专题06 概率（2大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（重庆专用）

专题06 2024重庆高一期末概率试题汇编 题型概览 题型01古典概型 题型02互斥事件对立事件相互独立事件的判断及概率计算 ( 题型01 ) 古典概型 1．（23-24高一下·重庆·期末）某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】记哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市分别为， 则甲乙分别购买盲盒机票一张共有种可能， 其中两人恰好到达城市相同的情况有，共5种可能， 所以满足题意的概率为. 故选：A 2．（23-24高一下·重庆·期末）掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数；事件的概率为，事件的概率为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用列举法求出即可. 【详解】掷两颗骰子的试验的样本空间， ，共36个样本点， 事件含有的样本点为：，共9个， 所以. 故选：D 3．（23-24高一下·重庆·期末）新高考中数学多项选择题的评分规则是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对得6分，若两个正确选项，只选对一个正确项得3分，有选错的得0分；若有三个正确选项，只选对一个得2分，只选对两个选项得4分，有选错的得0分，我们假定不会出现四个选项都正确的情况”现已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，均随机选择选项，下列表述错误的是（    ） A．若甲只选一个选项，能得3分的概率是 B．若乙选两个选项，能得6分的概率是 C．若丙至少选一个选项，能得分的概率是 D．若丁至少选两个选项，能得分的概率是 【答案】C 【分析】利用古典概型，求出各种情况的概率进行判断即可. 【详解】对于A，“甲同学仅随机选一个选项，能得3分”为事件, 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率，A正确； 对于B，“乙同学仅随机选两个选项，能得6分”为事件， 乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率，B正确； 对于C，“丙同学仅随机至少选择一个选项，能得分”为事件， ， 丙同学仅随机至少选择一个选项，能得分的概率，C错误； 对于D，“丁同学仅随机至少选择两个选项，能得分”为事件G， 所以丁同学仅随机至少选择两个选项，能得分的概率，D正确. 故选：C. 4．（22-23高一下·重庆长寿·期末）投掷两枚质地均匀的骰子，则向上的点数之和为11的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出基本事件总数和符合条件的基本事件个数，再根据古典概型的公式，代入即可得出答案. 【详解】基本事件总数为36种，符合题意的为共2种， 故“向上的点数之积为11的概率”为. 故选：A. 5．（22-23高一下·重庆·期末）据统计某班三个同学投篮，每一位投进的概率均为0.4，用数字表示投进，数字表示投不进，由计算机产生如下20组随机数: 977，864，191，925，271，932，812，458，569，683， 431，257，394，027，556，488，730，113，537，908. 由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】由题意找出20组随机数中表示三位同学中恰有一位投进的数据，计算所求的概率值. 【详解】由题意知，20组随机数中表示三位同学中恰有一位投进的数据为：925，683，257，394，537，908共6个， 由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为. 故选：B． 6．（22-23高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B 7．（22-23高一下·重庆渝中·期末）投掷两枚质地均匀的骰子一次，设事件A为“两枚骰子的点数之差绝对值为2”；则 ． 【答案】 【分析】利用列表法结合古典概型运算求解. 【详解】投掷两枚质地均匀的骰子一次，共有36个基本事件，事件A包含8个基本事件， 所以. 故答案为：. 1 2 3 4 5 6 1 ╳ ╳ √ ╳ ╳ ╳ 2 ╳ ╳ ╳ √ ╳ ╳ 3 √ ╳ ╳ ╳ √ ╳ 4 ╳ √ ╳ ╳ ╳ √ 5 ╳ ╳ √ ╳ ╳ ╳ 6 ╳ ╳ ╳ √ ╳ ╳ 8．（23-24高一下·重庆·期末）2023年冬季“尔滨”爆火，某咨询公司开展评价统计，以网络问卷､现场扫码问卷､电话回访､短信等方式进行，得到若干游客的评价得分如下频率分布直方图： (1)估计评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），中位数（精确到0.1）： (2)按比例从中抽取4人，进行不满意情况电话回访，再从这4人中随机抽取2人发送礼物，求2人不在同一评分区间的概率. 【答案】(1)估计评分的平均数为，估计评分的中位数为 (2) 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算，先确定中位数在内，设中位数为，从而列出方程，求出答案； （2）根据分层抽样得到各抽取的人数，用列举法得到所有情况数和满足要求的情况数，计算出相应的概率. 【详解】（1）估计评分的平均数为 ； 因为，， 故中位数在内，设中位数为， 则，解得 估计评分的中位数为 （2）的频率之比为， 故从中抽取4人，其中内的抽取人数为，设为， 内的抽取人数为，设为， 则从这4人中随机抽取2人发送礼物，情况如下： ，共6种， 其中2人不在同一评分区间的情况有，共3种， 所以从这4人中随机抽取2人发送礼物，求2人不在同一评分区间的概率为. 