专题03 计数原理（14种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题03 计数原理 题型概览 题型01分步乘法计数原理及简单应用 题型02排列数的计算 题型03组合数的计算 题型04组合数的性质及应用 题型05二项展开式的应用 题型06求指定项的二项式系数 题型07二项式系数的增减性和最值 题型08求指定项的系数 题型09求有理项或其系数 题型10由项的系数确定参数 题型11二项展开式各项的系数和 题型12求系数最大（小）的项 题型13奇次项与偶次项的系数和 题型14两个二项式乘积展开式的系数问题 ( 题型01 ) 分步乘法计数原理及简单应用 1．（20-21高二下·浙江·期末）2021年3月，学校组建了五个精品社团：摄影社，朗诵社，编导社，播音社和舞蹈社，采取校外专业老师授课，校内专职老师管理模式，深受广大同学欢迎．报名当天，邟正直、周俭朴，司尚礼，钟扬善四个同学去填报名表，考虑到时间冲突，决定每人只报一项，请问收上的报名表有多少可能（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布乘法计数原理直接计算可得结果. 【详解】每个同学报名时都有种选择，则报名表共有种可能. 故选：C. 2．（21-22高二下·浙江金华·期末）袋中装有7个互不相同的小球，白球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流揽取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数有 ． 【答案】28 【分析】列出乙取到白球且红球已经被取出所包含的基本事件，再求每一个基本事件发生的数量，最后求和即可. 【详解】解：由题意可得满足条件的基本事件有：A=（红，白），B=（红，黑，黑，白），C=（黑，黑，红，白），D=（黑，红，黑，白）. 事件A有；事件B有；事件C有；事件D有. 所以共有4+8+8+8=28种取法. 故答案为：28 ( 题型0 2 ) 排列数的计算 1.（22-23高二下·浙江·期中）已知，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用排列数公式计算作答. 【详解】因为，而，即有，于是， 所以n的值为5. 故选：C 2.（20-21高二下·浙江·期末）若复数，则 ；若，则的值为 ． 【答案】 5 【分析】根据复数的除法计算，由排列数公式求. 【详解】由， ，解得或（舍去）， 故答案为：；5 ( 题型0 3 ) 组合数的计算 1.（20-21高二上·浙江宁波·期末）若，则整数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由排列数和组合数公式计算即可得到结果. 【详解】，， 整理可得：，解得：或或， ，. 故选：A. 2.（23-24高二下·浙江·期中） （用数字表示）． 【答案】20 【分析】根据组合数的计算公式计算即可. 【详解】解：由题可知： ， 故答案为：20. ( 题型0 4 ) 组合数的性质及应用 1．（多选）（22-23高二下·浙江台州·期末）满足方程的的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】根据组合数的性质计算即可求解. 【详解】因为，由组合数的性质可知，或， 所以或， 故选：BC. 2.（24-25高二下·浙江台州·期中）计算：（用数字作答） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用排列数，组合数和阶乘的定义计算即可； （2）利用组合数的定义直接计算或者是利用组合数的性质计算即可. 【详解】（1）原式. （2）法一（直接计算）：原式 法二（组合数的性质）：原式 ( 题型0 5 ) 二项展开式的应用 1.（多选）（23-24高二下·浙江·期中）下列等式正确的是（    ） A． B．若则 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据排列数的运算性质判断A；根据组合数的性质即可判断B；根据组合数的运算性质可得，即可判断C；根据的展开式和计算即可判断D. 【详解】A：，故A正确； B：由组合数的性质知，若，则或，故B错误； C： ， 又，所以，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD 2.（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若的展开式中存在常数项，请写出一个满足条件的n的值 . 【答案】6（答案不唯一） 【分析】写出二项式展开式的通项公式，得到，又，2，，写出一个满足要求的解即可 【详解】展开式的通项为， 因为存在常数项， 故有解，则，又，2，， 不妨令，则. 故答案为：6（答案不唯一） ( 题型0 6 ) 求指定项的二项式系数 1．（20-21高三上·浙江金华·期末）的展开式中常数项是（    ） A．60 B．120 C．160 D．960 【答案】C 【分析】先写出展开式中的通项公式，再令x指数为0，解出r，最后带入计算即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，则， 故常数项为第4项且为， 故选：C. 2.（23-24高三上·浙江·期中）展开式中常数项为 .（用数字作答） 【答案】54 【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果. 【详解】展开式的通项为， 令，得，所以展开始得常数项为. 故答案为：. ( 题型0 7 ) 二项式系数的增减性和最值 1.（24-25高二下·浙江杭州·期中）在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B．160 C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】二项式的展开式中，二项式系数最大的项为第四项， 是. 故选：B. 2.