期末专题05 立体几何小题综合（6大题型42题）（辽宁专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题05 立体几何小题综合（6大题型42题） 题型概览 题型01 判断空间中点线面的位置关系 题型02 斜二测画法中有关量的计算 题型03 表面积、侧面积、体积及应用 题型04 球体综合 题型05 最值问题 题型06 立体几何多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 判断空间中点线面的位置关系 1．(23-24高一下·辽宁·期末)已知直线，及平面，，且，，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知l，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 4．(23-24高一下·辽宁大连·期末)设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．(23-24高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中，不正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．(23-24高一下·辽宁部分学校·期末)下列命题是真命题的是（    ） A．若是空间中的两条直线，且，则 B．若直线在平面外，则 C．若平面与平面满足，则 D．正方形的直观图还是正方形 7．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)（多选）已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 ( 题型02 ) 斜二测画法中有关量的计算 8．(23-24高一下·辽宁·期末)如图，为水平放置的的直观图，其中，则在原平面图形中有（    ） A． B． C． D． 9．(23-24高一下·辽宁·期末)用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 10．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 表面积、侧面积、体积及应用 11．(23-24高一下·辽宁·期末)已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 12．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B．4π C． D．8π 13．(23-24高一下·辽宁·期末)已知圆台的体积为，母线长为3，高为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为 . 15．(23-24高一下·辽宁·期末)（多选）已知某圆锥的高为2，轴截面面积为4，则（    ） A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 16．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（    ） A．56 B． C． D． 17．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高一下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期末)如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．    20．(23-24高一下·辽宁部分学校·)等腰梯形如图所示，，圆为梯形的内切圆，并与分别切于点，与分别切于点，则图中阴影部分以所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 球体综合 21．(23-24高一下·辽宁·期末)如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 22．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)已知直四棱柱高为，底面四边形中，，，，，则四棱柱外接球的表面积是 . 23．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为 . 24．(23-24高一下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期末)正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体，则该四面体外接球的体积为 ． 25．(23-24高一下·辽宁五校联考·期末)榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为 ． 26．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知矩形中，，，将沿折至，得到三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为 ；该三棱锥外接球的表面积为 . 27．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知正三棱台上、下底面的面积分别为和,高为1，所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是（    ） A．100π B．128π C．144π D．192π 28．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)在三棱锥中，，，△是正三角形，，则三棱锥的体积为 ；此三棱锥外接球的表面积为 . 29．(23-24高一下·辽宁·期末)已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为 ． 30．(23-24高一下·辽宁·期末)在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 最值问题 31．(23-24高一下·辽宁部分学校·)在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为 . 32．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)已知二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点，为半平面内一点，且，若直线与平面所成角为，为的中点，则线段长度的最大值是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 立体几何多选题（多考点综合） 33．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)长方体中，，，E是线段上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．