期末必刷题02 热考题与压轴题（28题型93题）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版2024）

期末必刷题02 热考题与压轴题（28题型93题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 线段之间的数量关系 题型二 几何图形的角度计算 题型三 三角板中的角度计算 题型四 与方向角有关的计算问题 题型五 角平分线的有关计算 题型六 解一元一次方程 题型七 解一元一次方程的错解复原 题型八 已知方程的解，求参数 题型九 利用整体思想解一元一次方程 题型十 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型十一 绝对值方程 题型十二 一元一次方程与数轴综合 题型十三 一元一次方程与实际问题 题型十四 根据平行线的性质探究角的关系 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 题型十六 根据平行线的性质求角的度数 题型十七 根据平行线性质与判定求解 题型十八 平行线与三角板综合 题型十九 与平行线有关的折叠问题 题型二十 多项式与多项式相乘有关的不含/无关型问题 题型二十一 多项式乘法中的规律性问题 题型二十二 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型二十三 利用乘法公式进行简便运算 题型二十四 利用完全平方公式变形求解 题型二十五 配方法的应用 题型二十六 整式化简 题型二十七 整式乘法与图形面积 题型二十八 变量之间的关系 题型一 线段之间的数量关系 1．如图，已知为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长； (3)若，求的长． 【答案】(1)10； (2)6 (3)12 【分析】本题考查的是两点间的距离,熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键； （1）根据线段的定义数线段即可； （2）分别求出，再相减即可； （3）分别求出，进而即可求解 【详解】（1）解：图中线段有：共10条， 故答案为：10； （2）解：∵，N为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵N为的中点． ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ 2．如图，点C在线段上，，． (1)求的长． (2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①当D为的中点时，求的长． ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长． 【答案】(1) (2)①；②12或14 【分析】此题考查了线段的和差和中点的相关计算，分类讨论是解题的关键． （1）根据得到，即可求出的长； （2）①由中点的定义得到，则．由得到；②分两种情况讨论：点F在点C的左侧和点F在点C的右侧，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）①∵D为的中点， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ②分两种情况讨论： （ⅰ）如图1，当点F在点C的左侧时． ∵，， ∴. ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）如图2，当点F在点C的右侧时． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为12或14． 3．如图所示，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为____________；的长度为____________；的长度为____________． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1)6，10，4 (2)或 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）先求出的长，再根据中点定义求出、，最后根据线段的和差关系计算即可； （）分在点的右侧和左侧两种情况进行计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴； 故答案为：6，10，4； （2）解：当在点的右侧时，如图， ； 当在点的左侧时，如图， ； ∴的长度为或． 题型二 几何图形的角度计算 4．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了与角的平分线有关的计算，熟练掌握角的平分线的定义即从角的顶点出发的射线把这个角分成相等的两个角是解题的关键． （1）先计算，再根据角的平分线，计算即可． （2）先计算，再根据角的平分线得定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线，是的平分线 ∴，， ∴； （2）与α的数量关系为．理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线，是的平分线． ∴，， ∴． 5．如图①，和都是直角． (1)如果，那么_________． (2)找出图①中除和之外相等的角：如果，它们还会相等吗？ (3)如果变小，那么如何变化？请说明理由． (4)在图②中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（添上适当的字母，明确回答出与相等的角） 【答案】(1) (2)中相等的锐角是：；如果，它们还会相等，理由见解析 (3)变大，理由见解析 (4)画图见解析，． 【分析】本题主要考查了垂直的定义，余角的概念，画垂线； （1）根据，即可求解； （2）结合图形，利用余角的性质进行分析即可； （3）由（1）可得，结合题意，即可求解； （3）先用尺规画直角，再利用等角的余角相等进行求解即可； 【详解】（1）解：∵和都是直角． ∴， 故答案为：． （2）中相等的锐角是：， 会相等，理由： ∵和都是直角， ∴，， ∴， 如果，它们仍相等； （3）由（1）可得 ∴如果变小，那么变大， （4）如图， 以为边画，再以为边画，由同角的余角相等得． 6．已知，． (1)如图1，当在的内部时，若，求的度数； (2)如图2，当射线在的内部，在的外部时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)将图2的绕点O顺时针旋转，当的外部且时，分别在内部和内部画射线、，使，，求的度数 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)当时，；当时，；当，． 【分析】本题考查角的运算，解题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解题． （1）先求出，然后再根据，即可求出； （2）根据和，即可作出判断； （3）设，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，根据角和差计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由如下：∵，， ∴， ∴； （3）解：设， ①当时，如图3， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，点在的延长线上， 则，，， ∴，， 此时与或重合， 当与重合时，， 当与重合时，， ③当时，如图， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 综上：当时，；当时，；当，或． 题型三 三角板中的角度计算 7．数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义解答即可． （2）仿照（1）的思路解答即可． （3）仿照（1）的思路解答即可． 本题考查了角的和差，角的平分线，平角的定义，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． 8．如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O 处，且 均小于． (1)当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写： ① （填“>”或“<”或“=”）． ②和的数量关系是： ． (2)当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中： ①和 的大小关系是否成立 （填“是”或“否”）． ②和 的数量关系是否成立 （填“是”或“否”）． (3)当两三角尺的位置是图（3）位置时，若分别是 的平分线，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)①是；②是 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟练进行角度的转换，进行计算是解题的关键． （1）①利用角度转换即可解答；②利用角度转换即可解答； （2）①利用角度转换即可解答；②利用角度转换即可解答； （3）根据角平分线的定义，进行角度的计算即可． 【详解】（1）解：①因为, 所以,即； ②因为， 所以， 所以； 故答案为：；； （2）解：①是，理由如下： 因为, 所以,即； ②是，理由如下： 因为, 所以, 所以； （3）解：根据(1)可知， 分别是的平分线， ， ， ， ． 9．如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线上，现将含角的三角板绕点逆时针旋转，在这个过程中： (1)如图2，当平分时，试问是否也平分，请说明理由； (2)当所在的直线平分时，求的度数； (3)试探究（小于）与之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见详解 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义等知识，理解题意，弄清各角在旋转过程中的数量关系是解题关键． （1）先根据角平分线的定义求出的度数，从而可得的值，再根据互补角的定义可得的度数，由此即可得解； （2）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差即可得答案； （3）设旋转角的度数为，分、和三种情况，分别根据角的和差即可得． 【详解】（1）解：平分，理由如下： 如下图， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即平分； （2）当所在的直线平分时， 可得， ∴； （3）或或，理由如下： 设旋转角为，则，可分三种情况讨论： ①当时，在内部，如下图， 则； ②当时，在外部，且，如下图， 则； ③当时，如下图， 则， ∴． 综上所述，或或． 题型四 与方向角有关的计算问题 10．已知为直线上的一点，，． (1)如图①，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是________；若将射线、射线绕点旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）求出的度数，根据方向角的定义，即可得到射线的方向，根据角的和差关系，角平分线的定义，推出； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东； ∵，， ∴，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 11．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西． (1)若，则的方向是 (2)若是的反向延长线，则的方向是 (3)在(2)的条件下，可以看作是由射线绕点O旋转至形成的，作的平分线，则的方向是 (4)在(1)(2)(3)的条件下，求的度数． 【答案】(1)北偏东 70° (2)南偏东40° (3)南偏西50°或北偏东 50° (4)或 【分析】本题主要考查了方位角，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，可知的方向； 对于（2），根据的方向可解答； 对于（3），分两种情况得出答案； 对于（4），分两种情况：；，再代入度数计算． 【详解】（1）解：如图所示，根据题意，得， ∴， ∴， 所以的方向是北偏东； 故答案为：北偏东； （2）解：如图所示，根据题意可知， 所以的方向是南偏东； 故答案为：南偏东； （3）解：如图所示， ∵平分， ∴， ∴， 所以的方向是南偏西或北偏东． 故答案为：南偏西或北偏东； （4）解：； ． 所以的度数是或． 题型五 角平分线的有关计算 12．（1）探索规律 点C在线段上，则有三条线段．若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称C是线段的“巧点”． ①线段的中点 这条线段的“巧点”．(填“是”或“不是”) ②若，C是线段的“巧点”，求的长． （2）探究类比 如图，平分，是内部从点O出发的一条射线，平分． ①若，求的度数． ②设，x与y具有怎样的数量关系？ 【答案】（1）①是；②或或；（2）①；② 【分析】本题考查线段的和差倍分．角平分线的定义及角的和差． （1）①根据“巧点”的定义即可求解；②分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可； （2）①由角平分线的定义，得出，再结合图形，即可求解； ②由角平分线的定义，得出 ，表示出，由，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵线段的长是线段中点分割的两条线段长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”； ②∵，点C是线段的“巧点”， 若C在中点的左边，则； 若C在中点的右边，则； 若点C在中点，则； 故的长度为或或； （2）①解：平分，， ， ∵， ， ∵平分， ∴； ②解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即． 13．阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边所组成的两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)是三等分线，理由见解析 (3) 【分析】（）根据“外邻余线”的定义得，进而得，即可求解； （）根据“外邻余线”及余角性质得，进而可得，得到 ，即可求解； （）由平角定义得，进而由角平分线的定义得，，再根据“外邻余线”的定义得，即得，即可求解； 本题考查了余角的定义及性质，角平分线的定义，角的三等分线，掌握余角的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：因为是的“外邻余线”， 即与互余， 所以， 即， 因为， 所以， 所以； （2）解：是三等分线，理由如下： 因为是的“外邻余线”， 即与互余， 所以， 又因为， 所以， 所以； 因为是的“外邻余线”， 即与互余， 所以， 所以， 所以， 所以． 所以， 所以是的三等分线； （3）解：因为点在同一条直线上，， 所以， 所以． 因为平分， 所以， 因为平分， 所以， 因为是的“外邻余线”，是的“外邻余线”， 即与互余，与互余， 所以， 所以． 即， 又因为， 所以， 所以， 所以． 14．如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 题型六 解一元一次方程 15．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得到，， 移项得，， 合并同类项得到，， 系数化为1得，； （2） 去分母得到， 去括号得到，， 移项得，， 合并同类项得到，， 系数化为1得， 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握方程的解法与步骤是解答的关键． （1）根据移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解方程即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解方程即可． 【详解】（1）解：移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得． 题型七 解一元一次方程的错解复原 17．下面是小彬同学解方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解：第①步 第②步 第③步 第④步 (1)小彬解方程时；从第_______步开始出现错误； (2)以上步中，第_______步是移项，移项的依据是_______ (3)请直接写出解该方程的正确结果：_______； 【答案】(1)① (2)②，等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）根据去括号的特征及乘法分配律解题； （2）根据移项的特征结合等式的性质：等式的两边加（或减）同一个数，等式仍成立解题即可； （3）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后化系数为1即可得到该方程的解． 【详解】（1）解：小彬的计算从第①步就错了，错误的原因是：应用乘法分配律时漏乘了， 故答案为：①； （2）解：根据题意得，步骤②是移项，移项的依据是：等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等； 故答案为：②，等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项提， 解得． 故答案为：． 18．下面是小亮解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 ______，得．第三步 合并同类项，得．第四步 方程两边都除以，得．第五步 填空： (1)以上求解步骤中，第三步变形的名称是______，其依据是______； (2)以上求解步骤中第______步开始出错，这一步错误的原因是______； (3)请直接写出该方程的正确解______． 【答案】(1)移项；等式的基本性质； (2)二；去括号时，等号左边括号外的没有和括号内的第二项1相乘； (3)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤． （1）根据第三步中，等号左边的2到等号右边去了可知，这一步是移项，依据是等式的性质； （2）步骤中第二步开始出错，去括号时，等号左边括号外的和括号内的第二项1相乘计算错误； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤，进行解答即可． 【详解】（1）解：第三步变形的名称是移项，其依据是等式的基本性质（等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立）； 故答案为：移项；等式的基本性质； （2）解：以上求解步骤中第二步开始出错，这一步错误的原因是去括号时，等号左边括号外的没有和括号内的第二项1相乘； 故答案为：二；去括号时，等号左边括号外的和括号内的第二项1相乘计算错误； （3）解：正确求解过程： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边都除以，得． 故答案为：． 19．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【答案】(1)A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母 (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步骤以及相关运算法则是解题关键． （1）根据去分母法则分析即可； （2）先将分子分母同时，将分母变为整数，再依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：他错在A步骤，错误的原因是将方程中的小数变为整数误当成了去分母， 故答案为：A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母； （2）解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型八 已知方程的解，求参数 20．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查解一元一次方程，根据题意把代入方程解关于的方程即可求解，掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 整理得，， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴的值为6． 21．已知是方程的解，求关于的方程的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 先把代入中，得到关于a的方程，求出，再把代入中，得到关于y的方程，即可求解． 【详解】解：把代入中得， 解得：； 把代入得，， 解得：． 22．若关于x的方程与方程有相同的解，求a的值． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解方法是解题的关键．解方程得出的值，根据题意代入的值到方程，即可求出a的值． 【详解】解：解方程，得， 关于x的方程与方程有相同的解， 代入到方程，得， 解得：， a的值为3． 23．设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）先求出方程的解为，再将代入已知方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先求出两个方程的解，再根据关于的方程的解比已知方程的解大可得一个关于的一元一次方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵方程与方程的解相同， ∴将代入方程得：， 解得． （2）解：， ， 解得， ， ， ， 解得， ∵关于的方程的解比方程的解大， ∴， 解得， ∴， 所以已知方程的解为． 题型九 利用整体思想解一元一次方程 24．【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 25．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于a，b，c的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）∵a，b互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， ． 题型十 与解一元一次方程有关的新定义问题 26．用“”定义一种新运算：规定．如． (1)若（其中为有理数），试比较，的大小； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，理解新定义是解答本题的关键． （1）先根据新定义变形，再用作差法比较； （2）根据新定义转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ， ∵为有理数， ∴， ， ∴ ； （2）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴． 27．定义：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为和谐方程．判断一元一次方程和是否互为和谐方程．并说明理由． 【答案】是，见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解答本题的关键． 先解出两个一元一次方程的解，再根据“和谐方程”的定义判断即可得解． 【详解】解：方程和是互为和谐方程，理由如下： 解方程，得，     解方程，得，   因为和互为相反数， 所以，方程和互为和谐方程． 28．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)不是“美好方程”，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）先求解每一个方程，再根据“美好方程”的定义即可判断； （2）先求解每一个方程，再根据“美好方程”的定义即可判断； 【详解】（1）解：不是“美好方程”，理由如下： 由，解得：， 由，解得：， ∵， ∴方程与方程不是“美好方程”； （2）解：由，解得：， 由，解得：， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得：． 题型十一 绝对值方程 29．【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1) ； (2)在数轴上，有理数2与所对应的两点之间的距离为 ； (3)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则 ； (4)利用数轴分析，若x是整数，且满足，求出满足条件的所有x的值的和是多少？ 【答案】(1)5； (2)5； (3)4或； (4)4． 【分析】本题考查数轴上两点间距离计算；理解两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点间距离公式求解即可； （3）把求的x，转化为x对应的点到1所对应的点的距离是3，再求出x值即可； （4）把求的x，转化为求x对应的点到所对应的点的距离和到4所对应的点的距离之和为7，再分别求出满足条件的整数x，再求和即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）解：有理数2与所对应的两点之间的距离为， 故答案为：5； （3）解：由题意得表示x对应的点到所对应的点的距离是3， 当x对应的点在1所对应的点的左侧时，， 当x对应的点在所对应的点的右侧时，， 综上所述，或4， 故答案为：4或； （4）解：表示在数轴上，x对应的点到所对应的点的距离和到4所对应的点的距离之和为7， ∵， ∴所对应的点到4所对应的点的距离为7， ∴观察数轴可知，所有符合条件的整数是， ∴满足条件的所有x的值的和为：． 30．阅读与思考． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：， ，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 解方程． 解法一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，得或， 解得：或． 解法二：当时；原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，即，解得， 所以原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)若关于的方程只有1个解，求方程的解及的值． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和绝对值的意义，熟知解一元一次方程的方法和绝对值的意义是解题的关键． （1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得到或，再根据方程只有1个解得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵， ∴或， ∴或， ∵原方程只有1个解， ∴， ∴， ∴． 31．我们知道，是在数轴上表示数的点到原点的距离．进一步地，若点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离就可以表示为．反过来，也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例，若，求x的值． 解：①，即． 文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于2的点表示的数． ②图形语言：                                                   ③答案：x的值为或 -3 ． 通过以上学习，完成以下问题： (1)若，求x的值； 解：①文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于到表示3的点的距离相等的点表示的数． ②请补全图形语言： ③答案：___________． (2)若，则x的值为_________． (3)代数式的最小值为______，此时x的取值范围是_________． 【答案】(1)②见解析；③ (2)或5 (3)5， 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）在数轴上表示出来，根据题中的例题写出答案即可； （2）分两种情况讨论：当在的左侧时，，当在3的右侧时，； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，的最小值为5． 