期末专题03 解三角形（6大题型35题）（辽宁专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题03 解三角形（6大题型35题） 题型概览 题型01 求边长（类）、周长的值及范围 题型02 求角及三角函数值 题型03 求中线、角平分线 题型04 求面积的值及范围 题型05 解三角形多选题（多考点综合） 题型06 解三角形的实际应用 优选提升题 ( 题型01 ) 求边长（类）、周长的值及范围 1．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)在中，，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．4 【答案】D 【来源】辽宁省辽阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可得， 即. 故选：D 2．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)在中，角所对的边分别是，已知向量，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)8 【来源】辽宁省沈阳市重点联合体2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题 【分析】(1)利用向量平行结合正弦定理求解即可. (2)利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到从而求出三角形的周长即可. 【详解】（1）因为，所以. 由正弦定理得. 又，故. 因为，所以. （2）因为， 所以. 由余弦定理得， 即，解得， 所以的周长为. 3．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以a，b，c为边长的三个等边三角形的面积依次为，，．已知，． (1)求角B： (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2)． 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由已知可得，结合余弦定理可得，结合已知可得，进而求得； （2）由（1）可求得，进而由正弦定理可得，，从而由面积可求得. 【详解】（1）因为，所以 由余弦定理， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即，且，所以． （2）由（1）可得，，， 从而，， 而， 由正弦定理有， 从而，， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以． 4．(23-24高一下·辽宁·期末)已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. (1)求角B； (2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，进行角化边的化简处理可得，利用余弦定理可得，结合范围，可求B的值. （2）由正弦定理可得b，根据三角形任意两边和大于第三边的性质，可得，由余弦定理，结合基本不等式可求的最大值，进而可求的周长的范围. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，化简可得， 由余弦定理得， 因为B为三角形内角，，所以. （2）因为的外接圆周长为，故外接圆直径为， 因为，所以由正弦定理可得， 所以由余弦定理， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立. 又因为，所以， 即的周长的取值范围为. 5．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理、基本不等式及三边关系求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 又，所以 （2）由余弦定理，即， 所以，又，所以，显然， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以， 所以周长的取值范围为. 6．(23-24高一下·辽宁·期末)已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得，利用换元法，结合三角函数的性质以及二次函数的性质即可求解范围. 【详解】由正弦定理得： ， 又，即，可得， 又是锐角三角形， 可得，即，解得， 令，则， 则，开口向上，对称轴， 即在上单调递增， 所以，即 即的取值范围是 故答案为： 7．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得：, 即，所以，即，又，所以. 因为锐角三角形，所以，即，解得. 令，因为，所以， 则在单调递减，所以. 故答案为：. 8．(23-24高一下·辽宁·期末)在中，分别为内角的对边，满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据正弦定理与一元二次方程根的判别式可得，进而可得答案． 【详解】已知， 则由正弦定理得：，（为外接圆半径）， ， ，， ，即， ， ，，， ． 故答案为：1． ( 题型02 ) 求角及三角函数值 9．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)在中，已知角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省沈阳市重点联合体2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题 【分析】根据正弦定理和余弦定理求得结果. 【详解】因为， 则由正弦定理可设，. 由余弦定理得. 故选：C. 10．(23-24高一下·辽宁·期末)记的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角的大小； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，结合已知可得，由余弦定理可得，可求； （2），两边平方结合余弦定理可得，可求得，可求得，．利用余弦定理可得，利用三角恒等变换可求. 【详解】（1）∵，由正弦定理，得． ∵，∴，∴ 由余弦定理有， ∴ ∴为锐角，∴； （2）由余弦定理及，有， 整理得，，考虑到，解得，或（舍）． 将代入消去，得，． ∴ ∵，为锐角，∴，， ∴. ( 题型03 ) 求中线、角平分线 11．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知在中，的角平分线与边相交于点，且，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用等面积列出方程求解即得. 【详解】依题意，设，， 由，可得， 解得. 故选：C. 12．(23-24高一下·辽宁·期末)在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，求的长. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解； （2）根据余弦定理求出边，再根据向量运算求. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理，得， 化简得，因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 所以，解得． 因为为的中线，所以， 所以， 因为，所以，解得.    13．(23-24高一下·辽宁部分学校·)在中，角的对边分别为.已知，且. (1)求； (2)若为边的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 【分析】（1）利用正弦定理可得，再由余弦定理可得； （2）根据，再由平面向量数量积定义可求得. 【详解】（1）由正弦定理得，可设， 由余弦定理可得，即， 解得或（舍去）， 可得. （2）易知. 又因为， 所以， 可得. ( 题型04 ) 求面积的值及范围 14．