9．（23-24高一下·重庆·期末）从学校高一的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生的成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. (1)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分； (2)若从样本成绩属于第一组和第七组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值不低于50分的概率. 【答案】(1)（分） (2) 【分析】（1）先根据频率之和等于求出第七组的频率，再由每组数据中间值乘以相应频率相加后可得平均分； （2）求出2组中的人数并编号，列出任取2人的所有基本事件，利用古典概型求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知第七组的频率为 ， 平均分数为（分）； （2）样本成绩属于第一组有人，设为， 样本成绩属于第一组有人，设为， 要使选取的人的分差的绝对值不低于50分，则这两人来自不同的组， 取法有共种， 其中来自不同的组有共种， 所以所求概率为. 10．（23-24高一下·重庆长寿·期末）某班统计出一天中学生咨询物理、化学、生物问题的次数，其中咨询物理问题有次，化学问题有次，生物问题有次.现用分层抽样的方法抽取，抽取的样本容量为，再从样本中任取次. (1)样本点用的形式表示，写出所有的样本点； (2)求样本点中恰好抽到物理和化学各一次的概率？ 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据分层抽样求出咨询物理，化学，生物问题次数分别为3，2，1，进而利用列举法求出样本点; （2）根据恰好抽到咨询物理和化学问题各一次共有6种，计算概率. 【详解】（1）用分层抽样抽到咨询物理，化学，生物问题次数分别为3，2，1. 设物理问题用，化学问题用，生物问题用. 若从样本中任取2次，有 共15种. （2）由（1）问知，恰好抽到咨询物理和化学问题各一次共有6种，所以恰好抽到咨询物理和化学问题各一次的概率为：. 11．（23-24高一下·重庆·期末）在一次区域的统考中，为了了解学生数学学科成绩的情况，从所有考生的成绩中随机抽取了 40 位考生的成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图， (1)估计这 40 名学生的数学成绩的平均数与中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，不能整除的保留1位小数) (2)为了进一步了解70分以下的学生的数学学习情况，调查方从成绩在[50，70)分数段的同学中按组（各算一组）从样本中分层抽取了6个人进行深入地学习交流，学习交流完后再从这6个人中随机抽取2个人进行再测试，求这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于[50，60)的概率. 【答案】(1)平均数为，中位数为； (2) 【分析】（1）根据平均数和中位数公式，即可求解； （2）首先确定抽取的这两组的人数，再利用变号，列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）平均数为 ； 前2组的频率和为， 前3组的频率和为， 所以中位数在第3组，设中位数为， 则，得， 所以中位数为； （2）和两组的频率之比为，所以6人中，有2人，有4人， 中2人，设为，有4人，设为， 所以6人中任选2人的样本空间, ，共15个， 其中至少有1人成绩位于的包含,，共9种情况， 所以这两个人中至少有一个人成绩位于[50，60)的概率. 12．（23-24高一下·重庆·期末）在对重庆市某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：cm）如下： 男生：172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0 172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0 女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0 162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0 155.0148.0172.0162.5 (1)从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5的概率； (2)利用所学过的统计学知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度； (3)估计该中学高一年级全体学生身高的方差（精确到0.1）. 参考数据：其中男生样本记为，，…，，女生样本记为，，…，，其中，，，，，. 【答案】(1) (2)样本中男生的身高比较整齐； (3)52.1 【分析】（1）身高在区间，的3名男生分别记为，，身高在，的三名男生分别记为，，利用列举法能求出至少有1人的身高大于的概率； （2）分别求出男生女生身高的平均数和方差，比较平均数和方差的大小，能求出结果； （3）利用分层抽样的平均数与方差公式即可得解. 【详解】（1）身高在区间共有4名男生，其中2名男生身高位于分别记为，， 身高在，的三名男生分别记为，， 从身高在中的男生中抽取2人，基本事件总数6个，分别为： ，，，，， 其中至少有1人的身高大于包含的基本事件有5个，分别为： ，，，，， 至少有1人的身高大于的概率为. （2）男生身高的平均数为， 男生身高的方差为， 女生身高的平均数为， 女生身高的方差为， ，样本中男生的身高比较整齐； （3）把总体样本的平均数记为，方差记为， 则， ， 13．