2024-2025学年沪教版数学期末试卷01 考试范围：一次函数、代数方程、四边形、概率初步； 2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

2024-2025学年度沪教版数学期末试卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：一次函数、代数方程、四边形、概率初步； 单选题 6题 1-6题 每题3分 共18分 填空题 12题 7-18题 每题3分 共36分 解答题 9题 19-23题6分 24-25每题8分 26-27每题10分 共66分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共18分） 1．（本题3分）下列图形中，是正八边形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】根据正多边形的定义判断即可． 【详解】解：由正八边形的定义：即正八边形有八条边，且每个边都相等，每个角都相等，由此可知，C选项中的图形是正八边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的定义，正多边形就是各边相等，各角也相等的多边形． 2．（本题3分）为了配合 “我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠，小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元，若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款： A．140元 B．150元 C．160元 D．200元 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【详解】试题分析：此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元，则有：20+0.8x=x﹣10解得：x=150，即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元． 故选B． 考点：一元一次方程的应用 3．（本题3分）一个正十边形的某一边长为8cm，其中一个内角的度数为144º，则这个正十边形的周长和内角和分别为（    ） A．64cm，1440º B．80cm，1620º C．80cm，1440º D．88cm，1620º 【答案】C 【知识点】多边形的周长、正多边形的内角问题 【详解】因为正十边形的各个边都相等，则它的周长为8×10=80(cm) 因为正十边形的各内角都相等，则它的内角之和为144°×10=1440°. 故选C. 4．（本题3分）如图，四边形是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1），，直线过A、C两点，P是上一动点，当的值最大时，P点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据正方形的性质，点E关于直线l的对称点E′的坐标为（1，1），连接DE′，与直线l的交点即为P点，此时的值最大，根据待定系数法求得直线PD解析式，然后与直线l的解析式联立，解方程组即可求得P的坐标． 【详解】解：∵四边形是边长为6的正方形， ∴AC垂直平分OB，直线l为y=-x+6， ∴点E关于直线l的对称点在OB上， ∵，B（6,6）， ∴， ∴（1,1）， 连接，与直线l的交点即为P点，此时的值最大，如图， 设直线PD解析式为：y=kx+b， 将D（4，-1），（1,1）代入解析式得： ， 解得， ∴直线PD解析式为：， 解，得， ∴当的值最大时，P点的坐标为（13，-7）， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、正方形的性质、解题的关键是学会利用对称，根据两点之间线段最短，解决最小值问题，根据三角形的两边之差小于第三边，确定最大值问题，属于中考常考题型． 5．（本题3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（      ）    A．7 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3， ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴ ∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC， 又∵AD=6， ∴四边形EFGH的周长=6+5=11． 故选D． 点睛：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 6．（本题3分）已知：如图，在菱形OABC中，OC＝8，∠AOC＝60°，OA落在x轴正半轴上，点D是OC边上的一点（不与端点O，C重合），过点D作DE⊥AB于点E，若点D，E都在反比例函数（x＞0）图象上，则k的值为（    ） A．16 B． C．9 D． 【答案】B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】过D作DH∥BC，交AB于H，根据菱形的性质得出四边形BCDH是平行四边形，DH＝BC＝8，∠DHE＝∠B＝60°，解直角三角形求得DE，作DM⊥x轴于M，过E点作EN⊥DM于N，解直角三角形求得DN，EN，设D（x，x），则E（x＋6，x−2），根据反比例函数系数k的几何意义得出k＝x•x＝（x＋6）（x−2），解得x＝3，从而求得k的值． 