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案. 【详解】设的中点为，由为的外心可得，， ， 又， 所以， 又，可得， 故， 则的面积为. 故选：D. 15．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)在中，已知，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据题意利用三角恒等变换以及正弦定理可得，，进而求，利用正弦定理可得，即可得面积. 【详解】因为，则， 且，则，可得，解得， 又因为，由正弦定理可得， 则， 且，则， 可得，即，可得， 则， 由正弦定理可得， 所以的面积是. 故选：A. 16．(23-24高一下·辽宁五校联考·期末)在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省五校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 17．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知，角，，的对边分别为，，，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角即可求解. （2）利用（1）的结论及余弦定理求出，再由三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，即，因此，即有，又， 所以. （2）由余弦定理，得， 又，则， 所以的面积. 18．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)已知为的中点，底边上中线长为时，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出，进而求出的值即可； （2）根据余弦定理及基本不等式可得，进而可得面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，， 在中，由余弦定理可得, 即， 所以，当且仅当时，取得到等号， 此时面积的最大值. 19．(23-24高一下·辽宁·期末)如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理与勾股定理可得，再根据三角形面积公式求解即可； （2）设，由余弦定理可得，再根据正弦定理可得，进而可得，再结合求解即可. 【详解】（1）在中由余弦定理， 故，则，所以. 又为等边三角形，故，且， 故. （2）不妨设，在中，由余弦定理 ， . 在中，由正弦定理，即，所以. 故 ， 又，所以，所以， 即的面积的取值范围为. 20．(23-24高一下·辽宁部分学校·)如图，在直角中，分别为边上的一点，，设. (1)当时，求的长； (2)当时，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 【分析】（1）由勾股定理和余弦定理得到，得到，故，由余弦定理求出； （2）设，故，由正弦定理得，，表达出的面积为，根据，求出的面积取值范围. 【详解】（1）根据题意可得， 由勾股定理得， 由，得. . 在中，由余弦定理得， 则， 所以，则. 因为为的中点，所以. 在中，由余弦定理得. （2）由（1）得，当时，. 易得当时，，设，则当时，. 在中，根据正弦定理，得. 在中，，则， 根据正弦定理，得. 的面积为 . 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. ( 题型0 5 ) 解三角形多选题（多考点综合） 21．(23-24高一下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期末)数学家威廉·邓纳姆在书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的无言的证明，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】利用图形结合解直角三角形，二倍角正弦公式和三角形面积公式求解判断各个选项. 【详解】对于A，在中，，，又， 则，，在中，， 因此，A正确； 对于B， 在中，，B错误； 对于C，在中，由，，得，C正确； 对于D，， ，因此，D正确. 故选：ACD 22．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为，其图象的对称轴为 C．（其中和的取值使各项都有意义） D．在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 【答案】AC 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据给定定义，将转化为，结合余弦函数及性质、余弦定理逐项分析计算即得. 【详解】依题意，，当时，， 对于A，，A正确； 对于B，函数，的最小正周期为，其图象的对称轴为，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：AC 23．(23-24高一下·辽宁大连育明高中·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件能得到为钝角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】辽宁省大连市育明高中2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】A. 利用余弦定理判断；B.利用余弦定理求得边c，再利用余弦定理判断；C.利用两角和的余弦公式判断；D.利用两角和的余弦公式判断. 【详解】A. 因为，由余弦定理得，角C为钝角，所以为钝角三角形，故正确； B. 因为，由余弦定理得， ，角B为钝角，所以为钝角三角形，故正确； C. 由，得 ，由 ，得 ， 又 ，所以角A为锐角，则，所以 ，所以， 所以为直角三角形，故错误； D. 由，得 ，则 ， 即 ，角B为钝角，所以为钝角三角形，故正确； 故选：ABD 24．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)在中，为边上一动点，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．当为角的角平分线时， D．当为中点时， 【答案】ABC 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】对于A，由余弦定理即可得解；对于B，由A结合正弦定理即可得解；对于C，由计算即可得解；对于D，由两边平方计算即可得解. 【详解】对于A，由题意及余弦定理得， ，故A正确； 对于B，由A结合正弦定理可知的外接圆半径为，故B正确； 对于C，当为角的角平分线时，则由， 得， 所以， 即，故C正确； 对于D，当为中点时，有， 所以 ， 所以，故D错误. 故选：ABC. ( 题型0 6 ) 解三角形的实际应用 25．(23-24高一下·辽宁·期末)有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（    ） A．海里 B．海里 C．50海里 D．海里 【答案】A 【分析】由题意画图，再利用正弦定理求解. 【详解】由题可知, 海里，在中，由正弦定理可得， 则海里.    故选：A 26．(22-23高一下·辽宁鞍山台安县高级中学·期末)如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省鞍山市台安县高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题 【分析】根据题意可得，在中利用正弦定理可求，进而在中求得结果. 【详解】在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理， 可得， 在中，(m). 故选：A. 27．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)在世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”. 