专题05 概率（3大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（吉林专用）

专题05 概率 题型概览 题型01随机事件与概率 题型02事件的相互独立性 题型03频率与概率 随机事件与概率题型01 1．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为（a，b），则为正整数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】应用列举法利用古典概型计算即可. 【详解】从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为，共有20个基本事件，分别为，， 记“为正整数”为事件A， 所以事件A包含3个基本事件：， 故其概率为． 故选:A． 2．（23-24高一下·吉林省通化市靖宇中学、东辽一中·期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】运用列举法，求出样本空间的样本点数，再找出满足题意的种数，最后运用古典概型公式求解即可. 【详解】样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， （小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}， 共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个. 所以这2个节气不在同一个月的概率为. 故选：． 3．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数、计算古典概型问题的概率 【分析】根据中位数分析可知，结合古典概型分析求解. 【详解】显然x的可能取值有，共有6种可能， 除去x将数据按升序排列可得， 可知这6个点数的中间两数必有3， 若这6个点数的中位数为，则中间两数应为3，4， 可得，共有3种可能， 所以这6个点数的中位数为的概率为. 故选：C. 4．（23-24高一下·吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型概率计算公式进行计算即可. 【详解】双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有9种不同的组合， 其中只有双方都选白色或都选黑色时不符合要求， 故不符合要求的概率为，符合要求的概率为． 故选:D. 5．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（    ） A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立 【答案】D 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】随机抽取三件产品，得出总事件，再分别得出事件A，事件B，事件C包含的事件，再由互斥事件及对立事件的定义即可判断出结果. 【详解】随机抽取三件产品，总事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品” ，“3件次品，0件正品” 事件A=“三件产品全不是次品”即“0件次品，3件正品”， 事件B=“三件产品全是次品”即“3件次品，0件正品”， 事件C=“三件产品有次品，但不全是次品” 即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品” 由互斥事件的定义知：A、B、C两两互斥，故ABC正确； 由互斥事件的定义知：A与B互斥，但是A与B的和事件不是总事件，故A与B对立不是对立事件，故D错误. 故选：D. 6．（23-24高一下·吉林省辽源市田家炳高中五校·期末）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【详解】试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为． 7．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）（多选题）某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（    ）    A．他只属于音乐小组的概率为 B．他只属于英语小组的概率为 C．他属于至少2个小组的概率为 D．他属于不超过2个小组的概率为 【答案】CD 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人，然后利用古典概型的概率公式逐个分析求解对应的概率即可 【详解】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人， 只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人， 故只属于音乐小组的概率为， 只属于英语小组的概率为， “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况， 故他属于至少2个小组的概率为， “不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”， 其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是. 故选：CD. 8．（23-24高一下·吉林省长春市部分校·期末）（多选题）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（    ） A．至少有一个白球与都是白球 B．恰有一个红球与白、黑球各一个 C．至少一个白球与至多有一个红球 D．至少有一个红球与两个白球 【答案】BD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的定义和性质判断. 【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个， 在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立. 在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立； 在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立； 在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立； 故选：BD. 【点睛】本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 9．（23-24高一下·吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学·期末）数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意把5根算筹所能表示出的两位数列举出来，然后找出能被4整除的两位，再利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】因为1根算筹只能表示1；2根算筹可能表示2和6；3根算筹可能表示3和7； 4根算筹可能表示4和8；5根算筹可能表示5和9， 所以5根算筹可能表示的两位数有14，18，41，81，23，27，63，67，32，72，36，76，共12个， 其中能被4整除的有32，72，36，76，共4个， 所以用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是. 故答案为： 10．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为 ． 【答案】/0.1 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知，正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为； 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为奇数的方法总数为：，共种， 故运算次数均为奇数的概率为． 故答案为： 11．（23-24高一下·吉林省通化市靖宇中学、东辽一中·期末）已知事件两两互斥，若，则 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】因为事件两两互斥， 所以， 又因为， 所以， 同理可得， 所以. 故答案为：. 12．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）已知事件、互斥，，且，则 . 【答案】/0.8 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】由已知事件、互斥，且，可求， 进而根据对立事件概率公式得到答案. 【详解】解：事件、互斥，且， 解得, . 故答案为：. 13．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一.吉林市自2016年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事.2023年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”.时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大.为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为100的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并求样本中竞赛成绩的第80百分位数； (2)现从样本中竞赛成绩在内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人座谈，求至少有一人竞赛成绩在内的概率； (3)已知样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在内的总体方差. 