【详解】（1）解：②补全图形语言如下： ③； 故答案为：； （2）解：当在的左侧时，， 当在3的右侧时，， 或； 故答案为：或5； （3）解：由题意得： 表示轴上到表示的点和表示3的点的距离和， 当时，则，此时无最小值； 当时，， 当时，，此时无最小值； 综上所述：当时，有最小值为5， 故答案为：5，． 题型十二 一元一次方程与数轴综合 32．在数轴上有分别表示数，其中，且与互为相反数．点是数轴上一动点，规定点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“亲密点”． (1)当运动到表示最大的负整数时，若将数轴折叠，使点与点重合，求出与点重合的点表示的数是多少？ (2)①若点运动到原点时，此时点 关于的“亲密点”（填是或不是）； ②若点从点以每秒个单位长度向右运动，当点是关于的“亲密点”，求点的运动时间． (3)若在原点左边（即对应的数是负数）且中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“亲密点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)①不是；②或 (3)或或或或或 【分析】（）根据非负数的性质和相反数的定义求出的值，即得线段的中点表示的数，由根据点表示最大的负整数，可得点表示的数为，最后利用中点公式即可求解； （）①分别求出的距离，再根据“亲密点”的定义判断即可；②设点的运动时间为秒，可得点表示的数为，再分点在点的左侧和右侧，分别列出方程解答即可； （）设点表示的数为，则或，，，再分分六种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴分别表示数， ∴线段的中点表示的数为， ∵点表示最大的负整数， ∴点表示的数为， 设与点重合的点表示的数为，则， ∴， ∴与点重合的点表示的数是； （2）解：①当点运动到原点时，，， ∵， ∴此时点不是关于的“亲密点”， 故答案为：不是； ②设点的运动时间为秒， 由题意得，点表示的数为， 当点在点的左侧时，，， ∵点是关于的“亲密点”， ∴， 解得； 当点在点的右侧时，，， ∵点是关于的“亲密点”， ∴， 解得； 综上，点的运动时间为或； （3）解：设点表示的数为，则或，，， 分六种情况进行讨论： ①当点是关于的“亲密点”时， ， 即， 解得； ②当点是关于的“亲密点”时， ， 即 或， 解得或； ③当点是关于的“亲密点”时， ， 即， 解得； ④当点是关于的“亲密点”时，， 即或， 解得或； ⑤当点是关于的“亲密点”时，， 即， 解得； ⑤当点是关于的“亲密点”时，， 即， 解得； 综上所述，所有符合条件的点表示的数是或或或或或． 【点睛】本题考查了数轴与有理数，非负数的性质，相反数的定义，两点间距离公式，中点公式，一元一次方程的应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 33．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 【分析】此题考查的知识点是数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解并运用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由已知得，则，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是； （2）由题意可得点Q表示的数为．①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即，解得；②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则，根据绝对值的几何意义有，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， ∵A，B两点间的距离为10， ∴， ∴， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P所表示的数为：； 故答案为：；； （2）解：∵动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴运动t秒时，点Q表示的数为：． ①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即 ， 解得：， ∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则， 即， 解得：或， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 34．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若到的距离刚好是，则点叫做的“幸福点”，若到、的距离之和为，则叫做、的“幸福中心”． (1)如图，点表示的数为，则的幸福点所表示的数应该是 　 　； (2)如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为，点就是、的幸福中心，则所表示的数可以是 　 　（填一个即可）； (3)如图，、、为数轴上三点，点所表示的数为，点所表示的数为，点所表示的数为，现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心？ 【答案】(1)或 (2)（答案不唯一） (3)秒或秒 【分析】本题考查数轴及一元一次方程的应用，新定义“幸福中心”， （1）根据“幸福点”定义，分点再点的左边和点再点的右边两种情况讨论即可求解； （2）根据“幸福中心”定义，可知在线段上，即可得出答案； （3）设运动秒，则运动后所表示的数是，分两种情况列方程并求解即可； 解题的关键是理解“幸福点”和“幸福中心”的含义，列出方程解决问题． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点是的“幸福点”， ∴当点在点的左边时，点表示的数是：， 当点在点的右边时，点表示的数是：， ∴点所表示的数为：或， 故答案为：或； （2）∵点所表示的数为，点所表示的数为， 又∵，即、之间的距离为， ∴点所表示的数可以是到之间的任意一个数， ∴所表示的数可以是， 故答案为：（答案不唯一）； （3）设运动秒，则运动后所表示的数是， ∵点所表示的数为，点所表示的数为， ∴， ∴点不可能在线段上， 当在右侧时，， 解得：； 当在左侧时，-1-（8-2t）+4-（8-2t）=6， 解得：， ∴当经过秒或秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心． 35．综合与实践： 如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围； (3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)值不随着时间的变化而变化，始终 (3)存在，或 【分析】本题考查了实数与数轴，非负数的性质，两点间的距离公式，一元一次方程的应用，分类构造方程是解题关键． （1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得的值，根据两点间的距离，可得答案； （2）t秒时，点表示，点B表示，点表示，根据根据两点间的距离公式计算计算即可； （3）先把A、B、C用表示，点表示，点B表示，点表示， 当A、相遇时，，解得，当、相遇时，，解得， 分类讨论4种情况，当时，当时，当时，当时，构造方程计算即可． 【详解】（1）解：依题意，． 所以； （2）解：秒后，点始终在点的左侧，∴， 点始终在点的右侧，∴， ∵是定值， ∴的值不随着时间的变化而变化，始终， （3）解：∵点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒， ∴秒后A表示的数为，表示的数为，表示的数为， 当A、相遇时，，解得， 当、相遇时，，解得， ∴当时，，， ∵，，解得； 当时，，， ∵，∴，解得； 当时，，， ∵， ∴，解得，舍去； 当时，，解得（舍弃）． 故答案为：或． 36．综合与探究如图，点表示的数是，点表示的数是，满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)________，________． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①问点运动多少秒时追上点？ ②问点运动多少秒时使得？ (3)若点从点出发向左运动，为的中点，在点到达点之前，求证：的值为定值． 【答案】(1)， (2)①点运动秒时追上点；②点运动秒或秒时使得 (3)见解析 【分析】本题考查了数轴与一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①由题意得：，，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点追上点时两点在数轴上表示的数相同列方程即可求解；②由点表示的数是，点表示的数是，可得，根据列方程即可求； （3）分别表示出、、，再求的值即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：①由题意得：，， 点表示的数是，点表示的数是， 点表示的数是，点表示的数是， 点追上点时，， 解得：， 点运动秒时追上点； ②点表示的数是，点表示的数是， ， 当时，， 解得：或， 点运动秒或秒时使得； （3）解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，，， 为的中点， ， ， ． 题型十三 一元一次方程与实际问题 37．某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配25名工人生产电压表 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设应分配x名工人生产电压表．根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设应分配x名工人生产电压表， 根据题意，得， 解得：． 答：应分配25名工人生产电压表． 38．我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间． 【答案】“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟，则“天河一号”原来的运算速度为，根据这项任务的总量不变列出方程求解即可． 【详解】解：设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟． ， 解得． 答：“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间． 39．的出现，不仅为我国人工智能的发展注入新的活力，更让全世界见证了我国在领域的卓越创新与突破．某人工智能研发公司要购进一种芯片，他们购买的这种芯片价格是：商家按成本提价后标价，再打八五折卖给他们．结果商家每片这种芯片获利元，求这种芯片的标价． 【答案】这种芯片的标价为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种芯片的成本价为元，则这种芯片的标价为元，由题意列出方程，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种芯片的成本价为元，则这种芯片的标价为元， 由题意得，， 解得：， ∴这种芯片的标价为， 答：这种芯片的标价为元． 40．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【答案】(1)该队必答环节后的总分数为210分 (2)该队抢答对5道题 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 【详解】（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． 41．根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解掌握统计表的特点及作用，并根据统计表提供的信息，解决有关实际问题． （1）根据题意和表格中的数据可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：方式一：（元）， 方式二：（元）， 答：一个月内在本地通话分钟,按方式一需交费元，按方式二需交费元. （2）解：设分钟两种计费方式收费一样多， 根据题意得，， 解得， 答：当通话分钟时，两种计费方式收费一样. 42．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9，求原来的两位数． 【答案】36 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决数字问题，解题的关键是假设未知数，找准等量关系． 假设原来的两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，表示出新数和原来的数，根据两个数的关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：假设原来的两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， ∴该数为，新数为， 根据题意得， 解得， ∴原来的两位数为． 43．某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过8立方米 每立方米元 超过8立方米 超过的部分每立方米元 (1)写出每月用水量不超过8立方米和超过8立方米时，水费与用水量之间的关系式： ①每月用水量不超过8立方米时，________； ②每月用水量超过8立方米时，________； (2)若某户居民某月用水量为立方米，则应交水费多少元？ 【答案】(1)①，② (2)应交水费元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关于的函数关系式，再根据函数关系式求值． （1）根据用水量是否超过立方米，分两种情况建立水费与用水量的关系式．对于超过的情况，需先计算不超过部分的费用，再计算超出部分的费用； （2）用水量立方米超过立方米，代入第二个关系式计算，即可求解． 【详解】（1）解：①当每月用水量不超过立方米时，， 故答案为：； ②当每月用水量超过立方米时，， 故答案为：； （2）当时，（元）， 答：应交水费元． 44．