期末专题01 三角函数、三角恒等变换（7大题型52题）（辽宁专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题01 三角函数、三角恒等变换（7大题型52题） 题型概览 题型01 终边相同的角 题型02 求三角函数值 题型03 弦切互化 题型04 三角函数的图象与性质 题型05 三角函数的伸缩偏移变换 题型06 参数范围问题 题型07 解答题综合 优选提升题 ( 题型01 ) 终边相同的角 1．(23-24高一下·辽宁·期末)与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)下列各角中与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 求三角函数值 3．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)计算：（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末) （    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知，若，则 ． 8．(23-24高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知锐角，且满足.则 . 9．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则 .    10．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 12．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)如图，为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得到逆时针旋转得到逆时针旋转得到，则 ，点的横坐标为 . ( 题型03 ) 弦切互化 13．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 15．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)若，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知，，则的值为 . ( 题型04 ) 三角函数的图象与性质 17．(23-24高一下·辽宁大连·期末)下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 18．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)函数在上的最大值为 . 20．(23-24高一下·辽宁部分学校·)已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ，在上的值域为 . 21．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)（多选）函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D．函数在上的最大值为 22．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为2π B．在区间上是单调递增函数 C．当时，的取值范围为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 23．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 24．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)（多选）已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（    ） A． B． C． D． 25．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)（多选）关于函数有下述四个结论，其中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．的最大值为2 D．在有4047个零点 26．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)已知的最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 三角函数的伸缩偏移变换 27．(23-24高一下·辽宁大连·期末)将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 28．(23-24高一下·辽宁部分学校·)将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 29．(23-24高一下·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标 ． 30．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 参数范围问题 32．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知函数在上单调递增，则的最大值为 . 33．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)若函数在上有个零点，则的取值范围是 . ( 题型0 7 ) 解答题综合 34．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)已知函数的一个对称中心为. (1)求的值； (2)讨论在区间上的单调性. 35．(22-23高一下·辽宁鞍山台安县高级中学·期末)已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若对，使得关于x的不等式恒成立，求实数m的最大值. 36．(23-24高一下·辽宁·期末)设平面向量，，函数． (1)求的单调增区间； (2)当时，求函数的值域； (3)若锐角满足，求的值． 37．(23-24高一下·辽宁·期末)已知，其中 （1）求的值 （2）求的值 38．(23-24高一下·辽宁·期末)设函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 39．(23-24高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 40．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)如图是函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间. 41．(23-24高一下·辽宁部分学校·)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若锐角满足，求的大小. 42．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数的最小正周期和单调递增区间； (3)若函数在区间上恰有3个零点，求a的取值范围和的值. 43．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知函数的部分图象，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)，求函数的值域； (3)若，求满足不等式的的取值范围. 