专题03 立体几何初步（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（吉林专用）

专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本立体图形 题型02立体图形的直观图 题型03简单几何题的表面积与体积 题型04空间点、直线、平面之间的位置关系 题型05空间直线、平面的平行 题型06空间直线、平面的垂直 基本立体图形题型01 1．（23-24高一下·吉林·期末）长方体的一个顶点上三条棱长分别是1，3，，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 3．（23-24高一下·吉林长春·期末）降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量/ 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为（   ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 4．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·吉林长春·期末）棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（23-24高一下·吉林松原·期末）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C．1 D． 8．（23-24高一下·吉林白城·期末）如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 A． B． C． D． 9．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ． 10．（23-24高一下·吉林·期末）我国古代数学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在正四棱柱中，，E是上一点，于点F，设，，则点E绕旋转一周所得的圆的面积为 （用d表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为 . 立体图形的直观图题型02 11．（23-24高一下·吉林实验·期末）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（   ） A． B． C．6 D．8 12．（23-24高一下·吉林通化·期末）矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 13．（23-24高一下·吉林“三区九校”·期末）如图，正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若 ，则原的面积是（    ） A． B．4 C． D． 15．（23-24高一下·吉林G6教考联盟·期末）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为 . 16．（23-24高一下·吉林·期末）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为的正方形，则原四边形的面积是 ．    17．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，，则的面积为    简单几何题的表面积与体积题型03 18．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（    ） A． B．20π C． D． 19．（23-24高一下·吉林·期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·吉林·期末）若某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，该圆台的体积不小于，则该圆台的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·吉林白山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·吉林长春·期末）在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的余弦值为．则此棱台的表面积是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·吉林·期末）已知圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·吉林·期末）中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·吉林·期末）已知圆台的上，下底面半径分别为2和6，母线长为8.则该圆台的表面积为 . 27．（23-24高一下·吉林·期末）在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是1.2米，下底面圆的直径是2.4米，母线长为1米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是 立方米． 28．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为 . 29．（23-24高一下·吉林长春·期末）有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是 ． 空间点、直线、平面之间的位置关系题型04 30．（23-24高一下·吉林珲春·期末）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 31．（23-24高一下·吉林白山·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 32．（23-24高一下·吉林长春·期末）正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·吉林·期末）在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·吉林延边·期末）已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 35．（23-24高一下·吉林通化·期末）） 如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·吉林“BEST”合作体·期末）正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·吉林长春·期末）在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·吉林·期末）已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法其中所有正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．