期末专题02 向量数量积（7大题型34题）（辽宁专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题02 向量数量积（7大题型34题） 题型概览 题型01 平面向量基本定理及其应用 题型02 平行关系与垂直关系 题型03 投影向量 题型04 数量积及其应用 题型05 求向量模长 题型06 夹角及其应用 题型07 最值及范围问题 优选提升题 ( 题型01 ) 平面向量基本定理及其应用 1．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)在中，点D在边AB上，．记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据图形结合向量的线性运算分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 2．(23-24高一下·辽宁·期末)已知四边形的对角线交于点为的中点，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理的推论求解即得. 【详解】由为的中点，及，得，即， 又四边形的对角线交于点，即点共线，因此， 所以. 故答案为： ( 题型02 ) 平行关系与垂直关系 3．(23-24高一下·辽宁部分学校·)已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为，所以，则，解得. 故选：B. 4．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知向量，，若，则的值为 . 【答案】/ 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据平面向量的数量积坐标运算，由，得数量积为0，即可求得实数的值 【详解】因为，所以向量， 所以， 故答案为：. 5．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知向量，，若，则实数 . 【答案】3 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：3. 6．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)已知向量，若向量满足，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市重点联合体2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题 【分析】根据向量加法的坐标运算，结合平行，垂直的坐标结论可解. 【详解】设向量，则. 由，得 解得,故向量的坐标为. 故选：A. 7．(22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知平面向量，，若向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省葫芦岛市2022-2023学年高一下学期期末数学试题 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【详解】平面向量，，向量与垂直， 则，即， 故，解得． 故选：D． 8．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)在同一平面内的三个向量，若. (1)若，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)或 (2) 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用共线向量定义得，再利用向量模长的坐标表示得到方程，解出即可； （2）根据向量垂直得，展开代入数据计算得，最后利用向量夹角余弦值的公式即可. 【详解】（1），，其中， ， 或. （2）与垂直，， 于是，， ， . ( 题型03 ) 投影向量 9．(23-24高一下·辽宁·期末)已知向量 ，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A. 10．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)已知两个非零向量，满足 ，则 在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】根据，得，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】由题意，，解得， 所以 在上的投影向量为. 故选：. 11．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由已知得为等边三角形，结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由，得为等边三角形， 故过点作交于点，则为中点，    所以向量在向量上的投影向量为，与方向相反， 由是中点，为中点，有. 故选：C 12．(23-24高一下·辽宁大连育明高中·期末)已知在复平面内复数对应的向量分别为，若，则在上投影向量的坐标为 ． 【答案】 【来源】辽宁省大连市育明高中2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】先利用复数的几何意义得到向量的坐标，再利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为为， 所以，则， 所以在上投影向量的坐标为， 故答案为： 13．(23-24高一下·辽宁部分学校·期末)（多选）已知是所在平面内一点，，则下列命题是真命题的是（    ） A．外接圆的半径为 B．内切圆的半径为 C．若为的垂心，则在上的投影向量为 D．若为的外心，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 【分析】利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解判断A；利用三角形面积公式计算判断B；利用投影向量的意义求解判断CD. 【详解】对于A，由余弦定理得， 则外接圆的半径，A正确； 对于B，的面积为，设内切圆的半径为， 则，解得，B错误； 对于C，，若为的垂心， 则在上的投影向量为，C正确； 对于D，若为的外心，则在上的投影向量为，D正确. 故选：ACD 14．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)（多选）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 C．一定存在一个实数，使得 D．若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【来源】辽宁省辽阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】表示出，结合二次函数的性质判断A；根据且与不同向判断B；根据数量积的运算律得到，即可判断C；根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：若与的夹角为锐角，则且与不同向， 所以且，解得且，故B错误； 对于C：若，则， 所以，则，解得， 即存在，使得，故C正确； 对于D：当时，所以， 又， 所以在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：ACD ( 题型04 ) 数量积及其应用 15．(23-24高一下·辽宁·期末)已知向量、满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得. 【详解】由，，，得， 所以. 故答案为： 16．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)已知圆是的内切圆，与，，分别切于点，，，，，则圆的半径为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】先由数量积的几何意义得到，再利用求解. 【详解】解：如图所示： 因为， 所以，，， 又，则， 所以圆的半径为， 故选：C 17．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)（多选）在平面直角坐标系中，点，，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据点的坐标，求出向量，模以及数量积，再结合三角恒等变换公式等即可判断. 【详解】对A， ，，则， ，所以，故A正确； 对B， ，， 则，， 因为与的大小不确定，所以没办法判定是否相等，故B错误； 对C，， ，所以， ，所以，故C正确； 对D， ， ， 所以，故D错误. 故选：AC. 18．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案. 【详解】设的中点为，由为的外心可得，， ， 又， 所以， 又，可得， 故， 则的面积为. 故选：D. ( 题型0 5 ) 求向量模长 19．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】首先求出的坐标，再根据复数模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A 20．