（列一元一次方程解决问题）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 【答案】(1)4分钟 (2)分钟 【分析】本题主要考查了一元一次方程实际问题中的行程问题，熟练掌握行程问题的基本等量关系是解决本题的关键． （1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，小明分钟走的路程分钟走的路程爸爸追上小明所走路程，列出方程求解即可求解． （2）设爸爸出发y分钟追上小明，爸爸与小明相遇时爸爸的路程小明分钟的路程，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸追上小明用了x分钟，依题意得 ， 解得． 答：爸爸追上小明用了4分钟； （2）设爸爸出发y分钟追上小明，由题意得∶ ， 解得， 答： 爸爸出发分钟追上小明． 45．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站10千米的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟．这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60千米/小时，人步行的平均速度是5千米/小时． (1)当小汽车出现故障时，乘这辆车4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站，问这四个人步行的距离为多少千米？这8个人全部到达火车站需要多少分钟？ (2)再设计一种方案，使得8人全部到达火车站的用时小于（1）中的方案，并通过计算说明． 【答案】(1)千米，分钟 (2)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，在此题中，要联系生活实际．同时要会用线段图在草稿上画出示意图，找到正确的等量关系列出方程． （1）设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为千米，根据路程÷速度=时间列方程求解； （2）要想8人都能赶上火车，应考虑尽量让车走的同时，人也在走，先用小汽车把第一批人送到离火车站较近的某一处，让第一批人步行，与此同时第二批人也在步行中；接着小汽车再返回接第二批人，使第二批人与第一批同时到火车站，据此求解． 【详解】（1）解：设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为千米， 根据题意得， 解得． （小时）， （分钟）， 答：这四个人步行的距离为千米；这8个人全部到达火车站所需时间为分钟． （2）解：方案：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内4个人送到某地方后，让他们下车步行，小汽车立即返回接出现故障汽车内的4个人，使得两批人员最后同时到达车站．两批人员步行的距离相同．如图，D为无故障汽车人员下车地点，C为故障汽车人员再次上车地点． 设，根据题意得， 解得． 所以（小时）， 所以（分钟）． 因为， 所以此方案可行． 46．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 【答案】(1)22 (2)不可以；理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9， ∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为； 故答案为：22； （2）不可以，理由如下： 由题意，得：， 解得：， 此时不存在“十字型”，故的值不可以是90． 47．丢番图的墓志铭． 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，但历史上没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍，甚至连他的国籍都没有明确的记载，然而有趣的是，他竟然有一个墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须．又过了生命的七分之一才结婚．再过5年，他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，他在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”你知道丢番图结婚时和去世时的年龄分别是多少吗？ 【答案】丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁 【分析】本道题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握是解答本题的关键．设丢番图的年龄为岁，由此得出他的每个阶段的经历的年数列出等量关系即可解答． 【详解】解：设丢番图去世时的年龄是岁． 根据题意，得， 解得， （岁）， 答：丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁． 题型十四 根据平行线的性质探究角的关系 48．阅读材料并回答问题： 问题情境： （1）如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为________度． 问题迁移： （2）如图2，，点在射线上运动，记，． ①当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系． 问题解决： （3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）（2）①②（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质求解． （1）过作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等即可求解； （2）①过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等即可求解； ②分情况进行讨论，当点在点左侧时和在点右侧时，过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等可求解，最后综合表示即可； （3）过点作，假设，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等，表示出相关的角，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：（1）过作， ∵， ∴， ∴， ， ∴, 故答案为：； （2）①如图所示，过点作， ∵， ∴， ， ； ②如图所示，当点在点左侧时，过点作， ∵， ∴， ， ； 如图所示，当点在点右侧时，过点作， ∵， ∴， ， ； 综上，； （3）∵， ∴在同一条直线上， 如图，过点作，假设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 49．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 50．如图，平面上有两条直线，，，P是平面上这两直线间的一点． 【问题提出】（1）如图1，若，，则的度数为__________． 【问题探究】（2）如图2，__________，写出推理过程． 【问题解决】（3）如图3，若，，，求的度数．（用含x，y，z的式子表示） 【答案】（1）；（2），过程见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行线的性质进行角度的转化与计算． （1）通过过点作，构造平行关系，利用平行线性质求； （2）如图，过点P作，过点Q作，根据平行线同旁内角互补的性质求角度和； （3）过点P作，过点Q作，构造平行关系，依据平行线性质找出角度间的数量关系求解． 【详解】解：（1）过点作， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图，过点P作，过点Q作， ，，， ， ，，， ， 故答案为：； （3）如图，过点P作，过点Q作， ，，， ， ，，， ， 即， ． 51．问题情境： 找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上． 探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由． 探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________． 同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究． 探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）． 探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________． 【答案】探究一：，理由见解析；探究二：；探究三：；探究四：或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分角的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 探究一：过点作，利用平行线的传递性和两直线平行同旁内角互补，即可得出结论； 探究二：过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等，即可得出结论； 探究三：过点作，过点作，过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等，即可得出结论； 探究四：过点作，过点作，利用平行线的传递性和两直线平行同旁内角互补得出，再利用角平分线得出，根据三等分角和两直线平行内错角相等得出． 【详解】解： 探究一：，理由如下， 如图所示，过点作， 又∵， ， ∴， 即， 故答案为：； 探究二：，理由如下， 如图所示，过点作， 又∵， ， ∴， 即； 探究三：，理由如下， 如图所示，过点作，过点作，过点作， 又∵， ， ， 即； 探究四：或，理由如下， 如图所示，过点作，过点作， 又∵， ， , ， ∵平分，平分， ， 又∵，， ， 故或． 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 52．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：过点F作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：①如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ② 过点E作， 由题意可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：与所成锐角的度数为． 53．某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)3秒，58秒，93秒，118秒 (3)能垂直，A灯旋转秒或45秒 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系； （1）求出，，根据得，即可得出结论； （2）先计算出第一次到达需要时间，设A灯旋转时间为t秒，分类讨论列出一元一次方程，再分情况讨论求解即可； （3）设A灯旋转秒时，分类列出一元一次方程讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ∵， ， ， ． （2）设A灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒）， ，即． 由题意可知，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行， ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得； ⑤，解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的的值为3秒，58秒，93秒，118秒． （3）设A灯旋转秒时，与互相垂直， ①，解得； ②，解得； 即当A灯旋转秒或45秒时，与互相垂直． 54．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②为定值， 【分析】本题考查了非负数的性质，列代数式，解一（二）元一次方程(组)，平行线的性质，平行公理的推论．利用非负数的性质和平行线的性质列出方程（组）是解题的关键． （1）利用非负数的性质，列方程组解出即可； （2）设转动时间，并表示出灯和灯转动的角度，再利用平行线的性质，列出方程解出即可； （3）①利用锯齿形中各角的关系即可列出代数式； ②利用①的结论和②中的条件，用表示出与，即可探究出的值． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：； （2）当两灯灯光第一次平行时， 则：， 解得：； （3）①如图，过点C作， ， ， ， ∴， 经过秒，， ， 故答案为：； ②为定值， ， ， ， ， ，， ， ． 题型十六 根据平行线的性质求角的度数 56．太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识． 情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射． （1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______． 拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由； 应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值． 【答案】（1）；（2）（3），， 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，相交线，平行线，关键是相关性质的熟练掌握． （1）根据对顶角相等，； （2）延长交于点，延长交于点，根据，以及对顶角相等可得，由内错角相等，两直线平行可得； （3）分三种情况讨论，①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）如图 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，延长交于点，延长交于点， 则，， ， ， ， ， 即， ； （3）射线运动时间为：（秒），射线的运动时间为秒， ∴射线最多运动到， 当，未相遇时，设射线交于点，射线 交于点， ∵， ∴， 与互相垂直时， ， ， 解得， ②如图所示，当射线返回时， ， ， 解得； ③当回到时，刚好垂直， ， 综上所述，，，时，与互相垂直． 57．