（22-23高二下·浙江舟山·期末）二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数的特征求出，求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于6，求得的值，可得答案． 【详解】因为二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式中共有项，， 故展开式的通项为， 令，解得，故展开式中含的项是. 故答案为： ( 题型 8 ) 求指定项的系数 1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二项式展开式项的系数特征列不等式求解. 【详解】由的展开式中唯有第5项的系数最大， 得，而，解得，即， 所以t的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出展开式的通项公式，令的指数为，进而即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令解得， 所以展开式中的系数为， 故选：D 3．（24-25高三上·浙江宁波·期末）在的展开式中，含的项的系数为 （用数字作答）. 【答案】80 【分析】根据二项式定理，展开式的通项，令可得，进而可得含项的系数是. 【详解】解：由， 由，可得， 故在的展开式中，含项的系数是， 故答案为： 4．（23-24高二下·浙江金华·期末）若，则 . 【答案】40 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解. 【详解】因为二项式展开式的通项公式为， 令，则，所以. 故答案为： 5．（24-25高二下·浙江·期中）在二项展开式中，所有项的二项式系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由二项式系数和为可求得的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解； （2）易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，结合二项展开式通项可求出展开式中二项式系数最大的项. 【详解】（1）由题意可得，二项式系数为解得，所以该二项式为. 则通项公式为， 令，解得，所以该二项式的展开式中的的系数为. （2）因为，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大， 即，， 所以展开式中二项式系数最大的项是，. 6．（24-25高二下·浙江丽水·期中）已知二项式 (1)求展开式中所有二项式系数的和； (2)求展开式的第5项的系数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项式系数和为计算可得； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】（1）对于二项式，则展开式中所有二项式系数的和为； （2）因为二项式展开式的通项为（且）， 所以，所以展开式的第5项的系数为. ( 题型 9 ) 求有理项或其系数 1．（20-21高二下·浙江·期末）在的展开式中，常数项为 （用数字作答），有理项共有 项． 【答案】 240 4 【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于0，求出的值，即可求得展开式中的常数项，令指数为整数，即得有理项. 【详解】， 令，则， 常数项为， 令为整数，则,故有理项共有4项. 故答案为：240；4. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 2．（20-21高三上·浙江湖州·期末）二项式的展开式中常数项等于 ，有理项共有 项. 【答案】 15 4 【解析】(1)根据二项式定理的通项公式求解即可. (2)根据二项式定理的通项公式分析的指数为整数的项的个数即可. 【详解】(1)根据二项式定理的通项公式. 故取常数项时.此时常数项为. (2)当取有理项时, 整数.此时.故共有4项. 故答案为：(1). 15    (2). 4 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,属于中等题型. 3．（24-25高二下·浙江·期中）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据条件可得，再利用组合数公式求得，进而利用中间项的二项式系数最大求解即可； （2）利用二项展开式的通项公式，通过的取值即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，， 即， 即，或，因为，所以． 故， 因为二项式系数最大的项为第4项和第5项， 所以所求的项分别为，． （2）是有理项，当且仅当， 因为，，所以， 故展开式中有2个有理项，分别是，． 4．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知的展开式 (1)求展开式中所有项的系数和; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 【答案】(1)2187 (2) (3) 【分析】（1）赋值法求出系数和； （2）二项式系数最大的项求解即可； （3）先求出有理项的个数，再应用古典概型与插空法即可得解. 【详解】（1）令可得展开式中所有项的系数和. （2）二项式系数最大的项为第4项或第5项 二项式系数最大的项为 （3）展开式共有8项， 展开式的通项公式为 当为整数，即时为有理项，共4项， 由插空法得有理项不相邻的概率为. ( 题型 10 ) 由项的系数确定参数 1.（22-23高三上·浙江宁波·期末）若二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第6项与第7项的系数相等列出方程，求出，进而得到二项式系数最大项为，计算出答案. 