专题05 统计（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·拓展模块一下册）

专题05 统计 一、集中趋势与离散程度 1．集中趋势 (1)算术平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数． (3)众数：一组数据中出现次数最多的数． 2．离散程度 (1)极差：一组数据中最大值与最小值的差 极差反映了一组数据中极端值的变化。当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。 (2)方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即 ，方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定。 (3)标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 (4)极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。 二、一元线性回归 1．求线性回归方程的一般步骤： (1)收集样本数据，设为（数据一般由题目给出）． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)把数据制成表格． (4)计算． (5)代入公式计算，公式为 (6)写出线性回归方程． 题型一、集中趋势 【例1】甲练习射击，打了5发子弹，命中环数如下:8,9,7,8,6，则甲的平均成绩为 (　　) A.8 B.7.6 C.7.5 D.7 【答案】B. 【解析】. 故答案为：B. 【例2】下列说法错误的是(　　) A．一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数 B．统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数 C．样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据 D．众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 【答案】A 【解析】用样本估计总体情况时，在一组数据中，众数、中位数和平均数可能是同一个数， 例如：数据10,11,11,11,11,11,12的众数、中位数和平均数都是11， 故选：A. 【例3】七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84，则这组分数的中位数和众数分别是（ ） A．84,85　　　 B．84,84　 　　C．85,84　　 　D．85,85 【答案】B 【解析】把七位评委打出的分数按从小到大的顺序排列为：79,84,84,84,86,87,93， 可知众数是84，中位数是84， 故选：B. 【例4】惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】平均数， 中位数，众数， 故. 故选：D. 【变式1】某校女子篮球队7名运动员的身高（单位：）分别为180，181，171，172，x，174，175，已知记录的平均身高为175，但记录中有一名运动员身高因记录不清，而用x代替，那么x的值为多少. 【答案】172 【解析】由条件可知， 解得：. 故答案为：172 【变式2】一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　) A．14,14　　　　　　　B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5 【答案】A 【解析】把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27， 则可知其众数为14，中位数为14.， 故选：A. 【变式3】已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a＞b＞c　　　 B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【答案】D 【解析】由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7， 中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18， ∴c＞b＞a， 故选：D. 【变式4】已知数据：①18，32，，14，8，12；②21，4，7，14，，11；③5，4，6，5，4，3，1，4；④，3，1，0，0，．其中平均数与中位数相等的是数据（    ） A．① B．② C．③ D．①②③④ 【答案】D 【解析】①18，32，，14，8，12；中位数是，平均数是13，两个数字相等； ②21，4，7，14，，11；计算可得中位数是9，平均数是9，两个数字相等； ③5，4，6，5，4，3，1，4；中位数是4，平均数是4，两个数字相等； ④，3，1，0，0，．中位数是0，平均数是0，两个数字相等； 综上可知，①②③④都满足条件. 故选：D. 题型二、离散程度 【例1】九班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，8，8，12，16.这组数据的极差是（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解析】九班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，8，8，12，16， 最大数是16，最小数是4，极差是：， 故选：C． 【例2】两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为4，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（　　） A．平均年龄为13岁，方差改变 B．平均年龄为15岁，方差不变 C．平均年龄为15岁，方差改变 D．平均年龄不变，方差不变 【答案】B 【解析】由题意知七年级（1）班全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了2岁， ∴今年升为九（1）班的学生的平均年龄增加2岁，即15岁， 又∵学生的年龄波动幅度没有变化， ∴今年升为九（1）班的学生年龄的方差不变，仍然为4， 故选：B． 【例3】已知样本数据的平均数为4，则该样本的标准差是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为2,4,6,的平均数为4， 所以，解得， 所以该样本的标准差： ； 故选：B. 【例4】甲、乙二人在最近几次模拟考试中,数学成绩如下: 甲:86,90,85,87,88 乙:96,80,83,85,86 则两人的成绩比较稳定的是 (　　) A.