（期末复习）第五单元《认识方程》(知识梳理+易错点拨+12个考点讲练+压轴题训练 共51题）2024-2025学年北师大版数学四年级下学期金牌培优讲义

2024-2025学年北师大版数学四年级下学期金牌培优讲义 第五单元《认识方程》 期末真题汇编复习加油站（学生版） （知识梳理+易错点拨+12个考点讲练+压轴题专练 共51题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点01：用字母表示数: 字母表示数的意义： 在数学中，我们经常使用字母来表示一个数或一类数。这种表示方法不仅使数学表达式更加简洁，还能更清楚地展示数量之间的关系。 例如，在描述长方形的周长时，我们可以用字母a和b分别表示长和宽，然后写出公式C=2(a+b)。 字母表示数的写法： 当字母与数字相乘时，乘号可以省略不写，数字要写在字母的前面。例如，5乘以a可以写作5a。 字母与字母相乘时，乘号也可以省略不写，或者可以用“·”来表示。例如，a乘以b可以写作ab或a·b。 当两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方形式。例如，a乘以a可以写作a²。 用字母表示运算定律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 知识点02：含字母式子的求值 含义： 在数学中，我们经常需要根据给定的条件来求出含字母的式子的值。这个过程被称为含字母式子的求值。 具体的操作方法是，先将已知的数值代入到式子中，然后按照四则运算的顺序进行计算，最后得出结果。 例子： 例如，如果有一个式子为3a+2b，已知a=5，b=3，那么我们可以将这两个值代入到式子中，得到3×5+2×3=15+6=21。所以，当a=5，b=3时，式子3a+2b的值为21。 注意事项： 在代入数值时，要注意运算的顺序和符号的变化。 当遇到括号时，要遵循“先乘除后加减”和“括号里的优先计算”的原则。 当字母表示的数带有单位时，在代入数值后也要注意单位的转换和统一。 知识点03：等式的意义: 等式是数学中表示两个量或表达式相等的一种关系。在等式中，使用等号“=”来连接两个相等的部分。等式的基本特点是两边的值相等，无论是对数字还是代数表达式都适用。例如，5 = 5，x + 2 = 5 都是等式。 等式的性质主要有两个： 等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c。 等式两边同时乘或除以同一个不为零的数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b（a、b 不为零），那么 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 知识点04：方程的意义: 方程是数学中表示两个量或表达式相等，并且含有未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。例如，x + 2 = 5 就是一个方程，其中 x 是未知数。 方程在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述和解决各种实际问题。 知识点05：方程与等式的关系: 方程与等式的关系是：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。换句话说，方程是等式的一个子集，等式的范围更大，而方程的范围更小。 具体来说，一个等式如果含有未知数，那么它就是方程；如果不含有未知数，那么它就是一般的等式。例如，5 = 5 是一个等式，但它不是方程，因为它不含有未知数；而 x + 2 = 5 既是一个等式，又是一个方程，因为它不仅表示两边的值相等，还含有一个未知数 x。 当然，以下是小学数学中等式的性质、方程的意义以及方程求解过程的详细阐述： 知识点06：等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a + c = b + c 或 a - c = b - c（c 为任意实数或式子）。 等式两边同时乘或除以同一个非零数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a × c = b × c 或 a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 等式的传递性：如果 a = b 且 b = c，那么 a = c。 知识点07：方程的意义: 方程是数学中用来表示两个量或表达式相等，并且至少含有一个未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。方程是数学中的一个重要工具，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。 知识点08：方程求解的过程 识别方程：首先，我们需要识别出一个给定的数学表达式是否为方程。方程必须包含等号，并且等号两边至少有一个未知数。 去括号：如果方程中含有括号，我们需要按照先小括号、再中括号、最后大括号的顺序去除括号。这通常涉及到分配律和结合律的应用。 移项：将含有未知数的项移到方程的一侧，将常数项移到另一侧。这可以通过等式的性质（加或减同一个数或式子）来实现。 合并同类项：将方程中的同类项合并成一个项。这可以使方程更加简洁，并有助于后续的求解。 系数化为1：将未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。这可以通过等式的性质（乘或除以同一个非零数或式子）来实现。 北师大版小学数学四年级下册中，列方程解应用题的相关知识点主要包括以下几个方面： 知识点09：列方程解应用题 审题：理解题意，全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。特别是要弄清题目中涉及的一些概念术语，如增加、减少、倍数等。 确定未知数：用x表示所求的数量或有关的未知量。通常，我们需要根据题目中的条件，直接将要求的数量设为未知数。 等量关系：是列方程必不可少的条件。在应用题中，我们需要从题目中找出已知数与未知数之间的等量关系。 列出方程：根据找到的等量关系，我们可以列出一个含有未知数的等式，即方程。在列方程时，应尽量将未知数放在等式的左侧，以便于后续求解。 解方程：通过等式的性质，对方程进行变形和求解，从而找出未知数的值。在解方程时，需要注意将等号对齐，确保每一步都是等价的变换。 检验：求出未知数的值后，我们需要将其代入原方程进行检验，确保所求得的解满足原方程的条件。 模块二 高频易错考点点拨 易错点01：没有准确理解方程的定义： 错误理解：有些学生会误以为含有未知数的式子就是方程。 正确理解：方程是指含有未知数的等式。也就是说，除了含有未知数，还必须是等式。 易错点02：没有用字母准确表示出数量关系 错误示例：在描述“36减去某个数”时，学生可能只是简单地写为“36-α”，但没有明确“α”所代表的具体含义。 正确方法：应该明确“α”所代表的意义，如“α吨”或“α元”等，以准确表示数量关系。 易错点03：没有正确运用运算定律化简含有字母的式子 错误示例：学生在化简“(14+8)a”时，可能会误用乘法分配律，得到“14a+8”。 正确方法：根据运算定律，应该先进行括号内的加法运算，得到“22a”。 易错点04：对方程中等号的意义理解不透彻 错误理解：学生可能会误认为在等号两边进行任何操作都是等价的。 正确理解：等号表示两边的值是相等的。在等号两边进行相同的操作（如加、减、乘、除等），等式仍然成立。但需要注意的是，不能随意改变等号两边的操作顺序或进行不等价的变换。 易错点05：在解方程时，没有保持等式的平衡 错误示例：在解方程“3x = 18”时，学生可能会误写成“x = 18/3 = 6”，但没有明确说明为什么可以将3x变为x。 正确方法：在解方程时，应该明确每一步的变形依据，如“将方程两边同时除以3”，以保持等式的平衡。 易错点06：混淆了方程的解和解方程的过程 错误理解：有些学生会将方程的解误认为是解方程的过程。 