热点10 概率综合（八大热点+真题精炼）-2024-2025学年《高分引擎》高一数学热难点精讲与单元卷特训（人教A版2019必修第二册）

热点10 概率综合 考点一、样本空间及事件的分类 1.有限样本空间的有关概念 样本点：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用表示样本点； 样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用表示样本空间； 有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果则称样本空间为有限样本空间 2.事件的分类 事件 确定事件 必然事件 在条件下，一定会发生的事件 不可能事件 在条件下，一定不会发生的事件 随机事件 在条件下下，可能发生也可能不发生的事件 考点二、事件间的关系及运算 定义 符号表示 图示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等 A=B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 考点三、古典概型的判断 1.古典概型的特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 考点四、概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么． 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有． 考点五、独立事件 一、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 二、相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 概率 A，B同时发生 A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B) A，B中至多有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() 考点六、频率与概率 一、频率稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率P(A)． 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且. 二、频率与概率的关系 1.频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的． 2.概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将作为事件A发生的概率的近似值，即 热点一 事件类型的判断 例1．下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【详解】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 例2．（多选）对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为，则表示的试验结果为（    ） A．第次检测到正品 B．第次检测到次品 C．前次检测到正品 D．前次检测到正品 【答案】BD 【详解】由题意，得表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为， 因此前次检测到的都是正品，第次检测到的是次品， 故选:BD. 变式1-1．下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 【答案】C 【详解】对于A，标有数字4的标签可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是； 对于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是； 对于C，平行于同一条直线的两条直线互相平行，一定能发生，是必然事件，C是； 对于D，有公共点的两个圆可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是. 故选：C 变式1-2．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 变式1-3．若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【答案】D 【详解】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：D 热点二 事件的包含关系及运算 例3．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【答案】B 【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误； 故选：B. 例4．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 变式2-1．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为样本空间两次都没击中飞机，第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞机； “恰有一次击中飞机”指第一次击中、第二次没中或第一次没中、第二次击中； “至少有一次击中飞机”包含三种情况：第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞机. 所以，，， 所以，，故选项A，B，C正确，D不正确． 故选：ABC. 变式2-2．（多选）某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设为三次投篮命中次， 则，可得， 所以，，，， 故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 变式2-3．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A：1个红球和2个白球，事件B：2个红球和1个白球，事件C：至少有1个红球，事件D：既有红球又有白球，则： (1)事件D与事件A，B是什么关系？ (2)事件C与事件A是什么关系？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故． （2）对于事件C，可能的结果为1个红球和2个白球，2个红球和1个白球或3个红球，故事件C真包含事件A，． 热点三 互斥与对立事件的判断 例5．从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 【答案】D 【详解】对于A至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都是红球，A错误； 对于B至少有一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B错误； 对于C至少一个黑球和至少一个红球，当一个黑球两个红球是可以同时发生，不互斥，C错误； 对于D，恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对立，存在情况都是红球或都是黑球，D正确. 故选:D. 例6．