44．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)已知函数，且. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若的值域是，求的取值范围. 45．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)设集合，则集合A的元素个数为（    ） A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 46．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)（多选）在平面直角坐标系中，点，，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 47．(23-24高一下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期末)（多选）数学家威廉·邓纳姆在书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的无言的证明，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（    ） A． B． C． D． 48．(23-24高一下·辽宁大连·期末)（多选）已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为，其图象的对称轴为 C．（其中和的取值使各项都有意义） D．在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 49．(23-24高一下·辽宁·期末)已知向量，函数． (1)求函数在上的单调递减区间； (2)若，且，求的值； (3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 50．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)已知函数. 请在下面的三个条件中任选两个解答问题. ①函数 的图象过点 ； ②函数 的图象关于点 对称； ③函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1. (1)求函数 的解析式； (2)若 是函数 的零点，求 的值组成的集合； (3)当 时，是否存在满足不等式？若存在，求出 的范围；若不存在，请说明理由. 51．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”． (1)设函数，求函数的“特征向量”； (2)若函数的“特征向量”为，求当且时的值； (3)若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 52．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. (1)试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； (2)设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题01 三角函数、三角恒等变换（7大题型52题） 题型概览 题型01 终边相同的角 题型02 求三角函数值 题型03 弦切互化 题型04 三角函数的图象与性质 题型05 三角函数的伸缩偏移变换 题型06 参数范围问题 题型07 解答题综合 优选提升题 ( 题型01 ) 终边相同的角 1．(23-24高一下·辽宁·期末)与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由终边相同的角的性质即可求解. 【详解】与角终边相同的角是，， 令，可得或， 当时，这个角为， 当时，这个角为， 只有选项D满足. 故选：D 2．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)下列各角中与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】运用终点相同的角的概念可解. 【详解】运用终点相同的角概念知道，与终边相同的角为 则当，. 故选：B. ( 题型02 ) 求三角函数值 3．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省沈阳市重点联合体2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题 【分析】利用二倍角公式结合一元二次方程求根解得结果； 【详解】因为，所以. 易知是方程的根， 且方程的两根分别为，. 因为当时，，所以. 故选：C. 4．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】直接使用诱导公式求解. 【详解】. 故选：A. 5．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末) （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 6．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】设交点为，根据三角函数的定义得到方程组，解得即可. 【详解】设交点为，则，解得， 所以交点坐标为. 故选：D 7．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知，若，则 ． 【答案】 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用诱导公式可求得，利用，结合二倍角的余弦公式可求值. 【详解】由，可得，则， 则 . 故答案为： 8．(23-24高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知锐角，且满足.则 . 【答案】/ 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】由三角恒等变换求解即可． 【详解】解：，且为锐角，得， 由为锐角，得，而， 得， 则 ， 故答案为： 9．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则 .    【答案】/0.96 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据给定的图形，利用直角三角形边角关系得，再利用同角公式及差角的余弦公式求解即得. 【详解】依题意，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 结合图形知，，即， 两式平方相加得， 即，所以. 故答案为：. 10．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】运用诱导公式化简，结合三角函数定义可解. 【详解】 . 根据三角函数定义. ． 故选：D. 11．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据给定条件，确定点的位置并求出坐标，再利用三角函数定义及差角的余弦公式计算即得. 【详解】线段中点的纵坐标为，则点在第二象限，而，则有点的横坐标为， 点在角的终边上，则点在角的终边上，，， 所以. 故选：A 12．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)如图，为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得到逆时针旋转得到逆时针旋转得到，则 ，点的横坐标为 . 