（22-23高一下·重庆·期末）小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法，他拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小颖，将数字为4，6，7，10的四张牌给自己，并按如下游戏规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去. (1)求小颖去看电影的概率； (2)这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由，若不公平，在小颖和哥哥所拿4张牌不变的情况下，如何修改游戏规则使其对双方公平. 【答案】(1) (2)不公平，游戏规则修改见解析 【分析】（1）利用树状图展示所有的结果数，再找出两数和为偶数的结果数，利用古典概型概率公式直接计算即可； （2）根据两人看电影的概率大小判断是否游戏规则公平，然后根据数字和是不是3的倍数修改规则，使得两人看电影概率一样即可. 【详解】（1）由题意画树状图:    两张牌的数字之和所对应16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19， 其中和为偶数的结果有6,8,12,10,12,16共6种，所以小颖去看电影的概率为； （2）哥哥设计的游戏规则不公平，因为小颖去看电影的概率为， 哥哥去看电影的概率为，，此规则对哥哥更有利； 因为在所拿的牌不变的情况下，两张牌的数字之和所对应16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和为3的倍数的结果有8个， 故可修改规则为：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加， 如果和为3的倍数，则小颖去；如果和不是3的倍数，则哥哥去. 14．（22-23高一下·重庆长寿·期末）已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球．甲盒中是3个黑色小球（记为）和1个红色小球（记为），乙盒中是2个黑色小球（记为）和2个红色小球（记为） ． (1)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，共有多少种不同的结果？请列出所有的结果； (2)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率． 【答案】(1)种，答案见解析 (2) 【分析】（1）用列举法列出所有可能结果； （2）利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）共16种不同结果，总体记为， 则,． （2）记 “取出的2个小球中至少有一个是黑色”， 则,， 故． 15．（22-23高一下·重庆渝中·期末）为了解学校食堂的满意度；某调查小组在高一和高二两个年级各随机抽取10名学生进行问卷计分调查（满分100分）；得分如下所示： 高一：64，72，79；78；78；75，86，85，92，91 高二： 62，67，78；79，70，85，84，85；93，95 (1)求高一年级问卷计分调查平均数和估计高一年级学生问卷计分调查的第75百分位数； (2)若规定打分在86分及以上的为满意；少于86分的为不满意；从上述满意的学生中任取2人；求这2人来自同一级的概率； 【答案】(1)平均数为80，第75百分位数为86 (2) 【分析】（1）根据平均数和百分位数的定义，即可求得， （2）根据古典概率模型计算公式. 【详解】（1））高一年级问卷计分调查平均数：， 将高一调查的数据从小到大排列：64，72，75，78，78，79，85，86，91，92， ，所以第8位数为第75百分位数，即86． （2）高一年级满意的有3个，记为，高二年级满意的有2个，记为, 则从上述满意的学生中任取2人，基本事件有共有10个， 设事件“上述满意的学生中任取2人，求这2人来自同一级”为，则包含，共有4个，故 ． 16．（22-23高一下·重庆·期末）骰子（tóuzi），中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔（或数字），其相对两面之数字和必为七.中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成shăi.现甲､乙两人玩掷骰子（质地均匀）游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)记“甲､乙两人掷出的点数和为6”，写出事件包含的样本点； (2)现连玩三次，记“甲至少赢一次”，“乙至少赢两次”，试问：与是否为互斥事件？为什么？ (3)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)公平，理由见解析 【分析】（1）用表示甲､乙两人投出的点数，则表示这个实验的一个样本点，用列举法即可求解； （2）根据互斥事件的概念即可求解； （3）利用古典概型概率公式分别计算甲赢，乙赢的概率即可求解. 【详解】（1）用表示甲､乙两人投出的点数，则表示这个实验的一个样本点， 所以该实验的样本空间为，共有36个样本点， 事件包含的样本点共5个，即； （2）与不是互斥事件，由于连玩三次， 则事件与可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意， 所以事件B与C不是互斥事件； （3）这种游戏规则公平， 由题可知甲､乙两人投出的点数和为偶数的样本点有 ， ，共18个. 所以甲赢的概率为，所以乙赢的概率为，所以这种游戏规则公平. 17．（22-23高一下·重庆·期末）某校对高一年级名学生的身高进行了统计，发现这名学生的身高介于（单位：），现将数据分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．      已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是第二组频率的倍，第二组频率是第一组频率的倍． (1)求第一组学生的人数，并估计这名学生身高（单位：）的中位数（保留位小数）； (2)若采用分层抽样的方法从前两组中抽取位同学参加某项课外活动，在这位同学中随机选出人作为队长，求这两人来自于同一组的概率． 