参考公式：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，. 【答案】(1)，第80百分位数为 (2) (3) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率、计算频率分布直方图中的方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】（1）首先求出值，根据百分位数求解公式即可得到答案； （2）首先利用分层抽样的定义求出两区间占比人数，再根据古典概型和对立事件的概率求法即可； （3）利用题目所给的分层抽样的方差公式即可. 【详解】（1），. . ， 第80百分位数在区间中 设第80百分位数为，则， ，所以第80百分位数为. （2）由题知，区间的频率比为，，， 则在区间抽取2人，记为，在区间抽取4人，记为， 从这6人中抽取两人座谈，样本空间如下： ，共15个样本点， 设“至少有一人竞赛成绩在内”为事件， 事件，所以， 所以至少有一人竞赛成绩在内的概率为. （3）区间的频率比为， ， . 14．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”.某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，且该市政府希望有97%的居民月用水量不超过标准吨.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值，并估计月用水量标准的值； (2)若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6 户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自不同组的概率. 【答案】(1)（吨） (2) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可先列方程求得的值，根据月用水量标准的定义直接计算即可； （2）分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户，写出样本空间以及所求事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式计算即可求解. 【详解】（1）由 解得. ， （吨）. （2）根据题意得，月平均用水量在第一组居民有户， 月平均用水量在第二组居民有户， 分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户. 记第一组抽取的两户分别为a，b，第二组抽取的四户分别为A，B，C，D，从这6户中任意选取两户， 样本点有， ，共15个. 记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为： 共7个. 根据古典概型可得，，则. 即这两户来自不同组的概率为. 15．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体·期末）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）； (3)在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】(1)， (2)平均数为69.5，分位数为69.4； (3) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，； （2）根据直方图中各个数字特征的求法运算即可； （3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【详解】（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，解得； （2）由（1）知， 平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于组内， 且，即分位数为69.4； （3）第四､五两组志愿者分别有20人，人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为 第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 16．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： 请完成以下问题：    (1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均数； (2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5 名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率. 【答案】(1)71.5分； (2). 【知识点】计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）根据频率分布表求出，再求出样本平均数，并估计该校高一期中数学考试成绩的平均数. （2）求出在和内抽取的人数，再用列举法求出概率即得. 【详解】（1）由，得， 数学成绩在的频率依次为：， 样本平均值为：， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计71.5分. （2）依题意，分数段内人数为，分数段内人数为， 按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生， 则需在分数段内抽2人，记为，在分数段内抽3人，记为， 设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件A， 则样本空间，共10个样本点， 而A的对立事件，有1个样本点，于是， 所以抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为. 17．（23-24高一下·吉林省吉林市实验中学等友好学校·期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[80,100），[100,120），[120,140），[140,160）分组的频率分布直方图如图所示． (1)估计这100户居民的月平均用电量的平均数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)按照分层随机抽样的方法从月平均用电量在[120,140），[140,160）的居民中抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户，求这2户居民中至少有1户月平均用电量在[140,160）的概率． 【答案】(1)平均数124度，中位数125度 (2) 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用频率分布直方图，结合平均数和中位数的公式即可求解； （2）列举所以基本事件,利用古典概型的概率公式求解． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，估计这100户居民的月平均用电量的平均数为； 设中位数为， 用电量在的频率为， 用电量在的频率为， 故中位数位于第三组中，故，解得 （2）由题意得月平均用电量在[120,140）的居民有户，分别设为，，，, 月平均用电量在[140,160）的居民有户，分别设为， 所有基本事件有：，，，，,，,，，共15个． 记为“2户居民中至少有1户月平均用电量在[140,160）”， 则事件包含的基本事件有：，,,,共9个， 所以． 18．（23-24高一下·吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学·期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判. (1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由； (2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率. 【答案】(1)不公平，理由见解析 (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型即可得解； （2）利用树状图法，结合古典概型即可得解. 【详解】（1）连续掷骰子两次的基本事件的总数为， 两次点数之和为6包含的基本事件有共个， 故乙发球的概率为， 两次点数之和能被4整除包含的基本事件有 共个， 故丙发球的概率为， 所以这个方法不公平； （2）因为在每局比赛中战胜对手的概率均为， 所以本题可用古典概型来解决， 如图所示，用树状图列举每局当裁判的可能，一共有种， 其中甲当2局裁判的可能有种， 所以在四局比赛中甲当2局裁判的概率为 19．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1） (2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率. 【答案】(1)，，众数为70，中位数为. (2) 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、根据频率分布直方图计算众数 【分析】（1）由频率和为1列方程可求出的值，根据平均数的定义可求出，由众数的定义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可； （2）利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， ， 众数为70， 因为前2组的频率和为，前3组的频率和为， 所以中位数在第3组，设中位数为，则 ，解得， 所以中位数为. （2）记3名男生分别为，记2名女生分别为，则所有抽签的情况有： 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签，共有10种情况， 其中中签者中男生比女生多的有：未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签，共7种， 所以中签者中男生比女生多的概率为. 