【答案】 /0.96 【来源】辽宁省沈阳市重点联合体2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题 【分析】利用正弦的二倍角公式可得；两角和的余弦展开式可得. 【详解】由题意得， 所以； 因为点所在角为，则 . 故答案为：①；②. ( 题型03 ) 弦切互化 13．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市重点联合体2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题 【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 14．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】利用两角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化 【详解】因为，解得， 所以 . 故选：C 15．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】首先利用两角和的正切公式求，再利用三角函数恒等变化，转化为关于的齐次分式，转化为正切表示，即可求解. 【详解】，， ， . 故选：C 16．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知，，则的值为 . 【答案】/0.5 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由两角和的三角函数公式化简即可求得结果. 【详解】，，则， 所以，. 故答案为： ( 题型04 ) 三角函数的图象与性质 17．(23-24高一下·辽宁大连·期末)下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用诱导公式和正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性和奇偶性即可判断. 【详解】对A，，其定义域为，设， 因为，故其为偶函数，故A错误； 对B，，其定义域为，设， 则，则其为奇函数，且最小正周期为，故B正确； 对C，，其最小正周期为，故C错误； 对D，，其最小正周期为，故D错误. 故选：B. 18．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据正弦型函数的性质求解即可． 【详解】函数， 要求函数的增区间，即， 即. 令，得到.则A正确，B错误； 令，得到.则C，D错误． 故选：A． 19．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)函数在上的最大值为 . 【答案】 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】利用两角和的余弦公式化简函数解析式，再由的取值范围求出的范围，最后由余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 又，则， 所以当，即时取得最大值，即. 故答案为： 20．(23-24高一下·辽宁部分学校·)已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ，在上的值域为 . 【答案】 4 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 【分析】根据题意，由条件可得函数最小正周期，从而可得，然后结合正弦型函数的值域，代入计算，即可求解. 【详解】根据题意可得的最小正周期为，则，解得， 故.由，得. 当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为. 故在上的值域为. 故答案为：4； 21．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)（多选）函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D．函数在上的最大值为 【答案】AC 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得，再根据三角函数性质分别判断各选项. 【详解】由， 由是函数图象的一个对称中心， 即，， 解得，， 又，所以， 所以， 对于A选项：令，，解得，，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故A选项正确； 对于B选项：令，，解得，， 即函数的单调递减区间为，，当时，函数在单调递减，所以函数在上单调递增，B选项错误； 对于C选项：函数的图象向右平移个单位可得，C选项正确； 对于D选项：当时，，所以函数，即最大值为，D选项错误； 故选：AC. 22．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为2π B．在区间上是单调递增函数 C．当时，的取值范围为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BC 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】对于ABC，根据正弦函数的性质逐一分析判断即可；对于D，利用三角函数平移的性质即可判断. 【详解】对A,对于，它的最小正周期，故A错误； 当时，， 对B,又在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确； 对C,当时，，所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对D,的图象向左平移个单位长度得到解析式为，故D错误. 故选：BC． 23．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省辽阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据函数图象求出，即可求出，再根据函数过点，求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，所以，又，所以，解得， 所以，又函数过点，则， 又，所以，所以，则， 所以，则. 故选：D 24．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)（多选）已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】根据最小正周期求出，再由求出，即可得到函数解析式，从而判断A、B；由的范围求出的范围，结合正弦函数的性质求出的范围，即可判断C，最后求出、，从而判断D. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，故A错误； 所以，又， 所以，则，又， 所以，故B正确； 所以， 又，则，因为在上单调递增， 所以，解得，故C正确； 因为，， 所以，故D错误. 故选：BC 25．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)（多选）关于函数有下述四个结论，其中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．的最大值为2 D．在有4047个零点 【答案】AC 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】用定义法判断奇偶性处理A，在给定区间内得到具体函数解析式，利用三角函数的性质求解单调性判断B，利用不等式的性质判断C，举反例判断D即可. 