正确理解：方程的解是指使方程成立的未知数的值；而解方程的过程是指找到这个解的方法和步骤。 易错点07：在列方程时，没有正确设置未知数 错误示例：在描述“比某个数多3的数是10”时，学生可能会设置两个未知数x和y，导致方程变得复杂。 正确方法：应该只设置一个未知数x（即“某个数”），然后列出方程“x+3=10”。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：用字母表示数、数量关系 【精讲题】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）苹果和梨的单价分别是每千克7元和5元，各买a千克，共需多少元？下列算式错误的是（    ）。 A．（7＋5）a B．7＋5a C．7a＋5a 【精练题01】（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）如图，用木棒按一定的规律摆下面的图形。 摆第1个图形需要3根木棒，摆第2个图形需要5根木棒，摆第3个图形需要( )根木棒，……，摆第n个图形需要( )根木棒。 【精练题02】（23-24四年级下·安徽宿州·期末）如图是由一个等边三角形和一个长方形组成的，它的周长是( )。 重难点考点02：用字母表示运算定律及计算公式 【精讲题】（23-24四年级下·河南商丘·期末）三个连续的双数，中间的数是a，这三个数的和用字母表示是( )，如果a＝14，那么这三个数的和是( )。 【精练题01】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）乘法分配律用字母表示为（    ）。 A．a×b＝b×a B．a×b×c＝a×（b×c） C．（a＋b）×c＝a×c＋b×c D．a＋b＋c＝a＋（b＋c） 【精练题02】（22-23四年级下·北京海淀·期末）小明准备从一张长a厘米、宽b厘米的长方形纸上剪出一个最大的正方形，做一只千纸鹤送给妈妈，剪出的正方形的面积是( )平方厘米，剩下部分的面积是( )平方厘米。 重难点考点03：含有字母式子的化简与求值 【精讲题】（22-23四年级下·广东深圳·期末）淘气今年m岁，淘气妈妈今年（m＋25）岁，再过8年后，他们相差( )岁。 【精练题01】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）—本《昆虫记》有344页，每天读a页，已经读了b天，还剩( )页没读；如果a＝18，b＝5，那么还剩( )页没读。 【精练题02】（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）某工厂原来有m吨煤，又新运进3车，每车n吨，该工厂现在有( )吨煤。（用含m、n的式子表示） 重难点考点04：等式的认识及列等量关系式 【精讲题】（23-24四年级下·广东清远·期末）梨比苹果多50个，下面关系式中（    ）个是正确的。 梨的个数－50＝苹果的个数    梨的个数＝50＋苹果的个数 梨的个数－苹果的个数＝50    梨的个数＋50＝苹果的个数 A．1 B．2 C．3 D．4 【精练题01】（23-24四年级下·广东茂名·期末）小军心里想了一个数x，将它乘5，再加上10，等于120，写出等量关系( )。 【精练题02】（23-24四年级下·山西吕梁·期末）“十四冬”赛场上，山西运动员以饱满的奋斗热情和最佳的竞技状态，奋勇争先、全力以赴，取得了12枚金牌，比银牌数量的2倍少6枚，根据题意，写出等量关系式( )。 重难点考点05：方程的认识 【精讲题】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）已知方程☆＋x＝2.15的解是x＝0.8，则☆表示（    ）。 A．0.8 B．1.35 C．1.45 D．2.95 【精练题01】（23-24四年级下·广东佛山·期末）下列选项中，（    ）是方程。 A．7a B．3x－9＝6 C．0.5＋2.3＝2.8 D．4x＋6＜8 【精练题02】（22-23四年级下·浙江衢州·期末）下列说法正确的是（    ）。 ①6.□3＞6.3，方框中符合条件的数字有7个。 ②□.□8，使这个数最接近9，这个数是9.08。 ③这个式子是方程。 ④第一个乘数扩大到原来的100倍，第二个乘数缩小到原来的，那么它们的积就缩小到原来的。 A．①②③④ B．②③④ C．①④ D．①③④ 重难点考点06：列简易方程 【精讲题】（23-24四年级下·辽宁·期末）根据“40比a的5倍少2”列出的方程是（    ）。 A．40－5a＝2 B．5a－40＝2 C．5a＋2＝40 D．40－2＝5a 【精练题01】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）只列方程不计算。 等量关系： 列出方程： 【精练题02】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）只列方程不计算。 等量关系： 列出方程： 重难点考点07：等式的性质1 【精讲题】（21-22四年级下·陕西西安·期末）如果m＝n，那么m＝n，m＋6＝n－6。( )（判断对错） 【精练题01】（21-22四年级下·河南鹤壁·期末）请你画图或举例说明下面这句话的意思。等式两边都加上同一个数，等式仍然成立。 【精练题02】（22-23四年级下·四川成都·期末）投篮比赛中，奇思得了31分，比妙想的2倍少5分，妙想得了m分，下面方程正确的是（    ）。 A．31－2m＝5 B．（31－5）÷2＝m C．（31－5）÷m＝2 D．31＋5＝2m 重难点考点08：应用等式的性质1解方程 【精讲题】（23-24四年级下·浙江金华·期末）列方程解答。 【精练题01】（23-24四年级下·陕西汉中·期末）看图列方程并解答。 【精练题02】（23-24四年级下·广东惠州·期末）看图列方程，并解方程。 重难点考点09：等式的性质2 【精讲题】（23-24四年级下·辽宁葫芦岛·期末）如果△×□＝〇（□≠0），那么〇÷□＝△。( )（判断对错） 【精练题01】（21-22四年级下·安徽宿州·期末）请你画图或举例解释说明下面这句话的意思。 等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。 【精练题02】（21-22四年级下·广西贺州·期末）（如图1所示）天平两边的茶壶和茶杯都平均分成( )份，（如图2所示）各去掉一份，天平还保持平衡。一个茶壶和( )个茶杯重量相等。 重难点考点10：应用等式的性质2解方程 【精讲题】（23-24四年级下·安徽宿州·期末）解方程。 2x－3.6＝2.4            8m÷4＝12           5x－24＝36 【精练题01】（22-23四年级下·广东深圳·期末）解方程。 x－12.4＝3.2         y÷0.6＝1.5         8m＋9＝33 【精练题02】（23-24四年级下·陕西汉中·期末）解方程。 5x—2.9＝12.1               9n÷2＝36 重难点考点11：列方程解含一个未知数的问题 【精讲题】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）看图列方程（不计算）。      【精练题01】（23-24四年级下·安徽宿州·期末）看图列方程，并解答。 【精练题02】（23-24四年级下·安徽宿州·期末）看图列方程，并解答。 重难点考点12：列方程解含两个未知数的问题 【精讲题】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）某玩具厂5月份生产一款玩具905个，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，上半月生产了多少个？