在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 【答案】A 【详解】由题意知，3个小球中至少有2个白球包含的情况为：2白1红、3白， 所以其对立事件包含的情况为：3红、2红1白， 即至多有1个白球. 故选：A 变式3-1．从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【详解】从装口袋内一次取出2个球，按照取到白球数量分类有： 两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球都是白球. 所以①②与事件“两球都为白球”互斥而不对立， 当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥. 故选：D 变式3-2．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝， 则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}， 事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }； 事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}， 事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}， 事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝， 由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件. 故选：B 变式3-3．（多选）连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是（   ） A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“是奇数”与“”互为互斥事件 【答案】AC 【详解】连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有： ，， ，， ，，共36种； 对于A，事件“”所包含的基本事件为，，，，，，，，共8个， 所以事件“”的概率为，即A错误； 对于B，事件“是奇数”的共有18个，因此事件“是奇数”的概率为，可得B正确； 对于C，易知的所有取值为， 当时，可知事件“”与“”可以同时发生，因此C错误； 对于D，若，则，此时是偶数， 因此“是奇数”与“”不可能同时发生，互为互斥事件，可得D正确. 故选：AC 热点四 古典概型的概率计算 例7．从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】这4个数任取两个数，有，，，，，共6种情况， 两个数的和为偶数，则这两个数是奇数或是偶数，有和，共2种情况， 所以两个数之和为偶数的概率. 故选：A 例8．已知某班一共有n个学生，男生比女生多9人，采用分层抽样的方法从中抽取5名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有3人，女生有2人． (1)该班一共有多少人？ (2)从抽取的5名学生志愿者中再随机抽取2名同学承担浇灌任务．设M为事件“抽取的2名同学均为男生”，求事件M发生的概率． 【答案】(1)45 (2) 【详解】（1）因为抽取5名同学中男生和女生的比例为， 根据分层抽样的方法可知：该班中男生人数为，女生人数为                     因为男生比女生多9人，所以人，      解得人． （2）由（1）知，设抽取的3名男生分别记为A，B，C， 抽取的两名女生分别记为a，b从抽取的5名同学中抽取2名同学的所有可能结果为： 共10个．        M为事件“抽取的2名同学均为男生”，则事件M包含的基本事件有： ，共3个基本事件，                 事件M发生的概率． 变式4-1．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设红球为，白球为，黄球为， 其中任取两个球的所有样本点包含，共15个， 事件所包含的样本点为，共4个， 所以， 故A错误； 表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有，共6个，所以，故B错误； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，故C正确； 事件与是对立事件，所以，故D错误. 故选：C 变式4-2．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知，求九年级中女生比男生少的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，． （2）九年级人数为， 现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为（名）． （3）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数，男生数记为， 由（2）知，，． 满足题意的所有样本点是 ，共11个， 其中事件包含的样本点是共5个， ． 变式4-3．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. (2)①答案见解析；②不公平 【详解】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意：. 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. （2）①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同. ②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6. 根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 热点五 独立事件的判断 例9．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 例10．（多选）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（   ） A．事件相互独立 B．事件相互独立 C．事件相互独立 D．事件相互独立 【答案】BCD 【详解】，两个单位招志愿者的不同选法种数为， 因为事件所包含的基本事件为（招甲、招丙），（招乙、招甲），（招乙、招丙），共3个， 所以，因为，所以为独立事件，故A项正确； ，同理得，故B项错误； ，同理得，故C项错误； 因为为对立事件，所以，故D项错误. 故选：BCD 变式5-1．甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 变式5-2．数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 【答案】C 【详解】对于选项A：两次掷出的点数之和是6的情况可为， 由乘法公式可得所以可能情况为种，所以，故选项A错误； 对于选项B：，，，，故选项B错误； 对于选项C：，，， 所以，所以与相互独立，故选项C正确； 对于选项D：，，，故选项D错误. 故选：C. 变式5-3．