平面 C．的最小值为 D．以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 34．(23-24高一下·辽宁大连·期末)如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ） A．该三棱台的体积为 B．若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为 C．若点在棱上，则的最小值为 D．该三棱台内半径最大球的体积为 35．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)如图，在边长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则点的轨迹长度为 B．若，则点的轨迹长度为 C．二面角的正切值为 D．若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 36．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱，，的中点.则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．与所成的角为60° C．点在平面内运动，且平面BEF，则BP的最小值为 D．平面截正方体的截面形状是五边形 37．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)在棱长为2的正方体中，点，，分别为平面，平面，平面的中心，则（    ） A． B．平面平面 C．平面平面 D．几何体的体积为 38．(23-24高一下·辽宁·期末)日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，． 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A比图B最多节省的彩绳长度为 ． 39．(23-24高一下·辽宁·期末)（多选）在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．点N的轨迹长度为 D．的取值范围为 40．(23-24高一下·辽宁·期末)（多选）有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（    ） A．该几何体的表面积为 B．该几何体的体积为4 C．直线与直线所成的角为 D．二面角的余弦值为 41．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)（多选）如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．当时，S为等腰梯形 C．当时，S与交于点，则 D．当时，S为五边形 42．(23-24高一下·辽宁五校联考·期末)（多选）如图，已知正三棱台由一个平面截棱长为6的正四面体所得，分别是的中点，P是棱台的侧面上的动点（包含边界），则下列结论中正确的是（    ） A．该三棱台的体积为 B．平面平面 C．直线与平面所成角的正切值的最小值为 D．若，则点的轨迹的长度为 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题05 立体几何小题综合（6大题型42题） 题型概览 题型01 判断空间中点线面的位置关系 题型02 斜二测画法中有关量的计算 题型03 表面积、侧面积、体积及应用 题型04 球体综合 题型05 最值问题 题型06 立体几何多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 判断空间中点线面的位置关系 1．(23-24高一下·辽宁·期末)已知直线，及平面，，且，，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中线面位置的判定和性质，判断选项中的结论是否正确. 【详解】对于A：若，则不一定垂直，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，故B正确； 对于C：若，则不一定平行于，故C错误； 对于D：若，则或，故D错误. 故选：B.. 2．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】对于ABC：根据正方体的结构特征，举反例说明即可；对于D：根据线面垂直的性质和判定定理分析判断. 【详解】对于选项ABC：在正方体中， 例如∥平面，平面∥平面，平面， 但与相交，故A错误； 例如∥，∥平面，∥平面 但平面平面，故B错误； 例如，平面，但平面，故C错误； 对于选项D：若，则∥， 且，所以，故D正确； 故选：D. 3．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知l，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由线面平行、垂直的判定、性质定理与面面平行的关系依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对A：若，，，则，，或，则A错误; 对B：若，，则或,则B错误; 对C：若，，，，若相交时，则； 若时，不一定成立，故C错误; 对D：若，，则,故D正确. 故选：D 4．(23-24高一下·辽宁大连·期末)设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】对ABD举出反例即可，对C根据线面垂直的性质即可判断. 【详解】对A，若，，则或与异面，故A错误； 对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误； 对C，若，，则，又因为，则，故C正确； 对D，若，，，当 都与的交线平行时，满足题设条件，此时，故D错误. 故选：C. 5．(23-24高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中，不正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】对于A，根据面面平行的性质和线面垂直的判定定理分析判断，对于B，由线面平行的性质分析判断，对于C，根据线面平行的判定定理分析判断，对于D，由线面垂直的性质和线面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于A，因为，所以， 因为，所以，所以A正确， 对于B，过作平面，因为，所以， 因为，，所以， 因为，，所以，所以，所以B正确，    对于C，当时，或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：C 6．(23-24高一下·辽宁部分学校·期末)下列命题是真命题的是（    ） A．若是空间中的两条直线，且，则 B．若直线在平面外，则 C．若平面与平面满足，则 D．