20．（23-24高一下·吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？ （1）A=“恰有1支一等品”； （2）B=“两支都是一等品”； （3）C=“没有三等品”. 【答案】（1）  （2）   （3）. 【知识点】计算古典概型问题的概率 【解析】列举出6支中任取2支所有的基本事件，得出事件对应的基本事件以及个数，由古典概型的公式求概率即可. 【详解】解：用表示3支一等品，用表示2支二等品，用c表示三等品，则该试验的样本空间可表示 为 ，共有15个样本点. （1），其中有9个样本点，所以. （2），其中有3个样本点，所以. （3），其中有10个样本点，所以. 【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式求概率，属于中档题. 事件的相互独立性题型02 21．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、写出某事件的对立事件、独立事件的判断 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义判断即得. 【详解】依题意，有放回地摸球，事件A与B可以同时发生，因此事件A与B不互斥，更不对立，AC错误； 显然，，因此A与B是相互独立事件，B正确，D错误. 故选：B 22．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末） 已知如右图所示的电路中，每个开关闭合的概率都是，三个开关的闭合是相互独立的，则电路中灯亮的概率为 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用对立事件概率的计算公式及相互独立事件的概率公式即可求解 【详解】由题意可知，每个开关闭合的概率都是，三个开关的闭合是相互独立的， 所以电路灯亮的概率为 . 故选：D. 23．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市博文学校·期末）袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（    ） A．至少有一个红球；至少有一个绿球 B．至少有一个红球；都是红球 C．恰有一个红球；恰有两个绿球 D．至少有一个红球；都是绿球 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义求解. 【详解】A. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；至少有一个绿球等价于：一个绿球，一个红球；两个绿球，不互斥. B. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是红球不互斥. C. 恰有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；与恰有两个绿球互斥不对立 D. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是绿球互斥且对立 故选：C 【点睛】本题主要考查随机事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 24．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市博文学校·期末）已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．两个球都是红球的概率为 B．两个球中恰有1个红球的概率为 C．两个球不都是红球的概率为 D．至少有1个红球的概率为 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件、对立事件逐项分析运算. 【详解】对于A：两个球都是红球的概率为，故A正确； 对于B：两个球中恰有1个红球的概率为，故B正确； 对于C：两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球 所以概率为，故C错误； 对于D：至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球， 所以概率为，故D正确； 故选：C. 25．（23-24高一下·吉林省延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【答案】C 【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的定义可得答案. 【详解】， ， ，，，， ，，，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 26．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【详解】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B. 【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 27．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体·期末）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算可得． 【详解】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时， 甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示）， 若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为， 若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为， 所以丙获胜的概率为． 故选：B． 28．（23-24高一下·吉林省吉林市实验中学等友好学校 ·期末）（多选题）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝下”，下列结论中正确的是（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C． D． 【答案】BD 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合对立事件，独立事件的概念及古典概型的概率公式逐项分析即得. 【详解】依题意，试验的样本空间正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点， 事件正，正，正，反，事件正，反，反，反， 事件，事件都含有“正，反”这一结果， 故，且与不互斥，不对立，故A错误，D正确； 因为，， 所以，所以与为相互独立事件，故B正确； 因为正，正，正，反，反，反，所以，故C错误. 故选：BD 29．（23-24高一下· 吉林省“三区九校”·期末）（多选题）已知事件则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．若互斥，则 C．若独立，则 D．若独立，则 【答案】ABD 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用概率的性质及互斥事件和独立事件的概念,可以作出判断. 【详解】若，则，故A正确； 因为A，B互斥，所以，故B正确； 因为A，B独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故C错误； 因为A，B独立，所以，故D正确． 故选:ABD． 30．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）（多选题）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，事件“两枚硬币朝上的面不同”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．C与D互为对立 D．A与C相互独立 【答案】ACD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】利用古典概型公式即可判断A，根据相互独立事件和互斥事件以及对立事件的定义即可判断BCD. 【详解】分别抛掷两枚质地均匀的硬币， 可能出现的情况有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种情况， 事件包含（正，正），（正，反）种， 事件包含（反，正），（正，正）种， 事件包含（正，正），（反，反）种， 事件包含（正，反），（反，正）种， 对于A，事件，故A正确； 对于B，事件B和C可能同时发生，即（正，正），故B错误； 对于C，由上面列举知，事件C与D为互斥事件，且其并集构成了整个样本空间， 即C与D互为对立，故C正确； 对于D，由上面列举知：， ， 所以事件A与C相互独立，故D正确. 故选：ACD. 31．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）（多选题）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D．与互斥 【答案】BCD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】列出基本事件，由互斥事件、独立事件的概念逐项判断即可． 