（23-24高一下·吉林辽源·期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为 空间直线、平面的平行题型05 40．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知，表示两条不同直线，表示平面，则下列判断正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 41．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 42．（23-24高一下·吉林通化·期末）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 43．（23-24高一下·吉林·期末）已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 44．（23-24高一下·吉林长春·期末）庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（    ）．       A． B． C． D． 45．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，已知三棱柱，平面，，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．直线与直线的夹角为 D．若，则平面与平面的夹角为 46．（23-24高一下·吉林辽源·期末）在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，点在线段上，且，是与的交点，若面，则（    ） A． B．为的中点 C． D．三棱锥的体积为 47．（23-24高一下·吉林·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，则（    ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的外接球的体积为 C．点C到平面的距离为 D．已知点P是底面（不含边界）内一动点，且平面，则线段的长度的取值范围是 空间直线、平面的垂直题型06 48．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线，，，，则 49．（23-24高一下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知矩形，，，将沿折起到．若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．（23-24高一下·吉林白城·期末）在底面是菱形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则等于 A． B． C． D． 52．（23-24高一下·吉林“BEST合作体·期末）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（      ） A． B． C． D．2 53．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，．若将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面，点M，E分别位于BD两侧，则（    ） A． B． C．MC的长度为 D．点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为 54．（23-24高一下·吉林·期末）在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．异面直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 55．（23-24高一下·吉林白山·期末）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，一平面经过点且垂直于直线，则该平面截四棱锥所得截面的面积为 . 56．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正切值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本立体图形 题型02立体图形的直观图 题型03简单几何题的表面积与体积 题型04空间点、直线、平面之间的位置关系 题型05空间直线、平面的平行 题型06空间直线、平面的垂直 基本立体图形题型01 1．（23-24高一下·吉林·期末）长方体的一个顶点上三条棱长分别是1，3，，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设外接球的半径为，则外接球的直径即为长方体的体对角线，求出，即可求出外接球的体积. 【详解】依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为， 则，所以， 所以外接球的体积. 故选：A 2．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，结合圆柱的侧面积公式运算求解. 【详解】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，则石磨的侧面积为，解得. 故选：A. 3．（23-24高一下·吉林长春·期末）降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量/ 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为（   ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】A 【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】根据题意，由圆台的侧面积公式可求出圆台高，再计算其体积，即可得到结果. 【详解】设上口半径为，下口半径为，桶深为，水面半径为， 根据题意，且，解得，则，降水量的体积，降水深度为，属于小雨等级. 故选：A． 4．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】根据正方体性质可得球心到截面的距离，进而可得截面半径与面积. 【详解】由正方体性质可得：正方体对角线截面，且球心到截面的距离，球的半径，利用球心与截面圆心连线垂直截面的性质，得截面的半径，截面面积， 故选：A. 5．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，设圆柱的高为，表示出棱柱和圆柱的体积，由两体积相等化简可求出棱柱与圆柱的高的比值 【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为，等边的面积为，则正三棱柱的体积为，设的外接圆半径为，则，故，设圆柱的高为，则圆柱的体积， 由题意得，解得. 故选：D. 6．