专题02 复数（3大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（吉林专用）

专题02 复数 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数的四则运算 题型03复数的三角表示 复数的概念题型01 1．（23-24吉林G6教考联盟期末）已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24吉林通化期末）（多选）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24吉林期末）已知复数在复平面内对应的点分别为，若，则实数 ；若，则实数 . 4．（23-24吉林通化期末）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 复数的四则运算题型02 5．（23-24吉林辽源期末）已知复数，则其共轭复数（    ） A． B． C． D． 6．（23-24吉林通化期末）复数（为复数单位），则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24吉林长春期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24吉林延边期末）已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A．1 B． C． D． 9．（23-24吉林长春期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（23-24吉林期末）复数的虚部为（    ） A．1 B． C．3 D． 11．（23-24吉林省吉林八校期末）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 12．（23-24吉林BEST合作体期末）设复数，则（   ） A． B． C． D． 13．（23-24吉林通化期末）若复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D．5 14．（23-24吉林长春期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24吉林长春期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24吉林长春期末）若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（23-24吉林通化期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（23-24吉林期末）已知复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24吉林白山期末）是虚数单位，复数，（是的共轭复数），则（    ）． A． B． C． D． 20．（23-24吉林期末）（多选）若复数，则（    ） A． B． C．为实数 D． 21．（23-24吉林通化期末）（多选）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 22．（23-24吉林吉林八校期末）（多选）已知复数为的共轭复数，若，下列结论正确的是（   ） A．在复平面内对应的点位于轴上 B．的实部为0 C．的虚部为 D． 23．（23-24吉林G6教考联盟期末）（多选）已知复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 24．（23-24吉林友好学校联合体期末）（多选）若，则（    ） A． B． C． D．在复平面内对应的点在第二象限 25．（23-24吉林长春期末）（多选）设为复数，下列命题正确的是（    ） A． B． C．若，则为纯虚数 D．若，且，则 26．（23-24吉林通化期末）（多选）已知为虚数单位，复数，为方程的两个根，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C．复数在复平面上对应的点在第二象限 D． 27．（23-24吉林延边期末）（多选）已知是虚数单位，则（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数，则 D．若，则 28．（23-24吉林白城期末）如果，那么 ． 29．（23-24吉林友好学校联合体期末） 30．（23-24吉林通化期末）已知复数，则 . 31．（23-24吉林通化期末）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 . 32．（23-24吉林白山期末）在复平面内，复数和对应的点分别为，则 . 33．（23-24吉林长春期末）已知复数，复数满足，则的最小值为 ． 34．（23-24吉林期末）已知是关于x的方程的根，则实数 ． 35．（23-24吉林长春期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 36．（23-24高一下·吉林·期末）已知z是复数，z+1为纯虚数，的实部为2（i为虚数单位）. (1)求复数z; (2)求的模. 37．（23-24吉林G6教考联盟期末）已知复数是一元二次方程（）的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 复数的三角表示题型03 38．（23-24吉林吉林八校期末）在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根． (1)直接写出复数的3次单位根，并指出哪些是复数的3次本原单位根（无需证明）． (2)①若是复数的8次本原单位根，证明：． ②若是复数的次本原单位根，证明：． 2 / 5 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数的四则运算 题型03复数的三角表示 复数的概念题型01 1．（23-24吉林G6教考联盟期末）已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数除法运算，判断复数对应点所在象限 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以 即，所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2．（23-24吉林通化期末）（多选）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】复数的模 【分析】根据题意，由条件可得，然后由复数的模长公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， 则，故A正确； 当时，， 当时，，故B错误； 因为，则，故C错误； 因为，则，故D正确； 故选：AD 3．（23-24吉林期末）已知复数在复平面内对应的点分别为，若，则实数 ；若，则实数 . 【答案】 【知识点】复数坐标表示，向量平行求参数，向量垂直求参数. 【分析】先得到，根据平行和垂直得到方程，求出答案. 【详解】依题意得，则. 若，则，解得； 若，则，解得. 故答案为：， 4．（23-24吉林通化期末）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2)  已知复数的类型求参数解读 在各象限内点对应复数的特征解读 判断复数对应的点所在的象限 根据复数对应坐标的特点求参数已知复数的类型求参数解读 在各象限内点对应复数的特征解读 判断复数对应的点所在的象限 根据复数对应坐标的特点求参已知复数的类型求参数解读 在各象限内点对应复数的特征解读 判断复数对应的点所在的象限 根据复数对应坐标的特点求参数【知识点】已知复数的类型求参数，根据复数对应坐标的特点求参数. 