【详解】，所以，所以，即， 所以，所以二项式系数最大项为. 故选：B. 2．（21-22高三上·浙江·期末）已知二项式的展开式中，第4项的系数为-32，则n= ，常数项为 . 【答案】 4； 24. 【分析】根据二项式展开式的通项公式写出第4项，即可求出n，进而可求出常数项. 【详解】由二项式展开式的通项公式， 得二项式的通项公式为， 所以， 则，得， 即， 所以的常数项为. 故答案为：4；24 3．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知展开式中所有项系数和为1，则实数的值为 ，的系数为 . 【答案】 【分析】令，则由题意可得，从而可求出实数的值，展开式中的系数加上1即可得展开式的系数 【详解】因为展开式中所有项系数和为1， 所以，解得， 则， 所以其展开式的的系数为， 故答案为：， 4.（21-22高二下·浙江湖州·期中）已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于． (1)求的值； (2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可. （2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值． 【详解】（1）由题设，，整理得，解得（舍）或； （2）由（1）知：二项式展开式通项为， 当时为含的项，故，解得. ( 题型 11 ) 二项展开式各项的系数和 1．（24-25高二下·浙江·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可得出的值. 【详解】因为， 令可得. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江·期中）若的展开式中第3项和第9项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（    ） A．奇数项的二项式系数和为 B．所有奇数项的系数和为 C．第6项的系数最大 D． 【答案】A 【分析】由已知可推得，利用二项式系数的性质求解可判断A；赋值令以及，即可求解判断B；根据二项式系数的性质，即可得出C项；判断各项的符号，去掉绝对值，即可求解判断D. 【详解】由，可得二项式的展开式的通项公式可得，， 由已知可得，所以， 所以由二项式的展开式可知所有二项式系数和为， 所以奇数项的二项式系数和为，故A正确； 令，可得， 令，可得， 解得，故B错误； 由通项公式可知，奇数项的系数全为正，偶数项的系数全为负， 故第6项的系数不是最大值，故C错误； 令，可得， 所以， 所以，故D错误. 故选：A. 2.（21-22高三上·浙江绍兴·期末）已知展开式各项系数和为，则 ；常数项为 . 【答案】 5； 5. 【分析】空一：利用代入法进行求解即可； 空二：利用通项公式进行求解即可. 【详解】空一：令，得； 空二：二项式的通项公式为：， 令，即常数项为：， 故答案为：5；5. 3.（20-21高二上·浙江宁波·期末）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． （1）求项数； （2）求展开式中的二项式系数最大的项； （3）求展开式中所有系数的绝对值的和． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）写出二项式展开式的通项，根据等差中项的性质列方程可得出的值； （2）根据二项式系数的对称性和单调性可得出二项式系数最大的项； （3）列出展开式中所有系数的绝对值，利用二项式定理特殊赋值求解即可. 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 因为前三项系数的绝对值成等差数列， 所以， 化简得，解得，（，舍去）． （2）由（1）知，二项式的展开项共9项，故二项式系数最大的项为第项，即 （3）展开式中所有系数的绝对值的和为， 【点睛】结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在的展开式中，若n是偶数时，中间项项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项与项的二项式系数相等且最大． ( 题型 12 ) 求系数最大（小）的项 1.（20-21高二下·浙江·期末）关于的说法，错误的是（    ） A．展开式中的二项式系数之和为2048 B．展开式各项系数和为0 C．展开式中只有第6项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 【答案】C 【分析】利用二项式系数性质可判断AC；利用赋值法可判断B；根据展开式各项系数为判断D. 【详解】可得展开式中的二项式系数之和为，故A正确； 令，可得展开式各项系数和为0，故B正确； 展开式共12项，其中中间第6、7项的二项式系数最大，故C错误; 展开式各项的系数为，可得当时，该项系数最小，故D正确. 综上，错误的选项是C. 故选：C. 2.（20-21高三上·浙江嘉兴·期末）已知的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则 ；展开式中的系数最大的项是 . 【答案】 4 【解析】分别求得二项式系数的和、各项系数的和，由此列方程组，解方程求得的值.结合二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数最大的项. 【详解】的展开式中的各二项式系数的和为.令，则各项系数的和为，依题意，.所以二项式为，其展开式的通项公式为，所以展开式中的系数为，令，得系数的取值为: ，所以展开式中的系数最大的项是. 故答案为：(1). 4    (2). 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数和、各项系数之和、系数最大的项，属于基础题. 3．