6 数学建模课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第6章 数学建模 从洗衣服到包装彩绳的数学智慧 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 走进异彩纷呈的数学建模世界 数学建模四步法 🧩 模型准备 🔍 模型假设 🧮 模型构建 🔬 模型验证 "背景分析" "目标明确" "信息收集" 请举例：生活中需要建模的问题 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用明确的语言作出 假设，是建模至关重要的一步 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等量关系或数学结构. 一道实际问题的解决往往需要复杂的计算，许多时候需要用计算机技术将运行情况模拟出来. 数学建模解决实际问题实例1 1. 问题 衣服脏了要洗，我们要节约用水，这就提出了一个数学问题，用一定量的水如何把 衣服洗得尽量干净？为了把问题说清楚，我们把实际问题数学化. 现在衣服已经搓揉的很充分了，需要漂洗，因为不可能把水完全拧干，故假设每次 拧干后，衣服上还残留1公斤含有污物的水，那么用20公斤清水来漂洗，怎样才能 漂洗的更干净？ 数学建模解决实际问题实例1 2. 建模与解模 如果一下子把衣服放到20公斤清水里，那么连同那1公斤含有污物的水，一共21公 斤水，污物均匀分布在这21公斤水里，拧干后，衣服上还有1公斤水，所以污物残 留量是原来的 . 通常你不会这么办，你会把20公斤水分两次用，比如第一次用5公斤，使污物减少到 ，再用剩下来的15公斤，污物减少到 的 ，即 ，分两次洗得效果好多了. 方案一：分两次漂洗​（5kg+15kg）→ 残留率： ​对比结论​ → 分次漂洗效果显著提升 一次性漂洗​ → 污物残留率： 数学建模解决实际问题实例1 也可以每次用10公斤，每次都使污物减少到原来的 ，两次可以达到减少到原来的（ ）2＝ 的效果. 要是不怕麻烦，每次用5公斤水，分四次洗呢？每次都使污物减少到上一次的 ，四 次后，污物减少到原来的（ ）4＝ ，效果更好. 方案二：（两次10kg）→ （ ）2＝ 方案三（四次5kg）→ （ ）4＝ ​趋势总结​ → 分次越多，残留越少 数学建模解决实际问题实例1 第2次漂洗后，衣服上残留污物 m 2＝ ， … 第 n 次漂洗后，衣服上残留物 mn ＝ ， 第1次漂洗后，衣服上残留污物 m 1＝ ， 数学建模解决实际问题实例1 现在的问题是 是不是把水分的越均匀，洗得越干净？ 对于固定的次数 n ，如何选取 a 1， a 2，…， an ， 才能使 mn ＝ 最小呢？ 数学建模解决实际问题实例1 注意到（1＋ ）＋（1＋ ）＋…＋（1＋ ）＝ n ＋ （定值），不难知道， 当1＋ ＝1＋ ＝…＝1＋ ，即 a 1＝ a 2＝…＝ an 时， （1＋ ）（1＋ ）…（1＋ ）取到最大值，此时 mn 取到最小值 ，这就告诉我们每次用水量相等时，洗得最干净. 数学建模解决实际问题实例2 案例2　包装彩绳 春节期间，佳怡去探望奶奶，她到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货 员对点心盒做了一个捆扎（如图①），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆 扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎方式（如图②）包装更节省彩绳.你同意这种说 法吗？请给出你的理由.（注：长方体点心盒的高小于长、宽） 数学建模解决实际问题实例2 1. 问题数学化难点 数学建模常需将实际问题抽象化 几何直观论证是常见难点 2. 水平一要求 结合具体长方体盒子操作 通过测量比较得出结论 能归纳一般性猜想 无需严格证明 数学建模解决实际问题实例2 1. 水平二要求​ ​能力表现​： 用字母表示绳长（x, y, z） 展开长方体盒子 → 平面折线比较 "扎紧"转化为两点直线距离 ​结论​ → 达到数学建模水平二 ​2. 绳长公式推导​ ​假设条件​： 忽略花结差异（或认为相同） ​公式​： 长方体尺寸：x（长）、y（宽）、z（高） 绳长公式：​l = 2x + 2y + 4z​ ​依据​： 各面绳长与棱垂直 → 直接相加 数学建模解决实际问题实例2 m ＝｜ A ' A ″｜＜｜ A ' B ｜＋｜ A ″ B ｜ ＝2 y ＋2 z ＋2 x ＋2 z ＝2 x ＋2 y ＋4 z ， 即 l ＞ m ， 因此，图①所示的捆扎方式节省材料. 如果学生能够完成以上工作，可以认为达到数学建模水平二的要求.如果思路清晰、 表达准确，还可以适当加分. 依据图①的捆扎方式，可以想象将长方体盒子展开在一个平面上，则彩绳的平面展开 图是一条由 A 到 A 的折线；在“扎紧”的情况下，彩绳的平面展开图是一条由 A 到 A 的线段，记为 A ' A ″（如图），这时用绳最短，绳长记作 m ，则在△ A ' BA ″中，由三 角形中两边之和大于第三边，得 总结 1. 简化复杂问题​ 生活问题 → 数学建模 = 难 ​策略​：抓住关键，适度简化 ​2. 从简单到一般​ 先解简单情形 → 再推广 ​优势​：启发思考，判断更客观 ​3. 数学与直觉结合​ 数学：污物永存 直觉：感觉干净 ​平衡​：数学指导实践，但不钻牛角尖 $$