求取得最大值时的值. 【详解】（1）因为，所以， 则， 所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)． （2）依题意可得，， 设， 所以， 所以 所以，因为整数，所以， 所以当取得最大值时的值为8． ( 题型04 ) 概率综合 9．(23-24高二下·江西·期末)小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为 ． 【答案】/ 【分析】借助条件概率公式计算即可得. 【详解】设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为， 则，， 则. 故答案为：. 10．(23-24高二下·江西吉安·期末)已知某厂甲、乙两车间生产同一批锂电池，合格率分别为，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的．现从该厂生产的一批锂电池中任取一件，则取到合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】根据题意，设出事件，结合全概率公式，准确运算，即可求解. 【详解】记事件“任取一件，取得优品”，事件“取到甲车间的产品”，事件“取得乙车间的产品”，则，且， 所以取得优品的概率为：. 故选：A. 11．(23-24高二下·江西新余·期末)已知为随机事件，，则. . 【答案】0.5/ 【来源】江西省新余市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据条件概率的公式即可求解. 【详解】， ， 由条件概率公式得： ；， 所以，， 故答案为：. 12．(23-24高二下·江西·期末)泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量，的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，代入公式用对立事件的概率和为1计算即可. 【详解】由题， ，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时， 所以， 所以，， 则. 故选：B 13．(23-24高二下·江西·期末)2024年是安徽省实施“”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出任选两门的种类数，再得出化学和地理都没有被选中的情况，即可得出结果. 【详解】依题意从从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门共有种情况， 其中化学和地理都没有被选中共有种， 因此化学和地理至少有一门被选中的概率是. 故选：D 14．(23-24高二下·江西吉安·期末)如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，则移动6次后，最终质点位于数轴上的位置4的概率为 ． 【答案】 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】第一空质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，根据古典概型的概率公式即可求解； 【详解】质点移动6次，共有2×2×2×2×2×2＝64种情况， 质点位于4的位置时需向左移动1次，向右移动5次，共＝6种情况， 所以质点位于4的概率为， 故答案为： 15．(23-24高二下·江西萍乡·期末)用0与1两个数字随机填入如图所示的4个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为 . 【答案】/0.375 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】利用列举法可得答案. 【详解】用0与1两个数字随机填入4个格子里，共有种填法， 从左到右数1的个数不少于0的个数为 1111，1110，1101，1011，1100，1010，共有6种填法， 则1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为. 故答案为：. 16．(23-24高二下·江西·期末)A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 17．(23-24高二下·江西吉安·期末)口袋中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取一个球，事件A表示“取到的是红球”，事件B表示“取到的是白球”，事件C表示“取到的是黄球”，则（    ） A． B．事件可能同时发生 C．与互斥 D．事件A与事件B不相互独立 【答案】D 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】根据和事件概率判断A选项，应用互斥事件判断B,C选项，根据独立事件的概率乘积公式判断D选项,. 【详解】由已知可得，, ,A选项错误； 因为所以,事件A,B,C不可能同时发生，B选项错误； 事件表示“取到的不是红球”即“取到的是黄球或白球”，事件表示“取到的不是白球”即“取到的是黄球或红球”， 事件可以同时发生，即“取到的是黄球”，不是互斥，C选项错误； 不等于,事件A与事件B不相互独立,D选项正确. 故选：D. ( 题型0 5 ) 多选题（多考点综合） 18．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)已知随机变量的分布列如下表所示.其中成等差数列，则的值与的期望分别是（    ） -1 0 1 0.5 b c A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】根据等差数列性质可得，即可求出. 【详解】因为，b，c成等差数列，所以，又， 所以，，所以， 根据分布列的性质，. 故选：AC. 19．(23-24高二下·江西鹰潭·期末)下列说法正确的是（    ） A．若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 B．设随机变量X服从正态分布，若，则 C．若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 D．随机变量，若方差，则 【答案】AC 【来源】江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】对于A，利用相关系数定义即可判断；对于B，利用正态分布曲线的对称性易得；对于C，先由对立事件的概率公式将其转化，再利用条件概率公式化简即可判断；对于D，利用二项分布的方差公式求出值，再利用其概率公式计算即得. 【详解】对于A，根据相关系数越接近1，则线性相关性越强，故A正确； 对于B，由题意，，根据正态分布曲线的对称性知， ，故B错误； 对于C，由，因，故得, 则可得，，即A，B相互独立，故C正确； 对于D，因，则，解得或， 当时，； 当时，. 