专题06 空间平行、垂直关系（2大基础题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题06 空间平行、垂直关系的证明 题型概览 题型01空间平行、垂直关系的判定 题型02空间平行、垂直关系的证明 ( 题型01 ) 空间平行、垂直关系的判定 1．（21-22高一下·北京丰台·阶段练习）设有直线和平面，下列命题中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（18-19高一下·北京丰台·期末）已知两条直线，，两个平面，，下面说法正确的是（      ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·北京延庆·期末）下列命题错误的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行 C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角 4．（23-24高一下·北京通州·期末）在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，，，则 D．若，且，则 5．（23-24高一下·北京昌平·期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（23-24高一下·北京·阶段练习）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，，，则． 其中所有真命题的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③④ 7．（22-23高一下·北京通州·期末）设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（23-24高一下·北京丰台·期末）已知正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列四个结论： ①直线与平面相交； ②直线平面； ③若，则点D到平面的距离为； ④该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等. 其中所有正确结论的序号是 ． 9．（23-24高一下·北京延庆·期末）如图：在正方体中，棱长为1，为中点，与平面交于点，点是棱上一点，在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是 . ①为的中点； ②点可以是的中点； ③当是的中点时，点面； ④线段的最大值为. ( 题型02 ) 空间平行、垂直关系的证明 1．（23-24高一下·北京海淀·期末）如图，在正三棱柱中，P，Q分别为，的中点.    (1)证明：平面ABC； (2)证明：平面平面. 请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据. 【解答】 （1）证明：取AB的中点D，连接PD、CD，因为P，Q分别为，的中点， 所以且， 又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以PDCQ为平行四边形，所以， 又因为平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC（① 定理）. （2）证明：在正三棱柱中，D为AB的中点， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以， ，，平面， 所以平面（② 定理）. 又，所以平面，又平面， 所以平面平面（③ 定理）.    2．（23-24高一下·北京房山·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形，正八面体由八个全等的等边三角形围成，呈现了对称美．下面给出四个结论： ①平面ABE； ②平面平面BDE； ③过点E存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（22-23高一下·北京怀柔·期末）在中，是边的中点，是边上的动点（不与重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，如图所示，给出下列四个结论：正确的是 ． ①不可能为等腰三角形； ②平面； ③对任意点，都有平面； ④存在点，使得． 4．（24-25高一下·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，点E，F分别为，的中点，设平面平面． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，请判断平面与平面是否垂直？若垂直，请证明：若不垂直，说明理由． 5．（23-24高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，是正方形，平面，分别是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 6．（23-24高一下·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，分别是线段的中点. (1)求证：平面； (2)过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面，求证：是线段的中点. 7．（21-22高一下·北京丰台·期末）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF． (1)求证：直线平面ADF； (2)求证：直线平面ADF； (3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 1．（23-24高一下·北京·期末）如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论：    ①存在点P，使得直线平面； ②点P沿直线AC从点A移动到点C的过程中，四面体的体积逐渐减小； ③若，则点P轨迹的长度为； ④当二面角的平面角的正切值为时，平面截正方体所得截面图形的面积为． 其中所有正确结论的序号是 ． 2．（23-24高一下·北京昌平·期末）在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③存在点，使得直线平面； ④平面截正方体所得的截面面积为. 其中所有正确结论的序号是 . 3．（23-24高一下·北京顺义·期中）如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②棱始终与水面平行； ③水面四边形的面积不改变； ④当，且时，是定值. 其中所有正确的命题的序号是 .（请在横线上写出所有正确答案的序号，错选不得分） 4．（22-23高一下·北京平谷·期末）已知棱长为2的正方体，点是线段上一动点．给出如下推断：    ①对任意点，总有； ②存在点，使得平面； ③三棱锥体积的最大值为4． 则所给推断中正确的是 ． 5．（24-25高一下·北京·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点A到平面的距离． 6．（23-24高一下·北京通州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点．求证： (1)平面； (2)平面； (3)求三棱锥的体积． 7．（23-24高一下·北京怀柔·期末）如图，已知正方体边长为2.    (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 8．