暑假作业04 二项式定理（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业04 二项式定理 二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．展开式的常数项为（   ） A．20 B．90 C．40 D．120 2．二项式展开式中含项的系数为（    ） A． B．80 C． D．40 3．展开式中的的系数为（   ） A．60 B．64 C．-160 D．240 4．已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．11 B．14 C．11或23 D．14或23 5．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（    ） A． B． C． D．7 6．的展开式中的系数为（    ） A． B． C．80 D．100 7．的展开式中，项的系数为（    ） A．1 B．－5 C．6 D． 8．的展开式中的常数项为（    ） A．17 B．16 C． D． 9．的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 10．的展开式中含项的系数为（   ） A．240 B．160 C．-60 D．-160 11．多项式展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 12．在的展开式中，的系数为（    ） A．19 B．33 C．35 D．70 13．若，则（   ） A．64 B． C．16 D． 14．若，则（   ） A．243 B．-243 C．-3125 D．3125 15．若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 16．（多选）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．展开式的所有二项式系数之和为64 C．展开式中不含项 D．展开式的第5项系数最大 17．（多选）已知的展开式中第五项与第七项的二项式系数相等，则（    ） A．展开式的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．第六项的系数最大 D．展开式中不存在常数项 18．（多选）已知在的展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．的项的系数是 C．有理项是第3项，第6项 D．通项为 1．已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（   ） A．6或7 B．6 C．8或9 D．9 2．（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为1 B．各项系数的绝对值之和为 C．常数项为140 D．的系数为40 3．（多选）已知，则（    ） A．展开式的各二项式系数的和为0 B． C． D． 4．（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（   ） A．在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为 B．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 C．在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 5．已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 1．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 2．的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 3．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 4．已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 5．（    ） A． B． C． D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业04 二项式定理 二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．展开式的常数项为（   ） A．20 B．90 C．40 D．120 【答案】A 【分析】根据二项展开式的通项公式赋值即可求出． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故选：A． 2．二项式展开式中含项的系数为（    ） A． B．80 C． D．40 【答案】B 【分析】求得展开式通项为，令，得到，代入即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式通项为， 令，可得，则， 即含项的系数为. 故选：B. 3．展开式中的的系数为（   ） A．60 B．64 C．-160 D．240 【答案】D 【分析】写出展开式通项公式，令得，从而得到的系数. 【详解】展开式通项公式为， 令得， 故展开式中的的系数为. 故选：D 4．已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．11 B．14 C．11或23 D．14或23 【答案】D 【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可. 【详解】由题意可得，成等差数列，则， 即， 即，即， 解得或. 故选：D. 5．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【详解】在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 它的展开式共计有项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：A． 6．的展开式中的系数为（    ） A． B． C．80 D．100 【答案】A 【分析】先求出展开式的通项，从而得到展开式中的系数为.. 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 当时，， 故，其他项均不合要求， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 7．的展开式中，项的系数为（    ） A．1 B．－5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先利用二项式定理求出的展开式中含的项和含的项即可. 【详解】由的展开式可得，含的项为， 含的项为， 则的展开式中，含的项为， 故的展开式中，项的系数为. 故选：B 8．的展开式中的常数项为（    ） A．17 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式展开式的通项公式分别求出的指数为的项，再和中相应的系数相乘，即可得到所求的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得，该项为， 令，得，该项为. 所以的展开式中的常数项为. 故选：A. 9．的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三项展开式变为，根据和展开式通项，结合不同的取值可求得结果. 【详解】 展开式通项为；展开式通项为， 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 展开式中含的项为. 故选：B. 10．的展开式中含项的系数为（   ） A．240 B．160 C．-60 D．-160 【答案】D 【分析】先将变形为，那么，再根据二项式展开式的通项公式求出含项的系数. 【详解】因为，所以. 对于，则其展开式的通项公式为： （）. 令，解得. 将代入到通项公式中，可得含项为.即含项的系数为. 故选：D. 11．多项式展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出展开式通项，对照项，求出参数值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得，故展开式中项的系数为. 故选：A. 12．在的展开式中，的系数为（    ） A．19 B．33 C．35 D．70 【答案】C 【分析】由二项式定理通项公式即可求解. 【详解】中，的系数为， 中，的系数为， 中，的系数为， 中，的系数为， 中，的系数为， 所以的展开式中，的系数为： ， 故选：C 13．若，则（   ） A．64 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】直接由二项式定理计算即可. 