【分析】（1）根据复数的类型特征求参； （2）应用复数对应象限的特征列不等式组即可求参数范围. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以 解得. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以 解得. 复数的四则运算题型02 5．（23-24吉林辽源期末）已知复数，则其共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数除法运算，共轭复数概念及运算 【分析】化简得，即得解. 【详解】由题得. 所以. 故选：B 6．（23-24吉林通化期末）复数（为复数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法运算，复数的模，复数除法运算. 【分析】根据复数的除法运算及减法运算求出复数，再根据复数的模的公式即可得解. 【详解】解：， 所以. 故选：B. 7．（23-24吉林长春期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数除法运算 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 8．（23-24吉林延边期末）已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知复数类型求参数，复数除法运算 【分析】根据复数的乘除运算和纯虚数的定义即可得答案. 【详解】， 所以，解得． 故选：B． 9．（23-24吉林长春期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数除法运算，判断复数对应点所在象限 【分析】首先由复数的除法运算化简，再结合复数的概念与几何意义即可得结论. 【详解】由题意知，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限， 故选：D. 10．（23-24吉林期末）复数的虚部为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】复数的乘方，复数的实部和虚部 【分析】根据复数的乘方化简，即可判断. 【详解】因为，所以的虚部为1. 故选：A 11．（23-24吉林省吉林八校期末）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数乘法运算，共轭复数概念及运算 【分析】根据复数的四则运算可得复数，进而可得. 【详解】由，得， 即， 解得， 所以， 故选：B. 12．（23-24吉林BEST合作体期末）设复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数乘法运算 【分析】根据复数乘法运算可求得，进而得到结果. 【详解】，，，即. 故选：C. 13．（23-24吉林通化期末）若复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】D 【知识点】复数的模，复数除法运算. 【分析】利用复数的除法法则和复数的模长公式计算即可. 【详解】， . 故选：D. 14．（23-24吉林长春期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数除法运算，共轭复数概念及运算 【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A 15．（23-24吉林长春期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数除法运算，共轭复数概念及运算 【分析】先求共轭复数，再根据复数代数形式的除法运算化简复数即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 16．（23-24吉林长春期末）若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数乘除法运算，共轭复数概念及运算，判断复数对应点所在象限 【分析】根据复数的乘方和乘法、除法运算法则计算得，由共轭复数的定义得，再利用复数的几何意义判断其在第几象限即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 17．（23-24吉林通化期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数乘除法运算，判断复数对应点所在象限 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 18．（23-24吉林期末）已知复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数除法运算，共轭复数概念及运算 【分析】先根据复数除法运算求解出，然后根据共轭复数的概念可得. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 19．（23-24吉林白山期末）是虚数单位，复数，（是的共轭复数），则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数乘除法运算，复数的模 【分析】由题意得，，，再结合复数的四则运算求解即可. 【详解】因为复数， 所以，， 所以， 故选：B. 20．（23-24吉林期末）（多选）若复数，则（    ） A． B． C．为实数 D． 【答案】BC 【知识点】复数乘除法运算，复数的模，复数的加减法运算。 【分析】首先求解复数，再根据复数的运算，以及共轭复数和复数模的公式，即可判断选项. 【详解】由，得，A错误. ，B正确. 因为，所以为实数，C正确. D错误. 故选：BC 21．（23-24吉林通化期末）（多选）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【知识点】复数的乘方，复数的模，共轭复数概念及运算。 【分析】选项A：取特殊值否定即可，选项B：利用复数的模的性质求解即可，选项C：举特殊的复数否定即可,选项D：利用待定系数法设，，求证即可. 【详解】对于A，取，则， 故A错误； 对于B，结合复数模的性质可知，，故B正确； 对于C，令，则，而，故C错误； 对于D，设，，则时，.又， ，所以，故D正确. 故选：BD. 22．（23-24吉林吉林八校期末）（多选）已知复数为的共轭复数，若，下列结论正确的是（   ） A．在复平面内对应的点位于轴上 B．的实部为0 C．的虚部为 D． 【答案】BCD 【知识点】复数的模，复数的实部和虚部，复数除法运算，判断复数对应点所在象限 【分析】由题意可得，即可根据复数的除法求出，结合复数的几何意义以及相关概念一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，故，所以， 则在复平面内对应的点位于轴上，的实部与虚部分别为0和， A错误，B，C，D正确. 故选：BCD 23．（23-24吉林G6教考联盟期末）（多选）已知复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 【答案】AD 【知识点】复数的实部和虚部，复数除法运算，共轭复数概念及运算。 【分析】复数化简为，再依次判断即可． 【详解】解：， 则的虚部为，A项正确； 的共轭复数为， 而，故B项错误； ，故C项错误； ，故D项正确； 故选：AD 24．