（23-24高一下·北京顺义·期末）如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求五面体的体积． 9．（21-22高一下·北京大兴·期末）如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是. (1)当落在何处时，平面平面，并说明理由； (2)在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (3)设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间平行、垂直关系的证明 题型概览 题型01空间平行、垂直关系的判定 题型02空间平行、垂直关系的证明 ( 题型01 ) 空间平行、垂直关系的判定 1．（21-22高一下·北京丰台·阶段练习）设有直线和平面，下列命题中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】A选项，由面面平行的定义可知直线m和平面无公共点，即，A正确； B选项，缺少m、n相交，B错误； C选项，在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，但，C错误； D选项，直线n可能在平面，D错误. 故选：A 2．（18-19高一下·北京丰台·期末）已知两条直线，，两个平面，，下面说法正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、C：如图所示 不能推出，故A错误； 不能推出，故C错误； 选项B、D：如图所示 不能推出，故B错误； ，故D正确； 故选：D 3．（21-22高一下·北京延庆·期末）下列命题错误的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行 C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角 【答案】B 【详解】A，一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线，故A正确； B，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与这个平面平行或在这个平面内，故B错误； C，如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故C正确； D，一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线都垂直，故它们形成的角就是二面角的一个平面角，故D正确. 故选：B. 4．（23-24高一下·北京通州·期末）在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，，，则 D．若，且，则 【答案】B 【详解】对于A，，当平面的交线为时，满足，此时，A错误； 对于B，由，得存在过直线的平面，，由于， 则平面与平面必相交，令，于是， 显然，而，则，同理，又是平面内的两条相交直线，因此，B正确； 对于C，,,,或异面，C错误； 对于D，，令，当直线在平面内，且时，满足，此时不成立，D错误. 故选：B 5．（23-24高一下·北京昌平·期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A:若,则可能，A错误； 对于B:若,则可能,B错误； 对于C:若则可能不垂直，C错误； 对于D:若,则,D正确. 故选：D. 6．（23-24高一下·北京·阶段练习）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，，，则． 其中所有真命题的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【详解】对于①，，则存在平面，，，有， 由，，则，所以，命题①正确； 对于②，若，，则或，命题②错误； 对于③，若，，则有， 又，存在平面，，，有， 所以且，则，命题③正确； 对于④，若，则存在平面，使， 由，，，，得，所以，命题④正确． 故选：D 7．（22-23高一下·北京通州·期末）设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】A：若，，则或相交，故A错误； B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确； C：若，，则或，故C错误； D：若，，则相交或或，故D错误； 故选：B. 8．（23-24高一下·北京丰台·期末）已知正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列四个结论： ①直线与平面相交； ②直线平面； ③若，则点D到平面的距离为； ④该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等. 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】解：①因为点，分别为棱，的中点， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以， 因为点，分别为棱，的中点，所以， 又，，、平面，、平面， 所以平面平面， 因为平面，所以直线平面，即①错误； ②由三垂线定理知，，， 因为，所以平面， 由①知平面平面， 所以平面，即②正确； ③若，则是边长为的等边三角形， 所以， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 所以， 所以点到平面的距离为，即③正确； ④由题意知，四面体的底面是等边，且， 即四面体是正三棱锥， 所以三条侧棱，，与底面所成角均相等， 而，，， 所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等， 由①知平面平面， 所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等，即④正确． 故答案为：②③④． 9．（23-24高一下·北京延庆·期末）如图：在正方体中，棱长为1，为中点，与平面交于点，点是棱上一点，在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是 . ①为的中点； ②点可以是的中点； ③当是的中点时，点面； ④线段的最大值为. 【答案】①③ 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以， 又，所以，又为中点，所以为中点，故①正确； 如图： 若为中点， 由正方体结构特征知，，且，平面， 所以平面，平面，所以. 假设成立，因为平面，且是两条相交直线， 所以平面，而且平面， 所以与重合，由①分析知为中点，即， 所以不成立，则不可能为中点，故②错误； 如图： 为中点时，为中点，所以， 又，所以，所以点在平面内，故③正确； 如图： 为棱上的点，点在正方体的表面上运动，且满足， 所以点也是棱上的点，所以的最大值为棱长，为1，故④错误. 故答案为：①③ ( 题型02 ) 空间平行、垂直关系的证明 1．（23-24高一下·北京海淀·期末）如图，在正三棱柱中，P，Q分别为，的中点.    (1)证明：平面ABC； (2)证明：平面平面. 请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据. 