专题05 几何体的体积、表面积（3大基础题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题05 几何体的体积、表面积 题型概览 题型01柱、锥、台的表面积 题型02柱、锥、台的体积 题型03球的体积和表面积 ( 题型01 ) 柱、锥、台的表面积 1．（23-24高一下·北京通州·期末）已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京·期末）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） A．4π B．2π C．4 D．2 3．（23-24高一下·北京延庆·期末）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则此四棱锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京·期中）若某圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则它的表面积为（ ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·北京·期中）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（ ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 柱、锥、台的体积 1．（24-25高一下·北京大兴·期中）如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京丰台·期中）如图是一个圆柱与圆锥的组合体的直观图（圆锥的底面与圆柱的上底面重合），已知圆锥的高为，圆柱的高为2，底面半径为1，则该组合体的体积为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京丰台·期中）如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为 （填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为 ． 4．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 5．（23-24高一下·北京西城·期末）有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ；表面积为 ． ( 题型03 ) 球的表面积与体积 1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知侧棱长为的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京延庆·期末）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径（ ） A．4 B． C． D．3 5．（23-24高一下·北京·期末）如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚度忽略不计）的3倍，则的取值范围是 ．（取3） 1．（24-25高三上·北京通州·期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（23-24高一下·北京朝阳·期末）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（ ） A．8 B．16 C． D． 3．（22-23高三下·北京·阶段练习）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2022高三·全国·专题练习）定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 5．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知一个长方体的长、宽、高分别为4、4、2，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A． B． C． D．以上都不对 6．（22-23高一下·北京东城·阶段练习）在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于（ ） A． B． C． D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 几何体的体积、表面积 题型概览 题型01柱、锥、台的表面积 题型02柱、锥、台的体积 题型03球的体积和表面积 ( 题型01 ) 柱、锥、台的表面积 1．（23-24高一下·北京通州·期末）已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为圆锥的底面半径是1，高为， 所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 2．（23-24高一下·北京·期末）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） A．4π B．2π C．4 D．2 【解析】依题意，得圆柱的底面半径为，母线也为， 所以其侧面积为 故选：B. 3．（23-24高一下·北京延庆·期末）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则此四棱锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】连结交于，连结，则为的中点，如图， 因为底面为正方形，，所以， 在中，， 则由余弦定理可得， 故， 所以， 则， 不妨记， 因为，所以， 即， 则，整理得①， 又在中，，即，则②， 两式相加得，故， 故在中，， 所以， 又，所以， 所以的面积为， 同理可得的面积为， 因为，所以等腰三角形底边上的高为， 所以等腰三角形的面积为， 因为，所以等腰三角形底边上的高为， 所以等腰三角形的面积为， 所以此四棱锥的侧面积为. 故选：A. 4．（23-24高一下·北京·期中）若某圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则它的表面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为圆锥的轴截面是边长为的正三角形，所以圆锥的底面半径，且圆锥的母线， 故它的表面积为. 故选：C 5．（22-23高一下·北京·期中）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】由斜二测画法还原底面平面图如图所示， 因为 所以， 所以， 所以此直三棱柱的底面积为， 因为直三棱柱的高为2， 故直三棱柱表面积为. 