专题01 平面向量及其应用（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（吉林专用）

专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02平面向量的运算 题型03平面向量基本定理及坐标表示 题型04平面向量的应用 平面向量的概念题型01 1．（23-24高一下·吉林延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期末）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 【答案】B 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解 【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B 2．（23-24高一下·吉林长春市部分校·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 3．（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【答案】C 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；考虑特殊向量可判断D. 【详解】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误： 对于B，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误； 对于C，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C正确； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：C． 平面向量的运算题型02 4．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用单位向量的定义与向量数量积运算即可得解. 【详解】对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同， 所以不一定成立，故A错误； 对于B，，显然不一定成立，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 6．（23-24高一下·吉林通化市靖宇中学、东辽一中等校·期末）已知向量满足，且，则向量的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】将两边平方，结合数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以，即，解得， 所以，又，所以. 故选：B 7．（23-24高一下·吉林长春吉大附中实验学校·期末）已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】由垂直关系结合数量积公式计算即可. 【详解】因为，所以，即， ，因为向量与的夹角范围为，所以向量与的夹角是. 故选：B 8．（23-24高一下·吉林省部分名校·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（    ）    A． B． C．12 D．18 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】设交于点，则是中点且，根据数量积的定义计算可得． 【详解】如图，交于点，则是中点且， 由题意可得. 故选：A．    9．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】根据投影向量的定义结合已知条件直接求解即可 【详解】因为向量与向量夹角为，，所以， 则在上的投影向量为， 故选：A. 10．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【详解】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又，所以，， 则的取值范围是. 故选：B. 11．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）在边长为的正三角形中，，，，，点在线段上，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂直关系的向量表示 【分析】根据向量数数量积的计算公式，结合三角形的性质可得各向量模长，即可得解. 【详解】 如图，依题意可得点在线段（不含端点）上，点在线段（不含端点）上， 由，可得，即三角形为直角三角形， 设，则，， 因为，且三角形为正三角形， 所以三角形为正三角形，所以，所以， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为， 故选：A. 12．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）（多选题）欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是三角形的外心､垂心和重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】利用向量的线性运算，结合三角形外心、垂心、重心的意义及欧拉定理，逐项计算判断即得. 【详解】对于A，连接并延长，交于点，则是的中点，， 于是，当时，不共线，即， A错误； 对于B，由欧拉线定理得，有，则，B正确； 对于C，是的垂心，即，则， 于是，即，C正确； 对于D，由欧拉线定理知，则，即，D正确. 故选：BCD 13．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）（多选题）已知非零向量，，记，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，且，则，的夹角为 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、平行向量（共线向量）、垂直关系的向量表示 【分析】对于A：只需得到即可判断；对于B：分为与同方向或反向两种情况讨论即可判断；对于C：根据条件计算出， ，即可判断；对于D：利用极化恒等式即可求解. 【详解】 对于A：当时，，，故A正确； 对于B：当时，与同方向或反向， 当与同方向时，，，， 当与反向时，，，，故B错误； 对于C：根据题意有，解得：， ， 所以，则与的夹角为，故C正确； 对于D：由，得：， 所以或(，舍去). 故D正确. 故选：ACD 14． （23-24高一下·吉林省辽源市田家炳高中五校·期末）已知向量，为单位向量，，的夹角为，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用向量数量积的运算法则，结合转化法即可求得. 【详解】因为向量，为单位向量，，的夹角为， 所以，，， 故，所以. 故答案为：. 15．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）已知向量与的夹角为，．则 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据数量积的运算律及定义求出，即可得解. 【详解】因为，所以． 故答案为： 16．（23-24高一下·吉林省延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则 . 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】设出梯形两底的长，取AB，CD，BD，AC的中点M，N，X，Y，并探讨它们的关系，结合已知向量等式确定点P的位置并求出，再由三角形、梯形面积公式求解即得. 【详解】在四边形中，，则四边形是梯形，且，令，， 记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然， 于是点M，X，Y，N顺次共线并且， 显然，，而，则， 因此点P在线段XY上，且，设A到MN的距离为h， 由面积公式可知． 故答案为： 17.（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）已知， ，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】（1）由，可求的值； （2）利用向量数量积求出，，再由向量数量积求夹角的余弦值. 【详解】（1），由，得，所以. （2）因为，， 所以，. 令向量与的夹角为θ，则， 即向量与夹角的余弦值是. 18．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）已知． (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】（1）先求得，然后通过平方的方法求得． （2）根据题意，结合向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）解：由， 可得，所以， 所以． （2）解：由， 设向量与的夹角为，则． 19．（23-24高一下·吉林省吉林市实验中学等友好学校·期末）已知，，． (1)求与的夹角； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】（1）根据数量积的运算律可得，即可利用夹角公式求解， （2）利用模长公式即可求解. 【详解】（1）由可得， 故，所以， 由于，所以， （2） ，故 平面向量基本定理及坐标表示题型03 20．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线，可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 21．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）已知、、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、数量积的坐标表示 【分析】首先表示出，，根据数量积的坐标表示及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、，所以，，所以， 即， 所以，即，所以. 故选：B 22．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据给定条件，利用基底表示. 【详解】在中，， 所以. 故选：C 23．（23-24高一下·吉林省吉林八校·期末）已知向量，且，则（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线的坐标运算可得答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 24．