【答案】(1)70人, (2) 【分析】（1）由频率分布直方图可求得第四组的频率，根据概率和为1，求出前三组频率和为，从而求得频率为的中位数在第四组，从而求出中位数； （2）根据分层抽样求出第一组抽取人，第二组抽取人，由古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知第四组的频率为, 设第一组的频率为，由题可知，解得 ∴第一组的人数为人, 前三组的频率之和为，， 估计中位数为. （2）第二组频率是第一组频率的倍，所以第一组抽取人，记为，第二组抽取人，记为, 从人中随机抽取人的样本点有， ，共个，且每个样本点等可能发生，其中两人来自于同一组的样本点有，共个， 故所求概率为. ( 题型02 ) 互斥事件对立事件相互独立事件的判断及概率计算 1．（23-24高一下·重庆·期末）(改编)已知两个互斥事件A， B满足，，则 （    ） A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.1 【答案】B 【分析】根据互斥事件概率的加法公式求解. 【详解】因为两个互斥事件A， B， ， 所以. 故选：B 2．（23-24高一下·重庆·期末）甲、乙两人独自破译密码，两个人都成功地破译密码的概率为0.3，甲成功且乙没有成功破译密码的概率为0.2，则甲成功破译密码的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.06 D． 【答案】A 【分析】利用独立事件，列概率的方程，利用解方程求解即可. 【详解】因为甲、乙两人独自破译密码，故甲、乙两人破译密码为独立事件. 设甲､乙､两人独立破译的事件分别记为A，B，则 则 解得： 故选：A. 3．（23-24高一下·重庆·期末）甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为、、，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由独立乘法公式以及对立事件概率公式即可求解. 【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率， 再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率， 故选：D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（    ） A． B．A与C相互独立 C．A与C互斥 D．B与C互斥 【答案】B 【分析】列举所有基本事件，由古典概型公式即可求解A，由互斥事件的定义分析CD,由相互独立事件的定义即可求解B． 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数， 有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36个不同结果， 对于A，事件为“第一次的点数是2”，包含6种情况，则，A错误； 对于B，事件为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则， 事件，即包含3个结果，则， 则有，事件、相互独立，B正确． 对于C，事件、可以同时发生，故不互斥，C错误； 对于D，事件、可以同时发生，不互斥，D错误； 故选：B． 5．（22-23高一下·重庆渝中·期末）甲；乙两位同学去参加某高校科研项目面试．已知他们通过面试的概率都是；且两人的面试结果相互之间没有影响；则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】由题意可得：甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率. 故选：D. 6．（22-23高一下·重庆渝中·期末）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合频率与概率之间的关系运算求解. 【详解】由题意可知：体重减轻的频率为， 用频率估计概率可知：体重减轻的概率为. 故选：A. 7．（22-23高一下·重庆·期末）2023年4月10日，重庆市中学生田径锦标赛在奉节举行.本次锦标赛设有长跑､短跑､跳高､跳远､铅球等项目，某参赛队员要从短跑､跳高､跳远､铅球4个项目中任选2项，假设每个项目被选中的可能性相等，那么跳高和铅球至少有一门被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用列举法得到所有可能的情况，根据古典概型概率计算公式得到结果. 【详解】从4个项目中任选2项共有：短跑+跳高、短跑+跳远、短跑+铅球、跳高+跳远、跳高+铅球、跳远+铅球，共6种情况， 其中满足跳高和铅球至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为， 故选：D. 8．（23-24高一下·重庆·期末多选题）抛一枚质地均匀的硬币两次，事件“第1次硬币正面朝上”，事件“第2次硬币正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先列举样本空间，再根据选项，分析事件，并计算概率. 【详解】抛一枚质地均匀的硬币两次包含（正正），（正反），（反正），（反反），共4种情况， 所以，故A正确，B错误； 为事件（正正），则，即，故C正确； 为事件（正正），则，所以，故D错误. 故选：AC 9．（23-24高一下·重庆·期末多选题）一个不透明袋中装有2个红球､2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同），从中不放回依次抽取2个球，记事件为“第一次取的球为红球”，事件为“第二次取的球为白球”，则（    ） A． B．为对立事件 C．为相互独立事件 D．