故D错误. 故选：AC. 20．(23-24高二下·江西吉安·期末)下列说法正确的是（    ） A．若样本数据的方差为3，则数据的方差为15 B．值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强 C．若，则事件相互独立 D．在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 【答案】BC 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】A选项，根据方差的性质得；B选项，根据线性相关系数的概念得到B正确；C选项，由乘法公式推出，C正确；D选项，根据相关系数的概念和性质得到结论. 【详解】A选项，数据的方差为，A错误； B选项，值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，B正确； C选项，， 又，故，事件相互独立，C正确； D选项，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，D错误. 故选：BC 21．(23-24高二下·江西萍乡·期末)下列说法正确的是（    ） A．利用简单随机抽样从61名同学中抽取5人，则每位同学被抽到的概率为 B．标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大 C．用相关系数判断线性相关强度，越接近于1，变量的线性相关程度越强 D．样本数据的分位数是38 【答案】BC 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】根据简单随机抽样判断A，根据标准差的定义判断B，根据相关系数的定义判断C，根据百分位数计算规则判断D. 【详解】对于A：利用简单随机抽样从61名同学中抽取5人，则每位同学被抽到的概率为，故A错误； 对于B：标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大，故B正确； 对于C：用相关系数判断线性相关强度，越接近于1，变量的线性相关程度越强，故C正确； 对于D：样本数据从小到大排列为，又， 所以分位数是，故D错误. 故选：BC 22．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．在线性回归方程中，当自变量每增加1个单位时，相应变量y平均减少1.5个单位 B．一组数据的第百分位数为 C．若随机变量，，则 D．设随机事件A和，若，，，则 【答案】BCD 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】对于A，根据回归直线方程解析式可判断；对于B，由第百分位数定义可求；对于C，由正态分布的性质可解；对于D，由全概率公式，可求，从而判断. 【详解】对于A，根据回归直线方程解析式，当解释变量每增加1个单位时， 响应变量y平均减少0.8个单位，故A错误； 对于B，该组数据共10个，则， 所以第百分位数为第8个数是，故B正确； 对于C，由于，， 则，故C正确； 对于D，由全概率公式， ，故D正确. 故选：BCD. 23．(23-24高二下·江西·期末)下列说法正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．若，则 C．已知，若，则事件M，N相互独立 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05 【答案】BC 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据正态分布的对称性求解概率判断B，根据条件概率及独立事件的概念判断C，根据独立性检验的试验结果判断D. 【详解】对于A，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误； 对于B，因为，所以正态曲线的对称轴为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 则，则事件M，N相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以不能根据作出D中的判断，故D错误； 故选：BC ( 题型0 6 ) 统计案例 24．(23-24高二下·江西·期末)下列说法正确的是（    ） A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D．若随机变量，满足，则 【答案】B 【分析】A选项，根据百分位数的定义进行计算；B选项，，推出结论；C选项，由于事件A，B对立是事件A，B互斥的特殊情况，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件；D选项，，D错误. 【详解】A选项，，故从小到大选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数，即，A错误； B选项，，故可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确； C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥， 故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，C错误； D选项，若随机变量，满足，则，D错误. 故选：B 25．(23-24高二下·江西吉安·期末)为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（    ） 附：，且． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.7 3.8 6.6 7.9 10.8 A．8人 B．10人 C．15人 D．20人 【答案】B 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】设被调查的男性人，则女性为人，根据题意，得出的列联表，利用公式求得的值，列出不等式，求解. 【详解】设被调查的男性人，则女性为人，根据题意，可得的列联表，如下图所示： 男性 女性 合计 喜欢钓鱼 不喜欢钓鱼 合计 则 本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论， 可得，解得， 又因为，结合选项，所以被调查的男性至少有人. 故选：B. 26．(23-24高二下·江西·期末)某种产品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据上表数据得到关于的经验回归方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求样本中心点,再由过,计算可得 . 【详解】可得样本中心点 过,可得,所以. 故答案为: . 27．(23-24高二下·江西吉安·期末)2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两．