【解答】 （1）证明：取AB的中点D，连接PD、CD，因为P，Q分别为，的中点， 所以且， 又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以PDCQ为平行四边形，所以， 又因为平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC（① 定理）. （2）证明：在正三棱柱中，D为AB的中点， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以， ，，平面， 所以平面（② 定理）. 又，所以平面，又平面， 所以平面平面（③ 定理）.    【详解】（1）①线面平行的判定定理 （2）②线面垂直的判定定理 ③面面垂直的判定定理 2．（23-24高一下·北京房山·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形，正八面体由八个全等的等边三角形围成，呈现了对称美．下面给出四个结论： ①平面ABE； ②平面平面BDE； ③过点E存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】对于①，根据正八面体性质可知，，又平面，平面，所以平面，故①正确. 对于②，如下图所示，设平面的中心为， 由对称性可知平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故②正确； 对于③，直线与正八面体的各个面所成角均相等，将其平移后使其过点， 则过点至少存在两条直线与正八面体的各个面所成角均相等，故③错误. 对于④，如下图所示，取中点，的中心， 连接，则即正方体的一条棱， 设该正八面体棱长为，则，， 根据，，得，所以， 即以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的，故④正确. 故答案为：①②④. 3．（22-23高一下·北京怀柔·期末）在中，是边的中点，是边上的动点（不与重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，如图所示，给出下列四个结论：正确的是 ． ①不可能为等腰三角形； ②平面； ③对任意点，都有平面； ④存在点，使得． 【答案】②③④ 【详解】对于①，因为是等腰直角三角形，所以三角形PEF也是等腰直角三角形，则， 因为，，所以，且 当时，,所以， 此时是等腰三角形，故①错误； 对于②，因为，平面，平面， 所以平面，故②正确； 对于③，因为，，所以，且，， 且平面，平面，所以平面，平面， 所以平面，故对任意点，都有平面，故③正确； 对于④，因为平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 如图，过点作，连接， 则平面，平面，所以， 若，，平面，平面， 所以平面，平面， 所以， 如图，，延长，交于点， 则和都是等腰直角三角形， 则，点到直线的距离等于， 这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则， 设，则，则， 则存在点，，使得，故④正确；    故选：②③④ 4．（24-25高一下·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，点E，F分别为，的中点，设平面平面． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，请判断平面与平面是否垂直？若垂直，请证明：若不垂直，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不垂直，理由见解析 【详解】（1）因为底面为正方形， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）取的中点，连接，， 因为点分别为的中点， 所以，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 又因为平面，平面平面 所以. （3）假设当平面平面时， 因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以，三角形为以为斜边的直角三角形， 此时，与题干矛盾， 所以平面与平面不垂直. 5．（23-24高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，是正方形，平面，分别是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）平面平面，， 又四边形是正方形，， 且平面， 平面，又平面， . （2）分别是线段的中点，， 又为正方形，，， 又平面平面，平面. 分别是线段的中点，， 又平面平面，平面. 又平面， 平面平面，又平面， 平面. 6．（23-24高一下·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，分别是线段的中点. (1)求证：平面； (2)过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面，求证：是线段的中点. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）因为分别是线段的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）依题意知，平面平面， 因为直线平面，平面， 所以，因为F是线段中点， 所以是线段的中点. 7．（21-22高一下·北京丰台·期末）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF． (1)求证：直线平面ADF； (2)求证：直线平面ADF； (3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至， 所以， 又，平面， 所以平面； （2）证明：依题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面； （3）证明：因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 过点作，交于点， 若选①，，，所以， 所以，此时， 所以 如图过点作交的延长线于点， 因为平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面，显然平面与平面不垂直； 若选②：，则，所以，， 所以，即， 又，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面； 若选③：，又，，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面； 1．（23-24高一下·北京·期末）如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论：    ①存在点P，使得直线平面； ②点P沿直线AC从点A移动到点C的过程中，四面体的体积逐渐减小； ③若，则点P轨迹的长度为； ④当二面角的平面角的正切值为时，平面截正方体所得截面图形的面积为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】对于①，当P点位于A点时，由于，即四边形为平行四边形， 则，同理可证， 由于平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，此时平面，则平面， 即存在点P，使得直线平面，①正确；    对于②，由于平面，平面，故， 而，而平面，故平面， 平面，故，同理可证, 平面，故平面， 由于，过点P作平面，垂足为Q，则， 当P点沿直线AC从点A移动到点C的过程中，长逐渐变小， 而的面积为定值，故逐渐变小，即逐渐减小，②正确；    对于③，，作，垂足为G，连接， 则，此时 则P点轨迹为在上的线段，如图示， 为等腰三角形，则其底边上的高为， 故当P向点C运动时，逐渐变小，故在线段上存在一点P，使得, 同理在靠近C的那一侧也存在一点P，使得, 当时，，则点P轨迹的长度为，③错误；    对于④，设交于R，则R为的中点， 由于，故， 即为二面角的平面角，而， 故，即为锐角， 则，即， 当P点由A向C运动时，将变小， 即可知当二面角的平面角的正切值为时，P点位于A处， 由于，此时平面截正方体所得截面即为矩形， 面积为，④正确，    故答案为：①②④ 2．