抽取的2个球中至多1个白球的概率为 【答案】AD 【分析】记个红球编号为,个白球编号为，写出样本空间及事件的样本点，对于A，用古典概率公式计算事件概率即可；对于B，事件包含共同的样本点，故不对立；对于C，根据独立事件的概念判断即可；对于D，记事件为“抽取的2个球中至多一个白球”，用古典概率公式计算即可. 【详解】记个红球编号为,个白球编号为， 所以样本空间为 ， 事件包含的样本点为， 事件包含的样本点为， 对于A，因为，故A正确； 对于B，因为事件包含共同的样本点，故事件不对立，故B错误； 对于C，因为，所以不独立，故C错误； 对于D，记事件为“抽取的2个球中至多一个白球”， 则事件包含的样本点为 ， 所以，故D正确. 故选：AD. 10．（23-24高一下·重庆·期末多选题）一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“两次摸出球的标号都是偶数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式逐一验算即可求解. 【详解】由题意，摸球两次的样本空间 ， 事件， 事件， 事件， 所以，， ， 利用古典概型计算公式，，，，， 故选：ABD． 11．（22-23高一下·重庆·期末多选题）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A＝“两个球颜色相同”，B＝“第1次取出的是红球”，C＝“第2次取出的是红球”，D＝“两个球颜色不同”，则（    ） A．事件B与C互斥 B．事件A与D互为对立 C．事件A与B相互独立 D．事件C与D相互独立 【答案】BCD 【分析】根据对立事件，互斥事件的概率判断A、B，利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，在根据相互独立事件的定义判断C、D. 【详解】设2个红球为，2个白球为，则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件A，共4个基本事件. 事件B，共6个基本事件. 事件C，共6个基本事件. 事件D，共8个基本事件. 对于A选项，因为，所以事件B与C不互斥，错误； 对于B选项，因为，,所以事件A与D互为对立，正确； 对于C选项，因为，，， 则，故事件A与B相互独立，正确； 对于D选项，因为，，， 则，故事件C与D相互独立，正确. 故选：BCD 12．（22-23高一下·重庆·期末多选题）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．与互斥 B． C． D．与相互独立 【答案】BCD 【分析】列出两次出现的点数组，由互斥事件与对立事件的定义可判断A选项；由对立事件和独立事件的概率公式可判断BCD选项. 【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组如下表所示： 第二次第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有种， 表示事件“两次掷出的点数相同”, 表示事件“两次掷出的点数不同”，其中包括，即与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷的点数都是偶数” ，故B正确； 表示事件“第一次为奇数，第二次为偶数”共9种： ，故C正确； 事件“第二次掷出的点数是偶数”共18种；， 事件“两次掷出的点数相同”共6种：， 表示事件“两次为相同的偶数”共3种： ， 即，与相互独立，故D正确. 故选：BCD 13．（22-23高一下·重庆·期末）已知事件相互独立，且，则 ． 【答案】 【分析】根据事件相互独立，得出，的关系式，从而解出答案. 【详解】因为事件相互独立，所以也相互独立，且， ，解得. 故答案为：. 14．（23-24高一下·重庆·期末）甲、乙、丙三人组成一组，参加篮球3分投篮团体赛.三人各自独立投篮，其中甲每次投篮成功的概率为，甲、乙各投一次都投篮成功的概率为，乙、丙各投一次都投篮成功的概率为.每人各投一次投篮成功得3分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙每次投篮成功的概率分别是多少； (2)求团体总分不低于3分的概率； (3)若团体总分不低于6分，则小组晋级，求该小组晋级的概率. 【答案】(1)乙、丙每次投篮成功的概率分别是 (2) (3) 【分析】根据相互独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】（1）设甲、乙、丙每次投篮命中的概率分别为， 则， 所以， 即乙、丙每次投篮成功的概率分别是； （2）团体总分不低于3分，即至少有一个人命中， 所以团体总分不低于3分的概率为； （3）团体总分不低于6分，即至少两人命中， 所以该小组晋级的概率为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 2024重庆高一期末概率试题汇编 题型概览 题型01古典概型 题型02互斥事件对立事件相互独立事件的判断及概率计算 ( 题型01 ) 古典概型 1．（23-24高一下·重庆·期末）某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数；事件的概率为，事件的概率为，则 （    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）新高考中数学多项选择题的评分规则是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对得6分，若两个正确选项，只选对一个正确项得3分，有选错的得0分；若有三个正确选项，只选对一个得2分，只选对两个选项得4分，有选错的得0分，我们假定不会出现四个选项都正确的情况”现已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，均随机选择选项，下列表述错误的是（    ） A．若甲只选一个选项，能得3分的概率是 B．若乙选两个选项，能得6分的概率是 C．若丙至少选一个选项，能得分的概率是 D．