（23-24吉林友好学校联合体期末）（多选）若，则（    ） A． B． C． D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BCD 【知识点】判断复数对应点所在象限，复数乘法运算，共轭复数概念及运算，复数的模。 【分析】根据复数的基本概念，复数的模，以及复数的乘法运算和复数的几何意义，逐项判定，即可求解． 【详解】由复数，则，所以A错误； 由，所以B正确； 由，所以C正确； 由在复平面内对应的点为位于第二象限，所以D正确． 故选：BCD 25．（23-24吉林长春期末）（多选）设为复数，下列命题正确的是（    ） A． B． C．若，则为纯虚数 D．若，且，则 【答案】AD 【知识点】复数基本概念，共轭复数概念及运算，复数的模。 【分析】根据复数模的性质判断A，取特殊值判断BC，根据复数模的性质、共轭复数模的性质判断D. 【详解】由复数模的性质知，故A正确； 取，则，故B错误； 取，则，为实数，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 故选：AD 26．（23-24吉林通化期末）（多选）已知为虚数单位，复数，为方程的两个根，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C．复数在复平面上对应的点在第二象限 D． 【答案】ABD 【知识点】判断复数对应点所在象限，复数乘法运算，共轭复数概念及运算，复数的模。 【分析】由题意可知：，进而可判断A；结合可判断BD；根据复数的几何意义判断C. 【详解】对于选项A：由题意可知：，所以，故A正确； 对于选项B：对于任意复数，则， 可得， 所以，故B正确； 对于选项C：由方程解得，即或， 可知复数在复平面上对应的点在第一象限或第四象限，故C错误； 对于选项D：由选项B可知：，故D正确； 故选：ABD. 27．（23-24吉林延边期末）（多选）已知是虚数单位，则（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数，则 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】复数除法运算，复数的模，根据相等条件求参数。 【分析】由复数求模的方法，计算出，即可判断A；设，则，再由，可计算出，即可判断B；由，即，可得，即可判断C；由，可计算出，即可判断D. 【详解】由，故A错误； 设， 则，故B正确； 若复数，即，则，则，故C正确； 若，则，故D正确. 故选：BCD. 28．（23-24吉林白城期末）如果，那么 ． 【答案】i 【知识点】复数除法运算，复数的乘方 【分析】结合复数除法、乘方运算求得正确答案. 【详解】因为，故， 所以，故，， 故. 故答案为： 29．（23-24吉林友好学校联合体期末） 【答案】 【知识点】复数乘法运算 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得. 【详解】. 故答案为： 30．（23-24吉林通化期末）已知复数，则 . 【答案】 【知识点】复数乘法运算，复数的模. 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再计算其模即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 31．（23-24吉林通化期末）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 . 【答案】 【知识点】已知复数类型求参数 【分析】根据复数是纯虚数，可知其实部为0，虚部不为0，据此列出方程组求解即可. 【详解】解：依题意有解得. 故答案为：. 32．（23-24吉林白山期末）在复平面内，复数和对应的点分别为，则 . 【答案】/ 【知识点】复数乘法运算，根据复数的坐标写出对应复数 【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求出结果. 【详解】由题意可知，， 则， 故答案为：. 33．（23-24吉林长春期末）已知复数，复数满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】复数加减运算，复数的模. 【分析】设，代入中化简可得，则点在以为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. 【详解】设，因为，， 所以， 所以， 所以点在以为圆心，3为半径的圆上， 所以的最小值为. 故答案为：2 34．（23-24吉林期末）已知是关于x的方程的根，则实数 ． 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】由是也是方程的根，再由韦达定理即可得实数的值． 【详解】因为是关于x的方程的根，其中， 所以也是关于x的方程的根， 所以，即． 故答案为： 35．（23-24吉林长春期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】复数的模，复数加减法的几何意义 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 36．（23-24高一下·吉林·期末）已知z是复数，z+1为纯虚数，的实部为2（i为虚数单位）. (1)求复数z; (2)求的模. 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的模，复数的实部和虚部，复数除法运算，已知复数类型求参数. 【分析】（1）设，由已知条件列方程求出即可； （2）由复数的乘法化简，再由模长公式计算即可. 【详解】（1）设， 由为纯虚数，则，得 由的实部为2，则， 所以； （2）， ． 37．（23-24吉林G6教考联盟期末）已知复数是一元二次方程（）的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【答案】(1) (3) 【知识点】复数基本概念，复数乘法运算，复数的乘方，复数范围内方程的根 【分析】根据是一元二次方程的根得到也是一元二次方程的根，代入列方程组求解即可； （2）求出，根据复数为纯虚数求出即可求出. 【详解】（1）因为是一元二次方程的根， 所以也是一元二次方程的根， 故，解得； （2）因为复数为纯虚数， 所以，且， 即，所以复数， 故. 复数的三角表示题型03 38．（23-24吉林吉林八校期末）在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根． (1)直接写出复数的3次单位根，并指出哪些是复数的3次本原单位根（无需证明）． (2)①若是复数的8次本原单位根，证明：． ②若是复数的次本原单位根，证明：． 【答案】(1)复数的3次单位根为，复数的3次本原单位根为 (3) ①证明见解析，②证明见解析 【知识点】复数的乘方，复数范围内方程的根，复数的三角表示。 【分析】（1）根据次的本原单位根的定义，可直接得到答案； （2）①由题意可得，从而推出，继而分组求和，即可证明结论；②由题意得，则可推出，继而得，结合，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得的解为， 则复数的3次单位根为， 由于因为，的一次方以及2次方均不等于1， 故复数的3次本原单位根为. （2）证明：①因为是复数的8次本原单位根，所以. 因为，所以， 所以， 则. ②因为是复数的次本原单位根，所以， 设，则. 因为，所以，所以， 所以. 因为，所以，即， 则，即. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$