正方形的直观图还是正方形 【答案】C 【分析】对于A，利用空间两直线的位置关系进行判定；对于B，利直线与平面的位置关系进行判定；对于C，利用平面与平面的位置关系进行判定；对于D，根据平面图形的斜二测画法进行判断. 【详解】对于A，若是空间中的两条直线，且，则或是异面直线，故A错误； 对于B，若直线在平面外，则或直线与平面相交，故B错误； 对于C，若平面与平面满足，则，故C正确； 对于D，正方形的直观图是平行四边形，故D错误. 故选：C. 7．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)（多选）已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】AC 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，由面面平行的性质可得，故A正确； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，，则，又，所以，故C正确； 对于D：若，，则或， 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、垂直， 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、垂直，故D错误. 故选：AC ( 题型02 ) 斜二测画法中有关量的计算 8．(23-24高一下·辽宁·期末)如图，为水平放置的的直观图，其中，则在原平面图形中有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据斜二测画法规则确定点的位置，再作出，逐项计算判断即可. 【详解】在直观图中，，取中点，连接， 则，而，于是， 则，，， 由斜二测画法规则作出，如图， 则，， ，， ， 显然，A、C、D正确，B错误. 故选：ACD 9．(23-24高一下·辽宁·期末)用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果. 【详解】 过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：A. 10．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，再轴旋转一周得到的圆柱和圆锥的组合几何体的体积. 【详解】由题意，，，，， ， 所以原图形中，，，，， ， 所以梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体， ． 故选：D． ( 题型03 ) 表面积、侧面积、体积及应用 11．(23-24高一下·辽宁·期末)已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式可求得答案. 【详解】因为圆锥的底面半径是1，高为， 所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 12．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B．4π C． D．8π 【答案】B 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】圆的周长公式求出，然后由圆锥侧面积公式可得. 【详解】设圆锥的母线长为，则由题意有，得， 所以侧面积为. 故选：B 13．(23-24高一下·辽宁·期末)已知圆台的体积为，母线长为3，高为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解. 【详解】 设上底面半径为，下底面半径为， 如图，根据题意， 在中，，即， 又因为圆台的体积为，所以， 即 由①②方程可得：， 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 14．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为 . 【答案】 【来源】辽宁省辽阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】求出四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】在四棱台中，分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心，为四棱台的高， 过点作与交于点，则， 四边形和四边形都是正方形，且，则 ，，则，， ，即四棱台的高. 又上底面积，下底面积， 则该四棱台的体积为. 故答案为：. 15．(23-24高一下·辽宁·期末)（多选）已知某圆锥的高为2，轴截面面积为4，则（    ） A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 【答案】AD 【分析】根据题意，由轴截面的面积可得底面圆的半径，以及母线，然后结合圆锥的表面积公式以及体积公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】设该圆锥的底面半径为，则，解得， 则该圆锥的母线长为，A正确. 该圆锥的体积为，B错误. 该圆锥的侧面积为，C错误. 与该圆锥同底等高的圆柱的体积为，D正确. 故选：AD 16．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（    ） A．56 B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解. 【详解】由为四棱台的斜高. 设四棱台的高为，则， 所以四棱台的体积为：. 故选：C 17．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 18．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得，圆台、圆锥的高均为，再计算体积即可. 【详解】根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形，如图，    所以即为圆台母线与底面所成角，即， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 因为，则四边形为矩形，且， 因为，，， 所以，所以，且， 因为，则， 所以圆台、圆锥的高均为， 所以该工业部件的体积为 . 故选：B. 19．(23-24高一下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期末)如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．    【答案】 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面周长的关系可求得小圆半径和扇形半径之间的关系，继而结合正方形的对角线长，列式求出底面圆的半径，继而求得圆锥的高，即得答案. 