（多选）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（    ） A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁 【答案】ABC 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，每次都有种不同的结果. 事件甲：第一次点数为奇数，即第一次掷出、、，共种情况，所以. 事件乙：第二次点数为偶数，即第二次掷出、、，共种情况，所以. 事件丙：两次点数相同，即、、、、、，共种情况，所以. 事件丁：两次点数之和为偶数，可分为“两次点数均为奇数”和“两次点数均为偶数”. “两次点数均为奇数”有种情况，“两次点数均为偶数”也有种情况，所以. 甲与丙：甲与丙同时发生，即第一次点数为奇数且两次点数相同，有、、， 共种情况，所以. 而，即，所以甲与丙相互独立. 乙与丙：乙与丙同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数相同，有、、，共种情况，所以. 而，即，所以乙与丙相互独立. 乙与丁：乙与丁同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数之和为偶数， 也就是第一次点数也为偶数，有种情况，所以. 而，即，所以乙与丁相互独立. 丙与丁：丙与丁同时发生，即两次点数相同且两次点数之和为偶数， 也就是两次点数均为偶数或均为奇数，有、、、、、，共种情况， 所以. 而，即，所以丙与丁不相互独立. 甲与丙、乙与丙、乙与丁相互独立. 故选：ABC. 热点六 独立事件的概率 例11．已知集合，集合，从中分别任取三个元素，两次抽取的结果互不影响，则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为从中抽取的三个元素之和不大于8，设事件为从中抽取的三个元素之和大于8， 根据题意,从集合中任取3个不同的元素，则有4种可能， 分别为: ， 其中三个元素之和不大于8有3种可能，所以， 从集合中任取三个不同的元素，则事件有10种可能， 分别为: ， 其中三个元素之和大于8有6种可能，所以， 所以， 即则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为. 故选：B 例12．已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”， 则，设， 由题意可得，即， 可得，解得， 所以该难题被攻克的概率． 故选：B． 变式6-1．盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一次抽取总共有个球，抽取任意一种颜色球的概率都不为0，不妨先抽取黑球，其概率为， 第二次抽取时，因为第一次抽取黑球后放回并放入1个黑球，此时球的总数变为个， 黑球有个，白球还是2个，红球为1个，若第二次抽取白球，其概率为， 第三次抽取时，由于第二次抽取白球后放回并放入1个白球，此时球的总数变为个， 黑球有个，白球有个，红球为1个，若第三次抽取红球，其概率为， 而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取红球只是其中一种顺序， 三次抽取不同颜色球的顺序还有：第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取红球； 第一次抽取黑球、第二次抽取红球、第三次抽取白球； 第一次抽取红球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球； 第一次抽取白球、第二次抽取红球、第三次抽取黑球； 第一次抽取红球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球这5种情况. 每种情况的概率都是，所以3次颜色均不相同的概率为. 故选：A 变式6-2．有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有两面点数为1，三面点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记第一次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件， 则， 记第二次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件， 则， 则两次掷出点数之和为奇数为事件， 所以. 故选：B. 变式6-3．三个元件正常工作的概率分别为，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接人电路，在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是 ． 【答案】 【详解】记“三个元件正常工作”分别为事件， 则， 不发生故障为事件，则不发生故障的概率为 ． 故答案为： 热点七 独立事件与互斥事件 例13．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 【答案】D 【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球， 记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，错误. 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，正确. 故选：D 例14．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 变式7-1．已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即. 故选：C. 变式7-2．（多选）设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若A和互斥，则A和一定相互独立 B．若事件，则 C．若A和相互独立，则A和一定不互斥 D．不一定成立 【答案】BC 【详解】由题意可知：， 对于选项A：若A和互斥，则， 显然，所以A和一定不相互独立，故A错误； 对于选项B：若事件，则，故B正确； 对于选项C：若A和相互独立，则， 所以A和一定不互斥，故C正确； 对于选项D：因为， 若A和互斥，则，则，故D错误； 故选：BC. 变式7-3．已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A与B互斥，令；如果A与B相互独立，令，则 . 【答案】0.4/ 【详解】∵A与B互斥， ∴, ∵A与B相互独立， ∴， ∴. 故答案为：. 热点八 用频率估计概率 例15．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 【答案】C 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 例16．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双． 【答案】 【详解】因为第，，组的频数分别为，，， 所以第，，组的频率分别为，，， 又因为第组的频率为， 所以第组的频率为， 所以售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为双， 故答案为：. 变式8-1．敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】A 【详解】从罐子中随机抽一个球, 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 所以回答问题A的人数是人 回答问题B的人数是人， 回答问题A的人中答 “是” 的人数是， 所以回答问题B的人中答 “是” 的人数是， 则估计该校该年级学生有早恋现象的概率为， 故选：A 变式8-2．某市有名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了名学生的答卷，成绩如下表： 成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分 人数 0 0 1 5 10 18 11 3 2 0 (1)求样本的平均成绩和方差； (2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？ 【答案】(1)平均成绩为6分，方差为1.6； (2)96名 【详解】（1）平均成绩为：， 方差， 故样本的平均成绩为6分，方差为1.6. （2）在50名选手中，有（名）学生预赛成绩在7分或7分以上， 所以估计300人中有（名）学生的预赛成绩在7分或7分以上， 故大约有96名学生可以进入复赛． 变式8-3．甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 【答案】(1)样本空间见解析，不是古典概型，理由见解析 (2)事件A的概率的估计值为0.9，存在差异，理由见解析 【详解】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点， 样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型. （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9. 设事件“甲第次投进”，，则 因为. 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥， 所以 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 一、单选题 1．（2025·湖南·三模）已知事件，是相互独立事件，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为事件，是相互独立事件，所以事件，也是相互独立事件， 又，，所以，， 所以. 故选：A 2．（2024·25高二下·辽宁沈阳·期中）设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设样本空间含有个样本点， 由已知可得，， 所以，. 因为事件A与事件相互独立， 所以， 即，解得． 故选：B. 3．（2025·山西临汾·三模）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得每个人在某个站下车的概率为，则恰有两人在第站下车的概率为. 故选：D. 4．（2025·辽宁·三模）甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】掷骰子一共4次，基本事件共种情况， 其中，得两分平局两人抛出的都是；共有1种； 得三分平均两人均有两种情况，两人共种， 以此类推，甲、乙平局一共有种情况， 其余甲、乙获胜机会均等，各575种情况，所以甲获胜的概率为． 故选：B 5．（2024·25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 6．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥 C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A：设样本空间为，则， 即该试验的样本空间共有36个样本点，故A正确； 对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ， 事件“两次向上的数字之和是6” ， 显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：A. 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3； 添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3； 所以添加的数大于等于3即可满足题意，即可以为； 在中任选一个作为共有6种选择， 因此所求概率. 故选：C 8．（2024·25高一上·江西南昌·期末）甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 分别表示甲两轮答对个，个题目的事件， 分别表示乙两轮答对个，个题目的事件， 则，， ，， 设“两轮活动星队答对个题目”，则， 因为且 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立， 所以， 因此，“星队”在两轮竞答中答对个题目的概率是 ， 故选：B 二、多选题 9．（2024·25高二上·山西忻州·开学考试）从一批产品（其中正品、次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是（　　） A．恰好有1件次品和恰好有两件次品； B．至少有1件次品和全是次品； C．至少有1件正品和至少有1件次品； D．至少1件次品和全是正品． 【答案】AD 【详解】从一堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全是次品”，共3种情况， 其中A互斥， B，至少一件次品，包含了全是次品这种情况，不是互斥， C，当恰好一件次品，一件正品两个事件同时发生，不是互斥， D互斥． 故选：AD． 10．（2024·25高一下·贵州遵义·阶段练习）依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（   ） A．A与C B．A与D C．B与C D．B与D 【答案】ABC 【详解】掷两个质地均匀的骰子的样本空间： ，共36个样本点， ，共18个样本点， ，共24个样本点， ，共10个样本点， ，共9个样本点， ， 对于A，，，A是； 对于B，，，D是； 对于C，，，C是； 对于D，，，D不是. 故选：ABC 11．（2024·25高二下·辽宁丹东·期中）甲、乙两人进行投篮游戏，用抽签的方式决定谁先投篮，抽到谁是等可能的.每次投篮若命中，则继续投篮；若未命中，则换对方投篮.规定两人累计共投3次球，投中次数多的一方获胜，若两人投中次数相同，再抽签决定谁投篮一次，投中为胜，未投中则对方获胜.若甲、乙每次投篮命中的概率分别为，且每次投篮相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．第2个球是甲投的概率为 B．甲只投了1次球获胜的概率为 C．甲投了3次球获胜的概率为 D．在第一次是乙投篮的条件下，甲获胜的概率为 【答案】ABD 【详解】记“抽签抽到甲”，“甲投篮命中”，“抽签抽到乙”，“乙投篮命中”. 对于A，第2个球是甲投的概率为，所以A正确； 对于B，甲只投了1次球获胜的概率为 ，所以B正确； 对于C，甲投了3次球获胜的概率为 ，故C错误； 对于D，在第一次是乙投篮的条件下， 甲获胜的概率为 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2024·25高二下·山东威海·期中）一个口袋中装有形状大小相同的6个小球，其中有红球3个，黄球2个，绿球1个，从中依次有放回的摸出3个球，则摸出同一种颜色球的概率为 . 