【详解】由题意得， 所以是偶函数，故A正确，当时，， 此时在区间上单调递减，故B错误， 因为，，所以，且， 所以的最大值为2，故C正确， 当时，，所以此区间上有无数个零点， 故在不可能只有4047个零点，故D错误. 故选：AC 26．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)已知的最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市重点联合体2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题 【分析】根据解析式求出得的最小值为可得答案. 【详解】因为，所以， 由题意得为最小值，为最大值，所以的最小值为， 所以的最小值为. 故选：A. ( 题型0 5 ) 三角函数的伸缩偏移变换 27．(23-24高一下·辽宁大连·期末)将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据图象变换先得函数，再利用整体法求对称轴. 【详解】根据题意，， 令，得 当时，. 故选：A 28．(23-24高一下·辽宁部分学校·)将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 【分析】由图象的变换可得变换后的解析式. 【详解】根据题意可得，则. 故选：C. 29．(23-24高一下·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标 ． 【答案】（答案不唯一） 【来源】辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】根据函数图像平移法则可得出的解析式，再由余弦函数的对称中心可得出答案. 【详解】由题可知 则函数图象的一个对称中心的横坐标满足， 所以 则函数的对称中心为． 故答案为：（答案不唯一） 30．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】先根据三角函数变换规律求出，然后求出的单调递增区间，再由函数在上单调递增，得，从而可求出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度，得， 再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得 ， 所以， 由， 得， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以（）， 即（）， 解得， 因为，所以，所以. 故选：B 31．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据平移变换知识先求出的解析式，再根据三角函数的奇偶性得关于的方程即可计算求解. 【详解】由题意， 因为函数为奇函数，所以，， 又，所以当时，有最小值是. 故选：C. ( 题型0 6 ) 参数范围问题 32．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知函数在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用整体法结合正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为，则， 由函数在区间上单调递增， 可得 ，求得，则，故的最大值为， 故答案为：. 33．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)若函数在上有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】辽宁省辽阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用二倍角公式化简得到，令，参变分离可得，令，，从而得到，分析，的单调性，从而得到在上有个解，结合正弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围. 【详解】因为， 由，可得，所以， 因为，所以，所以， 令，则，所以，令，， 因为与在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为在上有个解， 则在上有个解， 则，则，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是换元，转化为在上有个解，确定的取值范围，由单调性确定的范围. ( 题型0 7 ) 解答题综合 34．(23-24高一下·辽宁部分高中·期末)已知函数的一个对称中心为. (1)求的值； (2)讨论在区间上的单调性. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题 【分析】（1）根据代入计算可得； （2）利用两角差的正弦公式化简，再根据的取值范围求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为函数的一个对称中心为， 所以，解得； （2）由（1）可得， 因为，所以， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 35．(22-23高一下·辽宁鞍山台安县高级中学·期末)已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若对，使得关于x的不等式恒成立，求实数m的最大值. 【答案】(1) (2). 【来源】辽宁省鞍山市台安县高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题 【分析】（1）结合图像，由最大最小值可得，由可得，由函数图像经过点可求，从而可得答案. （2）原不等式等价于, 使得成立，令，利用函数单调性求解最小值即可得答案. 【详解】（1）由所给函数图像可知，，，即，所以， 又图像过点，所以，， 解得，，    因为，所以当时，， 故. （2）若对于，关于x的不等式恒成立， 即对于，关于x的不等式恒成立， 即对于，恒成立. 当时，， 令时，为减函数， 所以当时，取得最小值为，即的最小值为， 故实数，所以m的最大值为. 36．(23-24高一下·辽宁·期末)设平面向量，，函数． (1)求的单调增区间； (2)当时，求函数的值域； (3)若锐角满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简得到，取，解得答案. （2），则，得到值域. （3）代入数据得到，化简得到，计算得到答案. 【详解】（1） ， 取，，解得，， 故的单调增区间为， （2），则，故 （3）， . 37．(23-24高一下·辽宁·期末)已知，其中 （1）求的值 （2）求的值 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，可得，两边平方后可得所求．（2）根据题意求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以． （2）因为，， 其中，， ， 所以 ． 【点睛】在解决三角中的给值求值问题时，解题的关键往往是要进行角的变换，将已知条件作为整体进行求解；同时在运用平方关系求三角函数值时，要注意所得结果的符号． 38．(23-24高一下·辽宁·期末)设函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）函数递增区间为，（2） 【分析】（1）化简，再根据正弦函数的单调增区间即可． （2）根据（1）的结果，再根据求出的范围结合图像即可． 