（列方程求解） 【精练题01】（23-24四年级下·山西晋城·期末）“一粥一饭，当思来之不易；半丝半缕，恒念物力维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四（1）班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示( )。 【精练题02】（23-24四年级下·河南商丘·期末）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每时比乙车多行12千米。甲、乙两车出发5时后，甲车到达两地中点，此时乙车只行了甲车所行路程的一半。（期间乙车因维修停了2时）。A、B两地相距多少千米？ 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（23-24四年级下·安徽宿州·期末）下面各式中，是方程的是（    ）。 A．5a－1 B．4x＋3.2＝11.2 C．6m D．3x－6＞200 2．（22-23四年级下·广东深圳·期末）下列哪个问题不可以用4a表示？（    ） A．正方形边长为a米，它的周长 B．一辆汽车有4个轮子，a辆汽车共有轮子数 C．妈妈今年a岁，妈妈的年龄是皮皮的4倍，皮皮今年几岁 D．农场里有a只鸡，兔子的数量是鸡的4倍，农场里兔子的只数 3．（22-23四年级下·四川成都·期末）下面不能用3x＝12表示的问题是（    ）（都设要求的数是x） A．学校合唱队里有男生12人，女生人数是男生的3倍，女生多少人？ B．长方形面积是12平方米，宽3米，长是多少米？ C．小刚进行远足练习，3小时步行12千米，平均每小时步行多少千米？ D．妈妈花12元买3千克苹果，每千克多少元？ 4．（22-23四年级下·四川成都·期末）一个长方形的长是12厘米，如果将宽增加a厘米就变成了正方形，正方形的周长比长方形的周长多（    ）厘米。 A．12＋a B．12＋2a C．12a D．2a 5．（23-24四年级下·四川成都·期末）买3个笔袋和5支钢笔共花210元；若价格不变，买4个笔袋和10支钢笔共花380元，每支钢笔要( )元。 6．（23-24四年级下·浙江丽水·期末）下面是贝贝设计的一个计算程序： 当输入数据是8时，输出结果是( )；当输出结果是100时，一开始输入的数据是( )。 7．（23-24四年级下·陕西西安·期末）如图，用小棒摆正方形，摆1个需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆3个需要10根小棒，摆8个需要( )根小棒。 8．（23-24四年级下·浙江金华·期末）如图中每条边上三个数的和分别相等，那么A＝( )，B＝( )。 9．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）已知a＝b＋2，则a＋2＝b＋4。( )（判断对错） 10．（23-24四年级下·广东韶关·期末）45－m＝13中没有未知数x，所以它不是方程。( )（判断对错） 11．（23-24四年级下·吉林长春·期末）解方程。                 12．（23-24四年级下·山西运城·期末）看图列方程并解方程。 13．（23-24四年级下·四川成都·期末）如图，四边形ABCD、DEFG均为正方形，已知CE＝16厘米，AG＝2厘米，求两个正方形的面积之和。 14．（23-24四年级下·浙江金华·期末）春节期间，小兰得到的压岁线有800元，比小丽的2倍少20元，小丽有压岁钱多少元？（先画出线段图，再列方程解答） 线段图： 列方程解答： 15．（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）小丽学校去西安交通大学开展了研学之旅，参加活动的男生有123人，比女生人数的2倍少23人，求参加活动的女生有多少人？（用方程解题） $$2024-2025学年北师大版数学四年级下学期金牌培优讲义 第五单元《认识方程》 期末真题汇编复习加油站（教师版） （知识梳理+易错点拨+12个考点讲练+压轴题专练 共51题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点01：用字母表示数: 字母表示数的意义： 在数学中，我们经常使用字母来表示一个数或一类数。这种表示方法不仅使数学表达式更加简洁，还能更清楚地展示数量之间的关系。 例如，在描述长方形的周长时，我们可以用字母a和b分别表示长和宽，然后写出公式C=2(a+b)。 字母表示数的写法： 当字母与数字相乘时，乘号可以省略不写，数字要写在字母的前面。例如，5乘以a可以写作5a。 字母与字母相乘时，乘号也可以省略不写，或者可以用“·”来表示。例如，a乘以b可以写作ab或a·b。 当两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方形式。例如，a乘以a可以写作a²。 用字母表示运算定律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 知识点02：含字母式子的求值 含义： 在数学中，我们经常需要根据给定的条件来求出含字母的式子的值。这个过程被称为含字母式子的求值。 具体的操作方法是，先将已知的数值代入到式子中，然后按照四则运算的顺序进行计算，最后得出结果。 例子： 例如，如果有一个式子为3a+2b，已知a=5，b=3，那么我们可以将这两个值代入到式子中，得到3×5+2×3=15+6=21。所以，当a=5，b=3时，式子3a+2b的值为21。 注意事项： 在代入数值时，要注意运算的顺序和符号的变化。 当遇到括号时，要遵循“先乘除后加减”和“括号里的优先计算”的原则。 当字母表示的数带有单位时，在代入数值后也要注意单位的转换和统一。 知识点03：等式的意义: 等式是数学中表示两个量或表达式相等的一种关系。在等式中，使用等号“=”来连接两个相等的部分。等式的基本特点是两边的值相等，无论是对数字还是代数表达式都适用。例如，5 = 5，x + 2 = 5 都是等式。 等式的性质主要有两个： 等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c。 等式两边同时乘或除以同一个不为零的数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b（a、b 不为零），那么 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 知识点04：方程的意义: 方程是数学中表示两个量或表达式相等，并且含有未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。例如，x + 2 = 5 就是一个方程，其中 x 是未知数。 方程在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述和解决各种实际问题。 知识点05：方程与等式的关系: 方程与等式的关系是：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。换句话说，方程是等式的一个子集，等式的范围更大，而方程的范围更小。 具体来说，一个等式如果含有未知数，那么它就是方程；如果不含有未知数，那么它就是一般的等式。例如，5 = 5 是一个等式，但它不是方程，因为它不含有未知数；而 x + 2 = 5 既是一个等式，又是一个方程，因为它不仅表示两边的值相等，还含有一个未知数 x。 当然，以下是小学数学中等式的性质、方程的意义以及方程求解过程的详细阐述： 知识点06：等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a + c = b + c 或 a - c = b - c（c 为任意实数或式子）。 等式两边同时乘或除以同一个非零数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a × c = b × c 或 a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 等式的传递性：如果 a = b 且 b = c，那么 a = c。 