高二数学期末模拟卷（北师大版2019选修一计数原理、概率统计+选修二全部：数列、导数）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1 2 3 4 5 6 > 8 D D C C B A A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.11 号 14.（-0,-刂 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】（1)由题可知元=写12+12.5+13+13.5+14)=13， -2分 刀=14+13+11+9+8)=11： -4分 (2)因为∑(-=(12-132+12.5-132+13-13到2+13.5-132+14-132=25,6分 2-可2=4-1+13-12+1-12+9-2+8-12-=26，- -8分 2x-y-列 8 故r ≈-0.992. -②-列 √65 -11分 因为y与x的相关系数r的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1， -12分 说明？与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x之间的关系 -13分 16.(15分) 【详解】(1){b}是等比数列，理由如下： 1/5 高学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因为a1=3an+2n-l,n∈N”，故a1+n+1=3(an+n川，-- 2分 又bn=an+n,故b1=3bn,-- -4分 因为a,=2,所以b=3≠0，故{b,}是以3为首项，3为公比的等比数列. -6分 (2)由(1)可知b.=3”,所以a。=3”-n, 8分 所以c,=(-3-=(-3)”+n(-1， -10分 所以7=[-3+-3++-3到门]+1+-2+3+(4+…+(2n--2n]- --13分 3 -15分 1-(-3) 4 17.(15分) 【详解】(1)因为(x2+x+1)2-x+2x3+3x2+2x+1, 所以D=1,D,=2,D=3,D=2,D=1；- -3分 (2)因为1+x+x2)°=1， 1+x+x2=1+x+x2, 1+x+x2=1+2x+3x2+2x2+x, 1+x+x2=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x5, (1+x+x2)=1+4x+10x2+16x2+19r+16r5+10r+4x2+x, -6分 所以三项式的n(0≤n≤4，neN)次系数的数阵表如下： 1 111 12321 -8分 1367631 14101619161041 (3)0+x+x2)2016.(x-1026 =(D+D+D+D+D0+D0)x (C9o6x206-C016x205+C3a16x204-C306x203+…+(-1）yCo16x206-r+…-C8i8x+C38i,-----l0分 其中x6系数为D3oCo6-DmCo6+DnmC6-DmC3oI6++D8c8I -11分 2/5 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又(0+x+x2)2016,(x-1）2016=(x3-1)2016-- -12分 而二项式(x3-1)016的通项T,1=(←)rC0(x)6-(0≤r≤2016且reN), 由3×2016-r)=2016,解得r=1344, 13分 所以x6系数为C=Ci。, 由代数式恒成立， 所以DaC316-DC6+Da.C6-D3aC36+…+D8C8I=C=C0i6 -15分 18.(17分) 【i详解】（Df)=ae-e-a-)=ac-a-e-l_(oc+e'- -1分 e e 因为函数f(x)的图象在点(L,f()处的切线与直线x-I=0垂直， 所以f'0=ac+1c-》=0,解得a=- -3分 (2)当a≥0时，令'(x)=0,得x=0,当x<0时，f'(x)<0,(x)在(-o,0)单调递减，x>0时， f'(x)>0,f(x)在(0，+o)单调递增：- 5分 当0时，令f)=0,得5=0,6=n》】 当-1<a<0时，合1，（日}0， 6分 所以当r<0,或>n时，<0，f在(x,0, } 单调递减， 当<时.w0.a(别 单调递增： -8分 当a=-1时，f(x)≤0恒成立，所以f(x)在(-o,+0)单调递减： (0,+0)单调递减， --10分 单调递增： -11分 综上所述，a≥0时，∫(x)在(-∞，0)单调递减，在(0，+)单调递增： 3/5 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当-1<a<0时，f(x)在(-o,0), 》单流在an》 调递增： 当a=-1时，f(x)在(-o,+o)单调递减： 当-1，在((》 @树时道诚，车n(一日》0 单调递增， ---12分 (3)由(2)可知，当a=-1时，(x)在(-0，+0)单调递减， 令g(x)=-e'+e'+2x,g(-x)=-e+e-2x=-(e-e+2x=-g(x),-----l3分 ·g(x)是奇函数，则f(x)的对称中心为(0,1)， -14分 :f(m+1)+f(m-2)>2恒成立， .f(m+I)>2-f(m-2),即f(m+1)>f(-m+2), -16分 “m+1<-m+2,则m< ---17分 19.(17分) 【详解】(1)记事件“A=掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“A=掷两颗散子所得的点数之和小于10”， 易得A利=242出名A冈-名放R=P叫同-名 -2分 36 6 1 5分 6 (3) 1 -8分 (3)由(2)有6P.=5P+P-1,即6P+P=6P-1+P-3,(n≥3，n∈N) 所以6P+P=6P+P,=…=6R+R=6,即P=-P+1,- -10分 6 设+1=-名+小，解得2=号月-号00 -11分 6 所以P-号引为等比数列，公比为名的等比数列， 所以(”所以-(+乡 --13分 当n为解数时，只-+-号得>号由于以单调造减， 14分 4/5 学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6, 由于{P}单调递增， -16分 综上，P的鼓大输为器鼓小怕为 17分 6 5/5 ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第五章-第七章和选择性必修第二册全册 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．2 D．4 3．在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 4．反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（    ）（附：若随机变量服从正态分布，则） A．200 B．400 C．800 D．1000 5．已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 6．已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 8．我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（    ） A．设为随机变量，为常数，则， B．若，则与试验次数无关 C．若中，则， D．两点分布中，时，方差最大 10．已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 11．记为数列的前项和，已知则（    ） A．2025是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在某文化节活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，2，3，4，5，；为第i次入口人流量数据（单位：百人），由此得到y关于i的回归方程．已知，根据回归方程（参考数据：），可预测下午4点时入口游客的人流量为 . 13．已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ． 14．已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值. (2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：，. 参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强. 16．（15分）数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 17．（15分）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 18．（17分）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 19．（17分）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第5章-第七章和选择性必修第二册全册 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，，所以； . 故选：D 2．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】因为中常数项为1，项的系数为， 所以的展开式中，的系数为， 故选：D 3．在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又，所以，解得. 故选：C 4．反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（    ）（附：若随机变量服从正态分布，则） A．200 B．400 C．800 D．1000 【答案】C 【详解】由， 而，则，所以. 故选：C 5．已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【答案】B 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 6．已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 令，则， 故在单调递增， 又，所以， 即， 所以，A选项正确， 另外，，由于与0的大小关系不确定， 故C，D无法判断. 故选：A. 7．河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 【答案】A. 【详解】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配的选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. 8．我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 【答案】A 【详解】由题意可知数列的前4项为1，3，6，10，即，，，， 因为，所以，， 所以等差数列的公差为， 所以， 所以， 所以，，，， 所以上面个式子相加得 ， 所以， 所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（    ） A．设为随机变量，为常数，则， B．若，则与试验次数无关 C．若中，则， D．两点分布中，时，方差最大 【答案】ABD 【详解】对于A，由均值与方差的性质可知：，，A正确； 对于B，，，， ，与无关，B正确； 对于C，，，，C错误； 对于D，若服从于两点分布，则方差， 当时，取得最大值，D正确. 故选：ABD. 10．已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 【答案】BC 【详解】由题意可得， 因，则，故A不正确； 由得或，由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，故B正确，C正确， ，则函数在上的最小值为，故D不正确． 故选：BC. 11．记为数列的前项和，已知则（    ） A．2025是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 【答案】ACD 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C正确； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在某文化节活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，2，3，4，5，；为第i次入口人流量数据（单位：百人），由此得到y关于i的回归方程．