【详解】如图1，过⊙F圆心F作于E，于G， 则四边形为正方形，设小圆半径为r，扇形半径为R，则， 小圆周长为，扇形弧长为， ∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得， 即，， ∵正方形铁皮边长为，， ，∴； 在图2中，， 由勾股定理得，圆锥的高，    故答案为：. 20．(23-24高一下·辽宁部分学校·)等腰梯形如图所示，，圆为梯形的内切圆，并与分别切于点，与分别切于点，则图中阴影部分以所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 【分析】根据题意可知阴影部分旋转形成的几何体是以分别为上下底面直径的圆台再挖去圆台的内切球剩余的部分，分别计算出圆台和球的体积即可得出结果. 【详解】梯形以所在直线为轴旋转一周形成以分别为上下底面直径的圆台， 该圆台的上底面半径为1，下底面半径为4， 由圆与梯形相切可得，圆台的高， 则圆台的体积. 圆以所在直线为轴旋转一周形成球，得球的半径， 则球的体积为. 故图中阴影部分以所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为. 故选：C ( 题型04 ) 球体综合 21．(23-24高一下·辽宁·期末)如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】四棱锥可补成长方体，利用长方体的体对角线求外接球的半径，即可得解. 【详解】将四棱锥补全成以为长、宽、高的长方体， 则该四棱锥的外接球即补全后长方体的外接球， 外接球的半径为长方体体对角线一半， 所以外接球表面积为. 故选：C 22．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)已知直四棱柱高为，底面四边形中，，，，，则四棱柱外接球的表面积是 . 【答案】 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】由已知可得底面四边形的外接圆圆心及为的外接圆圆心，根据余弦定理及正弦定理可得底面外接圆半径，进而可得四棱柱外接球半径，即可得外接球表面积. 【详解】如图所示， 由底面四边形中，， 所以四边形的外接圆圆心即为的外接圆圆心，在中点， 连接，又，，， 所以在中，由余弦定理得， 即， 所以四边形及的外接圆半径， 设四边形的外接圆圆心为，四边形的外接圆圆心为， 则，， 直四棱柱的外接球球心为中点，即，且， 所以外接球半径， 所以外接球表面积. 故答案为： 23．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为 . 【答案】 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然后在直角三角形中，根据基本不等式即可求解最小值，进而可得球半径的最小值. 【详解】 取中点为,过作交于，则,即为中点. 因为平面,所以平面. 因为,所以, 所以，, 所以，是三棱锥外接球球心,为球的半径. 由, 又,当且仅当,等号成立,此时, 所以球半径,故, 该“鞠”的体积最小值为 故答案为：. 24．(23-24高一下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期末)正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体，则该四面体外接球的体积为 ． 【答案】 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据给定条件，把四面体置于长方体中，求出长方体的体对角线即可得解. 【详解】在四面体中，， 则四面体的四个顶点可为一长方体两个相对面的成异面直线的两条对角线的端点， 此长方体的外接球即为四面体的外接球， 设此长方体共点的三条棱长分别为，则，于是， 四面体的外接球半径，有，解得， 所以该四面体外接球的体积. 故答案为： 25．(23-24高一下·辽宁五校联考·期末)榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为 ． 【答案】/ 【来源】辽宁省五校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据几何体的结构特征可知球心在直线上，由勾股定理可得， 进而可得，进而，即可求解，由体积公式即可求解. 【详解】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故. 取的中点，连接， 又，则. 由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点， 且所求外接球的球心在这条直线上，如图. 设球的半径为，则，且， 从而，即， 当点在线段内（包括端点）时，有，得， 从而，即球心在线段的中点，其半径. 当点在线段外时，，解得（舍）. 故所求外接球的体积. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查球的切接问题，关键在于根据几何体的对称性，通过直观想象明确外接球的球心位置，结合正方形的外接圆半径求解可得. 26．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知矩形中，，，将沿折至，得到三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为 ；该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】过作于，求出点到平面距离的关系，再利用锥体体积公式求出最大值；取的中点，确定外接球球心并求出球半径即可. 【详解】过作于，过在平面内作，则平面， 又平面，于是平面平面，平面平面， 因此在平面内的射影为，而， 点到平面的距离，当且仅当时取等号， 三棱锥的体积； 取的中点，连接，由，得， 因此三棱锥的外接球的球心为，半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 27．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知正三棱台上、下底面的面积分别为和,高为1，所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是（    ） A．100π B．128π C．144π D．192π 【答案】A 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】正三棱台上、下底面面积分别为和,可求出上下底边长为：和. 设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以， 即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为， 所以，， 故或，即或， 解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A. 28．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)在三棱锥中，，，△是正三角形，，则三棱锥的体积为 ；此三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】取中点，连接，，可得，，根据线面垂直的判定定理得，，所以三棱锥的体积，再根据数据计算即可.