故选：D. ( 题型02 ) 柱、锥、台的体积 1．（24-25高一下·北京大兴·期中）如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（ ） A． B． C． D． 【解析】连接，因为平面，平面，所以， 所以，， 所以，点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部， 连接交于点，因为四边形为正方形，所以为的中点，且， 因为正方形的边长为，则，所以， 设点到的距离为，则， 所以，面积的最小值为， 故， 即三棱锥体积的最小值为. 故选：C. 2．（23-24高一下·北京丰台·期中）如图是一个圆柱与圆锥的组合体的直观图（圆锥的底面与圆柱的上底面重合），已知圆锥的高为，圆柱的高为2，底面半径为1，则该组合体的体积为（ ） A． B． C． D． 【解析】该组合体的体积为圆柱的体积加上圆锥的体积，即 ， 故选：C. 3．（24-25高一下·北京丰台·期中）如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为 （填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为 ． 【解析】当侧面水平放置时，由于水面恰好过的三等分点， 此时平面平面，其余各面都是平行四边形， 且每相邻四边形的公共边互相平行，所以容器中的水形成的几何体为棱柱； 设当底面水平放置时，液面高度为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的三等分点处， ， 所以水的体积，解得. 故答案为：棱柱； 4．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 【解析】 如图，图为圆锥的轴截面示意图，由题意可得，， 所以底面半径为，圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 故答案为：. 5．（23-24高一下·北京西城·期末）有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ；表面积为 ． 【解析】由题意可知：这个木质工艺品的体积为； 因为圆锥的母线长为 所以这个木质工艺品的表面积为. 故答案为：；. ( 题型03 ) 球的表面积与体积 1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【解析】如图，设四棱锥的棱长为，在底面的射影为，则平面， 且为的交点，且， 由正四棱锥的对称性可知在直线上， 设外接球的半径为，则其表面积为，所以， 则，故，解得或（舍）， 故正四棱锥的体积为． 故选：A． 2．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知侧棱长为的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】如图可将正三棱锥放到棱长为的正方体中， 则正方体的外接球即为三棱锥的外接球且正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， 设外接球的半径为，则，即，即（负值舍去）， 所以外接球的表面积. 故选：C 3．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为正方体棱长为2，体对角线为外接球的直径， 所以外接球半径， 所以正方体外接球的表面积为， 故选：C. 4．（23-24高一下·北京延庆·期末）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径（ ） A．4 B． C． D．3 【解析】设球体的半径为, 则球的体积为，球的表面积为, 所以. 故选：D. 5．（23-24高一下·北京·期末）如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚度忽略不计）的3倍，则的取值范围是 ．（取3） 【解析】设圆柱的高为h，则，故， 酒杯的体积为， 半球积分为，由题意可得， 则，又， 则，故， 而取3，故， 故答案为： 1．（24-25高三上·北京通州·期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【解析】 如图所示，，，连接，分别是的中点，连接，取的中点，连接. 由题意，在正四棱台中，平面，则， 因为分别是的中点，所以，且， 又分别是的中点，所以，且， 故，则四点共面； 因为平面，平面，所以， 所以四边形为直角梯形， 在直角梯形中，，又点是的中点， 所以四边形为矩形，则，且，又， 因此，在直角中，， 所以在正四棱台中， 侧面积， 底面积， 表面积（平方厘米）， 又每平方厘米的防腐处理费用为元， 所以该零部件的防腐处理费用是（元）. 故选：A 2．（23-24高一下·北京朝阳·期末）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（ ） A．8 B．16 C． D． 【解析】每个面的面积为，所以该图形的表面积为. 故选：C 3．（22-23高三下·北京·阶段练习）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】三棱锥的底面是边长为的正三角形， 棱锥的底面面积， 过各侧棱中点的截面与底面相似，且相似比为， 过各侧棱中点的截面的面积． 故选：C． 4．（2022高三·全国·专题练习）定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【解析】 做出容器的轴截面，如图所示， 则，，， 则为中点， 则，， 由已知在直径为的圆柱内的降雨总体积， 则降雨高度为， 所以降雨级别为中雨， 故选：B. 5．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知一个长方体的长、宽、高分别为4、4、2，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【解析】由题意，球体的直径为长方体的体对角线，即， 所以，故球体表面积为. 故选：B 6．（22-23高一下·北京东城·阶段练习）在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于（ ） A． B． C． D． 【解析】 因为三棱锥中，平面， 不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 因为长方体的体对角线即为其外接球的直径， 因为，，则，则长方体的长宽高分别为，所以三棱外接球的半径为. 所以三棱锥外接球的体积为 . 故选：C. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$