如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究： (1)探究反射规律，如图3 ①若，则___________（用含的代数式表示）． ②若光线，判断与的位置关系，并说明理由． (2)模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 【答案】(1)① ②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是列代数式，图形的变化规律和平行线的性质，熟练掌握上述知识点并找出题目中各角的关系是解题的关键． （1）①根据，即可得出结果； ②先求出，，再根据，可得，即，得出，可求出，即可； （2）延长交于点，根据，得出，又因为，得出，根据，求出，则，即可由求解． 【详解】（1）解：①，， ， 故答案为：； ②，理由如下： ，， ， 同理，， ， ， 即， ， ， ； （2）解：延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 58．综合与实践 筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． (1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O，，垂足为点O，．则 的度数为 ． (2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，，F为上一点，射线与交于点I，射线交于点E． ① ； ②若，与所在的直线存在什么位置关系？请说明理由． (3)图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点M，交于点E，与 交于点G，射线交于点H．（温馨提示：小学就知道三角形内角和是180） ①若，则 ； ②若，当，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②，见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定和三角形内角和进行计算与证明； （1）根据邻补角的性质得出，再根据垂直的定义得出即可； （2）①根据两直线平行，同旁内角互补证明即可；②根据内错角相等，两直线平行证明即可； （3）①根据两直线平行，同旁内角互补和三角形内角和定理求解即可；②根据平行线的性质和三角形内角和定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：①∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； ②； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：①∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， 由①可知， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴ ∴． 题型十七 根据平行线性质与判定求解 59．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 60．【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 【答案】【问题发现】：见解析；【拓展探究】：；【解决问题】： 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解本题的关键； 问题发现：过点作，再根据题干提示逐一完成推理依据与推理过程即可； 拓展探究：过作，而，可得，再利用平行线的性质可得结论； 解决问题：过作，可得，再进一步利用平行线的性质可得答案． 【详解】问题发现： 证明：过点作． ，， （平行公理推论）． （两直线平行，内错角相等）． （辅助线作法）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 即． 拓展探究： 解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 解决问题： 解：过作． ， ． ，． ． ， ． 61．【探究结论】如图1，，为平行线内一点，连接、得到，经推理证明可得．（不要求证明） 【探究应用】利用以上结论解决下面问题： (1)如图2，和的平分线交于点，的度数是________； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，试说明； (3)如图4，点为线段（端点除外）上的一个动点，过点作的垂线交于，交于，、的平分线相交于，则________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据、分别平分和，得到，，由于到，于是得到，即可得到结论； （2）过点作，由已知可得，，得到，由于平分，求得，由于，于是得到，由于，得到，然后根据平行线的性质即可得到结论； （3）根据、的平分线相交于，得到，，由于，得到，且；根据，得，再利用等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, 故答案为：； （2）证明：如图，过点I作， ∵， ∴， 由已知可得，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 同理，且， ∵的平分线相交于P， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十八 平行线与三角板综合 62．若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再求出； （2）先证明，根据内错角相等即可证明； （3）先求出，进而可证，然后可证． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）． 理由：，， ， ， ． ， ， ． 63．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______； （2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由； （3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 又， ． 64．如图，将一直角三角板放在两条平行线之间，可以求两角之和或两角之差．    (1)在图甲中，容易求得．则在图乙中，可以求得的度数为______； (2)在图丙中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由； (3)在图丁中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由． 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】（1）根据平角的性质可得，，由此即可求解； （2）如图所示：过三角板的直角顶点作的平行线，根据平行线的性质可得，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作，根据平行线的性质可得，，，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    ∵，，且， ∴， ∴图乙中的度数为， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图所示：过三角板的直角顶点作的平行线，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． （3）解：，理由如下：    如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角板的相关计算，掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形中角度的数量关系等知识是解题的关键． 题型十九 与平行线有关的折叠问题 65．如图1是一张长方形纸片，将该纸片沿折叠得到图2．    (1)若，求的度数； (2)若，则的度数为_______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据平行线的性质得出，，求出的度数，最后根据进行计算即可得到答案； （2）先根据平行线的性质得出，，求出的度数，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，   ，， ， 如图2，   ，， ， ， ； （2）解：如图1，   ，， ， 如图2，   ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 66．阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 67．综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； ②结论： 理由：由题意得：， ， ， ， ， （2），理由如下： 由题意得：，， ， ， ， ． 题型二十 多项式与多项式相乘有关的不含/无关型问题 68．若的展开式中不含x和项，求m和n的值． 【答案】， 【分析】本题考查多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式的运算法则化简原式，再使得x和项的系数为零求得m、n值即可． 【详解】解： ∵展开式中不含x和项， ∴，， 解得，． 69．已知的结果中不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则，能正确求出p值要解答的关键． 先利用多项式乘以多项式化简整理原式，再根据题意使x的二次项系数为0求出p值，然后代入所求式子中求解即可． 【详解】解：原式 ． ∵的结果中不含二次项， ∴， 解得：， ∴． 70．已知，． (1)求证：代数式的值与的取值无关； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查整式的乘法以及化简求值． （1）将代数式化简即可求解； （2）计算，进而将字母的值代入，即可求解． 【详解】（1）解：证明： ∴代数式的值与的取值无关 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ 题型二十一 多项式乘法中的规律性问题 71．杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键． （1）利用题干表的系数对应写出展开式，即可求解三项； （2）利用题干表的系数对应写出展开式，找出系数为10的项即可； （3）先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴第三项为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴系数为10的项为和， 故答案为：和； （3）解：，，，…， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． 72．【知识背景】我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算术》（1261 年）一书中，用三角形形状排列数字解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050 年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 【知识解读】杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 【知识应用】阅读材料，完成填空： （1） （） （2） （3） （4） （5） ． （6）请写出展开式： ． 【迁移应用】利用杨辉三角，计算114值．（要求写出解答过程） 【答案】（1）；（5）；（6）；迁移应用： 【分析】本题考查与完全平方公式相关数字的变化规律，正确得出“杨辉三角”的规律是解题关键． 知识应用：根据0次幂意义即可得出，其他空根据“杨辉三角”的规律写出各项系数即可； 迁移应用：根据“杨辉三角”的规律得到的展开式，计算即可得答案； 【详解】解：（1）（） （2） （3） （4） （5）． （6）请写出展开式：． 迁移应用： 解： 73．计算下列各式： _______． _______． _______． (1)由此可发现：_______（只写出结果）； (2)利用（1）计算的值． 【答案】(1) (2)1093 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及数字规律问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． （1）根据前几个等式左右变化规律求解即可； （2）利用（1）中规律得到，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，， 故答案为：． （2）解：由（1）知，， 所以 ． 题型二十二 （x+p）（x+q）型多项式乘法 74．在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【答案】(1) (2)①②③④ 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察阅读材料得到结果即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：①；②；③；④． 题型二十三 利用乘法公式进行简便运算 75．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，有理数的乘方运算，熟练掌握相关知识是解决此题的关键． （1）将变为，再利用完全平方公式计算即可； （2）先变形为，然后利用平方差公式简算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 76．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． （2）运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十四 利用完全平方公式变形求解 77．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先求出，再根据完全平方公式拓展公式，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 78．