专题04 解三角形（4大基础题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题04 解三角形 题型概览 题型01三角形形状的判断 题型02求值问题 题型03三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型04实际问题 ( 题型01 ) 三角形形状的判断 1．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得，整理可得， 因此，为等腰三角形. 故选：A. 2．（20-21高一下·北京·期末）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】首先根据正弦定理，将边化为角，再结合二倍角的正弦公式，以及角的关系，即可判断. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 所以，可得或， 所以或，所以的形状为等腰或直角三角形. 故选：D． 3．（24-25高二上·吉林·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理可以判断出B为钝角，则的形状为钝角三角形. 【详解】由，可得，即 则，又，则 则的形状为钝角三角形 故选：A 4．（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】由正弦定理及三角形的性质分别判断出所给命题的真假． 【详解】①中，，，， 由正弦定理可得，即，可得， 因为角为锐角，所以角有两解，所以①不正确； ②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确； ③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确； ④中，由正弦定理可得，所以不存在这样的三角形，所以④不正确． 故选：B． 5．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以， 可得，所以是直角三角形. 故选：C. 6．（23-24高一下·北京·期末）在中， 则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，再利用余弦定理推理判断即得. 【详解】在中，，则， 由余弦定理得，即，而， 于是，即， 所以是等边三角形. 故选：C 7．（19-20高一下·天津滨海新·期中）在中，是角分别所对的边，，则一定是（    ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得，结合可得答案. 【详解】因为， 所以，由余弦定理有， 整理得，即，为等腰三角形， 又，所以为等边三角形. 故选：D 8．（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为，面积为，若，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】分别从两个条件计算出的正切值，再计算出各个角的角度，即可判断三角形的形状. 【详解】由及正弦定理知，故. 由，知. 从而，，这说明是等腰三角形，不是直角三角形，不是正三角形，故选项A正确，选项B，C，D错误. 故选：A. ( 题型02 ) 求值问题 1．（23-24高一下·北京·期中）在中，若，，，则a等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得，即，即， 解得或. 故选：D. 2．（24-25高一下·北京海淀·期中）在中，，，，则的面积为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】应用三角形面积公式求面积即可. 【详解】由题设. 故选：D 3．（9-10高三·广西桂林·阶段练习）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及充要条件的定义判断即可. 【详解】在中，令内角所对的边分别为， 由正弦定理得， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 4．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 二、填空题 5．（23-24高一下·北京通州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则 ，的面积为 . 【答案】 1 / 【分析】利用余弦定理求出，利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理得； 由三角形面积公式得. 故答案为：； 6．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）若△ABC中，，则△ABC的周长为 ． 【答案】或 【分析】利用正弦定理求得，进而求得，从而求得三角形的周长. 【详解】由正弦定理得， 是三角形内角，则或， 当时，，则， 三角形的周长为. 当时，，则, 三角形的周长为. 因此周长为或. 故答案为：或 ( 题型03 ) 三角形边长、面积、周长最值与范围问题 1．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用正弦定理和余弦定理的应用求出的值，再由正弦定理可得，，结合三角函数关系式的恒等变换把变形成正弦型函数，进一步利用性质和角的范围即可求出结果. 【详解】锐角中，内角，，的对边分别为，，， 由正弦定理可得，所以，整理得， 所以，由于，所以， 又，利用正弦定理：得：，， 又为锐角三角形，故， 所以 ， 由于，故， 所以. 故选：D 2．（22-23高一下·北京房山·期末）在中，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化角，在利用两角和的正弦公式及二倍角公式转化为的三角函数，在结合的范围计算可得. 【详解】由正弦定理可得 因为，所以，所以，则， 则，即. 故选：C 3．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）在不等边三角形中，为最大边，且，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知边长条件利用余弦定理得到，再由为最大边，求角的范围即可； 【详解】因为，所以，所以， 又因为为最大边且三角形是不等边三角形，所以，所以， 即，所以. 故选：C. 二、填空题 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积为，则角C等于 ，的最小值为 . 【答案】 6 【详解】第一空： 因为， 所以由正弦定理得，，即， 所以由余弦定理得，， 因为，所以； 第二空： 因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为6. 故答案为：；6. 5．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，，给出下列四个结论： ①若，则有两解；           ②周长的最大值为； ③的取值范围为； ④的最大值为. 