甲比乙稳定 B.乙比甲稳定 C.甲、乙稳定程度相同 D.无法进行比较 【答案】. 【解析】由题意，，， ， ， 因为 ，所以甲比乙稳定； 故答案为：A. 【变式1】某组数据的方差，则该组数据的总和是（　　） A．24 B．4 C．6 D．16 【答案】A 【解析】∵， ∴共有6个数据，这6个数据的平均数为4， 则该组数据的总和为：， 故选：A． 【变式2】甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为: 甲：0  1  0  2  2  0  3  1  2  4 乙：2  3  1  1  0  2  1  1  0  1 分别计算这两组数据的平均数和标准差，并说明哪台机床的性能更好？ 【答案】答案见解析 【解析】解：甲的平均数为， 方差为， 故标准差为， 乙的平均数为， 方差为， 故标准差为， 因为，乙机器平均每天生产的次品数比甲的少，且机床性能更稳定， 故乙机床性能更好. 【变式3】在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是8，下列说法正确的是（　　） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【答案】B 【解答】∵甲、乙两位同学的平均分都是90分，乙的成绩方差＜甲成绩的方差， ∴乙的成绩比甲的成绩稳定， 故选：B． 【变式4】某灯泡厂3月份生产的一大批灯泡中,随机抽取6只,试验其中每只灯泡亮了多少小时后烧坏了,这叫做该灯泡的寿命,试验数据(单位:小时)如下:1023,1078,998,1086,1069,1135. （1）你能估计这批灯泡的寿命的平均值吗? （2）试估计灯泡厂3月份生产的灯泡的寿命的方差和标准差. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）. 所以这批灯泡的寿命的平均值为1065小时； （2）方差为. 标准差为. 题型三、一元线性回归 【例1】下列变量间可能用直线拟合的是（    ） A．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B．某正方形的边长与此正方形的面积 C．举重运动员所能举起的最大重量与他的肺活量 D．某人的身高与视力 【答案】A 【解析】对于选项A，光照时间与大棚内蔬菜的产量中的两个变量之间均存在某种关系，若存在线性关系就 可用直线拟合，故A正确； 对于选项B，某正方形的边长与此正方形的面积这两个变量之间是确定的函数关系，不能用直线拟合，故B错误； 对于选项C，举重运动员所能举起的最大重量与他的肺活量中的两个变量之间均存在某种关系，若存在线性关系就不能用直线拟合，故C错误； 对于选项D，某人的身高与视力这两个变量之间无任何关系，不能用直线拟合，故D错误． 故选：A. 【例2】有一个回归方程为，则变量增加一个单位时（    ） A．平均增加1.5个单位 B．平均增加2个单位 C．平均减少1.5个单位 D．平均减少2个单位 【答案】C 【解析】因为直线回归方程为：①， 当变量增加一个单位时②， 由②①可得：， 所以变量增加一个单位时平均减少1.5个单位， 故选：C. 【例3】已知取表中的数值，若具有线性相关关系，线性回归方程为，则＝（    ） 0 1 3 4 a 4.3 4.8 6.7 A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】A 【解析】由题意可知：，， 所以样本中心为， 代入回归方程有：， 解得. 故选：. 【例4】假如女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为．已知父亲身高为175cm，请估计女儿的身高． 【答案】cm 【解析】解：因为经验回归方程为， 所以令，得. 【变式1】下面的变量之间可用直线拟合的是（    ） A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．身高与体重 D．实心铁块的大小与质量 【答案】C 【解析】出租车费与行驶的里程是确定的函数关系，故A错误； 房屋面积与房屋价格是确定的函数关系，故B错误； 人的身高会影响体重，但不是唯一因素，可用直线拟合，故C正确； 实心铁块的大小与质量是确定的函数关系，故D错误. 故选：C． 【变式2】若某销售人员的提成y（元）关于销售业绩x（千元）的经验回归方程为，则下列判断正确的是（    ）. A．销售业绩为1000元时，提成一定是130元 B．销售业绩每提高1000元，则提成约提高80元 C．销售业绩每提高1000元，则提成约提高130元 D．当提成为120元时，销售业绩约为2000元 【答案】B 【解析】由经验回归方程，可知销售业绩每提高1000元，则提成约提高80元． 故选：B． 【变式3】某种产品的广告支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的关系如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 若已知关于的经验回归方程为，那么当广告支出为6万元时，随机误差的效应（残差）为（    ）万元（残差=观测值-预测值） A．17.5 B． C．24.5 D． 【答案】B 【解析】取，得， 所以，当广告支出为6万元时，随机误差的效应（残差）为（万元）． 故选：B. 【变式4】调查某市出租车使用年限和该年支出维修费用（万元），得到数据如下： 使用年限 维修费用 则线性回归方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设回归直线方程为，由表格中的数据可得，， 由最小二乘法公式可得， ， 因此，回归直线方程为. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 统计 一、集中趋势与离散程度 1．集中趋势 (1)算术平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数． (3)众数：一组数据中出现次数最多的数． 2．离散程度 (1)极差：一组数据中最大值与最小值的差 极差反映了一组数据中极端值的变化。当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。 (2)方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即 ，方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定。 (3)标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 (4)极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。 二、一元线性回归 1．