（21-22高二上·浙江宁波·期末）已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46， (1)求n； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据要求列出方程，求出的值；（2）求出二项式展开式的通项，列出不等式组，求出的取值范围，从而求出，得到系数最大项. 【详解】（1）由题意得：，解得：或，因为，所以（舍去），从而 （2）二项式的展开式通项为：，则系数为，要求其最大值，则只要满足，即，解得：，因为，所以，所以系数最大项为 4．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式. (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式系数和公式先求，再利用展开式通项公式列不等式组计算即可； （2）将变形为，利用二项式定理计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则， 即，解得，所以， 展开式中系数最大的项为第6项， 即； （2）因为时， ， 记，显然能被9整除， 所以二项式的值被除的余数为. ( 题型 13 ) 奇次项与偶次项的系数和 1.（23-24高三上·浙江金华·期末）若，则（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用赋值法令、计算即可得. 【详解】令，则，即， 令，则，即， 故， 即，故. 故选：C. 2.（20-21高三上·浙江嘉兴·期末）已知.若，则 ； . 【答案】 0 【解析】求出展开式的通项，从而求得；再令和，可得答案. 【详解】因为 其中展开式的通项为，令，则，令，则，所以展开式中项为，故， 令则， 令则， 所以0， 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可. 3．（20-21高二下·浙江·期末）已知，求： （1）； （2）； 【答案】（1）-65；（2）-120. 【分析】用赋值法：对于进行合理赋值，即可求解. 【详解】对于： 令，则①； 令，则②； 令，则③； （1）②-①得：； （2）②-③得：，所以 【点睛】利用赋值法求二项展开式中系数和，通常对于， 令，则有； 令，则有； 令，则有. 4．（21-22高二下·浙江台州·期中）已知.求： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）（2）根据给定的二项式的展开式，利用赋值法计算作答. 【详解】（1）依题意，令，当时，， 当时，， 所以，. （2）由（1）知，当时，， 因此， ( 题型 14 ) 两个二项式乘积展开式的系数问题 1.（20-21高三上·浙江宁波·期末）在的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先写出展开式的通项，再讨论第一个括号选则令，第一个括号选，则令，两者相加即可求解. 【详解】展开式的通项为， 所以含的项为， 所以含的项的系数是， 故选：B. 2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，则 .（用数字作答） 【答案】85 【分析】根据二项式展开式的通项公式来求得正确答案. 【详解】因为， 要求，即求展开式中的系数， 根据二项式展开式的通项公式， 对于，其通项为， 令，则展开式中的系数为， 对于，相当于展开式中的系数乘以， 令，则展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为， 对于，相当于展开式中的系数， 令，则展开式中的系数为， 那么就是展开式中的系数， 所以， 把，，代入得：. 故答案为：85 一、单选题 1．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理展开即可. 【详解】， 所以. 故选：D 2．（20-21高二下·浙江·期末）将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球放入编号为1，2，…，7的七个盒中，每一个盒子至多放2个球，则不同的放法有（    ） A．98种 B．196种 C．252种 D．336种 【答案】D 【分析】分3个球放入三个盒子，3个球放入二个盒子，利用分类加法计数原理求解. 【详解】分两类，第一种选三个盒子每个放一个，有种， 第二种选两个盒子，其中一个放两个，一个放一个，共有种放法， 根据分类加法计数原理可知，共有种放法. 故选：D 3．（22-23高二下·浙江温州·期末）的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为（    ） A． B． C．20 D．40 【答案】A 【分析】由题意，赋值法求出a的值，再由二项式通项公式求解. 【详解】由题意，的展开式中各项系数的和为，令x=1，得a=1， 故原式， 的通项， 由，得，对应的常数项为， 由，得，对应的常数项为， 故所求的常数项为 ，选项A正确. 故选：A 4．（24-25高三上·浙江杭州·期末）甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【分析】先安排甲乙，然后安排其他人，再根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种， 其他人听不同的讲座，方法数有种， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C． D． 【答案】ACD 【分析】应用二项式展开式求常数项判断A；应用赋值法求各项系数之和判断B；代入自变量分别求出判断C、D； 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 所以的展开式中的常数项是，A对； 的展开式中的各项系数之和为，B错； 由，，即，C对； 由，D对. 故选：ACD 6．