这可视为中国古代极限观念的佳作. 割圆术可以视为将一个圆内按正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积. 运用割圆术的思想，可得到的近似值为（取近似值）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】根据题意，将一个单位圆等分成60个扇形，则每个扇形的圆心角均为，再根据这60个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积列等式，计算即可. 【详解】将一个单位圆等分成60个扇形，则每个扇形的圆心角均为. 因为这60个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积， 所以，所以. 故选：. 28．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算： (1)的长度 (2)隧道的长度． 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】（1）由求出，从而可求出，然后在中利用正弦定理可求出； （2）在中利用正弦定理求出，从而可求出. 【详解】（1）因为，为锐角，所以， 所以 ， 在中，， 所以由正弦定理得， 所以； （2）因为， 在中，， 所以由正弦定理得， 则， 所以， 所以隧道的长度为. 29．(23-24高一下·辽宁大连·期末)如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 【答案】(1)； (2)①；②万元，. 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求出，再利用正弦定理求出距离. （2）①利用正弦定理及差角的正弦公式求出；②令，利用辅助角公式，结合正弦函数的性质求出最小值及的值. 【详解】（1）在中，由，得，解得， 则， 由正弦定理，得， 所以，两点间的距离. （2）①在中，由正弦定理得， 解得，， 所以. ②令，则，则， 其中锐角由确定，于是， 则有，而，解得，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值， 所以总费用的最小值为万元，此时的长度为. 30．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)已知四边形的顶点都在半径为2的圆上，且经过圆的圆心，，四边形的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省辽阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】将四边形的面积转化为，利用三角形面积公式，结合两角差的正弦公式进行化简，可得，结合，从而可求出，进而可求出. 【详解】连接，则为等边三角形，， 四边形的面积为 ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， ， ， ， 所以， 因为，所以， 所以或， 所以，或， 因为，所以舍去，所以， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角形面积公式的应用，解题的关键是将四边形的面积转化为，再利用三角形面积公式化简，结合三角函数恒等变换公式可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 31．(23-24高一下·辽宁·期末)在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由，设，，则，所以三点共线，由等面积法可得的最小值. 【详解】根据题意，， 所以，即， 由， 设，，则， 所以三点共线，如图， 则的面积， ， 当时，最小，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由，设，，则，所以三点共线. 32．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则 ；若，则的值为 . 【答案】 /0.75 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】第一空：由正弦定理求得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；第二空：设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于：涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题. 33．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)在中，是边上的中点，的平分线分别交，于点，. (1)若，，，求； (2)若的面积是的面积的倍，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】（1）在中利用正弦定理求出，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）记的面积为，的面积为，则，过点作交于点，即可得到，从而用、表示出、，再由数量积的运算律得到，从而得到，再由面积比得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）依题意可得，， 在中由正弦定理，即， 解得，又， 所以，则， 所以； （2）记的面积为，的面积为， 所以， 过点作交于点，所以， 所以， 所以 ， ， 又， 所以 ， 所以，即 所以， 又的平分线为，所以， 所以，所以， 令，所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是用、作为一组基底表示出、，根据数量积的运算律推导出，再利用面积公式推导出. 34．(23-24高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)在中，，点为的外心. (1)若，求的值； (2)若，求的最大值； (3)求证：. 【答案】(1)22； (2). (3)证明见解析 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用余弦定理求出，取的中点，连接，根据数量积的运算律求出，同理可求出，从而得答案； （2）不妨设，由（1）可知，，给两边分别乘以，化简后列方程组表示出，化简后利用基本不等式可求得结果； （3）由题意得，设的外接圆半径为，则可得，设与的夹角为，则由夹角公可得，即可证得结论. 【详解】（1）由， 由余弦定理得， 取的中点，连接，则，所以   ， 同理可得， 所以的值为22； （2）不妨设， 因，同理可得， 则由可得 ，即得：① 又由可得 ，即得：② 联立①，②，解得： 则， 因，当且仅当时等号成立. 即当时，取得最大值. （3）由，则，由图知，则，    设的外接圆半径为， 则， 即， 又， 而， 则，而， 故， 不妨设与的夹角为， 则， 因，故，即， 故，得证. 【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量与三角函数的综合问题，考查基本不等式的应用，解题的关键是灵活应用三角形外心的性质，考查计算能力，属于难题. 35．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省辽阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）依题意可得，从而得到，即可得解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以， 所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是推导出，即. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题03 解三角形（6大题型35题） 题型概览 题型01 求边长（类）、周长的值及范围 题型02 求角及三角函数值 题型03 求中线、角平分线 题型04 求面积的值及范围 题型05 解三角形多选题（多考点综合） 题型06 解三角形的实际应用 优选提升题 ( 题型01 ) 求边长（类）、周长的值及范围 1．