确定球心的位置，再由球的表面积公式即可求解外接球的表面积. 【详解】如图，取中点，连接，. 由题知△是正三角形，△是等腰直角三角形， 所以，，又，，面，所以. 根据题意得，，， 在△中，，所以， 所以，， 则三棱锥的体积. 因为，且为中点，所以P为外接圆的圆心， 设为外接圆的圆心，则， 过点P作平面BCD的垂线，过作平面的垂线，则两条垂线的交点即为球心O， 由可得，所以， 球的半径即为，此三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：；. 29．(23-24高一下·辽宁·期末)已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得平面和，利用三棱锥体积公式和重要不等式，可得三棱锥的体积最大值，依题求出，即得,得出结论. 【详解】 如图，因为是三棱锥外接球的直径，所以． 又，故平面， 因平面，则．又，所以面， 因平面，故． 于是，三棱锥的体积为． 因（当且仅当时等号成立），所以体积的最大值为， 依题意，解得．因，故， 所以三棱锥的外接球的表面积为：． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与球体相关几何体的运算，考查了线线、线面垂直的推导，属于难题. 解题思路为，利用题设先确定几何图形中的相关线面，线线的垂直关系，为表示三棱锥体积奠定基础，之后利用基本不等式结合体积最大值即可求得外接球半径. 30．(23-24高一下·辽宁·期末)在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答. 【详解】如图所示： 由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足， ， 由勾股定理得， 所以， 设点为外接圆的圆心， 则外接圆的半径为，， 设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为， ， 如图所示： 设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点， 而均垂直平分， 所以点在面，面内的射影分别在直线上， 即， 由题意，且二面角为直二面角， 即面面，， 所以，即，可知四边形为矩形，所以， 由勾股定理以及， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. ( 题型0 5 ) 最值问题 31．(23-24高一下·辽宁部分学校·)在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为 . 【答案】/ 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 【分析】将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，当三点在一条直线即可求出答案. 【详解】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得： ，则周长的最小值即的最小值. 将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上， 将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，如图②，则 ， 故周长的平方的最小值为.    故答案为：. 32．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)已知二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点，为半平面内一点，且，若直线与平面所成角为，为的中点，则线段长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】作于，根据已知条件可得两点在以为高，为母线的圆锥的底面圆周上,再根据余弦定理可得，从而判断出要使线段的长度最大，则最大,确定两点的位置，再利用三角形知识求解即可. 【详解】   作于， 因为二面角的平面角的大小为， 根据面面垂直的性质定理可得， 因为， 所以两点在以为高，为母线的圆锥的底面圆周上， 根据余弦定理： ， 要使线段的长度最大,需要使得最小，即最大, 所以当两点运动到公共棱上时，最大,则线段的长度最大. 因为直线与平面所成角为， 所以， 则， 在中，根据余弦定理得: 所以 即线段长度的最大值是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解得关键在于根据确定点轨迹，然后结合圆锥性质即可求解. ( 题型0 6 ) 立体几何多选题（多考点综合） 33．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)长方体中，，，E是线段上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．平面 C．的最小值为 D．以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 【答案】BCD 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】计算的边上的高后可判断A的正误，可证平面平面，从而可平面，故可判断B的正误，利用平面展开图结合余弦定理可求的最小值，故可判断C的正误，D中判断出交线的形状结合计算可判断D的正误. 【详解】 对于A，因为在长方体中，，， 故，故为等腰三角形， 而，故为锐角， 故的最小值为的边上的高，设高为， 则，故， 故的最小值为，故A错误. 对于B，由长方体的性质可得， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，而平面，故平面， 故B正确. 对于C，如图，将、放置在一个平面中， 则的最小值即为，而， ， 因为、均为锐角，故，， 故， 故，故C正确. 对于D，以A为球心，为半径的球面与侧面的交线为个圆弧， 该圆弧的圆心为，半径为，故弧长为，故D成立. 故选：BCD. 34．(23-24高一下·辽宁大连·期末)如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ） A．该三棱台的体积为 B．若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为 C．若点在棱上，则的最小值为 D．该三棱台内半径最大球的体积为 【答案】BC 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用正三棱台的结构特征，结合已知求出高，再求出体积判断A；求出截面面积判断B；把等腰梯形与展开置于同一平面，求出判断C；求出体积为的球直径与棱台的高比较判断D. 