（24-25高三上·浙江宁波·期末）从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用分步乘法原理结合组合数计算即可. 【详解】从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞， 先从40个能歌善舞的人中选择15个人有种选择，再从15个人参加艺术节表演中选择7个人唱歌有种选择，剩下的8人跳舞，共有种选择方式，A选项正确； 先从40个能歌善舞的人中选择7个人唱歌有种选择，再从剩下33个人中选择8个人跳舞有种选择，共有种选择方式，B选项正确； 先从40个能歌善舞的人中选择8个人跳舞有种选择，再从剩下32个人中选择7个人跳舞有种选择，共有种选择方式，C选项正确； 不能满足从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，D选项错误； 故选：ABC. 7．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A．展开式的各二项式系数的和为0 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二项式系数和为，得出A；令，得到，令，得到，得出B；由二项式定理可得，所以，它是的展开，得到C；，， 化简即可得D. 【详解】， 展开式的各二项式系数的和为，所以A错； 令，得到，令，得到， ，所以B对； 由二项式定理可得：，， 所以，， ， ，故C对； ， ， ， ，，故D对. 故选：BCD. 三、填空题 8．（22-23高二下·浙江·期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中所有各项的系数和为 . 【答案】64 【分析】由题意可得二项式展开式有7项，从而可求出，然后令可求出展开式中所有各项的系数和. 【详解】因为在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 所以二项式展开式有7项，所以， 所以二项式为， 令，则， 所以展开式中所有各项的系数和为64， 故答案为：64 9．（23-24高二下·浙江台州·期末）的展开式中的系数是 ．（用数字作答） 【答案】40 【分析】求出展开式的通项公式，利用的幂指数确定项即可得解. 【详解】二项式展开式的通项， 因此含的项为第3项，即， 所以的系数是. 故答案为：40 10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】写出展开式第项通式即可求解. 【详解】因为展开式第项通式为， 所以当时的系数为. 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高二下·浙江·期中）已知的展开式中共有7项. (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中含的项的系数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据展开式的项数直接可得； （2）利用二项展开式的通项直接求解即可； （3）求得含有项的所有系数计算即可. 【详解】（1）由，解得； （2）由（1）知展开式的通项为， 所以二项式系数最大的项为； （3）由（2）分析可知令，得，即； 令，可得. 综上：展开式中的系数为 12．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知，求 (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，； (2)513. 【分析】（1）令求，应用二项式的展开式求系数； （2）令求出所有项系数和，结合（1），即可得. 【详解】（1）令，得，又，， 所以，有. （2）令，得， 又，所以. 13．（20-21高二上·浙江宁波·期末）4位同学报名参加2022年杭州亚运会6个不同的项目（记为，，，，，）的志愿者活动．假设每位同学恰报1个项目，且报名各项目是等可能的． （1）求4位同学报了4个不同的项目的概率； （2）求1位同学报了项目，剩余3位同学都报了项目的概率． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，排列及古典概型可得结果； （2）安排一名同学报A科目有种，根据古典概型求解. 【详解】（1）由题知，4位同学报6个项目共有种可能， 4位同学报了4个不同的项目共有种可能， 所以． （2）由题知，4位同学报6个项目共有种可能， 1位同学报项目，剩余3位同学都报项目共有种可能， 所以． 14．（24-25高二下·浙江宁波·期中）在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答. 条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50； 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等. 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式若________，求： (1)求和展开式中二项式系数最大的项； (2)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法.（有理项指所有字母的指数恰好都是整数的项） 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据题意，分别选①②③，求得，得到二项式，得到展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项，结合展开式的通项，即可求解. （2）求得展开式的通项为，得到展开式中有理项和无理项的个数分别为4项，结合组合数的公式，即可求解. 