【答案】 【详解】摸到3个球均为红色的概率为，摸到3个球均为黄色的概率为， 摸到3个球均为绿色的概率为 故摸出同一种颜色球的概率为. 故答案为：. 13．（2024·25高二下·广东清远·期中）经过多年的技术积累，我国在车床加工零件方面取得长足进步.某工厂加工的产品按技术指标从高到低可分为优品，良品，合格品和不合格品四个等级.按以往统计数据：100个零件中有40件优品，50件良品，5件合格品和5件不合格品.现该工厂向某地发货1000件产品.对方验货的规则如下：如果抽检的第一件产品是优品或良品，则接收全部产品；如果抽检的第一件产品是合格品，则再检验两件，如果都是优品或良品，则接收整批产品.其余情况拒收整批产品.若用频率代替概率，用随机抽样的方法采样，问本批产品被拒收的概率是 . 【答案】0.0595/ 【详解】依题意：优品的概率为0.4，良品的概率是0.5，合格品的概率是0.05，不合格品的概率是0.05，且每件产品的等级是独立的. 方法1：间接求，； 方法2：直接求，被拒收的情况包括： 第一种情况第一件不合格， 第二种情况第一件合格、第二件优良、第三件非优良； 第三种情况第一件合格、第二件非优良； . 故答案为：0.0595 14．（2024·25高三上·天津·阶段练习）甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为 . 【答案】0.245/ 【详解】由题意知甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”， 设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5， 则甲队前5场比赛，第一场负，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第三次场，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第四次场，另外四场全胜概率为 所以甲队以4：1获胜的概率 . 故答案为：0.245 四、解答题 15．（2024·25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）样本空间可记为 ，共包含20个样本点． 设事件“为偶数”，， 包含8个样本点，则． （2）由（1）得样本空间共包含20个样本点， 设事件“为整数”， 因为，，， 所以，包含3个样本点， 则． 16．（2025·安徽滁州·二模）从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表： 月用电量（kW·h） 用户数量 频率 20 0.3 40 0.2 由于表格受损，只能看到部分数据． (1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率； (2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， 月用电量在区间内的居民用户有户， 所以月用电量不低于的居民用户有户， 其频率为． （2）月用电量在区间，，的居民用户各有户， 按分层随机抽样从中随机抽取9户，则月用电量在区间，，的居民用户各有3，4，2户， 从这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户居民用户月用电量在区间内的概率． 17．（2024·25高二下·上海徐汇·期中）某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大． 【答案】(1)错误 (2)0.63856，小获胜概率更大 【详解】（1）小总命中率为， 小总命中率为， ，综上，小想法错误，小为校； （2）情况一：小第一次投篮就命中，其概率为； 情况二：小第一次未命中，小也未命中，然后小第二次投篮命中， 其概率为； 情况三：小第一次未命中，小也未命中，小第二次也未命中，小第二次也未命中，小第三次投篮命中， 其概率为， 则小的获胜概率为， 所以小获胜概率更大. 18．（2025·河南·二模）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小鼠随机均分为两组：对照组（不含药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小鼠的体重增加量（单位：g），并对数据进行分析，得到如下频率分布直方图： (1)估计实验组小鼠体重增加量的80%分位数； (2)将这两组小鼠的体重增加量，从低到高分为三个等级： 体重增加量/g 等级 较轻 中等 较重 假设对照组和实验组小鼠体重增加量的等级结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从实验组和对照组中各随机抓取一只小鼠，求抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的频率为，且的频率为， 所以在内，所以，所以. （2）对照组较轻的概率为，中等的概率为，较重的概率为； 实验组较轻的概率为，中等的概率为，较重的概率为； 设抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级为事件， 则. 所以抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率为. 19．（2024·25高二上·云南曲靖·期末）随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行评估，并据此制订针对性的教学方案．该校从初一、初二、初三三个年级的学生中各随机抽取6人进行模拟测试，测试结果显示初一、初二、初三年级学生成绩优秀的占比分别为，，． (1)为了解学生对英语人机测试的真实感受，从测试成绩优秀的学生中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人恰好来自两个年级的概率； (2)若某学生每次测试成绩优秀的概率为，且每次测试相互独立，互不影响，求该学生测试3次至少有2次测试成绩优秀的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知测试结果中初一，初二，初三成绩优秀的学生人数分别为1，2，4． 记这7人分别为a，B，C，d，e，f，g，从这7人选出2人的基本事件有 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个， 其中2人来自不同年级的情况有，，，，，，，，，，，，，，共14个． 记“抽取的2人恰好来自两个年级”为事件，所以． （2）记“该学生测试1次，其成绩优秀”为事件，则． 记“该学生测试3次至少有2次测试成绩优秀”为事件， 则． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点10 概率综合 考点一、样本空间及事件的分类 1.有限样本空间的有关概念 样本点：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用表示样本点； 样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用表示样本空间； 有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果则称样本空间为有限样本空间 2.