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)0 【分析】本题考查的是利用完全平方公式求解代数式的值； （1）把代入，再计算即可； （2）把代入，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 79．已知：，，求及的值． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，由题意可得，，由可得出的值，由可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴得：， ∴， 由可得：， ∴． 题型二十五 配方法的应用 80．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)有最大值，当时，有最大值 (3) 【分析】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值3； 故答案为：3，3； （2）解：， 当时，有最大值． 即有最大值，此时； （3）解：， 当时，的最小值为． 81．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______． (2)求出代数式的最小值． (3)比较代数式和的大小． 【答案】(1) (2)代数式的最小值是5； (3)． 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）求差，再按照题中的方法求解即可． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是5； （3）解：∵ ， ∵， ∴， ∴． 题型二十六 整式化简 82．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，代入计算即可求解． 【详解】解： ， 当，时，． 83．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】此题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，多项式除以多项式等知识，利用完全平方公式，平方差公式，多项式除以多项式法则 即可化简，再将，代入化简后的式子计算即可得出答案，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 84．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简的结果，再求解，，代入计算即可. 【详解】解： ； ∵． ∴，． ∴，， ∴原式． 题型二十七 整式乘法与图形面积 85．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 项目背景 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到： 问题探究 提出问题 （1）由图2可以得到：_____________． 迁移应用 （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，求的值． 拓展创新 （3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（画出一种即可） 【答案】（1）；（2）13；（3）见解析 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是运用多项式乘多项式的计算法则计算． （1）由图2可以得，按照多项式乘多项式的计算法则计算； （2）根据图2所得的等式，得，因为，求出； （3）依照示例画出图形即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：             （2）由（1）可知：                  （3）如图． 86．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①3；②；③2 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 87．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． (1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②： 公式③： 公式④： 图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ，（填序号）； (2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值． 为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： (3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) ③ ④ ② (2)10 (3)165 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键． （1）由题意知，图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，然后作答即可； （2）由，可得，，由题意知，，由公式①，可得，可得的结果，计算求出满足要求的解即可； （3）由题意知，，，可得，，整理得，则，即，根据，代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式， 故答案为：③，④，②． （2）解：设， ∴，， 由题意知，， ∴， 由公式①，可得，即， ∴， ∴或， ∴或， 解得，或（舍去）， ∴大正方形的边长的值为． （3）解：由题意知，，， ∴或（舍去） ∴，整理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 题型二十八 变量之间的关系 88．圆锥的高变化时，圆锥的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ． (2)在这个变化过程中，写出圆锥的体积V与高h之间的关系式； (3)当h由变化到时，V是怎样变化的？ 【答案】(1)h，V (2) (3)当h由变化到时，V是由变化到 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系． （1）利用自变量与因变量的概念进行回答； （2）利用圆锥的体积公式求解； （3）分别计算出和对应的变量的值可得到V的变化情况． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是h，因变量是V； 故答案为：h，V； （2）解：； （3）解：当时，；当时，； 所以当h由变化到时，V是由变化到． 89．星期五小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店．买到彩笔后继续往家走，如图是她离家的距离与所用时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？ (2)买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是多少米/分？ 【答案】(1)米 (2)米/分 【分析】本题考查了根据图象获取变量信息； （1）第一段是从学校回家，第二段是返回文具店，第三段是在文具店内，第四段是从文具店到家，参照数据即可得出答案． （2）根据路程除以速度，即可求解． 【详解】（1）解： 米， 答：小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是米 （2）米分， 答；买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是米分． 90．小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值． 凳子的数量（个） 1 2 3 4 叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62 根据以上信息，回答下列问题： (1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米； (2)写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______； (3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由． 【答案】(1)72 (2) (3)不能能叠放11个，理由见解析 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值等等： （1）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可； （2）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可； （3）根据（2）所求求出当时，n的值即可得到结论． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米， ∴当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为厘米， 故答案为：72； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：不能能叠放11个，理由如下： 当时，， ∴， ∴不能能叠放11个． 91．父亲告诉小明“距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格． 距离地面的高度 0 1 2 3 4 5 温度/℃ 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答． (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么随着的变化，是怎么变化的？请求出与之间的关系式． (3)距离地面的高空的温度是多少？ 【答案】(1)上表反映了温度和距离地面的高度之间的关系，距离地面的高度是自变量，温度是因变量 (2)每上升，温度降低， (3) 【分析】（1）函数是指在一个变化过程中的两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它相对应，此时x叫自变量，y叫x的函数．由函数的定义即可回答． （2）根据表中数据的变化规律，找到温度和高度之间的关系，列出关系式． （3）将h等于6代入解析式，即可求出距离地面的高空温度． 【详解】（1）解：上表反映了温度和距离地面的高度之间的关系，距离地面的高度是自变量，温度是因变量； （2）解：由表可知，每上升，温度降低，可得关系式为． （3）解：将代入（2）中关系式得，． 【点睛】本题考查的是对函数定义的考查和图表的识别，自变量、因变量的区分． 92．写出下列变量之间的关系式： (1)已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下表 码 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 厘米 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 设鞋子的“码”数为，长度为（厘米），则与之间的关系式为______． (2)2022北京冬奥会花样滑冰的平均票价为120美元，若购买10张以上，超过10张部分打八折，那么付款金额元，与购买门票张数（张）（）之间的关系式______． (3)一水箱中有水，水从管中匀速流出，流完，求水箱中的剩余水量（）与流出时间（）之间的关系式______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由表格中的数据可知，鞋子码数每增加1，则鞋子长度增加0.5厘米，据此求解即可； （2）根据付款金额=10个人的全票钱+（x-10）个人的打八折的票钱，进行求解即可； （3）用水的总重量减去t分钟排出的水的重量进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 故答案为：； （3）解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，（3）中注意单位的换算． 93．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)请直接写出点B所对应的数； (2)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (3)轿车出发多长时间追上货车？ 【答案】(1)1.5 (2)轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米 (3)轿车出发2.4小时追上货车 【分析】（1）点B所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可； （2）根据图象先算出货车的速度，用轿车到达乙地所用的时间乘以货车的速度可算出货车与甲地的距离； （3）由图象可知两车相遇在第2.5小时之后，算出轿车在CD段的速度，根据等量关系，轿车行驶路程＝货车行驶路程，列出方程解决问题即可． 【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时除法， ∴轿车第1.5小时出发， ∴点B所对应的数是1.5； （2）解：根据图象可知，货车速度是（千米/小时）， （千米）， ∴轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米； （3）解：∵轿车在CD段的速度是：（千米/小时）， 设轿车出发x小时追上货车， ∴， 解得， ∴轿车出发2.4小时追上货车． 【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，能够在图象中提取有用信息并解决问题是解决本题的关键． $$期末必刷题02 热考题与压轴题（28题型93题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 线段之间的数量关系 题型二 几何图形的角度计算 题型三 三角板中的角度计算 题型四 与方向角有关的计算问题 题型五 角平分线的有关计算 题型六 解一元一次方程 题型七 解一元一次方程的错解复原 题型八 已知方程的解，求参数 题型九 利用整体思想解一元一次方程 题型十 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型十一 绝对值方程 题型十二 一元一次方程与数轴综合 题型十三 一元一次方程与实际问题 题型十四 根据平行线的性质探究角的关系 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 题型十六 根据平行线的性质求角的度数 题型十七 根据平行线性质与判定求解 题型十八 平行线与三角板综合 题型十九 与平行线有关的折叠问题 题型二十 多项式与多项式相乘有关的不含/无关型问题 题型二十一 多项式乘法中的规律性问题 题型二十二 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型二十三 利用乘法公式进行简便运算 题型二十四 利用完全平方公式变形求解 题型二十五 配方法的应用 题型二十六 整式化简 题型二十七 整式乘法与图形面积 题型二十八 变量之间的关系 题型一 线段之间的数量关系 1．