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、条件等式求最值 【分析】以为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，设，，，，则，再利用基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题知，以为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设，，且，，则， 则，，， 所以，，，所以， 当且仅当，即，时取等号.故的最大值为. 故选：B 25．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）如图，已知两点分别满足，，其中，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、基本不等式求和的最小值 【分析】首先求出，，由得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以，， 所以，即， 又，，所以， 当且仅当，时取等号，即的最小值为. 故选：B 26．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）在中，点是边AC上靠近点A的三等分点，点是的中点．若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】本题首先由平面向量的线性运算分解向量，进而结合平面向量基本定理得到和的取值，计算得到结果. 【详解】如图，由题意可得 ， 因为，所以由平面向量基本定理可得：， 所以. 故选：B. 27．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】先应用向量垂直数量积为0求参，再根据模长公式求模长即可. 【详解】因为所以,所以, 因为，所以. 故选：A. 28．（23-24高一下·吉林长春市部分校·期末 ）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立以为原点，所在直线为轴的平面直角坐标系，分别写出的坐标，再通过向量的坐标运算即可求出向量的数量积. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系. ∵，，∴， ∵点在边上，且，∴， ∴，，∴. 故选：D. 29．（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：A 30．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体”·期末）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决. 【详解】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴，∴ ∴ 故选：A. 31．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）（多选题）已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据向量平行和垂直的坐标表示即可判断BC；根据投影向量的公式即可判断D. 【详解】对A，，故A错误； 对B，若，则，解得，故B正确； 对C，若，则，则，故C错误； 对D，在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：BD. 32．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）（多选题）已知向量，且，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在向量上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律及坐标表示求出，即可求出，，，即可判断A、B；由夹角公式判断C，由投影向量的定义判断D. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以，，，所以，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，所以，，， 设与的夹角为，则， 又，所以，故C正确； 因为，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为，故D错误. 故选：BC 33．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）（多选题）已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．与共线的单位向量的坐标为 D．向量，夹角的余弦值为 【答案】AD 【知识点】零向量与单位向量、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】根据数量积的坐标公式即可判断A；根据投影向量的定义即可判断B；根据共线向量及单位向量的定义即可判断C；根据向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，在方向上的投影向量，故B错误； 对于C，与共线的单位向量为，即或，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 34．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）（多选题）若向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标判断向量是否共线、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示及向量模的坐标表示一一判断即可. 【详解】因为，，， 对于A：，则，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，所以，故C错误； 对于D：因为，则， 又，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 35．（23-24高一下·吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学·期末）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 【答案】CD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的计算、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据模长公式即可求解A，根据向量的线性的坐标运算即可求解B，根据夹角公式即可求解C，根据投影向量的定义，即可求解D. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B, ,而，故与不共线，故B错误， 对于C，，由于，故与的夹角为，C正确， 对于D，在上的投影向量为，故D正确， 故选：CD 36．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】由题意列出关于的不等式组即可求解. 【详解】由题可知且与不共线，即，得. 故答案为：. 37．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】以为基底向量表示，再根据垂直关系结合数量积的运算律运算求解. 【详解】以为基底向量， 则， 因为，，且，则， 所以. 故答案为：.    38．（23-24高一下·吉林长春市部分校·期末）已知是边长为的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】取中点，以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算可表示出点坐标，进而得到，利用二次函数最值的求法可求得结果. 【详解】取中点， 为等边三角形，，则以为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，    则，，，设， ，，， ，则， ，，， ， 则当时，取得最小值. 故答案为：. 39．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）已知是夹角为的两个单位向量，，（）. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】基底的概念及辨析、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】（1）根据向量作为基底的条件：不共线非零向量，即可得解； （2）利用向量的数量积为0建立方程，即可得解； （3）平方后得到关于的二次函数，利用函数的性质即可求最值. 【详解】（1）因为可以作为一组基底，所以不平行， 又不共线，所以，即，所以，实数的取值范围为. （2）因为垂直，所以，即， 又，，所以，解得. （3）由（2）知，， 因为， 所以，当时，取得最小值3，所以的最小值为. 40．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）已知平面向量，且． (1)若，且，求； (2)若，且，求与的夹角． 【答案】(1)或． (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】（1）利用向量的模与向量共线列出方程求解即可． （2）利用向量垂直，通过数量积求解向量的夹角即可． 【详解】（1）因为，所以设，则． 又，所以，解得，即或． （2）因为，所以． 因为，所以，解得． 设与的夹角为，所以． 因为平面内向量夹角的取值范围是，所以，即与的夹角为． 41．（23-24高一下·吉林延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期末）已知平面向量，，，且． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】（1）设，根据已知条件得出方程组，解方程组即可求解； （2）根据，，利用向量坐标运算分别计算出、，再利用垂直关系得出关于的方程，解方程即可求解. 【详解】（1）设， ，，又，， ，或， 或； （2），，则，， 因为，所以， 即，整理有：，解得． 42．（23-24高一下·吉林省部分名校·期末）对任意两个非零向量，，定义： (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值； (3)若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、向量新定义 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据题目所给定义求出的值. （2）根据所给条件求出的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可. （3）结合条件得出的范围、向量与的夹角的余弦值的范围，再根据题目所给定义和题目条件，求出的值，将转化为，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，故的值为. （2）因为向量、是单位向量，所以，，由， 可得，解得， 由，可得， ， 故向量与的夹角的余弦值为. （3）设向量与的夹角为，由题意可知，则， 因为，所以，. 