【详解】过D作DH∥BC，交AB于H， ∵在菱形OABC中，OC＝8，∠AOC＝60°， ∴OA∥BC，OC∥AB，BC＝OC＝8，∠B＝∠AOC＝60°， ∴∠DHE＝∠B＝60°，四边形BCDH是平行四边形， ∴DH＝BC＝8， ∵DE⊥AB于点E， ∴DE＝DH•sin60°＝4， 作DM⊥x轴于M，过E点作EN⊥DM于N， ∵OC∥AB，DE⊥AB， ∴DE⊥OC， ∴∠ODM＋∠NDE＝90°， ∵∠DOM＋∠ODM＝90°， ∴∠NDE＝∠DOM＝60°， ∴DM＝OM，DN＝DE＝2，NE＝DE＝6， 设D（x，x），则E（x＋6，x−2）， ∵点D，E都在反比例函数（x＞0）图象上， ∴k＝x•x＝（x＋6）（x−2），解得x＝3， ∴D（3，3）， ∴k＝3×3＝9． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，解直角三角形等，求得D点的坐标是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共36分） 7．（本题3分）关于的方程如果有增根，那么增根一定是 ． 【答案】x=1． 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】增根即使分母为0时，x的值. 【详解】令x-1=0，即得增根为1. 【点睛】此题主要考查增根的定义. 8．（本题3分）已知函数是正比例函数，则_____________． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 根据正比例函数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：是正比例函数， 且， 解得：； 故答案为：． 9．（本题3分）某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程 ． 【答案】40（1＋x）2＝48.4 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【详解】试题分析：2010年为40万元，在年增长率为x的情况下，2011年为40（1＋x）万元，2012年为40（1＋x）2万元，所以，根据2012年底缴税48.4万元得：40（1＋x）2＝48.4． 10．（本题3分）定义一种新运算：，则当m为 时，的值为9． 【答案】 【详解】分析：根据题中的新定义列出方程，求出方程的解即可得到m的值． 详解：根据题意得：3×（3+1）+3m=9，整理得：3m=﹣3，解得：m=﹣1．      故答案为﹣1． 点睛：本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 11．（本题3分）一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ． 【答案】2 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】先用待定系数法求出一次函数关系式，再把y=-2代入求x的值即可． 【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标是-2，与y轴交点的纵坐标是-1， 解得： ∴的函数关系式是 ∴当y=-2时，-， 解得：x=2， 故答案为 ：2． 【点睛】本题考查了一元一次方程可利用一次函数的图象求解；解题的关键是掌握实质就是解一元一次方程．即“形”题用“数”解，“数”题用“形”解，充分体现了数形结合的思想． 12．（本题3分）已知：一次函数y＝（2﹣m）x+m﹣3． （1）如果此函数图象经过原点，那么m应满足的条件为 ； （2）如果此函数图象经过第二、三、四象限，那么m应满足的条件为 ； （3）如果此函数图象与y轴交点在x轴下方，那么m应满足的条件为 ； （4）如果此函数图象与y轴交点到x轴的距离为2，那么m应满足的条件为 ． 【答案】 m＝3 2＜m＜3 m＜3且m≠2 m＝5或m＝1 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）将点（0，0）代入一次函数解析式，即可求出m的值； （2）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第二、三、四象限时，2-m＜0，且m-3＜0，即可求出m的范围； （3）先求出一次函数y=（2-m）x+m-3与y轴的交点坐标，再根据图象与y轴交点在x轴下方得到2-m≠0且m-3＜0，即可求出m的范围； （4）先求出一次函数y=（2-m）x+m-3与y轴的交点坐标，再根据图象与y轴交点到x轴的距离为2，得出交点的纵坐标的绝对值等于2，即可求出m的值． 【详解】（1）∵一次函数y=（2﹣m）x+m﹣3的图象过原点， ∴m﹣3=0， 解得m=3． 故答案为：m=3； （2）∵该函数的图象经过第二、三、四象限， ∴2﹣m＜0，且m﹣3＜0， 解得2＜m＜3． 故答案为：2＜m＜3； （3）∵y=（2﹣m）x+m﹣3， ∴当x=0时，y=m﹣3， 由题意，得2﹣m≠0且m﹣3＜0， ∴m＜3且m≠2． 故答案为：m＜3且m≠2； （4）∵y=（2﹣m）x+m﹣3， ∴当x=0时，y=m﹣3， 由题意，得2﹣m≠0且|m﹣3|=2， ∴m=5或m=1． 故答案为：m=5或m=1． 【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．也考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义． 13．（本题3分）如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长是 ． 【答案】12 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【详解】解：根据平行四边形的性质，得AO=OC，∠EAO=∠FCO， 又∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴OF=OE=1．5，CF=AE， 根据平行四边形的对边相等，得CD=AB=4，AD=BC=5， 故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD=OE+OF+AE+ED+CD=1.5+1.5+5+4=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质． 