经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题．执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改．以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为（单位：），．其他数据如下：． (1)利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程（精确到小数点后2位，下同）； (2)经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程． 参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】（1）根据公式计算得到； （2）根据公式计算得到去除后的与去除前的相等，即可证明直线与直线斜率相等，然后求即可. 【详解】（1）由题意, 知 ， ，， 所以：. （2）去除后的， 所以直线与直线斜率相等， ， 所以：. 28．(23-24高二下·江西·期末)二手车经销商小王对其所经营的型号二手汽车的使用年数与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据： 使用年数 售价 下面是关于的折线图： （1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）求关于的回归方程并预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约为多少？（、小数点后保留两位有效数字） （3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？ 参考数据： ，，， ，， ，，. 参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，. ，、为样本平均值. 【答案】（1）；（2）万元；（3）年. 【分析】（1）根据题中所给公式，计算出关于的相关系数，利用相关系数的绝对值来说明关于线性相关性的强弱； （2）利用最小二乘法公式计算出关于的回归方程，再由可得出关于的回归方程为，再将代入回归方程得出的值，可得出结果； （3）令，得出，解出的取值范围，可得出二手车时车辆的使用年数不得超过的年数. 【详解】（1）由题意，计算， ， 且，，， 所以， 所以与的相关系数大约为，说明与的线性相关程度很高； （2）利用最小二乘估计公式计算 ， 所以， 所以关于的线性回归方程是， 又，所以关于的回归方程是. 令，解得，即预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约万元； （3）当时，， 所以，解得，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过年． 【点睛】本题考查相关系数的计算、非线性回归方程的求解以及回归方程的应用，解题时要理解最小二乘法公式及其应用，考查计算能力，属于中等题. ( 题型0 7 ) 随机变量及其分布解答题综合 29．(23-24高二下·江西吉安·期末)将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 【答案】(1) (2)见解析 【来源】江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A，则，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列． 【详解】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A， 则 （2）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4， ， , , , ， ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 30．(23-24高二下·江西·期末)某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从7名社员中随机选择2名参加友谊赛.新学年友谊赛从10月份开始，此时7名社员中有3名新社员没有参加过此前的友谊赛. (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【详解】（1）X的可能值为1,2,3 由于；；. 故的分布列是 数学期望. （2）由（1）的结果及全概率公式知所求概率 . 31．(23-24高二下·江西·期末)学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)13个工时 【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望公式和性质进行求解即可. 【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件. 则， 所以. （2）依题意知服从超几何分布，且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； （3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为， 则的所有可能取值为，的所有可能取值为， ，， ，， 有名女生参加活动，则男生有名参加活动.， 所以. 即两人工时之和的期望为13个工时. 32．(23-24高二下·江西·期末)甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球． (1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）记这2个球颜色相同为事件，根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、，利用全概率公式求出，，，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）记这2个球颜色相同为事件， 则； （2）依题意的可能取值为、、， 则， ， ， 所以的分布列为： 所以. 33．(23-24高二下·江西萍乡·期末)设集合为的非空子集，随机变量分别表示取到中的最小元素和最大元素的数值. (1)若，求事件“且”的概率； (2)若的概率为，求； (3)求随机变量的均值. 【答案】(1)； (2)7； (3). 【来源】江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（B卷） 【分析】（1）根据子集个数的结论，结合古典概型求解即可； （2）求出，然后运用对立事件求概率，列方程求出即可； （3）运用子集，并集概念结论计算出，，进而证明，再求出即可. 