知识点07：方程的意义: 方程是数学中用来表示两个量或表达式相等，并且至少含有一个未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。方程是数学中的一个重要工具，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。 知识点08：方程求解的过程 识别方程：首先，我们需要识别出一个给定的数学表达式是否为方程。方程必须包含等号，并且等号两边至少有一个未知数。 去括号：如果方程中含有括号，我们需要按照先小括号、再中括号、最后大括号的顺序去除括号。这通常涉及到分配律和结合律的应用。 移项：将含有未知数的项移到方程的一侧，将常数项移到另一侧。这可以通过等式的性质（加或减同一个数或式子）来实现。 合并同类项：将方程中的同类项合并成一个项。这可以使方程更加简洁，并有助于后续的求解。 系数化为1：将未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。这可以通过等式的性质（乘或除以同一个非零数或式子）来实现。 北师大版小学数学四年级下册中，列方程解应用题的相关知识点主要包括以下几个方面： 知识点09：列方程解应用题 审题：理解题意，全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。特别是要弄清题目中涉及的一些概念术语，如增加、减少、倍数等。 确定未知数：用x表示所求的数量或有关的未知量。通常，我们需要根据题目中的条件，直接将要求的数量设为未知数。 等量关系：是列方程必不可少的条件。在应用题中，我们需要从题目中找出已知数与未知数之间的等量关系。 列出方程：根据找到的等量关系，我们可以列出一个含有未知数的等式，即方程。在列方程时，应尽量将未知数放在等式的左侧，以便于后续求解。 解方程：通过等式的性质，对方程进行变形和求解，从而找出未知数的值。在解方程时，需要注意将等号对齐，确保每一步都是等价的变换。 检验：求出未知数的值后，我们需要将其代入原方程进行检验，确保所求得的解满足原方程的条件。 模块二 高频易错考点点拨 易错点01：没有准确理解方程的定义： 错误理解：有些学生会误以为含有未知数的式子就是方程。 正确理解：方程是指含有未知数的等式。也就是说，除了含有未知数，还必须是等式。 易错点02：没有用字母准确表示出数量关系 错误示例：在描述“36减去某个数”时，学生可能只是简单地写为“36-α”，但没有明确“α”所代表的具体含义。 正确方法：应该明确“α”所代表的意义，如“α吨”或“α元”等，以准确表示数量关系。 易错点03：没有正确运用运算定律化简含有字母的式子 错误示例：学生在化简“(14+8)a”时，可能会误用乘法分配律，得到“14a+8”。 正确方法：根据运算定律，应该先进行括号内的加法运算，得到“22a”。 易错点04：对方程中等号的意义理解不透彻 错误理解：学生可能会误认为在等号两边进行任何操作都是等价的。 正确理解：等号表示两边的值是相等的。在等号两边进行相同的操作（如加、减、乘、除等），等式仍然成立。但需要注意的是，不能随意改变等号两边的操作顺序或进行不等价的变换。 易错点05：在解方程时，没有保持等式的平衡 错误示例：在解方程“3x = 18”时，学生可能会误写成“x = 18/3 = 6”，但没有明确说明为什么可以将3x变为x。 正确方法：在解方程时，应该明确每一步的变形依据，如“将方程两边同时除以3”，以保持等式的平衡。 易错点06：混淆了方程的解和解方程的过程 错误理解：有些学生会将方程的解误认为是解方程的过程。 正确理解：方程的解是指使方程成立的未知数的值；而解方程的过程是指找到这个解的方法和步骤。 易错点07：在列方程时，没有正确设置未知数 错误示例：在描述“比某个数多3的数是10”时，学生可能会设置两个未知数x和y，导致方程变得复杂。 正确方法：应该只设置一个未知数x（即“某个数”），然后列出方程“x+3=10”。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：用字母表示数、数量关系 【精讲题】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）苹果和梨的单价分别是每千克7元和5元，各买a千克，共需多少元？下列算式错误的是（    ）。 A．（7＋5）a B．7＋5a C．7a＋5a 【答案】B 【思路点拨】根据单价×数量＝总价，分别用苹果、梨每千克的单价乘要买的重量，再相加即可。 【规范解答】7×a＋5×a ＝7a＋5a ＝（7＋5）a 则算式错误的是7＋5a。 故答案为：B 【精练题01】（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）如图，用木棒按一定的规律摆下面的图形。 摆第1个图形需要3根木棒，摆第2个图形需要5根木棒，摆第3个图形需要( )根木棒，……，摆第n个图形需要( )根木棒。 【答案】 7 2n＋1 【思路点拨】观察图形可以发现，摆第1个图形需要3根木棒，摆第2个图形需要5根木棒，通过数数，摆第3个图形需要7根木棒。木棒数量的规律是：每增加一个图形，木棒数量增加2。可以通过找规律得出摆第n个图形需要木棒的数量公式，再根据公式计算摆第n个图形需要的木棒数量。 【规范解答】通过数数发现：第1个图形：3根小棒，1个三角形；第二个图形：5根小棒，2个三角形；第3个图形：7根小棒，3个三角形，每增加一个三角形，则小棒的数量增加2根，并且发现三角形个数×2再加1就等于小棒的根数。 依次类推，摆第n个图形，则里面的三角形个数有n个，小棒的根数是：2×n＋1＝2n＋1（根） 【精练题02】（23-24四年级下·安徽宿州·期末）如图是由一个等边三角形和一个长方形组成的，它的周长是( )。 【答案】3b＋2a 【思路点拨】封闭图形一周的长度是这个图形的周长，等边三角形的三条边相等；长方形的对边相等，根据图示可知，等边三角形的边长为b；依此计算。 【规范解答】b＋b＋a＋b＋a＝3b＋2a 它的周长是3b＋2a。 重难点考点02：用字母表示运算定律及计算公式 【精讲题】（23-24四年级下·河南商丘·期末）三个连续的双数，中间的数是a，这三个数的和用字母表示是( )，如果a＝14，那么这三个数的和是( )。 【答案】 3a 42 【思路点拨】根据题意，中间数是a，则左边的数是a－2，右边的数是a＋2，相加即可求出这三个数的和；代入当a＝14时，三个数的和是多少。 【规范解答】（a－2）＋a＋（a＋2） ＝a－2＋a＋a＋2 ＝a＋a＋a ＝3a 3×14＝42 三个连续的双数，中间的数是a，这三个数的和用字母表示是3a，如果a＝14，那么这三个数的和是42。 【精练题01】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）乘法分配律用字母表示为（    ）。 A．a×b＝b×a B．a×b×c＝a×（b×c） C．（a＋b）×c＝a×c＋b×c D．a＋b＋c＝a＋（b＋c） 【答案】C 【思路点拨】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘， 可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此选择即可。 【规范解答】A．a×b＝b×a，表示的是乘法交换律，不符合题意； B．a×b×c＝a×（b×c），表示的是乘法结合律，不符合题意； C．（a＋b）×c＝a×c＋b×c，表示的是乘法分配律，符合题意； D．a＋b＋c＝a＋（b＋c），表示的是加法结合律，不符合题意。 乘法分配律用字母表示为（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 故答案为：C 【精练题02】（22-23四年级下·北京海淀·期末）小明准备从一张长a厘米、宽b厘米的长方形纸上剪出一个最大的正方形，做一只千纸鹤送给妈妈，剪出的正方形的面积是( )平方厘米，剩下部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 b2 ab－b2 【思路点拨】由题意得，一个长a厘米、宽b厘米的长方形纸上剪出一个最大的正方形，那么正方形的边长为b厘米，再根据正方形的面积＝边长×边长求解即可。