【详解】因为展开式的通项为， 所以. 故选：A. 14．若，则（   ） A．243 B．-243 C．-3125 D．3125 【答案】D 【分析】令，得，令和即可求解. 【详解】令，所以，所以， 令得， 令得， 所以， 故选：D. 15．若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据题意，令，求得，再令，可得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由， 令，可得， 再令，可得， 所以. 故选：A. 16．（多选）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．展开式的所有二项式系数之和为64 C．展开式中不含项 D．展开式的第5项系数最大 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及二项式系数的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，展开式共有7项，A错误； 对于B，展开式的所有二项式系数之和为，B正确； 对于C，展开式的通项， 而无解，因此展开式中不含项，C正确； 对于D，由选项C知，展开式奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，第1，3，5项的系数 分别为，因此展开式的第5项系数最大，D正确. 故选：BCD 17．（多选）已知的展开式中第五项与第七项的二项式系数相等，则（    ） A．展开式的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．第六项的系数最大 D．展开式中不存在常数项 【答案】AD 【分析】展开式中第五项与第七项的二项式系数相等，可求n，然后逐项可验证. 【详解】由已知可得，则， 选项A：展开式中二项式系数和为，故A正确； 选项B：令，所有项的系数和为0，故B错误； 选项C：展开式的通项公式为， 第六项的系数为明显不可能最大，故C错误； 选项D：当不是整数，故展开式中不存在常数项，D正确； 故选：AD. 18．（多选）已知在的展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．的项的系数是 C．有理项是第3项，第6项 D．通项为 【答案】ABD 【分析】利用二项式定理结合通项公式可一一判定选项. 【详解】易知的展开式的通项为 ， 又第6项为常数项，即时，，所以A项正确； 则通项，所以D项正确； 含的项为时，，系数为，所以B正确； 显然根据通项公式可知：当时均为有理项，故C错误. 故选：ABD 1．已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（   ） A．6或7 B．6 C．8或9 D．9 【答案】C 【分析】写出、展开式的通项，再对、分类讨论，分别确定、的值，再利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 展开式的通项为（且）， 若，且，时， 则展开式中含的项为， 依题意可得， 若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去； 若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去； 若，满足题意，此时，则展开式中含的项的系数为； 若，此时，，则无解，故舍去； 若，，则展开式中含的项为，则，解得（负值已舍去）， 此时，则展开式中含的项的系数为； 若，时，展开式中含的项的系数为为，显然为偶数， 由，不存在这样的正整数使得方程成立无解，故舍去； 综上可得的展开式中含的项的系数是或. 故选：C 2．（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为1 B．各项系数的绝对值之和为 C．常数项为140 D．的系数为40 【答案】BD 【分析】利用赋值法可计算并判断A，B；利用通项公式可计算并判断C，D. 【详解】对于A，令，可得各项系数之和为，故A错误； 对于B，多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等， 在多项式中，令，可得各项系数之和为，故B正确； 对于C，的展开式的通项公式为， 的展开式的通项公式为， 令，则有4种情况： 当时，该项为； 当时，该项为； 当时，该项为； 当时，该项为. 故常数项为，故C错误； 对于D，令，结合，则有，解得或， 当时，该项为；当时，该项为， 所以，的系数为，故D正确. 故选：BD. 3．（多选）已知，则（    ） A．展开式的各二项式系数的和为0 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二项式系数和为，得出A；令，得到，令，得到，得出B；由二项式定理可得，所以，它是的展开，得到C；，， 化简即可得D. 【详解】， 展开式的各二项式系数的和为，所以A错； 令，得到，令，得到， ，所以B对； 由二项式定理可得：，， 所以，， ， ，故C对； ， ， ， ，，故D对. 故选：BCD. 4．（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（   ） A．在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为 B．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 C．在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ACD 【分析】对于A，利用所有的二项式系数之和为即可判断；对于B，利用“杨辉三角”中数字的左右对称性和左增右减的性质易判断；对于C，先写出数列的前10项之和为，再运用组合数的性质计算即得；对于D，先写出表示的式子，通过两个角度考虑展开式中的系数即可推理得到. 【详解】对于A，第行的所有的数字之和为，故A正确； 对于B，第行的数中，从左到右共有个数，则第个数最大，故B错误； 对于C，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为， 因 ，故C正确； 对于D，依题意，，则， 下面证明. 分别从两个角度考虑二项式展开式中的系数，由的通项可知的系数为， 由考虑，的系数为：， 故有，而第行的中间一项为第项，即，故D正确. 故选：ACD. 5．已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 【答案】(1) (2) (3)，或 【分析】（1）依题意，再代入计算可得； （2）由，写出展开式，即可分析要能被整除，再分为偶数、奇数讨论，分别确定的最小值； （3）写出展开式的通项，即可得到，根据组合数公式整理得到，则为完全平方数，即可确定的值，同时取出相应的. 【详解】（1）因为 ，， 当时，所以； （2）因为，， 则 ， 又能被整除，所以， 又能被整除， 所以要能被整除， 当为偶数时，，此时的最小值为； 当为奇数时，不可能被整除，所以不存在符合题意， 综上可得的最小值为； （3）因为展开式的通项为（且）， 所以，，的项的系数分别为，，， 因为，，的项的系数成等差数列， 所以，整理可得， 即，为完全平方数， 又且 的最大值为，此时，则或， 解得或， 所以时中，，的项的系数分别为，，成等差数列， 中，，的项的系数分别为，，成等差数列； 综上可得，或. 1．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 2．的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助二项式定理，由，将其展开后计算即可得. 【详解】， 故分别为. 故选：A. 3．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】A 【分析】首先利用二项式定理化简，再确定被10除的余数，结合选项，即可求解. 【详解】因为 所以被10除得的余数为8，而2018被10除得的余数是8. 故选：A． 4．已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 【答案】C 【分析】由，，结合二项式定理即可求解. 【详解】因为， 所以除以13所得余数为1，则； 因为， 所以除以14所得余数为13，则，因此． 故选：C 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出所求式子的通项，再利用组合数的定义化简通项，从而将原式化为奇数项的二项式系数之和，由二项式定理和赋值法即可求出其值. 【详解】注意到原式中每一项都可以写成， 由组合数的定义可得， 所以原式， 由二项式定理可知， ， 两式相加再除以2可得， 所以原式. 故选：D. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$