【详解】（1），其非空子集的个数为， 依题意得，集合中的元素个数最少时，，元素个数最多时，， 所以集合的可能情况有种， 故； （2）由题意得，， 当时，其非空子集的个数为， 则 故，解得； （3）若和都是离散型随机变量，且它们的取值相互独立，则， 证明如下：设随机变量的可能取值为，且，则；随机变量的可能取值为 ，且，则，则 由题知，随机变量的可能取值为， 满足的子集可视为的子集与集合的并集，共有个； 同理，的子集共有个，的子集共有个，的子集共有个，则， 同理，随机变量的可能取值为，满足的子集可视为的子集与集合的并集，共有个，的子集共有个，的子集共有个，的子集有个，则， 所以 . 即随机变量的均值. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，同时用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 34．(23-24高二下·江西·期末)函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：； (3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导后对分类讨论即可得； （2）借助斜率公式表示出后化简，可转化为证明，借助换元法令，构造函数，结合（1）问中所的即可得解； （3）借助概率公式可得，借助放缩法可得，结合（2）中所得可得，即可得证. 【详解】（1）定义域为，， 对于方程，， 当，即时，，，在上单增， 当，即或时，方程有两不等根， ，，而，， 所以当时，，在上恒成立，在上单增； 当时，，或时，，时，， 所以在和上单增，在上单减， 综上，当时，在上单增； 当时，在和上单增， 在上单减； （2） ， 所以要证，即证，即证， 也即证（*）成立． 设，函数，由（1）知在上单增，且， 所以时，，所以（*）成立，原不等式得证； （3）由题可得， 因为，，…，， 所以， 又由（2）知，， 取，有， 即，即， 所以． 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得出后，借助（2）问中所得，取，代入可得，即可得解. 35．(23-24高二下·江西九江第一中学·期末)新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分. (1)若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，并求该考生得0分的概率； (2)若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；在某考生此题已得正分的条件下，求该考生得2分的概率； (3)若某道多选题的正确答案是2个选项的概率是，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案： 方案一：只选择A选项； 方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项； 方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项. 【答案】(1) (2) (3)方案二 【来源】江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求出该考生不得0分的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可； （2）设“某题的答案是ABD，该考生得正分”， “某题的答案是ABD，该考生得2分”，利用古典概型的概率公式求出其概率，再根据条件概率公式求解即可； （3）设方案一、二、三的得分分别为，，，分别求出，，的分布列，进而求出期望，比较期望的大小即可求解. 【详解】（1）设事件表示“某题的答案是BD，该考生得0分”，则， 所以. （2）设“某题的答案是ABD，该考生得正分”，则， 所以， 设“某题的答案是ABD，该考生得2分”，则， 所以， 所以该考生此题已得正分的条件下，则该考生得2分的概率为. （3）设方案一、二、三的得分分别为，，， 方案一：的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为： 2 3 则； 方案二：的所有可能取值为， ，，， 所以的分布列为： 0 4 6 则； 方案三：的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为： 0 6 则， 因为， 所以以得分的数学期望作为判断依据选择方案二更恰当. 36．(23-24高二下·江西景德镇·期末)如图，一质点在大小随机的外力作用下，在轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. (1)记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； (2)已知，记质点从原点0运动到的位置的方法种数为，概率为. （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求. 【答案】(1)，此时； (2)（i），；（ii）证明见解析， 【来源】江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 【分析】（1）先根据5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位得到，求导得到其单调性，从而得到最大值及此时； （2）（i）方法一：根据及，求出，，并根据求出；方法二：同法一求出，，并根据移动次数求出； （ii）由题意，，变形得到是等比数列，首项为，公比为，进而利用累加法求出通项公式 【详解】（1）由已知，可得5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位， ， ， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减， 当处，取得极大值，也是最大值， ，此时； （2）（i）法一：，则， ， ∴，，，，， ； 法二：，则， 移动到的位置，若每次移动2个单位，则移动4次，故至少移动4次， 若每次移动1个单位，则移动8次，故至多移动8次， 若需要移动8次，则8次移动1个单位，0次移动2个单位，则需要种方法， 若需要移动7次，则有1次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动6次，则有2次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动5次，则有3次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动4次，则有4次移动2个单位，故需要种方法， 故； （ii）由题意，， 是等比数列，首项为，公比为， ， . 【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， （1）若，采用累加法； （2）若，采用累乘法； （3）若，可利用构造进行求解； / 学科网（北京）股份有限公司 $$