14．（本题3分）已知一次函数，当时，函数有最大值15，则一次函数的解析式为 ． 【答案】y=2x+5或y=x+5 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】分k＞0与k＜0两种情况讨论，根据函数的增减性质进行解答即可 【详解】当k＞0时，一次函数中y随x的增大而增大， ∴当x=5时，函数有最大值15， ∴5k+5=15， 解得：k=2， 则一次函数的解析式为y=2x+5； 当k＜0时，一次函数中y随x的增大而减小， ∴当x=-3时，函数有最大值15， ∴-3k+5=15， 解得：k=； 则一次函数的解析式为y=x+5； 故答案为：y=2x+5或y=x+5． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解决本题的关键是分k＞0与k＜0两种情况讨论． 15．（本题3分）如图，点A，B为定点，定直线，P是上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动不发生变化的是 ． 【答案】①③④/①④③/③①④/③④①/④①③/④③① 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是l上一动点判断②；根据中位线的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤． 【详解】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点， ∴MN＝AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化； ②PA、PB随点P的移动而变化， ∴△PAB的周长随点P的移动而变化； ③∵l∥AB，点A，B为定点， ∴△PMN的面积为定值， ∵点M，N分别为PA，PB的中点， ∴MN＝AB，MN∥AB， ∴NN是△PAB的中位线 ∴△PMN高等于△PAB的一半， ∴△PMN的面积＝×△PMN的面积， 则△PMN的面积不会随点P的移动而变化； ④∵MN∥AB， ∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化； ⑤∠APB的大小随点P的移动而变化； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 16．（本题3分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是 ． 【答案】144° 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、等边对等角 【分析】根据中位线定理，易证明△EPF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点， ∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PF＝ BC，PE＝ AD， ∵AD＝BC， ∴PF＝PE， ∵∠PEF＝18°， ∴∠PEF＝∠PFE＝18°． ∠FPE＝180°-18°-18°=144°． 故答案为：144°． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题关键是利用中位线性质证明△EPF是等腰三角形． 17．（本题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，，DE与BC交于点F．若图象经过点C，且，则k的值为 ． 【答案】12 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】过点F作，根据平行四边形的性质，表示出点，在通过相似表示出即可求出k； 【详解】解：过点F作， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：12. 【点睛】本题主要考查反比例函数、平行四边形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 18．（本题3分）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或或或 【知识点】矩形与折叠问题、利用菱形的性质求线段长、等腰三角形的定义 【分析】分类讨论：如图 ，当 时，如图 ，当 时，如图 中，当 时，分别求出即可． 【详解】解：如图 ，当 时，点 与 重合或在点 处． 当 与 重合时， 与 也重合，此时 ； 在菱形 中， ， 作 于 ， 在 中， ，  ， ， ； 如图 ，当 时，点 与 重合或在 处， 点 与 重合， 是 的垂直平分线， ， 当 在 处时，过 作 于 ， 则可得 ， 则， ； 如图 中，当 时， ， ． 综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 或 或 或 ． 故答案为 或 或 或 或 ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）甲袋中放着22个红球和7个黑球，乙袋中放着42个白球和16个黑球，三种球除颜色外没有任何区别，将两袋中的球搅匀，从两个袋中各任取一个球，哪个袋中取出黑球的可能性大？ 【答案】乙袋中取出黑球的可能性大 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】分别计算两个袋子中取出球的可能性的大小，然后比较即可得到答案． 【详解】解：甲袋中取出黑球的可能性为：； 乙袋中取出黑球的可能性为：； ， 乙袋中取出黑球的可能性大． 【点睛】本题考查了可能性的大小，解题关键是了解如何球可能性的大小． 20．（本题6分）金百超市经销某品牌童装，单价为每件50元时，每天销量为60件，当单价每件从50元降了20元时，一天销量为100件．设降x元时，一天的销量为y件．