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】对于①，由正弦定理得， 又，所以，角为唯一锐角，有一解，故①错误； 对于②，由余弦定理得：， 则，所以， 所以周长为，所以周长的最大值为，当且仅当时取到，故②正确； 对于③，， 因为，则的取值范围为， 所以的取值范围为，故③正确； 对于④，由正弦定理得，则，则， ， 因为， 所以 . 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最大值为，故④正确. 故答案为：②③④. ( 题型03 )实际问题 1．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（    ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 【答案】A 【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由题， 所以， 故在中，由余弦定理得， 所以即， （舍去）或，故铁塔的高度是70米. 故选：A. 2．（22-23高一下·北京东城·期末）已知长方形墙把地面上两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得米，米．现欲通过计算，能唯一求得两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（    ）    A．点到的距离 B．长度和长度 C．和 D．长度和 【答案】D 【分析】由已知可知中三边是已知的，所以三个角可求解出来，连接，在或中求解，然后逐个分析判断. 【详解】连接，在中，，，，所以， 所以，， 对于A，若测量点到的距离，则在或中只有一条边长度是已知，无法求解的长，所以A错误， 对于B，若测量长度和长度，则在中有两边长度是已知，或中只有一条边长度是已知，无法求解的长，所以B错误， 对于C，若测量和，则在或中只有一条边是已知，无法求解的长，所以C错误， 对于D，若测量长度和，则在中，可求出，而， 所以由余弦定理得，从而可求出，所以D正确， 故选：D    3．（21-22高一下·北京平谷·期末）如图，设，两点在河的两岸，在点所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（    ）（其中，，精确到） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理求解即可 【详解】由题意可知， 由正弦定理可知， 即， 解得， 故选：C 4．（21-22高一下·北京昌平·期中）如图所示，三点在同一水平线上，是塔的中轴线，在两处测得塔顶部处的仰角分别是，，如果间的距离是，测角仪，则塔高为（精确到）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知，在中，利用可得，由可求得结果. 【详解】，，，， ， . 故选：A. 5．（21-22高一下·湖北·期中）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，，且A，B两点之间的距离为30，则该树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】树高为h，利用直角三角形中用表示出，然后求解． 【详解】解：设树高为h，则，又, 所以， 故选：D 6．（2022·吉林长春·模拟预测）为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出BC，进而结合余弦定理即可求出AB. 【详解】在中，， 所以，有，所以， 在中，， 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理，得 ， 所以，即两个基站A、B之间的距离为. 故选：D 7．（20-21高一下·北京·期中）如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中利用正弦定理求得的值，根据即可求出. 【详解】因为，，， 在中，由正弦定理可得 ， 即，解得， 由， 所以， 所以大坝的坡角的余弦值为. 故选：D 8．（20-21高一下·北京顺义·期末）一艘船向正北方向航行，速度为每小时，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.行驶2小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.此时船与灯塔的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得出所对应的角和边，再由正弦定理计算可得选项. 【详解】由条件有，，，. 由正弦定理有，代入数据得，解得. 故选：C. 1．（24-25高一下·北京·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求角A的值； (2)求的值； (3)若D是中点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，求出，再由正弦定理，求出，得到答案； （2）根据，借助两角和的正弦公式化简求值； （3）在中，根据余弦定理，求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 根据正弦定理，即， 解得， 又因为，所以. （2） （3） 因为，，所以， 若D是中点，则根据余弦定理得 ， 所以. 2．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，． (1)求； (2)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为，所以.   因为，所以，所以，故. （2）由正弦定理，可得， 所以，，所以. 因为，所以， 因为     ， 所以. 因为，所以，所以.   所以，即，所以， 即△周长的取值范围为. 3．（24-25高一下·北京·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）， 已知，______． (1)若，求b； (2)若的周长为，求的面积S． 【答案】(1)选①或②，都有 (2) 【分析】（1）若选①，由正弦定理，结合两角和差的余弦公式可得角, 再由正弦定理可得b的值；若选②，由余弦定理可得角，再由正弦定理可得b的值. （2）由题意可得的值，利用余弦定理可求出的值，从而可求三角形的面积. 【详解】（1）若选① ，则， 所以，即， 由，，得，， 可得，所以． 若选② ，则， 所以，由，得， 故中，由正弦定理，可得． （2）中，， 所以， 即， 因为周长为，所以， 代入得， 所以面积． 4．（23-24高一下·北京·阶段练习）井冈山市茨坪镇为落实空间布局的需要，拟建设如图所示的三角形产业园区，根据规划要求，该产业园区需满足条件：． (1)求B的大小； (2)若在该产业园内再规划一个核心功能区（D、E是边BC上的点），且，，米，，当核心功能区的面积最小时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理将题给等式边化角再整理化简即可得解. （2）根据题给条件及正弦定理用将分别表示，再利用三角形的面积公式及两角和的正弦公式和二倍角公式化简得到的面积表示，再利用三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题，由正弦定理有， 因为，所以，则，得. ，所以. （2）由（1）知，，所以，为直角三角形. 