已知，根据回归方程（参考数据：），可预测下午4点时入口游客的人流量为 . 【答案】11 【详解】由题意得， 把代入，得，解得， 则，当时，． 故答案为：11 13．已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】令的公差为，成等比数列， ，，，． ， 当且仅当，即时取等号． 故答案为： 14．已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为关于的不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以，即的取值范围是. (令，则，，所以在上存在零点). 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值. (2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：，. 参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强. 【详解】（1）由题可知，------------------------------------------------2分 ；---------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）因为，-----------6分 ，----------------------------------8分 故；------------------------------------------------------------11分 因为与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近，-------------------------------12分 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系.----------------------13分 16．（15分）数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 【详解】（1）是等比数列，理由如下： 因为，故，----------------------------------------------2分 又，故，----------------------------------------------------------------------------------4分 因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列．------------------------6分 （2）由（1）可知，所以，-------------------------------------------------------------8分 所以，------------------------------------------------------------10分 所以-----------------13分 ．----------------------------------------------------------------------15分 17．（15分）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【详解】（1）因为， 所以，，，，；-----------------------------------------------------------------3分 （2）因为， ， ， ， ，-----------------------------------------------6分 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： -----------------------------------------------------------------------------8分 （3） ，-------------------10分 其中系数为，-------------------------------11分 又---------------------------------------------------------------------------------12分 而二项式的通项（且）， 由，解得，-------------------------------------------------------------------------------13分 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以-------------------------------15分 18．（17分）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【详解】（1），---------------------------1分 因为函数的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，解得．----------------------------------------------------------------------3分 （2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增；-------------------------------------------------------------------------------------------5分 当时，令，得，， 当时，，，--------------------------------------------------------------------------6分 所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增；--------------------------------------8分 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，，，所以当，或时，，在，单调递减，---------------------------------------------------------------------------------------------------10分 当时，，在单调递增；----------------------------------11分 综上所述，时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增．------------------12分 （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 令，，--------------------------13分 是奇函数，则的对称中心为，---------------------------------------------------------------14分 恒成立， ，即，-----------------------------------------------------------16分 ，则．----------------------------------------------------------------------------------------17分 19．（17分）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【详解】（1）记事件“掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“掷两颗骰子所得的点数之和小于10”， 易得，，故--------------------------------------------2分 ，；------------------------------------------------------------5分 （2）；-----------------------------------------------------------------------------------------8分 （3）由（2）有，即，（，） 所以，即，----------------------------------10分 设，解得，.--------------------------------------------11分 所以为等比数列，公比为的等比数列， 所以，所以， -------------------------------------13分 当n为偶数时，，由于单调递减， ∵，∴最大值为；--------------------------------------------------------------14分 当n为奇数时，，由于单调递增， ∵，∴最小值为；--------------------------------------------------------------------16分 综上，的最大值为，最小值为.-----------------------------------------------------------------------17分 ( 2 / 12 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第五章-第七章和选择性必修第二册全册 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．2 D．4 3．在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 4．反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（    ）（附：若随机变量服从正态分布，则） A．200 B．400 C．800 D．1000 5．已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 6．已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 8．我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（    ） A．设为随机变量，为常数，则， B．若，则与试验次数无关 C．若中，则， D．两点分布中，时，方差最大 10．已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 11．记为数列的前项和，已知则（    ） A．2025是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在某文化节活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，2，3，4，5，；为第i次入口人流量数据（单位：百人），由此得到y关于i的回归方程．已知，根据回归方程（参考数据：），可预测下午4点时入口游客的人流量为 . 13．已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ． 14．已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值. (2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：，. 参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强. 16．（15分）数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 17．（15分）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 18．（17分）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 19．（17分）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. ( 1 / 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$