此时，剩下部分是一个长方形。它的长为b厘米，宽为（a－b）厘米，再根据长方形的面积＝长×宽求解即可。也可用大长方形的面积减去正方形的面积求解。 【规范解答】正方形的面积：b×b＝b2 剩下部分的面积：b×（a－b）＝b（a－b） 剩下部分的面积：ab－b×b＝ ab－b2 故小明准备从一张长a厘米、宽b厘米的长方形纸上剪出一个最大的正方形，做一只千纸鹤送给妈妈，剪出的正方形的面积是b2平方厘米，剩下部分的面积是ab－b2平方厘米。 重难点考点03：含有字母式子的化简与求值 【精讲题】（22-23四年级下·广东深圳·期末）淘气今年m岁，淘气妈妈今年（m＋25）岁，再过8年后，他们相差( )岁。 【答案】25 【思路点拨】因为不管经过多长时间，孩子与妈妈的年龄差是不变的，用妈妈今年的岁数减淘气今年的岁数即可解答。 【规范解答】m＋25－m＝25（岁） 再过8年后，他们相差25岁。 【精练题01】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）—本《昆虫记》有344页，每天读a页，已经读了b天，还剩( )页没读；如果a＝18，b＝5，那么还剩( )页没读。 【答案】 344－ab/344－ba 254 【思路点拨】由题意得，—本《昆虫记》有344页，每天读a页，已经读了b天，那么直接用a×b即可算出已经读了多少页，再用344减去已经读的页数即可算出还剩下的页数；如果a＝18，b＝5，直接将数据代入即可解答。 【规范解答】344－a×b＝（344－ab）页 当a＝18，b＝5时，344－ab＝344－18×5＝344－90＝254（页） —本《昆虫记》有344页，每天读a页，已经读了b天，还剩344－ab页没读；如果a＝18，b＝5，那么还剩254页没读。 【精练题02】（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）某工厂原来有m吨煤，又新运进3车，每车n吨，该工厂现在有( )吨煤。（用含m、n的式子表示） 【答案】m＋3n/3n＋m 【思路点拨】现在仓库货物的吨数＝原有货物吨数＋又运来的吨数，其中又运来的吨数＝每车吨数×运的车数；据此解答即可。 【规范解答】根据分析： m＋3×n＝（m＋3n）吨 所以某工厂原来有m吨煤，又新运进3车，每车n吨，该工厂现在有（m＋3n）吨煤。 重难点考点04：等式的认识及列等量关系式 【精讲题】（23-24四年级下·广东清远·期末）梨比苹果多50个，下面关系式中（    ）个是正确的。 梨的个数－50＝苹果的个数    梨的个数＝50＋苹果的个数 梨的个数－苹果的个数＝50    梨的个数＋50＝苹果的个数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】根据题意可知关系式为：梨的个数－苹果个数＝50，再根据减法算式中各部分的关系，进行变形，即可找出答案。 【规范解答】梨的个数－50＝苹果的个数，符合梨的个数－苹果个数＝50，故是正确的； 梨的个数＝50＋苹果的个数，符合梨的个数－苹果个数＝50，故是正确的； 梨的个数－苹果的个数＝50是正确的； 梨的个数＋50＝苹果的个数，表示的是梨的个数比苹果的个数少50个，不符合题意，故是错误的； 所以梨比苹果多50个，上面关系式中3个是正确的。 故答案为：C 【精练题01】（23-24四年级下·广东茂名·期末）小军心里想了一个数x，将它乘5，再加上10，等于120，写出等量关系( )。 【答案】5x＋10＝120 【思路点拨】一个数x，将它乘5，得到5x。再加上10，得到5x＋10。等于120，据此列出等量关系式为5x＋10＝120。 【规范解答】小军心里想了一个数x，将它乘5，再加上10，等于120，写出等量关系5x＋10＝120。 【精练题02】（23-24四年级下·山西吕梁·期末）“十四冬”赛场上，山西运动员以饱满的奋斗热情和最佳的竞技状态，奋勇争先、全力以赴，取得了12枚金牌，比银牌数量的2倍少6枚，根据题意，写出等量关系式( )。 【答案】银牌数量×2－6枚＝金牌数量 【思路点拨】根据题意，银牌数量的2倍少6枚即是金牌的数量，即用银牌数量乘2再减6枚，就等于金牌数量，据此列出等量关系。 【规范解答】等量关系式为：银牌数量×2－6枚＝金牌数量。 重难点考点05：方程的认识 【精讲题】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）已知方程☆＋x＝2.15的解是x＝0.8，则☆表示（    ）。 A．0.8 B．1.35 C．1.45 D．2.95 【答案】B 【思路点拨】根据题意，将x＝0.8代入原方程中，则☆＋0.8＝2.15，用和减去其中一个加数等于另一个加数，用2.15－0.8即可求出☆表示多少，据此选择即可。 【规范解答】2.15－0.8＝1.35 ☆表示1.35。 故答案为：B 【精练题01】（23-24四年级下·广东佛山·期末）下列选项中，（    ）是方程。 A．7a B．3x－9＝6 C．0.5＋2.3＝2.8 D．4x＋6＜8 【答案】B 【思路点拨】含有未知数的等式叫方程，方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数；据此分析。 【规范解答】A.7a不是等式，不是方程； B．是含有未知数的等式，是方程； C．不含有未知数，不是方程； D．不是等式，不是方程。 故答案为：B 【精练题02】（22-23四年级下·浙江衢州·期末）下列说法正确的是（    ）。 ①6.□3＞6.3，方框中符合条件的数字有7个。 ②□.□8，使这个数最接近9，这个数是9.08。 ③这个式子是方程。 ④第一个乘数扩大到原来的100倍，第二个乘数缩小到原来的，那么它们的积就缩小到原来的。 A．①②③④ B．②③④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【思路点拨】①两个数的整数部分都是6，左边数的百分位是3，右边的数百分位是0，要使左边的数大于右边的数，只要左边数的十分位大于或等于3即可； ②这个数的百分位是8，要使这个数最接近9，整数部分可以是8或9，当整数部分是8的时，十分位最大可以是9，此时这个数是8.98，当整数部分是9时，要使这个数最接近9，十分位只能是0，此时这个数是9.08，再从8.98与9.08种选择一个合适的数； ③判断这个式子是不是方程，看是不是等式，还要看是否有未知数； ④给一个乘数扩大到原来的100倍，则积就扩大到原来的100倍，再给另一个乘数缩小到原来的，则积就缩小到原来的，故它们的积缩小到原来的。 【规范解答】①方框中可以填3、4、5、6、7、8、9，所以可以填的数字有7个； ②根据分析要使这个数最接近9，这个数是8.98； ③这个式子中既有未知数又是等式，所以是方程； ④根据分析，积就缩小到原来的。 故答案为：D 重难点考点06：列简易方程 【精讲题】（23-24四年级下·辽宁·期末）根据“40比a的5倍少2”列出的方程是（    ）。 A．40－5a＝2 B．5a－40＝2 C．5a＋2＝40 D．40－2＝5a 【答案】B 【思路点拨】求一个数的几倍是多少，用乘法计算。a的5倍即5a，再减40等于2，据此列方程即可。 【规范解答】根据“40比a的5倍少2”列出的方程是5a－40＝2。 故答案为：B 【精练题01】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）只列方程不计算。 等量关系： 列出方程： 【答案】 （长＋宽）×2＝长方形的周长 【思路点拨】根据长方形的周长公式可知，长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此列出方程。 【规范解答】根据解析可知，等量关系是长方形的周长＝（长＋宽）×2； 长是xm，宽是5m，周长是34米，所以列出方程是。 