如图，已知为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长； (3)若，求的长． 2．如图，点C在线段上，，． (1)求的长． (2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①当D为的中点时，求的长． ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长． 3．如图所示，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为____________；的长度为____________；的长度为____________． (2)若在直线上，且，求的长度． 题型二 几何图形的角度计算 4．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系，并说明理由． 5．如图①，和都是直角． (1)如果，那么_________． (2)找出图①中除和之外相等的角：如果，它们还会相等吗？ (3)如果变小，那么如何变化？请说明理由． (4)在图②中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（添上适当的字母，明确回答出与相等的角） 6．已知，． (1)如图1，当在的内部时，若，求的度数； (2)如图2，当射线在的内部，在的外部时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)将图2的绕点O顺时针旋转，当的外部且时，分别在内部和内部画射线、，使，，求的度数 题型三 三角板中的角度计算 7．数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 8．如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O 处，且 均小于． (1)当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写： ① （填“>”或“<”或“=”）． ②和的数量关系是： ． (2)当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中： ①和 的大小关系是否成立 （填“是”或“否”）． ②和 的数量关系是否成立 （填“是”或“否”）． (3)当两三角尺的位置是图（3）位置时，若分别是 的平分线，求的度数． 9．如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线上，现将含角的三角板绕点逆时针旋转，在这个过程中： (1)如图2，当平分时，试问是否也平分，请说明理由； (2)当所在的直线平分时，求的度数； (3)试探究（小于）与之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 题型四 与方向角有关的计算问题 10．已知为直线上的一点，，． (1)如图①，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是________；若将射线、射线绕点旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 11．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西． (1)若，则的方向是 (2)若是的反向延长线，则的方向是 (3)在(2)的条件下，可以看作是由射线绕点O旋转至形成的，作的平分线，则的方向是 (4)在(1)(2)(3)的条件下，求的度数． 题型五 角平分线的有关计算 12．（1）探索规律 点C在线段上，则有三条线段．若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称C是线段的“巧点”． ①线段的中点 这条线段的“巧点”．(填“是”或“不是”) ②若，C是线段的“巧点”，求的长． （2）探究类比 如图，平分，是内部从点O出发的一条射线，平分． ①若，求的度数． ②设，x与y具有怎样的数量关系？ 13．阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边所组成的两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 14．如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 题型六 解一元一次方程 15．解方程 (1) (2) 16．解方程： (1)； (2)． 题型七 解一元一次方程的错解复原 17．下面是小彬同学解方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解：第①步 第②步 第③步 第④步 (1)小彬解方程时；从第_______步开始出现错误； (2)以上步中，第_______步是移项，移项的依据是_______ (3)请直接写出解该方程的正确结果：_______； 18．下面是小亮解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 ______，得．第三步 合并同类项，得．第四步 方程两边都除以，得．第五步 填空： (1)以上求解步骤中，第三步变形的名称是______，其依据是______； (2)以上求解步骤中第______步开始出错，这一步错误的原因是______； (3)请直接写出该方程的正确解______． 19．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 题型八 已知方程的解，求参数 20．已知关于的方程的解是，求的值． 21．已知是方程的解，求关于的方程的解． 22．若关于x的方程与方程有相同的解，求a的值． 23．设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 题型九 利用整体思想解一元一次方程 24．【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 25．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 题型十 与解一元一次方程有关的新定义问题 26．用“”定义一种新运算：规定．如． (1)若（其中为有理数），试比较，的大小； (2)若，求的值． 27．定义：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为和谐方程．判断一元一次方程和是否互为和谐方程．并说明理由． 28．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 题型十一 绝对值方程 29．【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1) ； (2)在数轴上，有理数2与所对应的两点之间的距离为 ； (3)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则 ； (4)利用数轴分析，若x是整数，且满足，求出满足条件的所有x的值的和是多少？ 30．阅读与思考． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：， ，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 解方程． 解法一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，得或， 解得：或． 解法二：当时；原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，即，解得， 所以原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)若关于的方程只有1个解，求方程的解及的值． 31．我们知道，是在数轴上表示数的点到原点的距离．进一步地，若点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离就可以表示为．反过来，也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例，若，求x的值． 解：①，即． 文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于2的点表示的数． ②图形语言：                                                   ③答案：x的值为或 -3 ． 通过以上学习，完成以下问题： (1)若，求x的值； 解：①文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于到表示3的点的距离相等的点表示的数． ②请补全图形语言： ③答案：___________． (2)若，则x的值为_________． (3)代数式的最小值为______，此时x的取值范围是_________． 题型十二 一元一次方程与数轴综合 32．在数轴上有分别表示数，其中，且与互为相反数．点是数轴上一动点，规定点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“亲密点”． (1)当运动到表示最大的负整数时，若将数轴折叠，使点与点重合，求出与点重合的点表示的数是多少？ (2)①若点运动到原点时，此时点 关于的“亲密点”（填是或不是）； ②若点从点以每秒个单位长度向右运动，当点是关于的“亲密点”，求点的运动时间． (3)若在原点左边（即对应的数是负数）且中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“亲密点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 33．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度？ 34．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若到的距离刚好是，则点叫做的“幸福点”，若到、的距离之和为，则叫做、的“幸福中心”． (1)如图，点表示的数为，则的幸福点所表示的数应该是 　 　； (2)如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为，点就是、的幸福中心，则所表示的数可以是 　 　（填一个即可）； (3)如图，、、为数轴上三点，点所表示的数为，点所表示的数为，点所表示的数为，现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心？ 35．综合与实践： 如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围； (3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 36．综合与探究如图，点表示的数是，点表示的数是，满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)________，________． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①问点运动多少秒时追上点？ ②问点运动多少秒时使得？ (3)若点从点出发向左运动，为的中点，在点到达点之前，求证：的值为定值． 题型十三 一元一次方程与实际问题 37．某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 38．我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间． 39．的出现，不仅为我国人工智能的发展注入新的活力，更让全世界见证了我国在领域的卓越创新与突破．某人工智能研发公司要购进一种芯片，他们购买的这种芯片价格是：商家按成本提价后标价，再打八五折卖给他们．结果商家每片这种芯片获利元，求这种芯片的标价． 40．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 41．根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 42．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9，求原来的两位数． 43．某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过8立方米 每立方米元 超过8立方米 超过的部分每立方米元 (1)写出每月用水量不超过8立方米和超过8立方米时，水费与用水量之间的关系式： ①每月用水量不超过8立方米时，________； ②每月用水量超过8立方米时，________； (2)若某户居民某月用水量为立方米，则应交水费多少元？ 44．（列一元一次方程解决问题）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 45．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站10千米的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟．这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60千米/小时，人步行的平均速度是5千米/小时． (1)当小汽车出现故障时，乘这辆车4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站，问这四个人步行的距离为多少千米？这8个人全部到达火车站需要多少分钟？ (2)再设计一种方案，使得8人全部到达火车站的用时小于（1）中的方案，并通过计算说明． 46．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 47．