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正）， （反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8种结果， 事件 “第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4种结果， 事件“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（反反反），共2种结果， 对于A：事件与事件可能同时发生，即（正反反），即与不是互斥事件，故A错误； 对于B：因为包含（正正正），共种结果， 所以，，，所以A与D相互独立，故B正确； 对于C：包含（正正反），（正反正），共种结果，所以，故C正确； 对于D：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故D正确． 故选：BCD 32．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市博文学校·期末）（多选题）设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则 【答案】BD 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C. 【详解】A，若，则，A错误； B ，因为，则，B正确； C，因为A与B相互独立，则也相互独立， 则，C错误； D，若A与B相互独立，则也相互独立， 则，D正确. 故选：BD 33．（23-24高一下·吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体 ·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为 .    【答案】0.752/ 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】系统能正常工作，由至少有1个能正常工作且能正常工作求解. 【详解】由题意，系统能正常工作的概率为． 故答案为：0.752． 34．（23-24高一下·吉林省通化市靖宇中学、东辽一中·期末）某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的. (1)求甲第二次答题通过初赛的概率； (2)求乙通过初赛的概率； (3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得； （3）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记甲第二次答题通过初赛为事件，则； （2）记乙通过初赛为事件，则； （3）依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为， 记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件， 则. 35．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 【答案】(1) (2)． 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3道题，只可能为甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，列式解得即可. 【详解】（1）由题意可得 即解得或 由于，所以． （2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题． 由题意得，，． 设甲、乙二人共答对3道题，则． 由于和相互独立，与互斥， 所以 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 36．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】（1）设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，根据独立事件同时发时的概率公式列出方程组即可． （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，根据独立事件发时的概率公式写出概率，把所有的概率值相加即可； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，由（2）可知总分是4分的概率，只要再求出总分是6分的概率即可，团体总分为6分，即3人都闯关成功，列式即可． 【详解】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为， 甲、乙都闯关成功的概率为， 甲、丙都闯关成功的概率为， 设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 根据独立事件同时发时的概率公式得， 解得，， 即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为. （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关， 设“团体总分为4分”为事件， 则， 即团体总分为4分的概率是； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分， 设“团体总分不小于4分”为事件， 由（2）可知团体总分为4分的概率， 团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为， 所以参加下一轮比赛的概率为， 即该小组参加下一轮比赛的概率为. 37．（23-24高一下· 吉林省“三区九校”·期末）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表： 行政区 门类 个数 东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3 C：古建筑及历史纪念建筑物 5 西城区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2 丰台区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 1 海淀区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2 房山区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1 E：古遗址 1 昌平区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1 F：古墓葬 1 (1)某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17 个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率； (2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率； (3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）应用古典概型计算； （2）应用独立事件计算即可； （3）应用互斥事件及独立事件计算即可； 【详解】（1）设选中参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”为事件C， 由题意知总共有17个，“C:古建筑及历史纪念建筑物”有11， 所以； （2）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B，由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区， 所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为， 所以； （3）当抽到的2个都是海淀区的概率为， 当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为， 所以， 所以． 38．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： 地区：62  73  81  92  95  85  74  64  53  76 78  86  95  66  97  78  88  82  76  89 地区：73  83  62  51  91  46  53  73  64  82 93  48  65  81  74  56  54  76  65  79 (1)根据两组数据自选一个统计量，并在此基础上对数据进行分析； (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】观察茎叶图比较数据的特征、用频率估计概率、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）选平均数作为统计量，作出茎叶图即可比较； （2）记表示事件：“地区用户满意度等级为满意或非常满意”，表示事件：“地区用户满意度等级为非常满意”，表示事件：“地区用户满意度等级为不满意”，表示事件：“地区用户满意度等级为满意”，则，根据互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）（1）选平均数作为统计量， 两地区用户满意度评分的茎叶图如下： 通过茎叶图可以看出，地区用户满意评分的平均值高于地区用户满意评分的平均值. （2）记表示事件：“地区用户满意度等级为满意或非常满意”， 表示事件：“地区用户满意度等级为非常满意”， 表示事件：“地区用户满意度等级为不满意”， 表示事件：“地区用户满意度等级为满意”， 则与独立，与独立，与互斥， ， ． 由所给数据得，，，发生的频率分别为，，，， 故，，，， ． 39．