事件的分类 事件 确定事件 必然事件 在条件下，一定会发生的事件 不可能事件 在条件下，一定不会发生的事件 随机事件 在条件下下，可能发生也可能不发生的事件 考点二、事件间的关系及运算 定义 符号表示 图示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等 A=B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 考点三、古典概型的判断 1.古典概型的特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 考点四、概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么． 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有． 考点五、独立事件 一、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 二、相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 概率 A，B同时发生 A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B) A，B中至多有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() 考点六、频率与概率 一、频率稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率P(A)． 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且. 二、频率与概率的关系 1.频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的． 2.概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将作为事件A发生的概率的近似值，即 热点一 事件类型的判断 例1．下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 例2．（多选）对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为，则表示的试验结果为（    ） A．第次检测到正品 B．第次检测到次品 C．前次检测到正品 D．前次检测到正品 变式1-1．下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 变式1-2．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 变式1-3．若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 热点二 事件的包含关系及运算 例3．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 例4．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（   ） A． B． C． D． 变式2-3．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A：1个红球和2个白球，事件B：2个红球和1个白球，事件C：至少有1个红球，事件D：既有红球又有白球，则： (1)事件D与事件A，B是什么关系？ (2)事件C与事件A是什么关系？ 热点三 互斥与对立事件的判断 例5．从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 例6．在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 变式3-1．从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 变式3-2．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 变式3-3．（多选）连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是（   ） A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“是奇数”与“”互为互斥事件 热点四 古典概型的概率计算 例7．从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 例8．已知某班一共有n个学生，男生比女生多9人，采用分层抽样的方法从中抽取5名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有3人，女生有2人． (1)该班一共有多少人？ (2)从抽取的5名学生志愿者中再随机抽取2名同学承担浇灌任务．设M为事件“抽取的2名同学均为男生”，求事件M发生的概率． 变式4-1．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ 变式4-3．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 热点五 独立事件的判断 例9．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 例10．（多选）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（   ） A．事件相互独立 B．事件相互独立 C．事件相互独立 D．事件相互独立 变式5-1．甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式5-2．数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 变式5-3．（多选）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（    ） A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁 热点六 独立事件的概率 例11．已知集合，集合，从中分别任取三个元素，两次抽取的结果互不影响，则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 例12．已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有两面点数为1，三面点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 变式6-3．三个元件正常工作的概率分别为，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接人电路，在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是 ． 热点七 独立事件与互斥事件 例13．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 例14．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 变式7-1．