（23-24高一下·吉林长春·期末）棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】棱长为的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为，过作平面，垂足为，连接，表示出，然后结合图形利用勾股定理列方程求解 【详解】 棱长为2的正方体内切球的半径为1， 因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为的正四面体的外接球的半径为1， 设正四面体为，过作平面，垂足为，连接，为底面正的中心，则，体高为，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：，解得或(舍)， 故选：B 7．（23-24高一下·吉林松原·期末）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离. 【详解】 设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离. 故选：C. 8．（23-24高一下·吉林白城·期末）如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】先设大球半径为，小球半径为，根据题中条件，分别表示出，进而可作差比较大小． 【详解】设大球半径为，小球半径为，根据题意， 所以． 故选：D． 9．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ． 【答案】 【知识点】组合体的切接问题、球的截面的性质及计算 【分析】由条件可求4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径，结合球的截面性质可求球心到截面圆的距离，进一步加上垂直折起的4个小直角三角形的高以及鸡蛋（球）的半径即可得解. 【详解】由已知蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为1， 且蛋巢的高度为，又球的半径为1，所以球心到截面的距离为, 故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为. 故答案为：. 10．（23-24高一下·吉林·期末）我国古代数学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在正四棱柱中，，E是上一点，于点F，设，，则点E绕旋转一周所得的圆的面积为 （用d表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、求旋转体的体积、柱体体积的有关计算 【分析】空1：由已知，点绕旋转一周所得圆的面积即为以为半径的圆面积；空2：空空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积，利用祖暅原理可以转化为一个底面半径和高分别为和2的圆柱体积加一个底面半径和高也分别为和2的圆锥的体积. 【详解】连接，     因为，则，因为正四棱柱，则，因为，，则，，即点绕旋转一周所得圆的半径为，点绕旋转一周所得圆的面积为. 空间四边形绕旋转一周形成空间几何体，由空1知该几何体不同高度下截面面积为，根据祖暅原理“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，将空间四边形绕旋转一周，两平行平面即平面和平面的距离始终为2，则可以转化为一个底面半径为1，高为的圆柱体积加一个底面半径为1,高为的圆锥的体积，理由：截面积分为两部分，其中不变的截面积对应着底面半径为1的圆，其不随值的变化而变化，因为，则旋转后该部分几何体为半径为1高为2的圆柱，另一部分截面，该截面为圆，半径为，显然半径和高度呈现正比例函数关系，则旋转后形成的为一个圆锥，且该圆锥的高和半径比为，因为，则该部分几何体为半径为1高为2的圆锥，所以空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为：. 故答案为：；. 立体图形的直观图题型02 11．（23-24高一下·吉林实验·期末）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形，则，，， 则原的面积为. 故选：C. 12．（23-24高一下·吉林通化·期末）矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 【答案】D 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法辨析 【分析】根据直观图定义以及矩形的结构特征即可得解. 【详解】由定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度，直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度，故矩形的直观图是平行四边形． 故选：D. 13．（23-24高一下·吉林“三区九校”·期末）如图，正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则，确定原图形的底和高，求出它的面积即可． 【详解】在直观图中，，所以在原图中，如图， 所以原图形的面积是． 故选：C． 14．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若 ，则原的面积是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】首先求出，再作出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出面积. 【详解】因为直观图是等腰直角三角形且，所以， 由直观图可得如下平面图形： 则，，所以. 故选：C 15．（23-24高一下·吉林G6教考联盟·期末）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为 . 【答案】10 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图与原图形的关系结合已知可得，从而可求出，进而可求出四边形的周长. 【详解】由题意可得，所以原图形中，所以，所以四边形的周长为. 故答案为：10 16．（23-24高一下·吉林·期末）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为的正方形，则原四边形的面积是 ．    【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据原图形的面积是直观图的面积的倍即可求解. 【详解】由斜二测画法可知, 原图形的面积是直观图的面积的倍，则，且，所以. 故答案为：.    17．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，，则的面积为    【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用直观图与原图形的面积关系求解即可. 【详解】由三角形面积公式得，设的面积为， 由直观图与原图形的面积关系得，解得.故答案为： 简单几何题的表面积与体积题型03 18．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（    ） A． B．