因为，所以，. 因为是整数，所以，所以，， 而 ，即，所以， 因为，，所以，即， 故的取值范围为. 43．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体”·期末）已知单位向量，的夹角为. （1）若与垂直，求的值； （2）若向量满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量垂直得到，再利用向量的数量积求解即可； （2）建立直角坐标系，设出向量，根据，得到的轨迹为以为圆心，为半径的圆，即可求解. 【详解】解：（1）与垂直，则，化简得，即， 解得. （2）设，，以为原点，所在的直线为轴， 建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，设， 由，可得：，化简得：， 即的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 则的最大值为，∴的最大值为. 平面向量的应用题型04 44．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可求出. 【详解】根据余弦定理得， 即，解得（舍去）或2， 故选：A. 45．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】D 【知识点】坐标法的应用——交点坐标、求平面两点间的距离 【详解】试题分析：将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，那么，故选D． 考点：1．坐标系；2．两点间距离． 【方法点睛】本题考查了向量法解决平面几何的问题，属于中档题型，而向量法又分是用向量代数表示，还是用坐标表示，经分析用坐标表示，那如何建坐标系？题设只说是直角三角形，所以就以直角顶点为原点建立坐标系，两条直角边落在坐标轴上，这样就可以设各点的坐标，转化为两点间距离求值．坐标法解决平面几何的问题，很多时候会事半功倍． 46．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为.若中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则用“三斜求积术”求得的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】由正弦定理得，由得，进而可得的面积. 【详解】根据正弦定理，由，由得， 所以的面积. 故选：D. 47．（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）在中，，且的面积为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用面积公式求出，再由余弦定理可得答案. 【详解】因为，所以，解得， 由余弦定理可得，所以. 故选：B. 48．（23-24高一下·吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学·期末）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求得，进而利用三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】由余弦定理得，即，解得，所以三角形的面积为. 故选：A 49．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体”·期末）在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，即，由余弦定理，又，所以. 故选：C 50．（23-24高一下·吉林省部分名校·期末）有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（    ） A．海里 B．海里 C．50海里 D．海里 【答案】A 【知识点】距离测量问题 【分析】由题意画图，再利用正弦定理求解. 【详解】由题可知, 海里，在中，由正弦定理可得， 则海里.    故选：A 51．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，，，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：A 52．（23-24高一下·吉林通化市靖宇中学、东辽一中等校·期末）在中，角的对边分别是，若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理可得，即， 且，则或. 故选：A 53．（23-24高一下·吉林省吉林八校·期末）在平静的湖面上，小船甲从处沿北偏西的方向匀速行驶，同时，在的正东方向，且相距千米的处，小船乙沿北偏西的方向行驶，经过2小时后，这两艘小船在处相遇，则小船甲的速度是（   ） A．千米/时 B．千米/时 C．10千米/时 D．20千米/时 【答案】C 【知识点】距离测量问题 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由题意可得千米，， 则，在中，由正弦定理可得， 则千米，故小船甲的速度是千米/时.    故选：C. 54．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，从而分析得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又， 则，即， 因为，所以，则， 又，所以，则为直角三角形. 故选：C 55．（23-24高一下·吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学·期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】因为，故，， 由正弦定理，. 故选：A 56．（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为30和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、高度测量问题 【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的边角关系求解即得. 【详解】在中，， ， 由正弦定理得，则， 在中，，因此， 所以这颗银杏树的高度为. 故选：B. 57．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简可得答案. 【详解】因为，所以由余弦定理得， 所以，所以，所以为直角三角形. 故选：A. 58．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、余弦定理边角互化的应用 【分析】由全等以及余弦定理得，结合平方关系以及商数关系即可得解. 【详解】由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于为三等分点， 所以，又， 在中有余弦定理得：， 在中，利用余弦定理得：， 在中利用同角间的三角函数关系可知：． 故选：D. 59．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）已知的内角所对的边分别为，下列四个说法中正确个数是（    ） ①若，则一定是等边三角形； ②若，则一定是等腰三角形； ③若，则一定是等腰三角形； ④若，则一定是锐角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理化边为角即可判断①；利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可判断②；利用正弦定理与两角和的正弦公式化简已知等式即可判断③；利用余弦定理即可判断④． 【详解】对于①，由，由正弦定理可得， 即，所以，是以是等边三角形，故①正确； 对于②，由正弦定理可得，可得， 所以或， 所以或 所以是等腰或直角三角形，故②不正确； 对于③，因为， 由正弦定理可得，即， 由正弦定理可得，所以为等腰三角形，故③正确； 对于④，由正弦定理可得，所以角为锐角， 而角不一定是锐角，④不正确． 故选：B． 60．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用基底表示向量、基本（均值）不等式的应用 【分析】利用正弦定理和余弦定理得到，由两边平方得，由基本不等式求出. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得，可得，即， 所以， 又，则，是的中点，，故， 两边平方得，，故， 其中，故（当且仅当时符号成立）， 解得． 故选：C 61．（23-24高一下·吉林省部分名校·期末）如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】（方法一）设，利用余弦定理求出，由，求出四边形的面积为，求出最大值； （方法二）四边形的面积，求出最大值. 【详解】（方法一）设，则，在中，，因为，所以. 四边形的面积为 ， 当，即时，四边形的面积取得最大值，最大值为. （方法二）四边形的面. 故选：B 62．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于点，且将的面积分成的两部分，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意，由三角形的面积公式可得，再由正弦定理代入计算，结合正弦函数的二倍角公式，即可得到结果. 【详解】因为，所以，结合题意得． 因为是角的平分线，所以，所以， 由正弦定理，得，即，所以. 故选：C． 63．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和  都是正三角形，，，且三点共线，设点是内的 任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】在中，利用余弦定理求出，然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由题意可知取得最小值时，点为费马点，设，，，在中分别使用余弦定理，三式相加，再结合三角形面积公式化简可求出，从而可得答案. 【详解】由题可知，，在中，由余弦定理得 ，所以， 所以，所以为直角三角形， 由定义可知取得最小值时，点为费马点， 设，，，且，，，， 在中分别使用余弦定理可得， 相加得 由三角形面积得，即， 所以， 所以 ，所以的最小值为 故选：A. 64．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）已知锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理角化边，再用余弦定理可得，再根据正弦定理得到， 再利用三角恒等变换公式，然后根据锐角三角形可得的角范围，再根据正切函数的性质可得结果. 