【精练题02】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）只列方程不计算。 等量关系： 列出方程： 【答案】 【思路点拨】根据图可知，题目是表达成人的人数和儿童的人数相加是80人；其中，成人有26人，儿童有3个班，每班有x人，据此列出方程即可。 【规范解答】根据解析可知，等量关系时：； 成人人数是26人，儿童人数是3x，总人数是80人，所以列出方程是。 重难点考点07：等式的性质1 【精讲题】（21-22四年级下·陕西西安·期末）如果m＝n，那么m＝n，m＋6＝n－6。( ) 【答案】× 【思路点拨】等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。据此判断即可。 【规范解答】如果m＝n，那么m＝n，则m＋6＝n＋6，n－6＝n－6，而m＋6≠n－6。原题说法错误。 故答案为：× 【精练题01】（21-22四年级下·河南鹤壁·期末）请你画图或举例说明下面这句话的意思。等式两边都加上同一个数，等式仍然成立。 【答案】见详解 【思路点拨】可以通过画图的方式，先在天平两边各放一个同样的正方形，使天平平衡，再在天平的两边同时放入一个同样的圆形，天平仍然平衡。 【规范解答】 答：通过上图发现，天平的两边同时放入一个同样的东西，天平仍然平衡，所以等式两边都加上同一个数，等式仍然成立。 （答案不唯一） 【精练题02】（22-23四年级下·四川成都·期末）投篮比赛中，奇思得了31分，比妙想的2倍少5分，妙想得了m分，下面方程正确的是（    ）。 A．31－2m＝5 B．（31－5）÷2＝m C．（31－5）÷m＝2 D．31＋5＝2m 【答案】D 【思路点拨】根据题意可知，题中的等量关系为：妙想得的分数×奇思的得分是妙想的倍数－少的分数＝奇思得的分数，据此列式即可。 【规范解答】根据题意可知，奇思得了31分，奇思比妙想的2倍少5分，妙想得了m分，则 2m－5＝31 2m－5＋5＝31＋5 2m＝31＋5 即31＋5＝2m。 故答案为：D 重难点考点08：应用等式的性质1解方程 【精讲题】（23-24四年级下·浙江金华·期末）列方程解答。 【答案】x＝2.37 【思路点拨】根据题意，兔子的重量是x千克，小猫的重量是2.8千克，小狗的重量是5.17千克，兔子加小猫的重量等于小狗的重量，据此列方程后，利用等式的性质1解方程即可。 【规范解答】x＋2.8＝5.17 解：x＋2.8－2.8＝5.17－2.8 x＝2.37 即兔子重2.37千克。 【精练题01】（23-24四年级下·陕西汉中·期末）看图列方程并解答。 【答案】40＋x＝130；x＝90 【思路点拨】根据题意可知，左边的重量等于右边的重量，也就是40＋x＝130，然后再利用等式的性质1进行解方程，据此解题。 【规范解答】40＋x＝130 解：40＋x－40＝130－40 x＝90 【精练题02】（23-24四年级下·广东惠州·期末）看图列方程，并解方程。 【答案】 90°＋60°＋x＝180°；x＝30° 【思路点拨】从图中可知：这是一个直角三角形，三个角的度数分别为90°、60°和x，根据三角形内角和是180°，列出方程；再根据等式的性质（一）：等式两边同时加或减一个相同的数，等式两边仍然相等，解方程即可。据此解答。（列方程不唯一） 【规范解答】90°＋60°＋x＝180° 解：150°＋x＝180° 150°＋x－150°＝180°－150° x＝30° 重难点考点09：等式的性质2 【精讲题】（23-24四年级下·辽宁葫芦岛·期末）如果△×□＝〇（□≠0），那么〇÷□＝△。( ) 【答案】√ 【思路点拨】等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。 【规范解答】根据分析： △×□＝〇（□≠0） △×□÷□＝〇÷□ △＝〇÷□ 〇÷□＝△ 所以如果△×□＝〇（□≠0），那么〇÷□＝△，原题说法正确。 故答案为：√ 【精练题01】（21-22四年级下·安徽宿州·期末）请你画图或举例解释说明下面这句话的意思。 等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。 【答案】5＋10＝15，（5＋10）×5＝15×5 5＋10＝15，（5＋10）÷3＝15÷3 【思路点拨】根据题意，任写一个等式，在等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），看等式是否仍然成立。 【规范解答】5＋10＝15 左右两边乘同一个数： （5＋10）×5＝15×5＝75 左边＝右边，等式仍然成立； 左右两边除以同一个数： （5＋10）÷3＝15÷3＝5 左边＝右边，等式仍然成立。 所以等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。 （答案不唯一） 【精练题02】（21-22四年级下·广西贺州·期末）（如图1所示）天平两边的茶壶和茶杯都平均分成( )份，（如图2所示）各去掉一份，天平还保持平衡。一个茶壶和( )个茶杯重量相等。 【答案】 2 2 【思路点拨】根据等式的性质，等式两边同时除以一个非0的数，等式不变，据此解答即可。 【规范解答】（如图1所示）天平两边的茶壶和茶杯都平均分成（2 ）份，（如图2所示）各去掉一份，天平还保持平衡。一个茶壶和（2 ）个茶杯重量相等。 重难点考点10：应用等式的性质2解方程 【精讲题】（23-24四年级下·安徽宿州·期末）解方程。 2x－3.6＝2.4            8m÷4＝12           5x－24＝36 【答案】x＝3；m＝6；x＝12 【思路点拨】等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式； （1）根据等式的性质，方程两边同时加上3.6，再同时除以2即可； （2）根据等式的性质，方程两边同时乘4，再同时除以8即可； （3）根据等式的性质，方程两边同时加上24，再同时除以5即可。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【精练题01】（22-23四年级下·广东深圳·期末）解方程。 x－12.4＝3.2         y÷0.6＝1.5         8m＋9＝33 【答案】x＝15.6；y＝0.9；m＝3 【思路点拨】x－12.4＝3.2，方程的两边同时加上12.4即可； y÷0.6＝1.5，方程的两边同时乘0.6即可； 8m＋9＝33，方程的两边先同时减去9，然后两边同时除以8。 【规范解答】x－12.4＝3.2 解：x－12.4＋12.4＝3.2＋12.4 x＝15.6 y÷0.6＝1.5 解：y÷0.6×0.6＝1.5×0.6 y＝0.9 8m＋9＝33 解：8m＋9－9＝33－9 8m＝24 8m÷8＝24÷8 m＝3 【精练题02】（23-24四年级下·陕西汉中·期末）解方程。 5x—2.9＝12.1               9n÷2＝36 【答案】x＝3；n＝8 【思路点拨】对于5x—2.9＝12.1先根据等式的性质1左右两边都加2.9，再根据等式的基本性质2两边同时除以5即可解出x的值。 对于9n÷2＝36，，先根据等式的性质2左右两边都乘2，再根据等式的基本性质2两边同时除以9即可解出n的值。 【规范解答】5x—2.9＝12.1 解：5x－2.9＋2.9＝12.1＋2.9 5x＝15 5x÷5＝15÷5 x＝3 9n÷2＝36 解：9n÷2×2＝36×2 9n＝72 9n÷9＝72÷9 n＝8 重难点考点11：列方程解含一个未知数的问题 【精讲题】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）看图列方程（不计算）。      【答案】x＋90＝320 【思路点拨】从图中可以看出，这本书总共有320页，已经看了页，还剩下90页。根据“已看的页数＋剩下的页数＝这本书的总页数” ，可列出方程：＋90＝320；据此解答。 【规范解答】＋90＝320 解：＋90－90＝320－90 ＝230 所以列方程为：＋90＝320。 