已知y是x的一次函数． (1)求y与x之间的关系式； (2)若某天销售童装80件，则该天童装的单价是多少? 【答案】(1)y与x之间的关系式为y=2x+60 (2)该天童装的单价是每件40元 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】(1)根据题意先设出y与x的函数关系式y=kx+b，再根据题目中的数据，即可求出该函数的解析式； (2)将y= 80代入(1) 中函数关系式，求出相应的x的值即可． 【详解】（1）因为y是x的一次函数． 所以，设y与x的函数关系式为y=kx+b， 由题意知，当x=0时， y=60 ；当x=20时， y= 100， 所以， 解之得： 所以y与x之间的关系式为y=2x+60 ； （2）当y=80时，由80=2x+60， 解得x=10， 所以50- 10= 40(元)， 所以该天童装的单价是每件40元． 【点睛】本题考查一次函数的应用， 解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式． 21．（本题6分）如图，菱形的对角线相交于点，求菱形的高． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先根据菱形对角线互相垂直平分得到的长，以及，再利用勾股定理求出的长，最后利用菱形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，且对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵是菱形的高， ∴， ∴． 22．（本题6分）（阅读与思考）阅读下面材料（摘自华师大数学八年级下），完成以下问题． 图形的等分 如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？    如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？ 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？    问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法？请在图7中画出来．    问题2：通过平分平行四边形的面积，你发现了什么？你能平分下面图案（图8）的面积吗？ 问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分． 问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．    【答案】问题1：见解析；问题2：见解析；问题3：见解析；问题4： 【知识点】求一次函数解析式、判断中心对称图形的对称中心 【分析】问题1：找到平行四边形的对称中心即可；问题2：过对称中心的任意一条直线均可平分中心对称图形的面积；找到过圆心的直线即可；问题3：分别找到两个正方形的对称中心即可；问题4： 【详解】解：问题1    任意一条过对称中心的直线都可，但必须明确的找出对称中心；     问题2 结论：过对称中心的任意一条直线均可平分中心对称图形的面积；          任意一条过圆心的直线均可；     问题3    问题4 如图所示：    由题意可知：该中心对称图形的对称中心为 设所求直线解析式为： 则：，解得： 故： 【点睛】本题考查了中心对称图形的对称中心及正比例函数的解析式．正确找到各图形的对称中心是解题关键． 23．（本题6分）如图，一次函数y＝﹣kx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，且∠BAO＝30°． (1)如图1，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到，则点的坐标是多少？ (2)如图2，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是多少？ (3)如图3，若存在x轴上一点C，使△ACB为等腰三角形，直接写出点C坐标． 【答案】(1)点（，2） (2)点的坐标为（+1，） (3)点C的坐标为：（﹣，0）或（2+，0）或（﹣2，0）或（，0） 【知识点】一次函数与几何综合、根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】（1）求出AB，OA，OB，然后根据旋转角是60°判断出A⊥x轴，再写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质可知：＝OA＝，＝OB＝1，且⊥x轴，x轴，可得点到x轴距离为，到y轴距离为+1，即可得点B′的坐标； （3）分三种情况：①当AB＝BC时，②当AB＝AC时，③当AC＝BC时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数y＝﹣kx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令x＝0，则y＝1， ∴点B（0，1）， ∴OB＝1， ∵∠BAO＝30°． ∴AB＝2，OA＝， ∵旋转角是60°， ∴∠OA＝30°+60°＝90°，A＝AB＝2， ∴A⊥x轴， ∴点（，2）； （2）∵把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到， ∴＝OA＝，＝OB＝1，＝90°，∠＝∠AOB＝90°， ∴⊥x轴，x轴， ∴点到x轴距离为，到y轴距离为+1， ∴点的坐标为（+1，）； （3）如图， ①当AB＝BC时， ∵OB⊥x轴， ∴OA＝OC， ∴点的坐标为：（﹣，0）； ②当AB＝AC时， ∵AB＝2， 点（2+，0），点（﹣2，0）； ③当AC＝BC时， 设点（x，0）， 则﹣x＝， 解得：x＝， ∴点的坐标为：（，0）； 综上可得：点C的坐标为：（﹣，0）或（2+，0）或（﹣2，0）或（，0）． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形性质，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，等腰三角形的性质．掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用是解题的关键． 24．（本题8分）已知：如图，在中，，M是的中点，点D、G在上，点E、F在上，且，相交于点P．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形、根据等边对等角证明 【分析】本题考查菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形在性质，先证明四边形是平行四边形，再证明，进而得到，即可得证． 【详解】证明：，， ， ． 同理，， 四边形是平行四边形． ， ， ∵M是的中点， ∴， 而， ， ， 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 25．（本题8分）如图，已知，在直角坐标系中，直线y＝−x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向左移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发． (1)求点A、C的坐标； (2)若点B在y轴上，且与点A、C构成以AC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的B点坐标． (3)经过几秒钟，能使△POQ的面积为8个平方单位． 【答案】(1)点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8） (2)B点坐标为（0，−8）或（0，16）或（0，−2） (3)2秒或4秒或（3+）秒 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）点A和点C是函数与坐标轴的交点，分别让给x＝0，y＝0，求其对应的值即可； （2）根据题意，分类讨论即可； （3）当点P在OA上，当点P经过点O之后，分别计算即可． 【详解】（1）解：当x＝0时，y＝8， ∴点C的坐标为（0，8）， 当y＝0时，x＝6， ∴点A的坐标为（6，0）， ∴线段OA＝6，线段OC＝8； （2）解：①当AC＝AB时， 此时x轴为线段BC的垂直平分线， ∴OB＝OC＝8， ∴点B的坐标为（0，−8）； ②当AC＝CB且点B在点C上方时， 由勾股定理可知， AC＝， ∴BC＝10， ∴点B的坐标为（0，16）； ③当BC＝AC且点B在点C下方时， ∴BC＝AC＝10， ∵OC＝8， ∴OB＝2 ∴点B的坐标为（0，−2）； 综上，B点坐标为（0，−8）或（0，16）或（0，−2）； （3）解：设经过t秒后，△POQ的面积为8个平方单位， 当t＜6时， OP＝6−t，OQ＝2t， S△POQ＝×OP×OQ＝×（6−t）×2t＝8， 解得t＝2或4， ∴当t为2秒或4秒时，△POQ的面积为8个平方单位， 当t＞6时， OP＝t−6，OQ＝2t， S△POQ＝×OP×OQ＝×（t−6）×2t＝8， 解得t＝3+或3−（舍去）， ∴当t为（3+）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位． 综上，当t为2秒或4秒或（3+）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位， 【点睛】本题为一次函数综合题，能够根据题意将所有情况考虑到是关键． 26．（本题10分）如图，在边长为的正方形中，过中点作正，过点的直线分别交边、于点、、已知点、分别是线段、的动点，且是等边三角形． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)当点在线段上时 ①求证： ②试判断的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． (3)设，点关于的对称点为，若点落在的内部，请直接写出的范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②不变，； (3)当时，点落在的内部 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）①证明，即可得出结论； ②，理由如下，如图所示，过点作于点，得出四边形是矩形，则，在中，，勾股定理得出，在中，勾股定理得出，则，根据，即可求解； （3）分当落在上时，当落在上时，根据轴对称的性质以及等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）①如图，连接， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作于点， ∵四边形是正方形，且边长为, ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵是的中点，则, 在中，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 又， ； 即， （3）当落在上时，如图所示， ∵点关于的对称点为， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； 当落在上时，如图所示， ∵点关于的对称点为， ∴， 又∵， ∴， 即， 综上所述，当时，点落在的内部． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 27．（本题10分）矩形的边在x轴上，点C、D在第一象限，且，点A的坐标为，如图（1）． (1)直接写出点C的坐标为（ ， ）； (2)过点A的直线与矩形的一条边交于点E，如果直线把矩形分成两部分图形的面积比为，求直线的解析式； (3)P是线段上动点，，连接，以为直角边在的逆时针方向作等腰直角三角形，且，，如图（2）． ①求出点Q的坐标（用含m的式子表示）；②连接，当线段的长度最短时，求m的值； 【答案】(1)； (2)或； (3)，． 