【详解】因为锐角是单位圆的内接三角形， 所以， ， 又因为， 所以， 根据余弦定理得， 所以， 所以， ， 因为是锐角三角形，所以，所以，所以， 所以 ，所以， 因为，所以，所以， 故选：D. 65．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】作的四等分点，使得，然后在三角形与三角形中，使用余弦定理表示出，再结合，两次使用余弦定理，从而解得所需要的边长，解出. 【详解】设在三角形与三角形中， 解得：    作的四等分点，且,由题意知，， 又因为，所以,, 又，所以, 在三角形与三角形中， 化简得: ,代入解得：, 从而解得： 故选：D. 66．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市博文学校·期末）（多选题）在中，下列式子与的值相等的有（     ） A． B． C． D．(R为ABC的外接圆半径) 【答案】CD 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理对选项进行一一验证，即可得答案； 【详解】对A，取，显然，故A错误； 对B，取，，故B错误； 对C，D，，，故C，D正确； 故选：CD 67．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）（多选题）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（    ） A．sin(B+C)=sinA B．cos(B+C)=cosA C．若，则为直角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】AC 【知识点】诱导公式二、三、四、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答. 【详解】依题意，中，，，A正确； ，B不正确； 因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确； 因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确. 故选：AC 68．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）（多选题）的内角，，的对边分别为，，，下列四个结论正确的是（    ） A． B．若，则为120° C．若，则为等腰直角三角形 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】由余弦定理化角为边可判断A；由余弦定理得，可判断B；利用两角和差的正弦公式求解可判断C；由正弦定理得，由余弦定理得为钝角，可判断D. 【详解】，故A正确； 由余弦定理得，而，则，故B正确； 若，即, 展开整理得， ∵，∴或， ∴为直角三角形或等腰三角形，故C错误； 若，由正弦定理得， 由余弦定理得，可得为钝角，则是钝角三角形，故D正确. 故选：ABD. 69．（23-24高一下·吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学·期末）（多选题）在中，面积，则下列说法正确的是（    ） A． B．若是锐角三角形，则 C．若，则 D．若角的平分线长为，则 【答案】ABC 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理求得，结合正弦定理、基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则， 而，解得，A正确； 对于B，锐角中，，， ，则，B正确； 对于C，当时，则，当且仅当时取等号， 则，C正确； 对于D，由三角形面积公式得，则， 即，因此， 当且仅当，即时取等号，D错误. 故选：ABC 70．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】AB 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】选项A利用余弦函数得单调性可得；选项B根据正弦定理解三角形可得；选项C利用反例可判断C错误；选项D利用正弦定理可判断三角形形状. 【详解】选项A：因在上单调递减，且，因，故，故A正确； 选项B：因，，，故，故有两解，故B正确； 选项C：当时，，此时，,为钝角三角形，故C错误； 选项D：当时，，即， 故或，故或，为等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：AB 71．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）（多选题）对于，有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则等腰三角形 B．若是锐角三角形，则不等式恒成立 C．若，则的面积为 D．若，则为钝角三角形 【答案】BD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据两个角的正弦相等，判断两个角的关系，判断A的真假；根据锐角三角形的概念，结合三角函数的单调性，可判断B的真假；利用余弦定理，结合三角形的面积公式可求三角形的面积，判断C的真假；根据同角三角函数的基本关系及正弦定理判断D的真假. 【详解】对A：由或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对B：因为是锐角三角形，所以均为锐角，且即， 因为在上单调递增，所以，故B正确； 对C：由余弦定理：， 即或， 所以或，故C错误； 对D：， 由正弦定理得：，所以是钝角三角形，且角为钝角，故D正确. 故选：BD 72．（23-24高一下·吉林长春市部分校·期末）（多选题）下列命题中，正确的是（    ） A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 73．（23-24高一下·吉林省长春市东北师范大学附属中学·期末）（多选题）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】ABC 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、向量与几何最值 【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】连接与相交于点，由正六边形的几何性质，⊥，， 正六边形ABCDEF的边长为2，故，，故， 故点在上的投影为， 当点与点重合时，此时的投影向量为，与方向相同 此时取得最大值，最大值为， 故当与重合时，的投影向量为，与方向相反， 此时取得最小值，最小值为， 故，ABC正确，D错误. 故选：ABC 74．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体”·期末）（多选题）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，则CD的值可能为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】CD 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】设，由正弦定理得，由余弦定理得，，结合辅助角公式求出，即可求解. 【详解】设，在中，由正弦定理得，即， 由余弦定理得，又， 在中，由余弦定理得 ，其中，所以当时，，A、B错误，C正确； 当时，，D正确. 故选：CD. 75．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 . 【答案】 【知识点】几何图形中的计算 【分析】利用勾股定理分别求得AD，AC，然后在中，利用余弦定理求解. 【详解】由勾股定理得：， ， 由余弦定理得：， 因为，所以 故答案为： 76．（23-24高一下·吉林省吉林八校·期末）在中，角，，的对边分别是，，，，，是内角的角平分线，和的面积分别是，，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再根据角分线的性质可将面积比转化为边之比，再根据余弦定理可得边长与面积. 【详解】如图所示，    分别作，，垂足分别为， 因为是内角的角平分线，所以，所以和的面积之比为， 又因为，所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，所以，由余弦定理可得，则，即， 故，故答案为：. 77．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）一艘船从点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，又从沿北偏东的方向行驶海里至海岛，若次轮船从点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿 方向行驶 海里至海岛. 【答案】 北偏东 【知识点】距离测量问题、角度测量问题 【分析】(1)画图易得为等腰三角形,再根据角度关系求解即可. 【详解】(1)如图,因为在点北偏东,在北偏东,故, 又,故,故在北偏东方向. (2)由(1). 故此轮船沿着北偏东方向行驶海里到达海岛. 故答案为：(1). 北偏东    (2). 【点睛】本题主要考查了方位角的应用,同时也考查了利用余弦定理求解实际距离的问题,属于基础题. 78．（23-24高一下·吉林长春市部分校·期末）在中，，则的形状为 三角形． 【答案】直角 【知识点】cos2x的降幂公式及应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式、余弦定理化简作答. 【详解】在中，由，得，即， 由余弦定理得，整理得， 所以是直角三角形. 故答案为：直角 79． （23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为 m. 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、高度测量问题 【分析】过作于点，根据三角函数的定义，分别求得，和的长，再在中，由，结合两角差的正切公式，推出的长，然后由，求解即可． 【详解】过作于点，则四边形是矩形， 在中，，所以， 在中，，，所以， 所以，，所以， 在中， ，而， 所以，所以． 故答案为：． 80．（23-24高一下·吉林通化市靖宇中学、东辽一中等校·期末）已知是的外心，若，则内角的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值 【分析】取的中点，连接，因为是的外心，所以，根据平面向量加法的三角形法则和平面向量数量积的定义将和转化为边得到边之间的关系，再利用余弦定理结合重要不等式即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图： 因为是的外心，所以， 设中对应边分别为， 则 ， 同理可得， 因为，所以， 根据余弦定理得：， 当且仅当时等号成立， 因为函数在为减函数，且，所以内角的最大值是. 故答案为：. 81．