【精练题01】（23-24四年级下·安徽宿州·期末）看图列方程，并解答。 【答案】x＝22 【思路点拨】根据图意：前三天平均每天看x页，还剩18页没看，这本书共84页。数量关系是：3×平均每天看x页＋还剩18页没看＝84页，列式为3x＋18＝84，根据等式性质一，方程左右两边同时减18，再根据等式性质二，方程左右两边再同时除以3解方程。 【规范解答】3x＋18＝84 解：3x＋18－18＝84－18 3x＝66 3x÷3＝66÷3 x＝22 【精练题02】（23-24四年级下·安徽宿州·期末）看图列方程，并解答。 【答案】x＝35 【思路点拨】图中数量关系：2个相同物体的重量＝50克砝码＋20克砝码，可以列出方程2x＝50＋20，根据等式性质2，两边同时除以2解方程。 【规范解答】2x＝50＋20 解：2x＝70 2x÷2＝70÷2   x＝35 重难点考点12：列方程解含两个未知数的问题 【精讲题】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）某玩具厂5月份生产一款玩具905个，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，上半月生产了多少个？（列方程求解） 【答案】344个 【思路点拨】由题意得，假设上半月生产的玩具个数为x，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，那么下半月生产的玩具个数为：2x－127。玩具厂5月份一共生产了玩具905个，据此列出等量关系为：上半月生产的玩具个数＋下半月生产的玩具个数＝905。然后根据等量关系式列出方程并解方程即可。 【规范解答】解：设上半月生产了x个玩具 x＋2x－127＝905 3x－127＝905 3x－127＋127＝905＋127 3x＝1032 3x÷3＝1032÷3 x＝344 答：上半月生产了344个玩具。 【精练题01】（23-24四年级下·山西晋城·期末）“一粥一饭，当思来之不易；半丝半缕，恒念物力维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四（1）班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示( )。 【答案】小份套餐的单价 【思路点拨】由题意得，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，据此列出等量关系式为：（小份套餐的单价＋正常套餐的单价）×27＝594。其中，正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍，那么等量关系式变为：（小份套餐的单价＋小份套餐的单价×1.2）×27＝594。对比方程“27（x＋1.2x）＝594”可知，x表示小份套餐的单价。 【规范解答】方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示小份套餐的单价。 【精练题02】（23-24四年级下·河南商丘·期末）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每时比乙车多行12千米。甲、乙两车出发5时后，甲车到达两地中点，此时乙车只行了甲车所行路程的一半。（期间乙车因维修停了2时）。A、B两地相距多少千米？ 【答案】720千米 【思路点拨】首先根据题意，设乙车每小时行x千米，则甲车每小时行（x＋12）千米，然后根据速度×时间＝路程，分别用两车的速度乘行驶的时间，求出两车各行驶了多少路程；最后根据甲车行驶的路程＝乙车行驶的路程×2，列出方程，求出乙车的速度，进而求出A、B两地相距多少千米即可。 【规范解答】解：设乙车每小时行千米，则甲车每小时行（x＋12）千米，所以 5（x＋12）＝（5－2）x×2 5x＋60＝3x×2 5x＋60＝6x 5x＋60－5x＝6x－5x x＝60 x＋12 ＝60＋12 ＝72（千米/小时） 72×5×2 ＝360×2 ＝720（千米） 答：A、B两地相距720千米。 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（23-24四年级下·安徽宿州·期末）下面各式中，是方程的是（    ）。 A．5a－1 B．4x＋3.2＝11.2 C．6m D．3x－6＞200 【答案】B 【思路点拨】根据方程的意义：含有未知数的等式叫方程；方程必须具备两个条件：（1）含有未知数，（2）是等式；据此即可解答。 【规范解答】A．5a－1，含有未知数，不是等式，不是方程； B．4x＋3.2＝11.2，含有未知数，是等式，是方程； C．6m，含有未知数，不是等式，不是方程； D．3x－6＞200，含有未知数，不是等式，不是方程。 故答案为：B 2．（22-23四年级下·广东深圳·期末）下列哪个问题不可以用4a表示？（    ） A．正方形边长为a米，它的周长 B．一辆汽车有4个轮子，a辆汽车共有轮子数 C．妈妈今年a岁，妈妈的年龄是皮皮的4倍，皮皮今年几岁 D．农场里有a只鸡，兔子的数量是鸡的4倍，农场里兔子的只数 【答案】C 【思路点拨】A．根据正方形周长＝边长×4解答即可。 B．用一辆汽车轮子的个数乘汽车的辆数即可。 C．用妈妈今年的岁数除以4即可得皮皮今年几岁。 D．用农场里鸡的只数乘4，即可得农场里兔子的只数。 【规范解答】A．4×a＝4a（米），不符合题意。 B．4×a＝4a（个），不符合题意。 C．（a÷4）岁，符合题意。 D．4×a＝4a（只），不符合题意。 故答案为：C 3．（22-23四年级下·四川成都·期末）下面不能用3x＝12表示的问题是（    ）（都设要求的数是x） A．学校合唱队里有男生12人，女生人数是男生的3倍，女生多少人？ B．长方形面积是12平方米，宽3米，长是多少米？ C．小刚进行远足练习，3小时步行12千米，平均每小时步行多少千米？ D．妈妈花12元买3千克苹果，每千克多少元？ 【答案】A 【思路点拨】根据题意，A选项，男生人数×3＝女生人数，已知男生人数，则可直接列式计算，即：12×3＝36（人）。B选项，根据长×宽＝长方形的面积，设长是x米，则可列式：3x＝12。C选项，根据“速度×时间＝路程”，设平均每小时步行x千米，则可列式：3x＝12。D选项根据“单价×数量＝总价”设每千克x元，则可列式：3x＝12。据此解答即可。 【规范解答】A．学校合唱队里有男生12人，女生人数是男生的3倍，女生多少人？不能用3x＝12表示； B．长方形面积是12平方米，宽3米，长是多少米？可以用3x＝12表示； C．小刚进行远足练习，3小时步行12千米，平均每小时步行多少千米？可以用3x＝12表示； D．妈妈花12元买3千克苹果，每千克多少元？可以用3x＝12表示； 不能用3x＝12表示的问题是学校合唱队里有男生12人，女生人数是男生的3倍，女生多少人。 故答案为：A 4．（22-23四年级下·四川成都·期末）一个长方形的长是12厘米，如果将宽增加a厘米就变成了正方形，正方形的周长比长方形的周长多（    ）厘米。 A．12＋a B．12＋2a C．12a D．2a 【答案】D 【思路点拨】根据题意，将宽增加a厘米就变成了正方形，长方形有2条宽，每条宽增加a厘米，所以周长增加（a＋a）厘米，据此解答。 【规范解答】a＋a＝2a（厘米） 则一个长方形的长是12厘米，如果将宽增加a厘米就变成了正方形，正方形的周长比长方形的周长多2a厘米。 故答案为：D 5．（23-24四年级下·四川成都·期末）买3个笔袋和5支钢笔共花210元；若价格不变，买4个笔袋和10支钢笔共花380元，每支钢笔要( )元。 【答案】30 【思路点拨】由题意可知，两次购买中，变化的是笔袋的数量和购买的总价，而钢笔的数量有一定的倍数关系，设每个笔袋x元，每支钢笔y元。第一次购买“买3个笔袋和5支钢笔共花210元”，可得到方程3x＋5y＝210①；第二次购买“买4个笔袋和10支钢笔共花380元”，可得到方程4x＋10y＝380②。据此解方程即可。 【规范解答】设每个笔袋x元，每支钢笔y元。 