【详解】解：（1） 由， 则函数递增区间为， （2）由，得 则 则，即值域为 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中等题． 39．(23-24高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）由已知条件可得的图象关于直线对称，则，再结合的范围可求得结果； （2）令，则，由的单调性，将问题转化为与的图象有一个交点，结合图象从而可求出的范围； （3）由，，则令，然后将问题转化为，不等式恒成立，对变形后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称， 所以，而，则，所以. （2），当时，设， 在为增函数，在为减函数， 所以方程有唯一实根， 等价于与的图象有一个交点， 由图象可知或， 所以或， 所以的范围是.    （3）由（1）知，，则， ，， 当时，，，令， 显然， 不等式， 依题意，，不等式恒成立， 显然， ，当且仅当，即时取等号， 则，所以实数的取值范围是. 40．(23-24高一下·辽宁沈阳重点联合体·期末)如图是函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省沈阳市重点联合体2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题 【分析】（1）首先根据图象的振幅，周期，五点，确定函数的参数，即可求得解析式； （2）代入公式求函数解析式，利用诱导公式和辅助角公式化简，再结合整体替代求解的单调递增区间. 【详解】（1）由图可知， 函数的最小正周期为， 则， 所以. 由，可得. 因为，则， 所以，所以， 所以. （2） . 令，则， 所以 . 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. 41．(23-24高一下·辽宁部分学校·)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若锐角满足，求的大小. 【答案】(1) (2)单调递增区间为 (3) 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 【分析】（1）根据正弦型函数的特点，结合正弦型函数中各参数的意义进行求解即可. （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. （3）由已知可得，利用两角和的余弦公式求解可得结论. 【详解】（1）由图可得. 由，得，解得. 将点的坐标代入中，得， 结合图象，点为正弦函数图象的第三个关键点变换的对应点， 则，. 因为，所以，故. （2）令， 得，故的单调递增区间为. （3）因为，所以. 因为均为锐角，所以. ， 因为，所以. 42．(23-24高一下·辽宁锦州·期末)已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数的最小正周期和单调递增区间； (3)若函数在区间上恰有3个零点，求a的取值范围和的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【来源】辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用三角恒等变换化简求得，由已知可得的图像关于点对称得出，即得函数解析式； （2）由公式可求得的最小正周期，利用正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调递增区间； （3）在区间上恰有3个零点转化为与在的图像上恰有3个交点求参数即可，再数形结合根据函数的对称轴即可计算求值. 【详解】（1） 由知，的图像关于点对称， 所以，，得，. 因为，所以， 即函数. （2）因为，所以 由，得， 所以函数的单调递增区间是，. （3）， 当时，. 函数在区间上恰有3个零点， 令，则在上有3个不相等的根. 即与在的图像上恰有3个交点， 作出与的图像，如图所示， 由图可知，， 且， 所以. 故a的取值范围为，的值为. 43．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知函数的部分图象，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)，求函数的值域； (3)若，求满足不等式的的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由图可得，借助，求出，代入点，求出 即可. （2）运用整体代入求解即可； （3）运用一元二次不等式解法解出，得，再借助三角函数图像性质解函数不等式即可 【详解】（1）由图可得， 则，因为，且，所以， 所以， 由图可知， 则，解得， 因为，所以， 故. （2）由（1）知， 设， ， 所以函数的值域为. （3）由，得， 则，， 解得或， 解得或. 又， 所以. 44．(23-24高一下·辽宁辽阳·期末)已知函数，且. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若的值域是，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省辽阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）代入最大值点化简函数即可求参； （2）应用正弦函数的单调增区间求解即可； （3）化简得出正弦函数的值域进而确定自变量的取值范围. 【详解】（1）因为，所以, 可得， 所以, 所以. （2） 的单调增区间为. （3）因为, 又因为, 所以即. 45．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)设集合，则集合A的元素个数为（    ） A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 【答案】A 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】运用正切函数的单调性，对称性和周期性可解题. 【详解】当时，，由正切函数性质知道，此时单调递增，则集合至少有1012个元素. 即为. 当时，由于正切函数关于对称，则，，，， 则当增加时，元素与前面的重复， 当时，元素等于 0， 当时，运用正切函数的周期性知道，又元素重复出现了， 则集合A的元素个数为1013个. 故选：A. 46．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)（多选）在平面直角坐标系中，点，，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据点的坐标，求出向量，模以及数量积，再结合三角恒等变换公式等即可判断. 【详解】对A， ，，则， ，所以，故A正确； 对B， ，， 则，， 因为与的大小不确定，所以没办法判定是否相等，故B错误； 对C，， ，所以， ，所以，故C正确； 对D， ， ， 所以，故D错误. 故选：AC. 47．(23-24高一下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期末)（多选）数学家威廉·邓纳姆在书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的无言的证明，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】利用图形结合解直角三角形，二倍角正弦公式和三角形面积公式求解判断各个选项. 