丢番图的墓志铭． 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，但历史上没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍，甚至连他的国籍都没有明确的记载，然而有趣的是，他竟然有一个墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须．又过了生命的七分之一才结婚．再过5年，他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，他在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”你知道丢番图结婚时和去世时的年龄分别是多少吗？ 题型十四 根据平行线的性质探究角的关系 48．阅读材料并回答问题： 问题情境： （1）如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为________度． 问题迁移： （2）如图2，，点在射线上运动，记，． ①当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系． 问题解决： （3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明理由． 49．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 50．如图，平面上有两条直线，，，P是平面上这两直线间的一点． 【问题提出】（1）如图1，若，，则的度数为__________． 【问题探究】（2）如图2，__________，写出推理过程． 【问题解决】（3）如图3，若，，，求的度数．（用含x，y，z的式子表示） 51．问题情境： 找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上． 探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由． 探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________． 同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究． 探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）． 探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________． 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 52．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 53．某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 54．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 题型十六 根据平行线的性质求角的度数 56．太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识． 情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射． （1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______． 拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由； 应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值． 57．如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究： (1)探究反射规律，如图3 ①若，则___________（用含的代数式表示）． ②若光线，判断与的位置关系，并说明理由． (2)模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 58．综合与实践 筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． (1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O，，垂足为点O，．则 的度数为 ． (2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，，F为上一点，射线与交于点I，射线交于点E． ① ； ②若，与所在的直线存在什么位置关系？请说明理由． (3)图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点M，交于点E，与 交于点G，射线交于点H．（温馨提示：小学就知道三角形内角和是180） ①若，则 ； ②若，当，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系． 题型十七 根据平行线性质与判定求解 59．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 60．【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 61．【探究结论】如图1，，为平行线内一点，连接、得到，经推理证明可得．（不要求证明） 【探究应用】利用以上结论解决下面问题： (1)如图2，和的平分线交于点，的度数是________； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，试说明； (3)如图4，点为线段（端点除外）上的一个动点，过点作的垂线交于，交于，、的平分线相交于，则________． 题型十八 平行线与三角板综合 62．若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 63．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______； （2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由； （3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 64．如图，将一直角三角板放在两条平行线之间，可以求两角之和或两角之差．    (1)在图甲中，容易求得．则在图乙中，可以求得的度数为______； (2)在图丙中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由； (3)在图丁中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由． 题型十九 与平行线有关的折叠问题 65．如图1是一张长方形纸片，将该纸片沿折叠得到图2．    (1)若，求的度数； (2)若，则的度数为_______（直接写出结果）． 66．阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 67．综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 题型二十 多项式与多项式相乘有关的不含/无关型问题 68．若的展开式中不含x和项，求m和n的值． 69．已知的结果中不含二次项，求的值． 70．已知，． (1)求证：代数式的值与的取值无关； (2)若，求的值． 题型二十一 多项式乘法中的规律性问题 71．杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 72．【知识背景】我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算术》（1261 年）一书中，用三角形形状排列数字解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050 年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 【知识解读】杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 【知识应用】阅读材料，完成填空： （1） （） （2） （3） （4） （5） ． （6）请写出展开式： ． 【迁移应用】利用杨辉三角，计算114值．（要求写出解答过程） 73．计算下列各式： _______． _______． _______． (1)由此可发现：_______（只写出结果）； (2)利用（1）计算的值． 题型二十二 （x+p）（x+q）型多项式乘法 74．在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 题型二十三 利用乘法公式进行简便运算 75．简便计算： (1)； (2)． 76．用简便方法计算： (1) (2) 题型二十四 利用完全平方公式变形求解 77．已知，，求的值． 78．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 79．已知：，，求及的值． 题型二十五 配方法的应用 80．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 81．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______． (2)求出代数式的最小值． (3)比较代数式和的大小． 题型二十六 整式化简 82．先化简，再求值：，其中，． 83．先化简，再求值：，其中，． 84．先化简，再求值：，其中，． 题型二十七 整式乘法与图形面积 85．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 项目背景 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到： 问题探究 提出问题 （1）由图2可以得到：_____________． 迁移应用 （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，求的值． 拓展创新 （3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（画出一种即可） 86．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 87．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． (1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②： 公式③： 公式④： 图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ，（填序号）； (2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值． 为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： (3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差． 题型二十八 变量之间的关系 88．圆锥的高变化时，圆锥的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ． (2)在这个变化过程中，写出圆锥的体积V与高h之间的关系式； (3)当h由变化到时，V是怎样变化的？ 89．星期五小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店．买到彩笔后继续往家走，如图是她离家的距离与所用时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？ (2)买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是多少米/分？ 90．小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值． 凳子的数量（个） 1 2 3 4 叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62 根据以上信息，回答下列问题： (1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米； (2)写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______； (3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由． 91．父亲告诉小明“距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格． 距离地面的高度 0 1 2 3 4 5 温度/℃ 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答． (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么随着的变化，是怎么变化的？请求出与之间的关系式． (3)距离地面的高空的温度是多少？ 92．写出下列变量之间的关系式： (1)已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下表 码 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 厘米 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 设鞋子的“码”数为，长度为（厘米），则与之间的关系式为______． (2)2022北京冬奥会花样滑冰的平均票价为120美元，若购买10张以上，超过10张部分打八折，那么付款金额元，与购买门票张数（张）（）之间的关系式______． (3)一水箱中有水，水从管中匀速流出，流完，求水箱中的剩余水量（）与流出时间（）之间的关系式______． 93．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)请直接写出点B所对应的数； (2)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (3)轿车出发多长时间追上货车？ $$