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）某高校强基计划考试分“笔试”和“面试”两部分，每部分考试成绩记“合格”或“不合格”两部分考试成绩均“合格”者则考试“通过”，并给予录取.现甲、乙两人都参加此高校的强基计划考试，甲、乙在笔试中成绩“合格”的概率分别为，，在面试中成绩“合格”的概率分别为，，且每人在笔试和面试成绩是否“合格”是相互独立的. (1)甲、乙两人谁被录取的可能性大，并说明理由； (2)求甲、乙两人中至少有一人被录取的概率. 【答案】(1)甲，理由见解析； (2). 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件概率公式分别求出甲乙被录取的概率即可. （2）由（1）的信息，利用相互独立事件概率公式及互斥事件的加法公式列式计算即得. 【详解】（1）设“甲笔试合格”，“乙笔试合格”，“甲面试合格”，“乙面试合格”， 依题意，相互独立，相互独立，， 甲被录取的概率， 乙被录取的概率，， 所以甲被录取的可能性大. （2）设“甲被录取”，“乙被录取”，“至少有一人被录取”， 则，而， 因此 ， 所以甲、乙两人中至少有一人被录取的概率是. 40．（23-24高一下·吉林省延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期末）举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； （2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 41．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【答案】(1)游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 (2)的所有可能取值为． 【知识点】独立事件的乘法公式、有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为的概率，由此得解. 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为． （2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即． 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：      第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为． 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 频率与概率题型03 42．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟 ·期末）下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件与对立事件关系的辨析、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据概率的性质判判断A，根据对立事件的概率性质判断B，根据概率加法公式判断C，根据概率的性质判判断D. 【详解】对于A，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故A中说法错误； 对于B，在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故B中说法错误； 对于C，根据概率的性质可知，当，不互斥时，，故C中说法正确； 对于D，某事件发生的概率只与该事件本身有关，与实验次数无关，故D中说法错误. 故选：C. 43．（23-24高一下·吉林省长春市部分校 ·期末）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)． 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率； (2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数； (3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】解：(1)第六组的频率为， ∴第七组的频率为． (2)由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则， 由得， 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为 ． (3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率 题型概览 题型01随机事件与概率 题型02事件的相互独立性 题型03频率与概率 随机事件与概率题型01 1．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为（a，b），则为正整数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·吉林省通化市靖宇中学、东辽一中·期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（    ） A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立 6．（23-24高一下·吉林省辽源市田家炳高中五校·期末）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为 A． B． C． D． 7．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）（多选题）某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（    ）    A．他只属于音乐小组的概率为 B．他只属于英语小组的概率为 C．他属于至少2个小组的概率为 D．他属于不超过2个小组的概率为 8．（23-24高一下·吉林省长春市部分校·期末）（多选题）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（    ） A．至少有一个白球与都是白球 B．恰有一个红球与白、黑球各一个 C．至少一个白球与至多有一个红球 D．至少有一个红球与两个白球 9．（23-24高一下·吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学·期末）数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是 . 10．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为 ． 11．（23-24高一下·吉林省通化市靖宇中学、东辽一中·期末）已知事件两两互斥，若，则 . 12．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）已知事件、互斥，，且，则 . 13．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一.吉林市自2016年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事.2023年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”.时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大.为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为100的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并求样本中竞赛成绩的第80百分位数； (2)现从样本中竞赛成绩在内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人座谈，求至少有一人竞赛成绩在内的概率； (3)已知样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在内的总体方差. 参考公式：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，. 14．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”.某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，且该市政府希望有97%的居民月用水量不超过标准吨.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值，并估计月用水量标准的值； (2)若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6 户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自不同组的概率. 15．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体·期末）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）； (3)在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 16．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： 请完成以下问题：    (1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均数； (2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5 名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率. 17．