已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（多选）设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若A和互斥，则A和一定相互独立 B．若事件，则 C．若A和相互独立，则A和一定不互斥 D．不一定成立 变式7-3．已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A与B互斥，令；如果A与B相互独立，令，则 . 热点八 用频率估计概率 例15．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 例16．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双． 变式8-1．敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 变式8-2．某市有名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了名学生的答卷，成绩如下表： 成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分 人数 0 0 1 5 10 18 11 3 2 0 (1)求样本的平均成绩和方差； (2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？ 变式8-3．甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 一、单选题 1．（2025·湖南·三模）已知事件，是相互独立事件，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高二下·辽宁沈阳·期中）设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西临汾·三模）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·三模）甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 6．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥 C． D． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·25高一上·江西南昌·期末）甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·25高二上·山西忻州·开学考试）从一批产品（其中正品、次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是（　　） A．恰好有1件次品和恰好有两件次品； B．至少有1件次品和全是次品； C．至少有1件正品和至少有1件次品； D．至少1件次品和全是正品． 10．（2024·25高一下·贵州遵义·阶段练习）依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（   ） A．A与C B．A与D C．B与C D．B与D 11．（2024·25高二下·辽宁丹东·期中）甲、乙两人进行投篮游戏，用抽签的方式决定谁先投篮，抽到谁是等可能的.每次投篮若命中，则继续投篮；若未命中，则换对方投篮.规定两人累计共投3次球，投中次数多的一方获胜，若两人投中次数相同，再抽签决定谁投篮一次，投中为胜，未投中则对方获胜.若甲、乙每次投篮命中的概率分别为，且每次投篮相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．第2个球是甲投的概率为 B．甲只投了1次球获胜的概率为 C．甲投了3次球获胜的概率为 D．在第一次是乙投篮的条件下，甲获胜的概率为 三、填空题 12．（2024·25高二下·山东威海·期中）一个口袋中装有形状大小相同的6个小球，其中有红球3个，黄球2个，绿球1个，从中依次有放回的摸出3个球，则摸出同一种颜色球的概率为 . 13．（2024·25高二下·广东清远·期中）经过多年的技术积累，我国在车床加工零件方面取得长足进步.某工厂加工的产品按技术指标从高到低可分为优品，良品，合格品和不合格品四个等级.按以往统计数据：100个零件中有40件优品，50件良品，5件合格品和5件不合格品.现该工厂向某地发货1000件产品.对方验货的规则如下：如果抽检的第一件产品是优品或良品，则接收全部产品；如果抽检的第一件产品是合格品，则再检验两件，如果都是优品或良品，则接收整批产品.其余情况拒收整批产品.若用频率代替概率，用随机抽样的方法采样，问本批产品被拒收的概率是 . 14．（2024·25高三上·天津·阶段练习）甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为 . 四、解答题 15．（2024·25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 16．（2025·安徽滁州·二模）从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表： 月用电量（kW·h） 用户数量 频率 20 0.3 40 0.2 由于表格受损，只能看到部分数据． (1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率； (2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率． 17．（2024·25高二下·上海徐汇·期中）某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大． 18．（2025·河南·二模）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小鼠随机均分为两组：对照组（不含药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小鼠的体重增加量（单位：g），并对数据进行分析，得到如下频率分布直方图： (1)估计实验组小鼠体重增加量的80%分位数； (2)将这两组小鼠的体重增加量，从低到高分为三个等级： 体重增加量/g 等级 较轻 中等 较重 假设对照组和实验组小鼠体重增加量的等级结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从实验组和对照组中各随机抓取一只小鼠，求抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率. 19．（2024·25高二上·云南曲靖·期末）随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行评估，并据此制订针对性的教学方案．该校从初一、初二、初三三个年级的学生中各随机抽取6人进行模拟测试，测试结果显示初一、初二、初三年级学生成绩优秀的占比分别为，，． (1)为了解学生对英语人机测试的真实感受，从测试成绩优秀的学生中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人恰好来自两个年级的概率； (2)若某学生每次测试成绩优秀的概率为，且每次测试相互独立，互不影响，求该学生测试3次至少有2次测试成绩优秀的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$