（23-24高一下·吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】在中，因为，由正弦定理得， 解得，由余弦定理得， 化简得，由正弦定理得， 所以， 而，为三角形内角，所以，所以. 故答案为： 82．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）在中，，，D为中点，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、已知数量积求模 【分析】在中利用余弦定理，结合向量数量积定义得，再次在和中，利用余弦定理即可解出. 【详解】设角所对的边分别为， ，则，设， 在中，根据余弦定理得， 即，解得， 在和中，根据余弦定理有，① ，② ①②得，即，解得. 故答案为：.    83．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）在斜中，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】利用切化弦，角化边思想，得到边的关系，再用余弦定理来求出最小值，从而问题可以得解. 【详解】由， 则，结合内角和为可得：， ， 即，再由正弦定理和余弦定理角化边得： ， 又由余弦定理得：， 当且仅当取等号，所以， 故答案为：. 84．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）非直角的内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】1 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理角化边得，再由三角恒等变换结合边角互化得出答案. 【详解】因为，所以， . 故答案为：1 85．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由三角形面积公式和题设等式，利用余弦定理化简求得和，再由正弦定理化简所求式为，设，利用三角恒等变换将其化成，求得，最后运用双勾函数的单调性求得范围. 【详解】因，代入可得，整理得，，由余弦定理，，则得，， 两边平方，化简得，，即，解得或0， 因为为锐角三角形，所以. 由正弦定理得（*）， ， 又为锐角三角形，，则，即 故则， 令，代入（*）式可得， ， 因函数在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 因为，故. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质在三角形中的应用，属于难题.解题思路在于，利用三角形面积公式和正弦定理、余弦定理由题设条件求出角，再由所求式进行合理的三角恒等变换，借助于三角函数的图象性质和双勾函数的单调性求解即得. 86．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市博文学校·期末）的内角的对边分别为，. (1)证明：； (2)若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)用正弦定理转化，结合正弦差角公式即可求解.(2)结合第一问的结论和余弦定理求得的余弦值，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，则. 又，所以，故，即. （2）由（1）可知，.因为，所以， 则，故的面积. 87．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值； （2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积． 【详解】（1）在中，，，则， ， 在中，由正弦定理得，. （2）在和中，由余弦定理得 ， ， 得，又，得， 则，， 四边形ABCD的面积 . 88．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）结合余弦定理，即可求解； （2）（i）结合三角函数的同角公式，以及正弦两角和公式，即可求解； （ii）结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）已知，由余弦定理， 则，又，则. （2）（i），由正弦定理有，得， 故， . （ii）由正弦定理可知，， 故的面积为. 89．（23-24高一下·吉林延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求的值； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以. （2）因为，所以，因为，所以，为锐角， 因为，所以，所以 ，故的面积为. 90．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A； (2)若，的面积为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求，进而可求； （2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后结合余弦定理即可求解． 【详解】（1）由得，由正弦定理得．由余弦定理得． ，． （2） 由于的面积为，，， 由余弦定理得：．． 91．（23-24高一下·吉林通化市靖宇中学、东辽一中等校·期末）在中，角的对边分别是，且. (1)求； (2)若，的面积是，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）首先求出，由面积公式求出，由余弦定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理（为外接圆的半径）， 则，，， 因为，所以， 所以，即，所以. （2）因为，，所以， 又，所以， 由余弦定理，即，解得， 所以， 所以的周长. 92．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）在中，三个内角、、满足：、. (1)求； (2)若点为边上靠近点的三等分点，求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系将切化弦，结合两角和的正弦公式求出，再由和差角的余弦公式结合，求出、、，即可得解； （2）由（1）可设，则，利用余弦定理求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】（1）在中，， ∵ ， 又，∴，                                                    ∵， ∴，                      又，则， 当时，， 当时，（舍去）， ∴且，又，则，， 所以，∴，                                     ∴； （2）由（1）可设，则，                                              ∴，                                         ∴. 93．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）已知函数． （1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】辅助角公式、三角形面积公式、正弦定理解三角形 【分析】（1）将化简为，代入求得；（2）根据正弦定理求得，再结合余弦定理，利用基本不等式求得最值. 【详解】（1） ，又为锐角，则 （2）的外接圆半径为，由正弦定理得： 由余弦定理：得： 即（当且仅当时取等号） 则三角形的面积（当且仅当时取等号） 故三角形面积最大值为 【点睛】本题考查三角函数式的化简、正余弦定理解三角形、三角形面积最值问题.解决面积最值问题的关键是能够根据公式将问题变为长度之积的最值问题，从而利用基本不等式求得结果. 94．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）如图，已知△ABC与△ADC关于直线AC对称，把△ADC绕点A逆时针旋转，得到△AFE，若B，C，E，F四点共线，且，. (1)求BC； (2)求△ADE的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中的计算 【分析】（1）由图可知，结合旋转性质可得→△ACE为正三角形→，接下来可采用两种解法： 解法一：设，对采用余弦定理即可求解； 解法二：对由正弦定理先求出，结合第三角公式得，再由正弦公式求出； （2）解法一：由（1）对采用余弦定理求得，进而求出，再结合两角差正弦公式求出，对△ADE结合正弦面积公式即可求解； 解法二：由（1）结合同角三角函数求出，由两角差的正弦公式求出，对△ADE结合正弦面积公式即可求解； 【详解】（1）解法一： （1）由题意可得，， 所以△ACE为正三角形，（旋转前后图形的大小､形状相同及旋转角度得到△ACE为正三角形），则，在△ABC中，，，设， 则由余弦定理可得，即， 整理得，得（负值舍去），所以； 解法二： （1）由题意可得，， 所以△ACE为正三角形，（旋转前后图形的大小､形状相同及旋转角度得到△ACE为正三角形），则，在△ABC中，，，由正弦定理得：，所以，易得， 所以， 在△ABC中，由正弦定理得，即，得； （2）解法一： （2）在△ABC中，由余弦定理可得：， 所以， 所以. 在△ADE中，，， 所以△ADE的面积. 解法二： （2）由（1）知，易得， 所以，在△ADE中，，， 所以△ADE的面积. 95．（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求A； (2)若a=2，的面积为，求b，c的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可. 【详解】（1）由及正弦定理得 . 因为， 所以. 由于，所以. 又，故. （2）由题得的面积，故①. 而，且，故②，由①②得. 96．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体”·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，． (1)求角A； (2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围， 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、平面向量数量积的几何意义 【分析】（1）由三角形外心的定义和向量数量积的几何意义对条件化简，然后利用正弦定理边化角，整理化简可得； （2）先求外接圆半径，结合（1）和正弦定理将三角形周长表示为角C的三角函数，由正弦函数性质可得. 【详解】（1）过点O作AB的垂线，垂足为D， 因为O是的外心，所以D为AB的中点 所以，同理 所以，由正弦定理边化角得： 所以 整理得： 因为，所以所以，即 又，所以，得 （2）记外接圆的半径为R， 因为外接圆的周长为，所以，得 所以周长 由（1）知，所以 因为，所以所以 所以，即所以周长的取值范围为 97．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆上. 