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)若平面向量与满足，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．31 【答案】B 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据求模公式及数量积公式即可求解. 【详解】， , 故选：B 21．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知向量，的夹角为，，. (1)求在上的投影的数量； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据投影的数量公式求解即可； （2）根据平面向量的运算结合数量积公式求解即可； （3）根据求解即可. 【详解】（1）在上的投影的数量为：； （2）因为向量，的夹角为，且，， 所以. 所以. （3）， 所以. ( 题型0 6 ) 夹角及其应用 22．(23-24高一下·辽宁·期末)已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量定义与等量关系可得，再利用夹角的计算公式即可求解. 【详解】由题意得，， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，即与的夹角为. 故选：C. 23．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用向量的线性运算的坐标表示求出，再根据相等，建立关于的等式求解． 【详解】解：，， ， ， ， 解得：， 故选：C． 24．(22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知非零向量，满足，且. (1)求； (2)当时，求和向量与的夹角的值． 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省葫芦岛市2022-2023学年高一下学期期末数学试题 【分析】（1）直接利用平方差公式计算即可； （2）利用展开求解，然后利用求角. 【详解】（1）由已知得，即， 解得； （2）， 所以， 所以， 又 所以. 25．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知平面上两个向量，，其中，，且． (1)若与共线，求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）运用向量共线的定理结论，求的值即可； （2）运用向量数量积的夹角的余弦公式求解即可． 【详解】（1）若与共线，则存在实数k， 使得，即， 因为向量与不共线，所以，解得． （2）因为， ， 所以． ( 题型0 7 ) 最值及范围问题 26．(23-24高一下·辽宁·期末)如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解. 【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 方法二：如图2，连接．易知， 设，则． 由已知可得，所以， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 27．(23-24高一下·辽宁部分学校·)已知向量的夹角为，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 【分析】根据题意结合数量积的运算律可得，进而可得最小值. 【详解】因为向量的夹角为，且，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 28．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)在中，，，点D为AC的中点，点E为BD的中点，，则的最大值为 ． 【答案】 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】将用基底表示出来，后用余弦定理，结合基本不等式可解. 【详解】如图所示，设分别为的角所对边， 由余弦定理知，，即，即. ,即，当且仅当取等号. 根据三点共线的向量结论，可知 ，， 则， 化简得. 则，当且仅当取等号. 则的最大值为. 故答案为：. 29．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据给定条件，可得，再建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示建立函数关系，进而求出最小值. 【详解】在中，，由，得， 则，即，以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，设，，， 由，得，解得， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标是解题的关键. 30．(23-24高一下·辽宁五校联考·期末)（多选）下列有关向量的命题正确的是（    ） A．若均为非零向量，且，则 B．已知单位向量满足，则 C．在中，若，且，则为等边三角形 D．若点在所在平面内，且，则点的轨迹经过的外心． 【答案】BCD 【来源】辽宁省五校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据模长关系结合数量积的运算律分析判断；对于C：根据单位向量结合三角形几何性质分析判断；对于D：利用平面向量数量积的运算性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，但，故A错误； 对于选项B：由题意可知：， 因为，即， 可得，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：因为分别表示与共线的单位向量， 则表示的角平分线上的向量， 若，可知； 又因为，即， 且，可得； 综上所述：为等边三角形，故C正确； 对于选项D：设线段的中点为，连接，则， 因为， 可得， 则 ， 即，可知点在的中垂线上， 所以，点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：BCD. 31．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. (1)当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； (2)求 的余弦值； (3)是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】（1）根据题意的，根据在三角形中可求得答案； （2）根据三角形中余弦定理运算公式可求得答案； （3）设，其中，根据，可得，分类讨论可求得的范围. 【详解】（1）因为是等腰梯形，，，点为线段中点 所以，则，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，如图所示.作轴于点,,可得, ， ，, 所以点的坐标为 （2）在中，， 所以, 因此的余弦值； （3）设，其中． 若，则， 即，可得． 若，则不存在， 若，则故． 32．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)在中，是边上的中点，的平分线分别交，于点，. (1)若，，，求； (2)若的面积是的面积的倍，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】（1）在中利用正弦定理求出，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）记的面积为，的面积为，则，过点作交于点，即可得到，从而用、表示出、，再由数量积的运算律得到，从而得到，再由面积比得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）依题意可得，， 在中由正弦定理，即， 解得，又， 所以，则， 所以； （2）记的面积为，的面积为， 所以， 过点作交于点，所以， 所以， 所以 ， ， 又， 所以 ， 所以，即 所以， 又的平分线为，所以， 所以，所以， 令，所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是用、作为一组基底表示出、，根据数量积的运算律推导出，再利用面积公式推导出. 33．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. (1)试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； (2)设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)不存在，理由见解析. 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）利用三角函数平方和关系并结合二次函数性质得，再根据即可判断； （2）利用辅助角公式即可求出函数值域，再对分类讨论； （3）求出，根据求出其最小值范围，则得到，再利用反证法得到互相矛盾的点即可证明. 【详解】（1）是R上的“完美三角形函数”. 因为，所以. 