第二章导数及其应用章末综合检测（基础）-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章《导数及其应用》章末综合检测（基础） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C A A B A C ACD ABC BC 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 因为，所以，所以， 所以曲线在处的切线的斜率为，所以其倾斜角为. 2. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是减函数 B. 在上是增函数 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值 【解析】D 由图象知，时，，所以在上是增函数，故A错误； 在时，符号有变化，所以在上不单调，故B错误； 在两侧，导数的符号都为正，故不是极值点，故C错误； 因为时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故D正确. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【解析】C根据题意，. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 因为，所以， 所以由可得， 所以函数的单调递增区间为. 5. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】A 令，可得， 令，则直线与函数的图象有三个交点， ，令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数图象有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 6. 已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或2 【解析】B 求导得，则， 解得：或， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极小值， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极大值，故舍去. 7. 曲线与曲线在处的切线平行，则的增区间为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 易知，， 因为曲线与曲线在处的切线平行， 所以，即，解得， 此时， 令解得，或， 则的增区间为，. 8. 若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】A 根据题意可得， 存在实数，对于任意，恒成立， 即在上恒成立， 设，则； 当，恒成立，所以在单调递减， 即，即即可. 所以的取值范围是. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算中错误的是（ ）． A. B. C. D. 【解析】ACD 对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误． 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【解析】ABC 对于A选项，， 则， 当时，恒有，是凸函数； 对于B选项，， 则，当上，恒有，是凸函数； 对于C选项，若， 则在上恒成立，是凸函数； 对于D选项，若， 则，则在上恒成立， 故不是凸函数. 11. 在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的图象如图所示，已知这两个函数图象恰有一个公共点，则（ ） A. 不可能函数 B. 函数不存在递减区间 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 【解析】BC 由图知，函数与导函数的图象均在轴上方，故，， 为增函数，故实线是函数的图象，虚线是的图象， 对求导得，所以是增函数， ，且， 时，，得， 时，，得， 函数可以是，故A错误，B正确； 对于C，求导得， 当时，为增函数，时，为减函数， 函数的最大值为，故C正确； 对于D，求导得， 所以在上为增函数，函数无最小值，故D错误. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线的一条切线斜率为0，则该切线的切点坐标为________． 【解析】求导得，由曲线的一条切线斜率为0，则， 又当时，， 故该切线的切点坐标为. 13. 如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为__________cm时，这个纸盒的容积最大. 【解析】设剪下的小正方形的边长为， 由题知纸盒的容积为， 则，令，得到（舍）或， 所以当时，，当时，， 则的增区间为，减区间为 所以在处取到最大值，最大值为. 14. 已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 【解析】因时，，函数图象的对称轴为， 当时，函数在时取得极大值， 又因时，，且， 由函数的性质，可知要使还有一个极值，那就是， 所以必须使， 则由，可得. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【解析】（1）函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线的方程； （2）求函数的极值. 【解析】（1）函数定义域为R， 且 ， ∵曲线在点处的切线斜率， 又，则切点为， ∴所求切线方程为即. （2）∵又， 由得或， 当和时，，此时为减函数； 当时，，此时为增函数， 由的单调性知函数的极小值为，极大值为. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 【解析】（1）因为，所以，得， 由，得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，化简得. （2）若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 所以“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 18. 已知函数. （1）若函数单调递减，求实数a的取值范围； （2）若函数只有一个极值点，求实数a的取值范围. 【解析】（1）根据题意，，， 则， 解得， 当时，，成立， 所以a的取值范围为. （2）依题意，， 则只有一个变号零点， 显然不是的零点， 所以有一个变号交点， 令， 所以函数在和分别单调递减， 在上单调递增， 如右图象所示，可得：， 所以. 19. 材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利提山来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？后来用瑞士数学家欧拉给出了解答：记n封信都装错的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，即，其中. 材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：若在处阶可导，则有，其中表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式. 阅读以上材料后请完成以下问题： （1）求出的值； （2）写出函数麦克劳林公式，并用e和n估计； （3）求证：.其中. 【解析】（1）， . （2）由麦克劳林公式，令，有 在中，取，可得. （3）由麦克劳林公式， 当时，令，有猜想 令，有 猜想. 令 ，由，所以，即 令 ，由，再令则恒成立，所以在上为增函数，且 所以在上为增函数，且即, 又时，,,所以 ， 令，，有，即， 所以 命题得证. ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《导数及其应用》章末综合检测（基础） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是减函数 B. 在上是增函数 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或2 7. 曲线与曲线在处的切线平行，则的增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算中错误的是（ ）． A. B. C. D. 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的图象如图所示，已知这两个函数图象恰有一个公共点，则（ ） A. 不可能函数 B. 函数不存在递减区间 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线的一条切线斜率为0，则该切线的切点坐标为________． 13. 如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为__________cm时，这个纸盒的容积最大. 14. 已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线的方程； （2）求函数的极值. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 18. 已知函数. （1）若函数单调递减，求实数a的取值范围； （2）若函数只有一个极值点，求实数a的取值范围. 19. 材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利提山来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？后来用瑞士数学家欧拉给出了解答：记n封信都装错的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，即，其中. 材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：若在处阶可导，则有，其中表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式. 阅读以上材料后请完成以下问题： （1）求出的值； （2）写出函数麦克劳林公式，并用e和n估计； （3）求证：.其中. ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$