若丁至少选两个选项，能得分的概率是 4．（22-23高一下·重庆长寿·期末）投掷两枚质地均匀的骰子，则向上的点数之和为11的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·重庆·期末）据统计某班三个同学投篮，每一位投进的概率均为0.4，用数字表示投进，数字表示投不进，由计算机产生如下20组随机数: 977，864，191，925，271，932，812，458，569，683， 431，257，394，027，556，488，730，113，537，908. 由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 6．（22-23高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（22-23高一下·重庆渝中·期末）投掷两枚质地均匀的骰子一次，设事件A为“两枚骰子的点数之差绝对值为2”；则 ． 8．（23-24高一下·重庆·期末）2023年冬季“尔滨”爆火，某咨询公司开展评价统计，以网络问卷､现场扫码问卷､电话回访､短信等方式进行，得到若干游客的评价得分如下频率分布直方图： (1)估计评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），中位数（精确到0.1）： (2)按比例从中抽取4人，进行不满意情况电话回访，再从这4人中随机抽取2人发送礼物，求2人不在同一评分区间的概率. 9．（23-24高一下·重庆·期末）从学校高一的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生的成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. (1)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分； (2)若从样本成绩属于第一组和第七组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值不低于50分的概率. 10．（23-24高一下·重庆长寿·期末）某班统计出一天中学生咨询物理、化学、生物问题的次数，其中咨询物理问题有次，化学问题有次，生物问题有次.现用分层抽样的方法抽取，抽取的样本容量为，再从样本中任取次. (1)样本点用的形式表示，写出所有的样本点； (2)求样本点中恰好抽到物理和化学各一次的概率？ 11．（23-24高一下·重庆·期末）在一次区域的统考中，为了了解学生数学学科成绩的情况，从所有考生的成绩中随机抽取了 40 位考生的成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图， (1)估计这 40 名学生的数学成绩的平均数与中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，不能整除的保留1位小数) (2)为了进一步了解70分以下的学生的数学学习情况，调查方从成绩在[50，70)分数段的同学中按组（各算一组）从样本中分层抽取了6个人进行深入地学习交流，学习交流完后再从这6个人中随机抽取2个人进行再测试，求这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于[50，60)的概率. 12．（23-24高一下·重庆·期末）在对重庆市某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：cm）如下： 男生：172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0 172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0 女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0 162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0 155.0148.0172.0162.5 (1)从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5的概率； (2)利用所学过的统计学知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度； (3)估计该中学高一年级全体学生身高的方差（精确到0.1）. 参考数据：其中男生样本记为，，…，，女生样本记为，，…，，其中，，，，，. 13．（22-23高一下·重庆·期末）小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法，他拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小颖，将数字为4，6，7，10的四张牌给自己，并按如下游戏规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去. (1)求小颖去看电影的概率； (2)这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由，若不公平，在小颖和哥哥所拿4张牌不变的情况下，如何修改游戏规则使其对双方公平. 14．（22-23高一下·重庆长寿·期末）已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球．甲盒中是3个黑色小球（记为）和1个红色小球（记为），乙盒中是2个黑色小球（记为）和2个红色小球（记为） ． (1)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，共有多少种不同的结果？请列出所有的结果； (2)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率． 15．