20π C． D． 【答案】C 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可. 【详解】设圆台的母线长为，则，所以圆台的表面积为. 故选：C 19．（23-24高一下·吉林·期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】设底面半径为，求出底面半径后，再利用圆锥表面积公式即可. 【详解】依题意圆锥的母线，设底面半径为，则，解得， 则圆锥的表面积为. 故选：B. 20．（23-24高一下·吉林·期末）若某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，该圆台的体积不小于，则该圆台的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据圆台的体积公式代入求解即可. 【详解】设该圆台的高为，则该圆台的体积. 因为该圆台的体积不小于，所以，解得. 故选：B 21．（23-24高一下·吉林白山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】设圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由题意得，解得，又侧面展开图是半径为4的半圆，即圆锥的母线长为，所以圆锥的高，所以该圆锥的体积为. 故选：D 22．（23-24高一下·吉林长春·期末）在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的余弦值为．则此棱台的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱台表面积的有关计算、由线面角的大小求长度 【分析】根据给定条件，结合正棱台的结构特征，求出侧棱长，进而求出高及斜高即可求解. 【详解】在正三棱台中，令BC和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 则，由侧棱与底面所成角的余弦值为， 得，则， 而，则， ，，， 正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，于是侧面积为， 所以此棱台的表面积是. 故选：A 23．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可. 【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示： 因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，， 易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且， 因为，则，又，且， 由，即，解得； 由面，面，则； 则， 又正方形的面积为，正方形的面积为， 故正四棱台的体积. 故选：B. 24．（23-24高一下·吉林·期末）已知圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】作出组合体的轴截面，利用体积求出圆锥的高，然后再利用三角形相似即可求出内切球的半径，结合求得体积公式，即可求解. 【详解】 如图，圆锥与内切球的轴截面图，设圆锥高为h,根据圆锥的底面半径为1，体积为， 可知，，解得，所以母线长为， 设内切球的半径为，则，由轴截面三角形相似得，所以，即，解得内切球半径为，所以内切球的体积为， 故选：D. 25．（23-24高一下·吉林·期末）中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】由正四棱台的侧面积求出斜高，再求出高及体积. 【详解】取正四棱台的上下底面的中心，棱的中点， 连接，则分别是正四棱台的高和斜高，依题意，，解得，在直角梯形中，，则， 所以正四棱台的体积. 故选：A 26．（23-24高一下·吉林·期末）已知圆台的上，下底面半径分别为2和6，母线长为8.则该圆台的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】利用圆台的表面积公式即可求解. 【详解】该圆台的表面积为：． 故答案为： 27．（23-24高一下·吉林·期末）在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是1.2米，下底面圆的直径是2.4米，母线长为1米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是 立方米． 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据题意，由圆台的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得该圆台形容器的高为米，则该圆台形容器的容积是立方米. 故答案为： 28．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为 . 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】求出四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】在四棱台中，分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心，为四棱台的高， 过点作与交于点，则， 四边形和四边形都是正方形，且，则 ，，则，， ，即四棱台的高. 又上底面积，下底面积， 则该四棱台的体积为. 故答案为：. 29．（23-24高一下·吉林长春·期末）有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是 ． 【答案】52 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱表面积的有关计算 【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. 【详解】记两直三棱柱为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：    当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为；    ②边长为的边合在一起时，表面积为； ③边长为的边合在一起时，表面积为.    当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：    图④的表面积， 图⑤的表面积，    图⑥的表面积， 图⑦的表面积. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是. 故答案为：. 空间点、直线、平面之间的位置关系题型04 30．（23-24高一下·吉林珲春·期末）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 【答案】C 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断. 