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)在中，，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．4 2．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)在中，角所对的边分别是，已知向量，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 3．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以a，b，c为边长的三个等边三角形的面积依次为，，．已知，． (1)求角B： (2)若的面积为，求c． 4．(23-24高一下·辽宁·期末)已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. (1)求角B； (2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围. 5．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 6．(23-24高一下·辽宁·期末)已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是 . 7．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，则的取值范围是 . 8．(23-24高一下·辽宁·期末)在中，分别为内角的对边，满足，则的值为 ． ( 题型02 ) 求角及三角函数值 9．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)在中，已知角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·辽宁·期末)记的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角的大小； (2)若，求的值． ( 题型03 ) 求中线、角平分线 11．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知在中，的角平分线与边相交于点，且，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．(23-24高一下·辽宁·期末)在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，求的长. 13．(23-24高一下·辽宁部分学校·)在中，角的对边分别为.已知，且. (1)求； (2)若为边的中点，求的长. ( 题型04 ) 求面积的值及范围 14．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 15．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)在中，已知，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高一下·辽宁五校联考·期末)在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 17．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知，角，，的对边分别为，，，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 18．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)已知为的中点，底边上中线长为时，求面积的最大值. 19．(23-24高一下·辽宁·期末)如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积的取值范围． 20．(23-24高一下·辽宁部分学校·)如图，在直角中，分别为边上的一点，，设. (1)当时，求的长； (2)当时，求面积的取值范围. ( 题型0 5 ) 解三角形多选题（多考点综合） 21．(23-24高一下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期末)数学家威廉·邓纳姆在书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的无言的证明，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（    ） A． B． C． D． 22．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为，其图象的对称轴为 C．（其中和的取值使各项都有意义） D．在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 23．(23-24高一下·辽宁大连育明高中·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件能得到为钝角三角形的是（    ） A． B． C． D． 24．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)在中，为边上一动点，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．当为角的角平分线时， D．当为中点时， ( 题型0 6 ) 解三角形的实际应用 25．(23-24高一下·辽宁·期末)有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（    ） A．海里 B．海里 C．50海里 D．海里 26．(22-23高一下·辽宁鞍山台安县高级中学·期末)如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（    ）    A． B． C． D． 27．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)在世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”. 这可视为中国古代极限观念的佳作. 割圆术可以视为将一个圆内按正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积. 运用割圆术的思想，可得到的近似值为（取近似值）（   ） A． B． C． D． 28．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算： (1)的长度 (2)隧道的长度． 29．(23-24高一下·辽宁大连·期末)如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 30．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)已知四边形的顶点都在半径为2的圆上，且经过圆的圆心，，四边形的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 31．(23-24高一下·辽宁·期末)在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则 ；若，则的值为 . 33．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)在中，是边上的中点，的平分线分别交，于点，. (1)若，，，求； (2)若的面积是的面积的倍，且，求的值. 34．(23-24高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)在中，，点为的外心. (1)若，求的值； (2)若，求的最大值； (3)求证：. 35．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$