3x＋5y＝210① 4x＋10y＝380② 将①式两边同时乘2，得到： 6x＋10y＝420③ 由③式减去②式，可得：（6x＋10y）－（4x＋10y）＝420－380 化简可得：6x＋10y－4x－10y＝40 2x＝40 x＝40÷2 x＝20 把x＝20代入①式3x＋5y＝210中，求每支钢笔的价格y： 3×20＋5y＝210 60＋5y＝210 5y＝210－60 5y＝150 y＝150÷5 y＝30 每支钢笔要30元。 6．（23-24四年级下·浙江丽水·期末）下面是贝贝设计的一个计算程序： 当输入数据是8时，输出结果是( )；当输出结果是100时，一开始输入的数据是( )。 【答案】 80 32 【思路点拨】根据题意可知，8＜10，所以计算的算式是（8＋12）×20÷5，据此计算即可； 给出的是结果，可以倒推回去，计算的算式是100×5÷20，结果是25；此时需要判断25是由“小于10时加12”还是“大于等于10时减7”得到的；所以可以设未知数，分情况讨论即可解答。 【规范解答】（8＋12）×20÷5 ＝20×20÷5 ＝400÷5 ＝80 100×5÷20 ＝500÷20 ＝25 假设是由“小于10时加12”得到的，设输入数据为x，x＜10，x＋12＝25，解得x＝13，不满足x＜10的条件，此假设不成立。 假设是由“大于等于10时减7”得到的，设输入数据为y，y≥10，y－7＝25，解得y＝32，满足y≥10的条件，此假设成立。 当输入数据是8时，输出结果是80；当输出结果是100时，一开始输入的数据是32。 7．（23-24四年级下·陕西西安·期末）如图，用小棒摆正方形，摆1个需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆3个需要10根小棒，摆8个需要( )根小棒。 【答案】25 【思路点拨】根据题意可知，摆1个正方形需要3×1＋1＝4（根），摆2个正方形需要3×2＋1＝7（根），摆3个正方形需要3×3＋1＝10（根）……，摆n个正方形需要（3n＋1）根，据此即可解答。 【规范解答】8×3＋1 ＝24＋1 ＝25（根） 所以，摆8个需要25根小棒。 8．（23-24四年级下·浙江金华·期末）如图中每条边上三个数的和分别相等，那么A＝( )，B＝( )。 【答案】 7.54 2.9 【思路点拨】根据题意，图中每条边上三个数的和分别相等，可知A＋2.15＋B＝B＋6.44＋3.25，根据等式的基本性质1将方程两边同时减去B，化简可得：A＋2.15＝6.44＋3.25，据此求出A。可知A＋2.15＋B＝A＋1.8＋3.25，根据等式的基本性质1将方程两边同时减去A，化简可得：B＋2.15＝1.8＋3.25，据此求出B。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： A＋2.15＋B＝B＋6.44＋3.25 A＋2.15＋B－B＝B＋6.44＋3.25－B A＋2.15＝6.44＋3.25 A＋2.15－2.15＝6.44＋3.25－2.15 A＝7.54 A＋2.15＋B＝A ＋1.8＋3.25 A＋2.15＋B－A＝A＋1.8＋3.25－A B＋2.15＝1.8＋3.25 B＋2.15－2.15＝1.8＋3.25－2.15 B＝2.9 因此A＝7.54，B＝2.9。 9．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）已知a＝b＋2，则a＋2＝b＋4。( ) 【答案】√ 【思路点拨】等式的性质1：等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍成立。据此解答。 【规范解答】已知a＝b＋2，那么等式两边同时加上2，等式仍成立，即a＋2＝b＋2＋2＝b＋4。原题说法正确。 故答案为：√ 10．（23-24四年级下·广东韶关·期末）45－m＝13中没有未知数x，所以它不是方程。( ) 【答案】× 【思路点拨】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；由此进行判断。 【规范解答】45－m＝13，既含有未知数m，又是等式，具备了方程的条件，因此是方程，原题说法错误。 故答案为：× 11．（23-24四年级下·吉林长春·期末）解方程。                 【答案】＝16.5；＝192；＝25 【思路点拨】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式； 根据等式性质1，方程左右两边都减3.5解方程； 根据等式性质2，方程左右两边都乘8解方程； 根据等式性质1和2，方程左右两边先加27，再同时除以3解方程。 【规范解答】 解：3.5＋－3.5＝20－3.5 ＝16.5 解：÷8×8＝24×8 ＝192 解：3－27＋27＝48＋27 3＝75 3÷3＝75÷3 ＝25 12．（23-24四年级下·山西运城·期末）看图列方程并解方程。 【答案】 x°＝25° 【思路点拨】三角形的内角和为180°，观察发现图中的三角形中有一个直角、一个65°的角和一个x°的角，直角为90°，那么可以列出方程：90°＋65°＋x°＝180°，先计算出方程左边（90°＋65°）的结果，然后运用等式的性质1，等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；据此解答。 【规范解答】90°＋65°＋x°＝180° 解：155°＋x°＝180° 155°＋x°－155°＝180°－155° x°＝25° 13．（23-24四年级下·四川成都·期末）如图，四边形ABCD、DEFG均为正方形，已知CE＝16厘米，AG＝2厘米，求两个正方形的面积之和。 【答案】130平方厘米 【思路点拨】设小正方形DEFG的边长为x厘米，因为四边形ABCD、DEFG均为正方形，所以大正方形ABCD的边长为（x＋2）厘米。由图可知CE的长度等于大正方形的边长加上小正方形的边长，即CE＝（x＋2）＋x。已知CE＝16厘米，所以可得到方程（x＋2）＋x＝16。对（x＋2）＋x＝16进行求解，求出小正方形的边长，因为大正方形的边长比小正方形的边长多2厘米，所以大正方形的边长＝小正方形的边长＋2。根据正方形面积＝边长×边长，计算出两个正方形的面积之和。 【规范解答】解：设小正方形DEFG的边长为x厘米。 （x＋2）＋x＝16 2x＋2＝16 2x＋2－2＝16－2 2x＝14 2x÷2＝14÷2 x＝7 7＋2＝9（厘米） 7×7＋9×9 ＝49＋81 ＝130（平方厘米） 答：两个正方形的面积之和为130平方厘米。 14．（23-24四年级下·浙江金华·期末）春节期间，小兰得到的压岁线有800元，比小丽的2倍少20元，小丽有压岁钱多少元？（先画出线段图，再列方程解答） 线段图： 列方程解答： 【答案】线段图见详解；小丽有压岁钱410元 【思路点拨】设小丽的压岁钱为x元。根据“小兰的压岁钱比小丽的2倍少20元”，即小丽的压岁钱乘2再减去20元就是小兰的压岁钱，结合这一条件来列方程。小兰的压岁钱是800元，那么小兰的压岁钱可以表示为2x－20。画出线段图可以更直观地理解数量关系：先画小丽的压岁钱为一段，设为x，小兰的压岁钱是小丽的2倍少20元，那就先画两段和小丽一样长的线段，再去掉一小段表示少的20元，整体表示小兰的800元。 【规范解答】线段图如图所示： 解：设小丽有压岁钱x元。 2x－20＝800 2x－20＋20＝800＋20 2x＝820 2x÷2＝820÷2 x＝410 答：小丽有压岁钱410元。 15．（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）小丽学校去西安交通大学开展了研学之旅，参加活动的男生有123人，比女生人数的2倍少23人，求参加活动的女生有多少人？（用方程解题） 【答案】73人 【思路点拨】根据题意可知，女生人数×2－23＝男生人数，设参加活动的女生有x人，据此列方程并求解即可。 【规范解答】解：设参加活动的女生有x人。 2x－23＝123 2x－23＋23＝123＋23 2x＝146 2x÷2＝146÷2 x＝73 答：女生参加73人。 $$