【详解】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，连接， 则，高， 三棱台的体积，A错误； 对于B，在上分别取点，使，连接， 而，则四边形均为平行四边形，即，， 而平平面，平面，则平面，同理平面， 又，因此为平面截该三棱台所得的截面， 而，又，则为正三角形，， 截面面积，B正确； 对于C，把等腰梯形与展开置于同一平面，连接， 由选项B知，等腰底边， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时，的最小值为，C正确； 对于D，体积为的球半径，，解得，该球的直径， 则此球不可能在正三棱台内，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 35．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)如图，在边长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则点的轨迹长度为 B．若，则点的轨迹长度为 C．二面角的正切值为 D．若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】BCD 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】对于A，作出对应图形，先证明面面，再结合给定条件确定动点轨迹，求解长度，对于B，利用给定条件确定动点轨迹，求解长度，对于C，作出二面角的平面角，利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求解正切值，对于D，先找到球心，利用勾股定理得到半径，求解球的表面积即可. 【详解】对于A，如图，取中点，且连接， 因为分别是棱的中点，由中位线定理得，， 所以，而，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以，因为面， 面，所以面，因为面， 面，所以面，而， 所以面面，又是正方形内的动点， 且平面，面和面相交，是交线， 所以的轨迹为线段，由勾股定理得，故A错误， 对于B，如图，若，此时面， 所以，由勾股定理得， 所以的轨迹为在面内，以为圆心，为半径的圆弧， 所以的轨迹长度为，故B正确， 对于C，如图，作，连接，连接， 因为正方体，分别是棱的中点， 也把的中点记为，所以是的中位线， 所以，而， 所以，而由正方体性质得面， 所以，而，面， 故面，，， 而由勾股定理得，， 由三线合一性质得是的中点，故是的中点， 即是靠近的四等分点，所以由勾股定理得，，， 而，，面面， 所以是二面角的平面角，且设该角为， 在中，由余弦定理得， 易得，所以，而， 解得(负根舍去)，所以， 所以二面角的正切值为，故C正确， 对于D，如图，取的中点，的中点，连接， 因为是棱的中点，分别是棱的中点， 所以，由勾股定理得， 而，所以，所以， 而，所以点到的距离相等， 因为，由正方体性质得面， 所以面，所以三棱锥的外接球的球心在上， 设球心为，，则，又， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 在直角三角形中，由勾股定理得，在直角三角形中， 由勾股定理得，解得，， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是确定球心的位置，然后利用勾股定理求出球的半径，得到所要求的表面积即可． 36．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱，，的中点.则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．与所成的角为60° C．点在平面内运动，且平面BEF，则BP的最小值为 D．平面截正方体的截面形状是五边形 【答案】AD 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】对于A，利用再证平面即可； 对于B,首先要利用平行线作出异面所成的角，再进行求解即可； 对于C，首先利用平面，确定点位置在线段上，再作出垂线,根据相似三角形定理即可求得. 对于D，通过增补两个正方体，根据正方体的性质，可以作出截面图； 【详解】对于A，如下图，连接,易得又平面,又平面,故A正确. 对于B，如下图，取的中点,连接, 则又, 则或其补角为与所成的角.又正方体棱长为2， 易求得, 则，故B错误. 对于C，如下图，连接取得中点,连接,过作 平面所以平面,则点在线段上,最小值即为. 又，所以，又.C错误； 对于D，如下图，增补两个正方体，取的中点 连接,则为的中点，且 连接交于,连接交于,连接, 则得到截面为五边行,故D正确. 故选：AD. 37．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)在棱长为2的正方体中，点，，分别为平面，平面，平面的中心，则（    ） A． B．平面平面 C．平面平面 D．几何体的体积为 【答案】BCD 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积为0得到直线垂直，利用法向量数量积为0得到两个平面垂直，判断AC两个选项；利用中位线证明面面平行，证明几何体为棱台，利用点到平面的距离得到两个平面的距离进而得到体积，判断BD两个选项. 【详解】A选项，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图 ，， 因为，所以与不垂直，A错误； B选项， 四边形、、都是正方形，点、、分别是中心， 所以是的中点，是的中点，所以， 又在面内，不在面内，则面， 是的中点，是的中点，所以， 又在面内，不在面内，所以面， 又面，，所以，平面平面，B正确； C选项， ， ， 设平面的法向量，则即，从而，取， 设平面的法向量，则即，从而，取， 因为，所以平面平面，C正确； D选项， 因为四边形、、都是正方形，点、、分别是中心， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 所以直线交于一点，且平面平面，所以几何体为三棱台， 因为，平面的法向量，所以点到平面的距离， 因为平面平面，所以两平面间的距离即为， 在正方体中，，， 所以，， 所以，D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：用向量方法解决立体几何中的证明 （1）线线平行：两条不同的直线，直线的方向向量，直线的方向向量，； （2）线线垂直：两条不同的直线，直线的方向向量，直线的方向向量，； （3）线面平行：平面的法向量为，直线的方向向量为，则直线平面； （4）线面垂直：平面的法向量为，直线的方向向量为，则直线平面； （5）面面平行：平面的法向量为，平面的法向量为，则； （6）面面垂直：平面的法向量为，平面的法向量为，则. 38．(23-24高一下·辽宁·期末)日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，． 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A比图B最多节省的彩绳长度为 ． 