所以. 因为“”是“为上的“完美三角形函数”的充要条件， 所以函数是R上的“完美三角形函数”. （2）因为， 所以 . 且. 因为，所以. 所以的最大值为1，最小值为. ①当时， 由，得. ②当时，，满足题意. ③当时， 由，得. 综上，实数的取值范围是. （3）因为，则，所以， 由，得，则，又因为，故. 假设存在满足题意的三个点，则， 且， 所以， 所以. 即. 因为，所以. 所以. 因为，所以. 所以，与矛盾. 故不存在点满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用辅助角公式得到，求出其范围，最后对分类讨论即可. 34．(23-24高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)在中，，点为的外心. (1)若，求的值； (2)若，求的最大值； (3)求证：. 【答案】(1)22； (2). (3)证明见解析 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用余弦定理求出，取的中点，连接，根据数量积的运算律求出，同理可求出，从而得答案； （2）不妨设，由（1）可知，，给两边分别乘以，化简后列方程组表示出，化简后利用基本不等式可求得结果； （3）由题意得，设的外接圆半径为，则可得，设与的夹角为，则由夹角公可得，即可证得结论. 【详解】（1）由， 由余弦定理得， 取的中点，连接，则，所以   ， 同理可得， 所以的值为22； （2）不妨设， 因，同理可得， 则由可得 ，即得：① 又由可得 ，即得：② 联立①，②，解得： 则， 因，当且仅当时等号成立. 即当时，取得最大值. （3）由，则，由图知，则，    设的外接圆半径为， 则， 即， 又， 而， 则，而， 故， 不妨设与的夹角为， 则， 因，故，即， 故，得证. 【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量与三角函数的综合问题，考查基本不等式的应用，解题的关键是灵活应用三角形外心的性质，考查计算能力，属于难题. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题02 向量数量积（7大题型34题） 题型概览 题型01 平面向量基本定理及其应用 题型02 平行关系与垂直关系 题型03 投影向量 题型04 数量积及其应用 题型05 求向量模长 题型06 夹角及其应用 题型07 最值及范围问题 优选提升题 ( 题型01 ) 平面向量基本定理及其应用 1．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)在中，点D在边AB上，．记，，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一下·辽宁·期末)已知四边形的对角线交于点为的中点，若，则 . ( 题型02 ) 平行关系与垂直关系 3．(23-24高一下·辽宁部分学校·)已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知向量，，若，则的值为 . 5．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知向量，，若，则实数 . 6．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)已知向量，若向量满足，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．(22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知平面向量，，若向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)在同一平面内的三个向量，若. (1)若，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. ( 题型03 ) 投影向量 9．(23-24高一下·辽宁·期末)已知向量 ，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)已知两个非零向量，满足 ，则 在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 12．(23-24高一下·辽宁大连育明高中·期末)已知在复平面内复数对应的向量分别为，若，则在上投影向量的坐标为 ． 13．(23-24高一下·辽宁部分学校·期末)（多选）已知是所在平面内一点，，则下列命题是真命题的是（    ） A．外接圆的半径为 B．内切圆的半径为 C．若为的垂心，则在上的投影向量为 D．若为的外心，则在上的投影向量为 14．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)（多选）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 C．一定存在一个实数，使得 D．若，则在上的投影向量的坐标为 ( 题型04 ) 数量积及其应用 15．(23-24高一下·辽宁·期末)已知向量、满足，，，则 ． 16．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)已知圆是的内切圆，与，，分别切于点，，，，，则圆的半径为（    ） A．1 B． C． D． 17．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)（多选）在平面直角坐标系中，点，，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． ( 题型0 5 ) 求向量模长 19．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)若平面向量与满足，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．31 21．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知向量，的夹角为，，. (1)求在上的投影的数量； (2)求的值； (3)求的值. ( 题型0 6 ) 夹角及其应用 22．(23-24高一下·辽宁·期末)已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A．0 B． C． D． 23．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 24．(22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知非零向量，满足，且. (1)求； (2)当时，求和向量与的夹角的值． 25．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知平面上两个向量，，其中，，且． (1)若与共线，求的值； (2)求与的夹角的余弦值． ( 题型0 7 ) 最值及范围问题 26．(23-24高一下·辽宁·期末)如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．(23-24高一下·辽宁部分学校·)已知向量的夹角为，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 28．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)在中，，，点D为AC的中点，点E为BD的中点，，则的最大值为 ． 29．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 30．(23-24高一下·辽宁五校联考·期末)（多选）下列有关向量的命题正确的是（    ） A．若均为非零向量，且，则 B．已知单位向量满足，则 C．在中，若，且，则为等边三角形 D．若点在所在平面内，且，则点的轨迹经过的外心． 31．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. (1)当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； (2)求 的余弦值； (3)是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 32．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)在中，是边上的中点，的平分线分别交，于点，. (1)若，，，求； (2)若的面积是的面积的倍，且，求的值. 33．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. (1)试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； (2)设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 34．(23-24高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)在中，，点为的外心. (1)若，求的值； (2)若，求的最大值； (3)求证：. / 学科网（北京）股份有限公司 $$