（23-24高一下·吉林省吉林市实验中学等友好学校·期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[80,100），[100,120），[120,140），[140,160）分组的频率分布直方图如图所示． (1)估计这100户居民的月平均用电量的平均数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)按照分层随机抽样的方法从月平均用电量在[120,140），[140,160）的居民中抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户，求这2户居民中至少有1户月平均用电量在[140,160）的概率． 18．（23-24高一下·吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学·期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判. (1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由； (2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率. 19．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1） (2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率. 20．（23-24高一下·吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？ （1）A=“恰有1支一等品”； （2）B=“两支都是一等品”； （3）C=“没有三等品”. 事件的相互独立性题型02 21．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 22．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末） 已知如右图所示的电路中，每个开关闭合的概率都是，三个开关的闭合是相互独立的，则电路中灯亮的概率为 A． B． C． D． 23．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市博文学校·期末）袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（    ） A．至少有一个红球；至少有一个绿球 B．至少有一个红球；都是红球 C．恰有一个红球；恰有两个绿球 D．至少有一个红球；都是绿球 24．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市博文学校·期末）已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．两个球都是红球的概率为 B．两个球中恰有1个红球的概率为 C．两个球不都是红球的概率为 D．至少有1个红球的概率为 25．（23-24高一下·吉林省延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 26．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A． B． C． D． 27．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体·期末）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·吉林省吉林市实验中学等友好学校 ·期末）（多选题）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝下”，下列结论中正确的是（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C． D． 29．（23-24高一下· 吉林省“三区九校”·期末）（多选题）已知事件则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．若互斥，则 C．若独立，则 D．若独立，则 30．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）（多选题）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，事件“两枚硬币朝上的面不同”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．C与D互为对立 D．A与C相互独立 31．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）（多选题）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D．与互斥 32．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市博文学校·期末）（多选题）设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则 33．（23-24高一下·吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体 ·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为 .    34．（23-24高一下·吉林省通化市靖宇中学、东辽一中·期末）某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的. (1)求甲第二次答题通过初赛的概率； (2)求乙通过初赛的概率； (3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率. 35．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 36．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 37．（23-24高一下· 吉林省“三区九校”·期末）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表： 行政区 门类 个数 东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3 C：古建筑及历史纪念建筑物 5 西城区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2 丰台区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 1 海淀区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2 房山区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1 E：古遗址 1 昌平区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1 F：古墓葬 1 (1)某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17 个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率； (2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率； (3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小. 38．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： 地区：62  73  81  92  95  85  74  64  53  76 78  86  95  66  97  78  88  82  76  89 地区：73  83  62  51  91  46  53  73  64  82 93  48  65  81  74  56  54  76  65  79 (1)根据两组数据自选一个统计量，并在此基础上对数据进行分析； (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率． 39．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）某高校强基计划考试分“笔试”和“面试”两部分，每部分考试成绩记“合格”或“不合格”两部分考试成绩均“合格”者则考试“通过”，并给予录取.现甲、乙两人都参加此高校的强基计划考试，甲、乙在笔试中成绩“合格”的概率分别为，，在面试中成绩“合格”的概率分别为，，且每人在笔试和面试成绩是否“合格”是相互独立的. (1)甲、乙两人谁被录取的可能性大，并说明理由； (2)求甲、乙两人中至少有一人被录取的概率. 40．（23-24高一下·吉林省延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期末）举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 41．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 频率与概率题型03 42．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟 ·期末）下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 43．（23-24高一下·吉林省长春市部分校 ·期末）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$