【答案】 【详解】对于图（A），沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值为； 对于图（B），彩绳长度的最小值为， 因为，所以图A比图B最多节省的彩绳长度． 故答案为：. 39．(23-24高一下·辽宁·期末)（多选）在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．点N的轨迹长度为 D．的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据正方体的性质得出平面平面，则根据已知得出点在线段上（含端点），当为时，根据异面直线的平面角结合正方体的性质得出与的夹角为，此时，即可判断A；三棱锥,利用等体积法结合体积公式即可判断B；根据点在线段上（含端点），利用勾股定理求出求，即可判断C；根据正方体性质结合已知可得，则，即可根据的范围得出的范围判断D． 【详解】在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界）， 平面， 取、中点分别为、，连接、、、，，如图： 为正方体，为中点，为中点， ，，，， 、平面，、平面，且，， 平面平面， 为四边形内一点（含边界），且平面， 点在线段上（含端点）， 对于A：当在时，则与的夹角为，此时， 则与不垂直，故A不正确； 对于B为四边形内一点（含边界）， 到平面的距离为2， 三棱锥的体积为，故B正确； 对于C：由于点在线段上（含端点）， 而， 点的轨迹长度为，故C不正确； 对于D为正方体， 平面， 平面， ， △为直角三角形，且直角为， ， 点在线段上（含端点）， 则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为， 当最小时，即，此时， 此时最大，最大为， 则的取值范围，故D正确． 故选：BD． 40．(23-24高一下·辽宁·期末)（多选）有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（    ） A．该几何体的表面积为 B．该几何体的体积为4 C．直线与直线所成的角为 D．二面角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】根据正四面体的表面积即可判断A；利用割补法，结合体积公式即可判断B；根据异面直线所成角的定义平移直线到直线，求解即可判断C；根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合空间向量法即可求解D. 【详解】对于A，因为，所以． 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成， 故该几何体的表面积为，故A正确； 对于B，该几何体的体积为，故B正确； 对于C，因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，又因为，所以，故C正确 对于D，设的中点为，连接、，则，， 则即二面角的平面角． 建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、， 则，， 则，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是准确题解题意中“蒺藜形多面体”的定义，结合图1和图2直观想象“蒺藜形多面体”的几何特征，对多面体分割计算表面积和体积，再借助正方体求解异面直线所成的角与二面角. 41．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)（多选）如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．当时，S为等腰梯形 C．当时，S与交于点，则 D．当时，S为五边形 【答案】BCD 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据线线角的概念，构造异面直线缩成的角，求角的三角函数，判断A的真假；根据的长度，确定界面的形状，判断截面的形状，可判断BCD的真假. 【详解】正方体的棱长为为的中点， 对于A，，直线与直线所成角为， 所以，A错误； 对于B，，即为中点，此时，， ，则截面为等腰梯形，B正确； 对于C，，连接并延长交延长线于，直线交于， 由，得，由是的中点，，得， 因此，C正确； 对于D，若，连接并延长交延长线于，直线交于， 交延长线于点，连接交于点，连接得截面， 过点的平面与正方体的5个表面相交， 因此截面是五边形，D正确 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 确定截面的依据如下：（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质；（4）球的截面的性质． 42．(23-24高一下·辽宁五校联考·期末)（多选）如图，已知正三棱台由一个平面截棱长为6的正四面体所得，分别是的中点，P是棱台的侧面上的动点（包含边界），则下列结论中正确的是（    ） A．该三棱台的体积为 B．平面平面 C．直线与平面所成角的正切值的最小值为 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ABC 【来源】辽宁省五校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】如图1，由相似三角形求得和棱台的高，结合棱台的体积公式计算即可判断A；根据面面垂直的判定定理即可判断B；利用余弦定理计算求出，由线面垂直的判定定理可得平面，分析出线面角正切值最小时点P的位置即可判断C；如图2，确定点P的轨迹，结合弧长公式计算即可判断D. 【详解】选项A：将三棱台补形为棱长为6的正四面体SABC， 如图1，依题意，是边长为6的正三角形，且， 所以，即，解得， （另解：因为，是边长为6的正三角形， 所以也是正三角形，边长，所以）. 于是正三棱台的高， （另解：（棱长为a的正四面体的高为））， 所以该三棱台的体积，故A选项正确； 选项B：易知，，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故B选项正确； 选项C：连接，，，在中，， 因此在中，， 有，所以，又平面， 由平面得，又，平面， 所以平面，故直线CP与平面所成的角为， 在中，，而， 所以当最大时，最小，由点P在平面及其边界上运动， 知当点P与点A或点B重合时最大，此时，， 所以直线CP与平面所成角的正切值的最小值为，故C选项正确； 选项D：当时，可得， 因此点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆与等腰梯形重合部分的两段弧和（如图2）， 连接，，由，，易得， 因此，所以的长度， 则点P的轨迹的长度为，故选项D错误． 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：解题关键是利用定义法确定线面角，进而分析出线面角正切值最小时点P的位置，从而得解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$