记. (1)为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于 km2，则应设计在什么范围内? (2)若BC = AD， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值. 【答案】(1) (2)，10km 【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）由，利用三角形面积公式得到求解； （2） 由BC = AD得到，进而得到，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）解：， ， 由题意， ，， 因为，所以，解得； （2）由BC = AD可知， ， 故， ， 从而四边形ABCD周长最大值是10km， 当且仅当， 即时取到. 98．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）根据三角形的面积公式结合等面积法求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，因为，所以； （2）由， 得，解得， 所以的面积为. 99．（23-24高一下·吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学·期末）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长． 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去，由和差公式和辅助角公式化简可得； （2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出，然后在中利用余弦定理可得. 【详解】（1）由正弦定理有， 因为， 所以， 化简得， 由有，可得， 因为，所以，则． （2）由有 又可得， 联立解得，所以为正三角形，所以， 在中，由余弦定理得．故的长为. 100．（23-24高一下·吉林省部分名校·期末）在中，角的对边分别是，已知，且. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据三角恒等变换关系，化简条件等式，即可求解； （2）根据向量关系式，转化为数量积公式，得到关于的等式，再根据基本不等式转化为求的最大值，再根据三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以， 所以，解得或. 因为，所以，则. （2）因为，所以，即，则. 因为，所以. 因为，当且仅当时，等号成立，所以，即， 则的面积，故面积的最大值为. 101．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理求出，再由，得； （2）由已知条件及正弦定理得，根据余弦定理得，求出，最后根据面积公式计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理得, ， 又，所以，又，所以. （2）由，则， 故，，所以，所以， 又，整理得， 则，解得， 所以的面积为． 102．（23-24高一下·吉林省吉林八校·期末）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由可得，即可得答案； （2）由（1）及余弦定理可得或，后由C为钝角可排除，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以，则，因为，所以. （2）因为，所以. 由余弦定理，得. 整理得，解得或. 因，则. 当时，，不合题意排除； 当时，，满足题意.则，的周长为. 103．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、距离测量问题、高度测量问题 【分析】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）首先根据正弦定理求出，再根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】（1）在中，. 由正弦定理得，， （2）. 在中，由正弦定理得， ， 在中，. 104．（23-24高一下·吉林省长春市东北师范大学附属中学·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，，求A； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用正弦定理直接求解； （2）根据余弦定理结合基本不等式得，从而可求出周长的最大值． 【详解】（1）由正弦定理知，所以，解得， 因为B为钝角，所以． （2）解：由余弦定理得， 又由，，则，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为4， 所以周长的最大值为． 105．（23-24高一下·吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、数量积的运算律、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解； （3）先利用等面积法求出与的关系，再结合余弦定理可求出与的关系，再结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； （2）由余弦定理得，即，① 设的中点为，则， 则，则，② 由①②得，联立，解得， 所以，即的周长为； （3）由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 106．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. (1)求角A； (2)若，且的周长为9，求； (3)若的面积为，求的角平分线的取值范围. 【答案】(1)； (2)9； (3). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】（1）由已知，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式计算得解. （2）则（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用数量积的定义计算即得. （3）由（2）中信息，利用三角形面积公式求出，再求出的范围，借助函数单调性求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 又，则， 又，于是即，又，所以. （2）由（1）知，由正的周长为，得， 依题意，， 在中，由余弦定理得， 则，即， 在中，由余弦定理得，即，联立解得， 所以. （3）由正的面积为，得， 由（2）知，即， 由，得， 于是，又，则， 又，即，解得，因此， 令函数，而函数与在上均单调递增， 则函数在上单调递增，从而，则， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 107．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）已知在中，满足（其中分别是角的对边）. (1)求角的大小； (2)若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后结合两角和差公式，以及内角和定理，诱导公式即可得解； （2）通过等面积法即可求得值，然后结合余弦定理即可求出，再利用正弦定理求出外接圆半径，从而得解； （3）利用正弦定理，将转化为角的关系式，然后利用锐角三角形求出角的范围，结合三角函数知识即可求出取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得 ， 所以，又，即，且，即. （2）由等面积法：， 即，即， 由余弦定理得， ，则， 设外接圆半径为，则，， 则外接圆的面积为. （3）由为锐角三角形可得，得， 则， 由，得， 又，所以， 则. 108．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)已知是边上的两个动点（不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值； ②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)①；②存在，. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式将等式化成，由的范围得到，利用内角和即得； （2）①设利用正弦定理分别求出,代入三角形面积公式，整理成，利用正弦函数的图象性质即可求得； ②假设等式成立，利用和差化积公式化简，代入，得到对于所有满足题意的成立，联立方程组计算即得. 【详解】（1）由，和正弦定理可得，， 即， 移项得，，即， 因为,则有， 故，即，又，所以； （2） ①因为，所以，又，所以. 如图，因，设则， 则在中，由正弦定理，得，所以， 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因，则，故当，即时，； ②假设存在实常数，对于所有满足题意的，都有成立， 即都有， 由题意，代入整理得，对于所有满足题意的成立，故有，从而有，即， 因为，所以. 即存在实常数，对于所有满足题意的，都有成立. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与三角函数有关的含参数的等式恒成立问题，属于难题. 一般思路是通过参数整理，将等式整理成关于参数为整体的方程恒成立的形式，依题，使其系数和常数项都等于零，联立方程，最后根据方程组的解的情况进行分析判断. 109．（23-24高一下·吉林通化市靖宇中学、东辽一中等校·期末）A是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）依题意可得，从而得到，即可得解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以，又，所以； （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以，所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是推导出，即. 1 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02平面向量的运算 题型03平面向量基本定理及坐标表示 题型04平面向量的应用 平面向量的概念题型01 1．（23-24高一下·吉林延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期末）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 2．（23-24高一下·吉林长春市部分校·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 3．（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 平面向量的运算题型02 4．