因为，所以. ，，则，. 中，，得. ，得. 在中，，得. 所以的面积 当时，，当时，，此时最小. 故. 5．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解三角形 题型概览 题型01三角形形状的判断 题型02求值问题 题型03三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型04实际问题 ( 题型01 ) 三角形形状的判断 1．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（20-21高一下·北京·期末）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 3．（24-25高二上·吉林·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 4．（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 5．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6．（23-24高一下·北京·期末）在中， 则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．（19-20高一下·天津滨海新·期中）在中，是角分别所对的边，，则一定是（    ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 8．（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为，面积为，若，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 ( 题型02 ) 求值问题 1．（23-24高一下·北京·期中）在中，若，，，则a等于（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一下·北京海淀·期中）在中，，，，则的面积为（    ） A．6 B． C．3 D． 3．（9-10高三·广西桂林·阶段练习）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 4．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一下·北京通州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则 ，的面积为 . 6．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）若△ABC中，，则△ABC的周长为 ． ( 题型03 ) 三角形边长、面积、周长最值与范围问题 1．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·北京房山·期末）在中，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）在不等边三角形中，为最大边，且，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积为，则角C等于 ，的最小值为 . 5．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，，给出下列四个结论： ①若，则有两解；           ②周长的最大值为； ③的取值范围为； ④的最大值为. 其中，所有正确结论的序号是 ． ( 题型03 )实际问题 1．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（    ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 2．（22-23高一下·北京东城·期末）已知长方形墙把地面上两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得米，米．现欲通过计算，能唯一求得两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（    ）    A．点到的距离 B．长度和长度 C．和 D．长度和   3．（21-22高一下·北京平谷·期末）如图，设，两点在河的两岸，在点所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（    ）（其中，，精确到） A． B． C． D． 4．（21-22高一下·北京昌平·期中）如图所示，三点在同一水平线上，是塔的中轴线，在两处测得塔顶部处的仰角分别是，，如果间的距离是，测角仪，则塔高为（精确到）（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·湖北·期中）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，，且A，B两点之间的距离为30，则该树的高度为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·吉林长春·模拟预测）为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高一下·北京·期中）如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 8．（20-21高一下·北京顺义·期末）一艘船向正北方向航行，速度为每小时，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.行驶2小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.此时船与灯塔的距离为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·北京·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求角A的值； (2)求的值； (3)若D是中点，求的长． 2．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，． (1)求； (2)求周长的取值范围. 3．（24-25高一下·北京·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）， 已知，______． (1)若，求b； (2)若的周长为，求的面积S． 4．（23-24高一下·北京·阶段练习）井冈山市茨坪镇为落实空间布局的需要，拟建设如图所示的三角形产业园区，根据规划要求，该产业园区需满足条件：． (1)求B的大小； (2)若在该产业园内再规划一个核心功能区（D、E是边BC上的点），且，，米，，当核心功能区的面积最小时，求的大小． 5．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$