（22-23高一下·重庆渝中·期末）为了解学校食堂的满意度；某调查小组在高一和高二两个年级各随机抽取10名学生进行问卷计分调查（满分100分）；得分如下所示： 高一：64，72，79；78；78；75，86，85，92，91 高二： 62，67，78；79，70，85，84，85；93，95 (1)求高一年级问卷计分调查平均数和估计高一年级学生问卷计分调查的第75百分位数； (2)若规定打分在86分及以上的为满意；少于86分的为不满意；从上述满意的学生中任取2人；求这2人来自同一级的概率； 16．（22-23高一下·重庆·期末）骰子（tóuzi），中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔（或数字），其相对两面之数字和必为七.中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成shăi.现甲､乙两人玩掷骰子（质地均匀）游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)记“甲､乙两人掷出的点数和为6”，写出事件包含的样本点； (2)现连玩三次，记“甲至少赢一次”，“乙至少赢两次”，试问：与是否为互斥事件？为什么？ (3)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 17．（22-23高一下·重庆·期末）某校对高一年级名学生的身高进行了统计，发现这名学生的身高介于（单位：），现将数据分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．      已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是第二组频率的倍，第二组频率是第一组频率的倍． (1)求第一组学生的人数，并估计这名学生身高（单位：）的中位数（保留位小数）； (2)若采用分层抽样的方法从前两组中抽取位同学参加某项课外活动，在这位同学中随机选出人作为队长，求这两人来自于同一组的概率． ( 题型02 ) 互斥事件对立事件相互独立事件的判断及概率计算 1．（23-24高一下·重庆·期末）(改编)已知两个互斥事件A， B满足，，则 （    ） A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.1 2．（23-24高一下·重庆·期末）甲、乙两人独自破译密码，两个人都成功地破译密码的概率为0.3，甲成功且乙没有成功破译密码的概率为0.2，则甲成功破译密码的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.06 D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为、、，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（    ） A． B．A与C相互独立 C．A与C互斥 D．B与C互斥 5．（22-23高一下·重庆渝中·期末）甲；乙两位同学去参加某高校科研项目面试．已知他们通过面试的概率都是；且两人的面试结果相互之间没有影响；则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·重庆渝中·期末）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·重庆·期末）2023年4月10日，重庆市中学生田径锦标赛在奉节举行.本次锦标赛设有长跑､短跑､跳高､跳远､铅球等项目，某参赛队员要从短跑､跳高､跳远､铅球4个项目中任选2项，假设每个项目被选中的可能性相等，那么跳高和铅球至少有一门被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·重庆·期末多选题）抛一枚质地均匀的硬币两次，事件“第1次硬币正面朝上”，事件“第2次硬币正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·重庆·期末多选题）一个不透明袋中装有2个红球､2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同），从中不放回依次抽取2个球，记事件为“第一次取的球为红球”，事件为“第二次取的球为白球”，则（    ） A． B．为对立事件 C．为相互独立事件 D．抽取的2个球中至多1个白球的概率为 10．（23-24高一下·重庆·期末多选题）一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“两次摸出球的标号都是偶数”，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·重庆·期末多选题）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A＝“两个球颜色相同”，B＝“第1次取出的是红球”，C＝“第2次取出的是红球”，D＝“两个球颜色不同”，则（    ） A．事件B与C互斥 B．事件A与D互为对立 C．事件A与B相互独立 D．事件C与D相互独立 12．（22-23高一下·重庆·期末多选题）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．与互斥 B． C． D．与相互独立 13．（22-23高一下·重庆·期末）已知事件相互独立，且，则 ． 14．（23-24高一下·重庆·期末）甲、乙、丙三人组成一组，参加篮球3分投篮团体赛.三人各自独立投篮，其中甲每次投篮成功的概率为，甲、乙各投一次都投篮成功的概率为，乙、丙各投一次都投篮成功的概率为.每人各投一次投篮成功得3分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙每次投篮成功的概率分别是多少； (2)求团体总分不低于3分的概率； (3)若团体总分不低于6分，则小组晋级，求该小组晋级的概率. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$