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 5．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·吉林通化市靖宇中学、东辽一中等校·期末）已知向量满足，且，则向量的夹角是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·吉林长春吉大附中实验学校·期末）已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·吉林省部分名校·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（    ）    A． B． C．12 D．18   9．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）在边长为的正三角形中，，，，，点在线段上，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）（多选题）欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是三角形的外心､垂心和重心，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）（多选题）已知非零向量，，记，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，且，则，的夹角为 D．若，则 14．（23-24高一下·吉林省辽源市田家炳高中五校·期末）已知向量，为单位向量，，的夹角为，则 ． 15．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）已知向量与的夹角为，．则 ． 16．（23-24高一下·吉林省延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则 . 17.（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）已知， ，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 18．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）已知． (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值． 19．（23-24高一下·吉林省吉林市实验中学等友好学校·期末）已知，，． (1)求与的夹角； (2)求的值． 平面向量基本定理及坐标表示题型03 20．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）已知、、，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·吉林省吉林八校·期末）已知向量，且，则（   ） A． B．5 C． D．7 24．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）如图，已知两点分别满足，，其中，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 26．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）在中，点是边AC上靠近点A的三等分点，点是的中点．若，则（   ） A．1 B． C． D． 27．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D．8 28．（23-24高一下·吉林长春市部分校·期末 ）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 30．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体”·期末）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 31．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）（多选题）已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 32．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）（多选题）已知向量，且，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在向量上的投影向量的坐标为 33．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）（多选题）已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．与共线的单位向量的坐标为 D．向量，夹角的余弦值为 34．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）（多选题）若向量，，，则（   ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学·期末）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 36．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 . 37．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则 ． 38．（23-24高一下·吉林长春市部分校·期末）已知是边长为的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为 ． 39．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）已知是夹角为的两个单位向量，，（）. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 40．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）已知平面向量，且． (1)若，且，求； (2)若，且，求与的夹角． 41．（23-24高一下·吉林延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期末）已知平面向量，，，且． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且，求的值． 42．（23-24高一下·吉林省部分名校·期末）对任意两个非零向量，，定义： (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值； (3)若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围． 43．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体”·期末）已知单位向量，的夹角为. （1）若与垂直，求的值； （2）若向量满足，求的最大值. 平面向量的应用题型04 44．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 45．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= A．2 B．4 C．5 D．10 46．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为.若中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则用“三斜求积术”求得的面积为（    ） A． B．1 C． D． 47．（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）在中，，且的面积为，则（    ） A． B． C．2 D．3 48．（23-24高一下·吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学·期末）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 49．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体”·期末）在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（    ） A． B． C． D．或 50．（23-24高一下·吉林省部分名校·期末）有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（    ） A．海里 B．海里 C．50海里 D．海里 51．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，，，则（   ） A．4 B． C． D． 52．（23-24高一下·吉林通化市靖宇中学、东辽一中等校·期末）在中，角的对边分别是，若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 53．（23-24高一下·吉林省吉林八校·期末）在平静的湖面上，小船甲从处沿北偏西的方向匀速行驶，同时，在的正东方向，且相距千米的处，小船乙沿北偏西的方向行驶，经过2小时后，这两艘小船在处相遇，则小船甲的速度是（   ） A．千米/时 B．千米/时 C．10千米/时 D．20千米/时 54．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 55．（23-24高一下·吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学·期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 56．（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为30和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为（    ）． A． B． C． D． 57．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 58．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 59．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）已知的内角所对的边分别为，下列四个说法中正确个数是（    ） ①若，则一定是等边三角形； ②若，则一定是等腰三角形； ③若，则一定是等腰三角形； ④若，则一定是锐角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 61．