（23-24高一下·北京昌平·期末）在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③存在点，使得直线平面； ④平面截正方体所得的截面面积为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【详解】如图： 因为，分别为，中点，所以， 又，所以，又平面，平面， 所以平面，故①成立； 连接，交于点，易证平面，，， 所以，故点轨迹是平面内以为圆心，以为半径的圆， 所以点轨迹长度为：，故②成立； 由②可知，不可能与平面垂直，故③不成立； 做出截面，可知截面是正六边形，且边长为，其面积为：，故④成立. 故答案为：①②④ 3．（23-24高一下·北京顺义·期中）如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②棱始终与水面平行； ③水面四边形的面积不改变； ④当，且时，是定值. 其中所有正确的命题的序号是 .（请在横线上写出所有正确答案的序号，错选不得分） 【答案】①②④ 【详解】根据面面平行性质定理，可得BC固定时， 在倾斜的过程中，始终有， 且平面平面， 故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故①正确； 因为平面，平面，则， 且，则，即为矩形， 又因为水面所在四边形的面积， 从图中可以发现，边长不变，而另外一条长随着倾斜程度变化而变化， 所以所在四边形的面积是变化的，故③错误； 因为，水面，水面， 所以水面正确，故②正确； 若，，由于水的形状成棱柱， 且水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变， 又在矩形中，四边形的面积为是定值， 因为为定值，所以是定值，故④正确. 故答案为：①②④. 4．（22-23高一下·北京平谷·期末）已知棱长为2的正方体，点是线段上一动点．给出如下推断：    ①对任意点，总有； ②存在点，使得平面； ③三棱锥体积的最大值为4． 则所给推断中正确的是 ． 【答案】①② 【详解】对于①，    连接，因为底面为正方形，所以， 底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故①正确； 对于②，    取的中点，连接，设，连接， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 此时，当为与的交点时，有平面， 所以存在点，使得平面，故②正确； 对于③，    因为的面积是确定的，要使三棱锥体积的最大值，只须点到平面的距离最远，即点与点重合时可取最大值， 可得， 因为，， 所以，故③错误. 故答案为：①③. 5．（24-25高一下·北京·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为所以是平行四边形，所以 平面，且平面，所以平面； （2）因为是正方形，所以得， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面； （3）设点A到平面的距离为， 因为，所以， ， 所以， 故点到平面的距离为； 6．（23-24高一下·北京通州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点．求证： (1)平面； (2)平面； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，，， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，不在平面， 平面； （2）证明：四边形为正方形， ， ， ， 平面，平面， ， ，，又，，平面， 平面； （3）到平面距离为三棱锥的高， ， 故三棱锥的体积． 7．（23-24高一下·北京怀柔·期末）如图，已知正方体边长为2.    (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）    在正方体中，连接交于，连接，交于， 连接，则，且平面，平面， 所以平面. （2）因为为正方体，则平面，且平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以. （3）. 8．（23-24高一下·北京顺义·期末）如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求五面体的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，又平面平面，平面， 所以. （2）取的中点，连接，由为的中点，，得， 而，则，又，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， 又，为的中点，即四边形是梯形，是平面内两条相交直线， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （3）过作，交分别于，由为的中点，为的中点， 得，又， 由（2）知平面，则四棱锥的体积， 又，则四边形都是平行四边形， 于是，而平面，平面，则平面， 同理平面，又平面，因此平面面， 从而五面体为三棱柱，在三棱柱中，， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面， 三棱柱的体积， 所以五面体的体积. 9．（21-22高一下·北京大兴·期末）如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是. (1)当落在何处时，平面平面，并说明理由； (2)在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (3)设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围. 【答案】(1)落上，理由见解析； (2)直线与平面平行，理由见解析； (3). 【详解】（1）当落上时，平面平面. 因为，所以平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. （2）直线与平面平行. 证明如下：取的中点，连结. 因为平面， 所以， 在Rt和Rt中，， 所以， 所以， 因为为的中点， 所以，又在矩形中，， 所以，因为平面平面， 所以平面， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面，又在平面中，， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. （3）在矩形中，作交于， 已知，由题意知 在中，作，交于， 沿将折起成后， 又， 所以平面. 因为平面， 所以，又， 在平面中，， 所以平面， 因此，当时，满足题意的的集合组成的图形为线段， 因为在Rt中， 所以，当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为， 因为四面体的体积为， ①当取得最大值时，即与重合时， 四面体的体积取得最大值； ②当取得最小值时，即与重合时， 四面体的体积取得最小值. 综上，当时，四面体的体积的取值范围是. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$