【详解】（1）解：由二项式的展开式的通项为， 若选条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于，可得， 因为，次数不存这样的，不符合题意； 若选条件②：展开式中第3项的二项式系数是，即，可得， 若选条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，可得，此时， 所以二项式，可得展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项， 即和. （2）解：由二项式的展开式的通项为， 当时，可得展开式为有理项；当时，可得展开式为无理项， 从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项， 可分为两类：一项为有理项，两项为无理项或两项为有理项，一项为无理项， 当一项为有理项，两项为无理项时，有； 当两项为有理项，一项为无理项时，有， 综上可得，共有不同取法. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 计数原理 题型概览 题型01分步乘法计数原理及简单应用 题型02排列数的计算 题型03组合数的计算 题型04组合数的性质及应用 题型05二项展开式的应用 题型06求指定项的二项式系数 题型07二项式系数的增减性和最值 题型08求指定项的系数 题型09求有理项或其系数 题型10由项的系数确定参数 题型11二项展开式各项的系数和 题型12求系数最大（小）的项 题型13奇次项与偶次项的系数和 题型14两个二项式乘积展开式的系数问题 ( 题型01 ) 分步乘法计数原理及简单应用 1．（20-21高二下·浙江·期末）2021年3月，学校组建了五个精品社团：摄影社，朗诵社，编导社，播音社和舞蹈社，采取校外专业老师授课，校内专职老师管理模式，深受广大同学欢迎．报名当天，邟正直、周俭朴，司尚礼，钟扬善四个同学去填报名表，考虑到时间冲突，决定每人只报一项，请问收上的报名表有多少可能（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·浙江金华·期末）袋中装有7个互不相同的小球，白球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流揽取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数有 ． ( 题型0 2 ) 排列数的计算 1.（22-23高二下·浙江·期中）已知，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.（20-21高二下·浙江·期末）若复数，则 ；若，则的值为 ． ( 题型0 3 ) 组合数的计算 1.（20-21高二上·浙江宁波·期末）若，则整数（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·浙江·期中） （用数字表示）． ( 题型0 4 ) 组合数的性质及应用 1．（多选）（22-23高二下·浙江台州·期末）满足方程的的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（24-25高二下·浙江台州·期中）计算：（用数字作答） (1)； (2)． ( 题型0 5 ) 二项展开式的应用 1.（多选）（23-24高二下·浙江·期中）下列等式正确的是（    ） A． B．若则 C． D． 2.（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若的展开式中存在常数项，请写出一个满足条件的n的值 . ( 题型0 6 ) 求指定项的二项式系数 1．（20-21高三上·浙江金华·期末）的展开式中常数项是（    ） A．60 B．120 C．160 D．960 2.（23-24高三上·浙江·期中）展开式中常数项为 .（用数字作答） ( 题型0 7 ) 二项式系数的增减性和最值 1.（24-25高二下·浙江杭州·期中）在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B．160 C． D． 2.（22-23高二下·浙江舟山·期末）二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是 ． ( 题型 8 ) 求指定项的系数 1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·浙江宁波·期末）在的展开式中，含的项的系数为 （用数字作答）. 4．（23-24高二下·浙江金华·期末）若，则 . 5．（24-25高二下·浙江·期中）在二项展开式中，所有项的二项式系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 6．（24-25高二下·浙江丽水·期中）已知二项式 (1)求展开式中所有二项式系数的和； (2)求展开式的第5项的系数. ( 题型 9 ) 求有理项或其系数 1．（20-21高二下·浙江·期末）在的展开式中，常数项为 （用数字作答），有理项共有 项． 2．（20-21高三上·浙江湖州·期末）二项式的展开式中常数项等于 ，有理项共有 项. 3．（24-25高二下·浙江·期中）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项． 4．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知的展开式 (1)求展开式中所有项的系数和; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. ( 题型 10 ) 由项的系数确定参数 1.（22-23高三上·浙江宁波·期末）若二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·浙江·期末）已知二项式的展开式中，第4项的系数为-32，则n= ，常数项为 . 3．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知展开式中所有项系数和为1，则实数的值为 ，的系数为 . 4.