【详解】对于选项A：如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B：例如三棱锥，可以得到四条首尾相连的线段，但不是平面图形，故B错误； 对于选项C：因为两条平行直线确定一个平面，若一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，所以这三条直线在同一平面内，故C正确；对于选项D：例如三棱锥三条侧棱，可以得到两两相交的三条直线，但这三条直线不共面，故D错误. 故选：C 31．（23-24高一下·吉林白山·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【知识点】判断面面是否垂直、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 故选：B 32．（23-24高一下·吉林长春·期末）正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】连接，则，即为与所成的角，在中求解即可． 【详解】连接，则，故为与所成的角． 在中，， ，，在和中，得， 是等边三角形，． 故选：B． 33．（23-24高一下·吉林·期末）在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线夹角的定义可得角. 【详解】 如图所示，取中点，连接，，，， 由正方体可知，则异面直线与所成角即为直线与所成角， 设，则，， 由正方体可知，平面，即，，则， 在中，由余弦定理，则直线与所成角的余弦值为，即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 34．（23-24高一下·吉林延边·期末）已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】B 【知识点】判断面面是否垂直、判断线面是否垂直、判断线面平行、面面关系有关命题的判断 【分析】对于A，由面面垂直的性质结合线面平行的判定定理分析判断，对于B，由线面垂直的性质分析判断，对于C，由面面垂直的判定定理分析判断，对于D，由面面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于A，当时，或或与相交，所以A错误； 对于B，当时，，所以B正确； 对于C，当，且，时，不一定垂直，所以C错误； 对于D，当，且时，或，所以D错误. 故选：B. 35．（23-24高一下·吉林通化·期末）） 如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】利用平移法作出异面直线与所成的角，解三角形即可求得答案. 【详解】连接，因为在直三棱柱中，，分别是棱，的中点， 故，即四边形为平行四边形， 所以，则即为异面直线与所成角或其补角；    直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为2， 连接，则，而平面，故平面， 平面，故， 是棱的中点，故，则, 而，又， 故在中，, 由于异面直线所成角的范围为大于，小于等于， 故异面直线与所成角的余弦值是， 故选：D 36．（23-24高一下·吉林“BEST”合作体·期末）正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用异面直线所成的角的定义，取的中点为，则直线与所成角就是直线与成的角． 【详解】取的中点为，连接，则直线与所成角就是直线与成的角， 由题意得，故异面直线与所成角的大小为. 故选：D． 【点睛】本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 37．（23-24高一下·吉林长春·期末）在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】先找到异面直线与所成角为（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取的中点， 连接，因为， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）， 设，由，所以，， ，，所以由余弦定理可得：.则异面直线与所成角的余弦值是. 故选：A. 38．（23-24高一下·吉林·期末）已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法其中所有正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明面面平行、面面垂直证线面垂直 【分析】由面面垂直、线面垂直的性质判断A；利用线面平行判断BD；利用线面垂直的性质判断C. 【详解】对于A，由，得平面内必有直线，而，则， 又，则，因此，А正确； 对于B，与是相交直线或异面直线也能满足条件，B错误； 对于C，，则，又，因此，C正确； 对于D，也能满足条件，D错误. 故选：AC 39．（23-24高一下·吉林辽源·期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为 【答案】/ 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据正方体性质有，则直线PB与AD1所成的角为，进而计算其正弦值得大小. 【详解】由，连接，故直线PB与AD1所成的角为， 若正方体棱长为2，则， 所以，故，则， 故. 故答案为： 空间直线、平面的平行题型05 40．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知，表示两条不同直线，表示平面，则下列判断正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】对于，运用线面平行的性质和线线的位置关系，即可判断； 对于，运用线面垂直的性质，即可判断； 对于，运用线面垂直的性质和线线垂直，线面平行的位置关系即可判断； 对于，运用线面平行的性质和线面垂直的判定定理，即可判断. 【详解】对于，若，，则直线，可能相交或平行或异面，故错误； 对于，若，，则，故正确； 对于，若，，则或，故错误； 对于，若，，则或或，故错误. 故选：. 41．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、判断线面是否垂直 【分析】根据空间中线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理分析判断，即可得出结果. 【详解】由是两条不同的直线，是两个不同的平面， 若，则与可能相交、平行或，A错； 若，则或，B错； 若，则或相交，C错； 若，则确定一个平面，设为， 又，所以， 则由面面平行的判定定理得，D正确. 故选：D 42．（23-24高一下·吉林通化·期末）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 【答案】D 【知识点】判断面面平行、充分条件的判定及性质、线面垂直证明面面平行 【分析】通过举反例可判定ABC，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定D. 