【详解】对于A，在中，，，又， 则，，在中，， 因此，A正确； 对于B， 在中，，B错误； 对于C，在中，由，，得，C正确； 对于D，， ，因此，D正确. 故选：ACD 48．(23-24高一下·辽宁大连·期末)（多选）已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为，其图象的对称轴为 C．（其中和的取值使各项都有意义） D．在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 【答案】AC 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据给定定义，将转化为，结合余弦函数及性质、余弦定理逐项分析计算即得. 【详解】依题意，，当时，， 对于A，，A正确； 对于B，函数，的最小正周期为，其图象的对称轴为，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：AC 49．(23-24高一下·辽宁·期末)已知向量，函数． (1)求函数在上的单调递减区间； (2)若，且，求的值； (3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简，再根据三角函数的性质整体代换计算即可求单调减区间； （2）利用同角三角函数的平方关系得，再根据余弦的和角公式计算即可； （3）根据三角函数图象变换得，再根据三角函数的性质计算即可. 【详解】（1）因为， 所以即 又因为，所以函数在上的单调递减区间为 （2）若则，所以. 因为，所以， 所以，                     所以 故. （3）将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象， 即： 则，                           当时，                   由方程有一解，可得的取值范围为． 50．(23-24高一下·辽宁名校联盟·期末)已知函数. 请在下面的三个条件中任选两个解答问题. ①函数 的图象过点 ； ②函数 的图象关于点 对称； ③函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1. (1)求函数 的解析式； (2)若 是函数 的零点，求 的值组成的集合； (3)当 时，是否存在满足不等式？若存在，求出 的范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2) (3)存在； . 【来源】辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】（1）选择①②，将点代入，结合可求，由的图象关于点对称可得，结合，可得，即可解出函数解析式；选择①③：将点代入，结合可求，由函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1，可得，利用周期公式得，即可求解函数解析式；选择②③：由函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1，可得，结合周期公式得：，由图象关于点对称，得，，进而求解出函数解析式； （2）若是函数的零点，则根据不同解析式求解可得的值，解得，进而可得可能的取值，即可求解； （3）由，得，根据函数自变量的范围和利用偶函数的性质原不等式可化为关于的不等式，即可求解. 【详解】（1）选择①②：因为函数 的图象过点 ，所以， 解得，因为，所以， 因为函数的图象关于点对称，则， 可得，因为，所以， 所以； 选择①③： 因为函数 的图象过点 ，所以， 解得，因为，所以， 函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1， 所以，所以，解得：， 所以， 选择②③： 函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1， 所以，所以，解得：， 因为函数的图象关于点对称，则， 可得，所以 所以. （2）若是函数的零点，则 可得，所以或 解得：或， 若是函数 的零点， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的值组成的集合为 （3） 当时，，令，则， 令，则 因为，所以，即， 所以，即， 解得：. 所以实数的范围是：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出的解析式，再利用余弦函数的零点可求可能的取值，求的范围的关键是构造偶函数，利用单调性，解关于的不等式. 51．(23-24高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”． (1)设函数，求函数的“特征向量”； (2)若函数的“特征向量”为，求当且时的值； (3)若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可； （2）由已知可得，利用即可求解； （3）由定义得并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程得或且，求得两根，然后作出函数，的图象，由图象可得且有两根的范围． 【详解】（1）因为 所以的“特征向量”为． （2）由题意知， 由得，， 因为，，所以， 所以． （3），当时，． 由得， 所以或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 因为方程在上存在4个不相等的实数根， 所以当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线， 因为方程在上有两个不等实根， 即当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点， 由图像可知：或， 解得或， 所以实数G的取值范围是． 【点睛】本题在以新定义基础之上考查了三角函数的有关知识点，考查了诱导公式及三角恒等变换中的几个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题. 52．(23-24高一下·辽宁大连·期末)已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. (1)试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； (2)设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)不存在，理由见解析. 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）利用三角函数平方和关系并结合二次函数性质得，再根据即可判断； （2）利用辅助角公式即可求出函数值域，再对分类讨论； （3）求出，根据求出其最小值范围，则得到，再利用反证法得到互相矛盾的点即可证明. 【详解】（1）是R上的“完美三角形函数”. 因为，所以. 所以. 因为“”是“为上的“完美三角形函数”的充要条件， 所以函数是R上的“完美三角形函数”. （2）因为， 所以 . 且. 因为，所以. 所以的最大值为1，最小值为. ①当时， 由，得. ②当时，，满足题意. ③当时， 由，得. 综上，实数的取值范围是. （3）因为，则，所以， 由，得，则，又因为，故. 假设存在满足题意的三个点，则， 且， 所以， 所以. 即. 因为，所以. 所以. 因为，所以. 所以，与矛盾. 故不存在点满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用辅助角公式得到，求出其范围，最后对分类讨论即可. / 学科网（北京）股份有限公司 $$