（23-24高一下·吉林省部分名校·期末）如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 62．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于点，且将的面积分成的两部分，则等于（   ） A． B． C． D． 63．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和  都是正三角形，，，且三点共线，设点是内的 任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 64．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）已知锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 65．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 66．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市博文学校·期末）（多选题）在中，下列式子与的值相等的有（     ） A． B． C． D．(R为ABC的外接圆半径) 67．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）（多选题）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（    ） A．sin(B+C)=sinA B．cos(B+C)=cosA C．若，则为直角三角形 D．若，则为锐角三角形 68．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）（多选题）的内角，，的对边分别为，，，下列四个结论正确的是（    ） A． B．若，则为120° C．若，则为等腰直角三角形 D．若，则是钝角三角形 69．（23-24高一下·吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学·期末）（多选题）在中，面积，则下列说法正确的是（    ） A． B．若是锐角三角形，则 C．若，则 D．若角的平分线长为，则 70．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 71．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）（多选题）对于，有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则等腰三角形 B．若是锐角三角形，则不等式恒成立 C．若，则的面积为 D．若，则为钝角三角形 72．（23-24高一下·吉林长春市部分校·期末）（多选题）下列命题中，正确的是（    ） A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 73．（23-24高一下·吉林省长春市东北师范大学附属中学·期末）（多选题）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 74．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体”·期末）（多选题）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，则CD的值可能为（    ） A．1 B． C． D．2 75．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 . 76．（23-24高一下·吉林省吉林八校·期末）在中，角，，的对边分别是，，，，，是内角的角平分线，和的面积分别是，，且，则 ． 77．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）一艘船从点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，又从沿北偏东的方向行驶海里至海岛，若次轮船从点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿 方向行驶 海里至海岛. 78．（23-24高一下·吉林长春市部分校·期末）在中，，则的形状为 三角形． 79． （23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为 m. 80．（23-24高一下·吉林通化市靖宇中学、东辽一中等校·期末）已知是的外心，若，则内角的最大值是 . 81．（23-24高一下·吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则 82．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）在中，，，D为中点，则 . 83．（23-24高一下·吉林辽源市田家炳高中五校·期末）在斜中，若，则的最大值是 ． 84．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）非直角的内角的对边分别为，若，则 ． 85．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为 . 86．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市博文学校·期末）的内角的对边分别为，. (1)证明：； (2)若，求的面积. 87．（23-24高一下·吉林省长春市长春吉大附中实验学校·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 88．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 89．（23-24高一下·吉林延边朝鲜族自治州珲春市第一高级中学·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求的值； (2)若，求的面积. 90．（23-24高一下·吉林市实验中学等友好学校·期末）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A； (2)若，的面积为，求a的值． 91．（23-24高一下·吉林通化市靖宇中学、东辽一中等校·期末）在中，角的对边分别是，且. (1)求； (2)若，的面积是，求的周长. 92．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）在中，三个内角、、满足：、. (1)求； (2)若点为边上靠近点的三等分点，求的余弦值. 93．（23-24高一下·吉林省白城市实验高级中学·期末）已知函数． （1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值． 94．（23-24高一下·吉林省白山市·期末）如图，已知△ABC与△ADC关于直线AC对称，把△ADC绕点A逆时针旋转，得到△AFE，若B，C，E，F四点共线，且，. (1)求BC； (2)求△ADE的面积. 95．（23-24高一下·吉林地区普通高中友好学校联合体·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求A； (2)若a=2，的面积为，求b，c的值. 96．（23-24高一下·吉林省“BEST合作体”·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，． (1)求角A； (2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围， 97．（23-24高一下·吉林省长春市十一高中·期末）为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆上. 记. (1)为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于 km2，则应设计在什么范围内? (2)若BC = AD， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值. 98．（23-24高一下·吉林省通化市梅河口市第五中学·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积． 99．（23-24高一下·吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学·期末）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长． 100．（23-24高一下·吉林省部分名校·期末）在中，角的对边分别是，已知，且. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 101．（23-24高一下·吉林省“三区九校”·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 102．（23-24高一下·吉林省吉林八校·期末）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 103．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 104．（23-24高一下·吉林省长春市东北师范大学附属中学·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，，求A； (2)若，求周长的最大值． 105．（23-24高一下·吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 106．（23-24高一下·吉林省吉林市普通高中·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. (1)求角A； (2)若，且的周长为9，求； (3)若的面积为，求的角平分线的取值范围. 107．（23-24高一下·吉林省普通高中G6教考联盟·期末）已知在中，满足（其中分别是角的对边）. (1)求角的大小； (2)若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 108．（23-24高一下·吉林省通化市三校联考·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)已知是边上的两个动点（不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值； ②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 109．（23-24高一下·吉林通化市靖宇中学、东辽一中等校·期末）A是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$