【详解】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D:  因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 43．（23-24高一下·吉林·期末）已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】由线面位置关系即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或， 若，，则， 若，则存在，使得，因为，所以，又，所以， 所以无论如何，只要，，，就有，故B正确； 对于C，若，，，则或相交或异面，故C错误； 对于D，若，，，则或相交或异面，故D错误. 故选：B. 44．（23-24高一下·吉林长春·期末）庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（    ）．       A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二面角的概念及辨析 【分析】设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，，设四个侧面与底面的夹角为，即可得到，根据三角形全等得到方程，整理即可. 【详解】如图所示，设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，． 则为侧面与底面的夹角，为侧面与底面的夹角， 设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，，    又为公共边，所以，即，整理得． 故选：A 45．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，已知三棱柱，平面，，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．直线与直线的夹角为 D．若，则平面与平面的夹角为 【答案】ABD 【知识点】证明线面平行、求二面角、求异面直线所成的角、证明线面垂直 【分析】根据线面平行判定定理求证，即可判断A；根据线面垂直关系先证明平面，从而得，由结合线面垂直的判定定理，即可判断B；由，，可得是等腰直角三角形，从而可得直线与直线的夹角，即可判断C；连接，先证明平面，由线面垂直关系确定平面与平面的夹角，结合三角形边角可求得夹角大小，即可判断D. 【详解】因为分别是，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 因为平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，则平面，故B正确；由于为中点，且，，因此是等腰直角三角形. 是的中点，则，故直线与直线的夹角为，故C错误； 连接， 由于，平面， 所以平面， 又平面，则，因此平面与平面的夹角为， 由于，因此，则，因此，故D正确. 故选：ABD. 46．（23-24高一下·吉林辽源·期末）在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，点在线段上，且，是与的交点，若面，则（    ） A． B．为的中点 C． D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质 【分析】连接交交于点，连接，利用线面平行的性质定理判断A； 根据三角形相似判断B；由线面垂直的判定定理及性质定理判断C；由计算可得，从而判断D； 【详解】解：对于选项A：连接交交于点，连接， 则由，，可得必过点，且，因为面，面，面面，所以，故A正确；对于选项B：，，，，即，为靠近的三等分点，故B错误；对于选项C：，，面，面，面，，故C正确；对于选项D：，且，是矩形， ，故D正确. 故选：ACD 47．（23-24高一下·吉林·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，则（    ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的外接球的体积为 C．点C到平面的距离为 D．已知点P是底面（不含边界）内一动点，且平面，则线段的长度的取值范围是 【答案】ABD 【知识点】面面平行证明线面平行、求点面距离、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】对于AB，取的中点，连接，则可证得三棱锥的外接球的球心，从而可求出球的半径，进而求出球的表面积和体积，对于C，利用等体积法求解判断，对于D，取的中点，连接，可证得平面∥平面，则可得点在平面上的轨迹为线段（不含端点），从而可求出的范围. 【详解】对于AB，取的中点，连接，因为平面，平面， 所以，所以，同理可证， 所以， 所以三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为，则 ， 所以外接球的表面积为，体积为， 所以AB正确， 对于C，因为E，F分别是棱，的中点，所以， 所以， 所以, 设点C到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得，所以C错误， 对于D，取的中点，连接， 因为为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为为的中点，为的中点，∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的轨迹为线段（不含端点）， 在中，， 则边上的高为, 所以线段的长度的取值范围是，所以D正确， 故选：ABD 空间直线、平面的垂直题型06 48．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线，，，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线平行、面面垂直证线面垂直 【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据线面垂直的性质判断B，当时即可判断C，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D. 【详解】对于A：若，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 对于B：若，则，故B正确；对于C：当时，，由面面垂直的性质定理可得，当时，，则或或与相交，故C错误；对于D：因为，，所以存在使得，又，，所以，又且为异面直线，所以平面内的两直线、必相交，所以，故D正确. 故选：C 49．（23-24高一下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题、由线面角的大小求长度 【分析】连接，则为直线与平面所成角，从而得到，所以当取最小值时取得最大值，求出的最小值，即可求出，连接，由勾股定理求出，即可得到点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长. 【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 所以，又直线与平面所成角的最大值是，所以，当且仅当取最小值时取得最大值，因为，所以当时取最小值，此时， 所以，又点在底面内，且，连接，因为平面，平面，所以，所以，所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，所以点的轨迹长为. 