（21-22高二下·浙江湖州·期中）已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于． (1)求的值； (2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值． ( 题型 11 ) 二项展开式各项的系数和 1．（24-25高二下·浙江·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·期中）若的展开式中第3项和第9项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（    ） A．奇数项的二项式系数和为 B．所有奇数项的系数和为 C．第6项的系数最大 D． 2.（21-22高三上·浙江绍兴·期末）已知展开式各项系数和为，则 ；常数项为 . 3.（20-21高二上·浙江宁波·期末）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． （1）求项数； （2）求展开式中的二项式系数最大的项； （3）求展开式中所有系数的绝对值的和． ( 题型 12 ) 求系数最大（小）的项 1.（20-21高二下·浙江·期末）关于的说法，错误的是（    ） A．展开式中的二项式系数之和为2048 B．展开式各项系数和为0 C．展开式中只有第6项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 2.（20-21高三上·浙江嘉兴·期末）已知的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则 ；展开式中的系数最大的项是 . 3．（21-22高二上·浙江宁波·期末）已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46， (1)求n； (2)求展开式中系数最大的项． 4．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式. (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； ( 题型 13 ) 奇次项与偶次项的系数和 1.（23-24高三上·浙江金华·期末）若，则（    ） A． B．2 C．1 D．0 2.（20-21高三上·浙江嘉兴·期末）已知.若，则 ； . 3．（20-21高二下·浙江·期末）已知，求： （1）； （2）； 4．（21-22高二下·浙江台州·期中）已知.求： (1)； (2). ( 题型 14 ) 两个二项式乘积展开式的系数问题 1.（20-21高三上·浙江宁波·期末）在的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，则 .（用数字作答） 一、单选题 1．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（20-21高二下·浙江·期末）将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球放入编号为1，2，…，7的七个盒中，每一个盒子至多放2个球，则不同的放法有（    ） A．98种 B．196种 C．252种 D．336种 3．（22-23高二下·浙江温州·期末）的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为（    ） A． B． C．20 D．40 4．（24-25高三上·浙江杭州·期末）甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C． D． 6．（24-25高三上·浙江宁波·期末）从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A．展开式的各二项式系数的和为0 B． C． D． 三、填空题 8．（22-23高二下·浙江·期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中所有各项的系数和为 . 9．（23-24高二下·浙江台州·期末）的展开式中的系数是 ．（用数字作答） 10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）的展开式中的系数为 ． 四、解答题 11．（24-25高二下·浙江·期中）已知的展开式中共有7项. (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中含的项的系数. 12．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知，求 (1)求，的值； (2)求的值. 13．（20-21高二上·浙江宁波·期末）4位同学报名参加2022年杭州亚运会6个不同的项目（记为，，，，，）的志愿者活动．假设每位同学恰报1个项目，且报名各项目是等可能的． （1）求4位同学报了4个不同的项目的概率； （2）求1位同学报了项目，剩余3位同学都报了项目的概率． 14．（24-25高二下·浙江宁波·期中）在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答. 条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50； 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等. 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式若________，求： (1)求和展开式中二项式系数最大的项； (2)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法.（有理项指所有字母的指数恰好都是整数的项） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$