求线性回归方程的一般步骤： (1)收集样本数据，设为（数据一般由题目给出）． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)把数据制成表格． (4)计算． (5)代入公式计算，公式为 (6)写出线性回归方程． 题型一、集中趋势 【例1】甲练习射击，打了5发子弹，命中环数如下:8,9,7,8,6，则甲的平均成绩为 (　　) A.8 B.7.6 C.7.5 D.7 【例2】下列说法错误的是(　　) A．一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数 B．统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数 C．样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据 D．众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 【例3】七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84，则这组分数的中位数和众数分别是（ ） A．84,85　　　 B．84,84　 　　C．85,84　　 　D．85,85 【例4】惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】某校女子篮球队7名运动员的身高（单位：）分别为180，181，171，172，x，174，175，已知记录的平均身高为175，但记录中有一名运动员身高因记录不清，而用x代替，那么x的值为多少. 【变式2】一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　) A．14,14　　　　　　　B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5 【变式3】已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a＞b＞c　　　 B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【变式4】已知数据：①18，32，，14，8，12；②21，4，7，14，，11；③5，4，6，5，4，3，1，4；④，3，1，0，0，．其中平均数与中位数相等的是数据（    ） A．① B．② C．③ D．①②③④ 题型二、离散程度 【例1】九班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，8，8，12，16.这组数据的极差是（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【例2】两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为4，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（　　） A．平均年龄为13岁，方差改变 B．平均年龄为15岁，方差不变 C．平均年龄为15岁，方差改变 D．平均年龄不变，方差不变 【例3】已知样本数据的平均数为4，则该样本的标准差是（    ） A． B． C．2 D． 【例4】甲、乙二人在最近几次模拟考试中,数学成绩如下: 甲:86,90,85,87,88 乙:96,80,83,85,86 则两人的成绩比较稳定的是 (　　) A.甲比乙稳定 B.乙比甲稳定 C.甲、乙稳定程度相同 D.无法进行比较 【变式1】某组数据的方差，则该组数据的总和是（　　） A．24 B．4 C．6 D．16 【变式2】甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为: 甲：0  1  0  2  2  0  3  1  2  4 乙：2  3  1  1  0  2  1  1  0  1 分别计算这两组数据的平均数和标准差，并说明哪台机床的性能更好？ 【变式3】在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是8，下列说法正确的是（　　） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【变式4】某灯泡厂3月份生产的一大批灯泡中,随机抽取6只,试验其中每只灯泡亮了多少小时后烧坏了,这叫做该灯泡的寿命,试验数据(单位:小时)如下:1023,1078,998,1086,1069,1135. （1）你能估计这批灯泡的寿命的平均值吗? （2）试估计灯泡厂3月份生产的灯泡的寿命的方差和标准差. 题型三、一元线性回归 【例1】下列变量间可能用直线拟合的是（    ） A．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B．某正方形的边长与此正方形的面积 C．举重运动员所能举起的最大重量与他的肺活量 D．某人的身高与视力 【例2】有一个回归方程为，则变量增加一个单位时（    ） A．平均增加1.5个单位 B．平均增加2个单位 C．平均减少1.5个单位 D．平均减少2个单位 【例3】已知取表中的数值，若具有线性相关关系，线性回归方程为，则＝（    ） 0 1 3 4 a 4.3 4.8 6.7 A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【例4】假如女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为．已知父亲身高为175cm，请估计女儿的身高． 【变式1】下面的变量之间可用直线拟合的是（    ） A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．身高与体重 D．实心铁块的大小与质量 【变式2】若某销售人员的提成y（元）关于销售业绩x（千元）的经验回归方程为，则下列判断正确的是（    ）. A．销售业绩为1000元时，提成一定是130元 B．销售业绩每提高1000元，则提成约提高80元 C．销售业绩每提高1000元，则提成约提高130元 D．当提成为120元时，销售业绩约为2000元 【变式3】某种产品的广告支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的关系如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 若已知关于的经验回归方程为，那么当广告支出为6万元时，随机误差的效应（残差）为（    ）万元（残差=观测值-预测值） A．17.5 B． C．24.5 D． 【变式4】调查某市出租车使用年限和该年支出维修费用（万元），得到数据如下： 使用年限 维修费用 则线性回归方程是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$