故选：B 50．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知矩形，，，将沿折起到．若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、空间垂直的转化 【分析】根据给定条件，确定点在平面上的射影点位置，再求出点到平面的距离最大和最小作答，结合锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】在矩形中，，，过点作于，交边于，如图， ，， 所以，，， 所以，，则， 则，把沿折起到的过程中，，，又因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面，由面面垂直的性质定理可知，点在平面上的射影在直线上，因为点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则当平面时，点到平面的距离最大，于是， 当平面时，点到平面的距离最小，如图，此时， 于是，从而， 而，所以，. 故选：D. 51．（23-24高一下·吉林白城·期末）在底面是菱形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则等于 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点面距离 【详解】 如图，延长交的延长线于点，则由可得，又，则，故，应选答案A． 52．（23-24高一下·吉林“BEST合作体·期末）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（      ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面垂直证明面面平行、棱柱及其有关计算 【分析】通过证明得到，找到距离最小时，，证明为等腰直角三角形,则 【详解】如图,连接,取中点,过作面，垂足为, 在正方体中,平面,且平面, 平面平面, 平面平面,且平面，平面,为的中点, ,故,而对固定点,当时,最小,此时由面，面，，又,，且面，故面，又面,则面面，根据三棱锥特点，可知，而易知为等腰直角三角形，可知为等腰直角三角形,. 故选：D. 53．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，．若将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面，点M，E分别位于BD两侧，则（    ） A． B． C．MC的长度为 D．点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为 【答案】ACD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面垂直证明线线平行、证明线面垂直、余弦定理解三角形 【分析】对于A，先作出图形，取中点，证明平面，即可得到；对于B，分别证明平面,平面，可推得，排除B；对于C,先求得，再由余弦定理即可求得，对于D，只需求出两点的旋转半径即可求得. 【详解】 如图，取中点，连接,依题意，,则有 因平面,则平面. 对于A，因为将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，故平面, 因平面，故,即A正确； 对于B，因,则由可知，,同理, 因平面,故得，平面,同理可证平面, 依题意，因M，B，D，E四点共面，故平面,故,故B错误； 对于C，设连接，交于点，则,,,则，依题意，三点共线，可得,在中，由余弦定理， ,故C正确；对于D，因点C与点A是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比，而点转动的半径为,点转动的半径为,故点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为，故D正确. 故选：ACD. 54．（23-24高一下·吉林·期末）在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．异面直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题 【分析】构造正方体模型，即可判断A、B，展开为平面图形，两点间直线最短，即可求出最小值，从而判断C，构造正方体模型，求出外接球半径，然后计算得到球心到截面的距离，然后结合勾股定理即可求解D选项. 【详解】 对于A，如图，将几何体补为正方体，易知，，又，所以，故A正确； 对于B，如图，将几何体补为正方体，当动点M运动到点B时，此时直线与所成角最小，为，但此时直线与相交，不满异面；当动点M由点B向点C运动时，直线与所成角慢慢变大，当动点M运动到点C时，此时直线与所成角最大，易知 是等边三角形，所以直线与所成的角为，而，即此时直线与所成角为；所以，异面直线与所成角的取值范围为，故B错误； 对于C，如图，将平面与平面展为同一平面，则 ，故C错误 对于D，如图，补为正方体，三棱柱外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径，即， ，所以 所以， 取正方体的中心点O，的中点N，连接ON，易知， 所以，设正方体的中心点O到截面的距离为h， 即球心到截面的距离为，根据勾股定理可得截面圆半径为，所以截面面积为，故D正确. 故选：AD 55．（23-24高一下·吉林白山·期末）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，一平面经过点且垂直于直线，则该平面截四棱锥所得截面的面积为 . 【答案】 【知识点】棱锥中截面的有关计算、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】设在，上的射影分别为，，连接，即可证明平面，再求出，设平面与棱的交点为，由对称性可知为点在上的射影，即可求出截面面积. 【详解】如图，设在，上的射影分别为，，连接， 因为底面，底面，所以平面底面. 又平面底面，，底面， 所以平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又因为，平面，所以，， 又，，平面，所以平面， 在中，，所以， 连接，在中，，， 所以，所以， 所以的面积， 设平面与棱的交点为，由对称性可知为点在上的射影， 与全等，所以该平面截四棱锥所得截面的面积为. 故答案为： 56．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【知识点】求线面角 【分析】取的中点，连接，可证得为直线与平面所成角，然后在中求解即可. 【详解】取的中点，连接，因为平面，平面，所以，因为为等边三角形，为的中点，所以，因为，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为，所以，所以，所以直线与平面所成角的正切值为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$