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、全等三角形综合问题 【分析】（1）求出和的值即可求出点C的坐标． （2）分类讨论，当点E在上和当点E在上时，两种情况，求出点E坐标，利用即可求出点E的坐标，再由A、E两点确定直线表达式． （3）添加辅助线，构造“三垂直”全等，表示,即可表示点Q的坐标；再用配方法确定当最小时，． 【详解】（1）解：由题意知： ，， ； （2）解：①当点E在上时，如图： 设：， 则， 由题 意得： ， 即， ∴， ， ， 设直线l的表达式为： 则：， ， ， ②当点E在上时，如图： 设：， 则， 由题 意得： ， 即， ∴， ， ， 设直线l的表达式为：， 则： ， 综上可知直线l的表达式为：或； （3）解： ①如图作PN⊥AB，交AB于点N，作QM⊥PN，垂足为点M， ，， ， 在与中， ， , ， , ， ②， ∴当最小时，． 【点睛】本题主要考查了利用几何图形求点的坐标，确定一次函数表达式，三角形全等转化线段，二次函数求最值，转化思想和添加合适的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年度沪教版数学期末试卷01 (考试时间:100分钟 试卷满分:120分) 考试范围:一次函数、代数方程、四边形、概率初步; 单选题 6题 1-6题 每题3分 共18分 填空题 12题 7-18题 每题3分 共36分 解答题 9题 19-23题6分 24-25每题8分 26-27每题10分 共66分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷(选择题) 一、单选题(共18分) 1.(本题3分)下列图形中,是正八边形的是( ) A.B. C. D. 2.(本题3分)为了配合 “我读书,我快乐”读书节活动,某书店推出一种优惠卡,每张卡售价20元,凭卡购书可享受8折优惠,小慧同学到该书店购书,她先买优惠卡再凭卡付款,结果节省了10元,若此次小慧同学不买卡直接购书,则她需付款: A.140元 B.150元 C.160元 D.200元 3.(本题3分)一个正十边形的某一边长为8cm,其中一个内角的度数为144 ,则这个正十边形的周长和内角和分别为( ) A.64cm,1440 B.80cm,1620 C.80cm,1440 D.88cm,1620 4.(本题3分)如图,四边形是边长为6的正方形,D点坐标为(4,-1),,直线过A、C两点,P是上一动点,当的值最大时,P点的坐标为( ). A. B. C. D. 5.(本题3分)如图,D是 ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是( ) A.7 B.9 C.10 D.11 6.(本题3分)已知:如图,在菱形OABC中,OC=8,∠AOC=60 ,OA落在x轴正半轴上,点D是OC边上的一点(不与端点O,C重合),过点D作DE⊥AB于点E,若点D,E都在反比例函数(x>0)图象上,则k的值为( ) A.16 B. C.9 D. 第II卷(非选择题) 二、填空题(共36分) 7.(本题3分)关于的方程如果有增根,那么增根一定是 . 8.(本题3分)已知函数是正比例函数,则_. 9.(本题3分)某企业2010年底缴税40万元,2012年底缴税48.4万元,设这两年该企业缴税的年平均增长率为x,根据题意,可得方程 . 10.(本题3分)定义一种新运算:,则当m为 时,的值为9. 11.(本题3分)一次函数的图象如图所示,则关于x的方程的解为 . 12.(本题3分)已知:一次函数y=(2﹣m)x+m﹣3. (1)如果此函数图象经过原点,那么m应满足的条件为 ; (2)如果此函数图象经过第二、三、四象限,那么m应满足的条件为 ; (3)如果此函数图象与y轴交点在x轴下方,那么m应满足的条件为 ; (4)如果此函数图象与y轴交点到x轴的距离为2,那么m应满足的条件为 . 13.(本题3分)如图,EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,已知AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长是 . 14.(本题3分)已知一次函数,当时,函数有最大值15,则一次函数的解析式为 . 15.(本题3分)如图,点A,B为定点,定直线,P是上一动点,点M,N分别为PA,PB的中点,对下列各值:①线段MN的长;② PAB的周长;③ PMN的面积;④直线MN,AB之间的距离;⑤∠APB的大小.其中会随点P的移动不发生变化的是 . 16.(本题3分)如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=18 ,则∠FPE的度数是 . 17.(本题3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,,DE与BC交于点F.若图象经过点C,且,则k的值为 . 18.(本题3分)如图,在菱形中,,,点为线段上一动点,过点作交于点,沿将折叠,点的对称点为点,连接、、,当为等腰三角形时,的长为 . 三、解答题(共66分) 19.(本题6分)甲袋中放着22个红球和7个黑球,乙袋中放着42个白球和16个黑球,三种球除颜色外没有任何区别,将两袋中的球搅匀,从两个袋中各任取一个球,哪个袋中取出黑球的可能性大? 20.(本题6分)金百超市经销某品牌童装,单价为每件50元时,每天销量为60件,当单价每件从50元降了20元时,一天销量为100件.设降x元时,一天的销量为y件.已知y是x的一次函数. (1)求y与x之间的关系式; (2)若某天销售童装80件,则该天童装的单价是多少? 21.(本题6分)如图,菱形的对角线相交于点,求菱形的高. 22.(本题6分)(阅读与思考)阅读下面材料(摘自华师大数学八年级下),完成以下问题. 图形的等分 如图1,将一张矩形纸片顺着中缝翻折,其折痕,也就是一组对边中点的连线所在的直线,将这个矩形一分为二,两部分的形状与大小完全一样.我们现在探究图形的等分,着眼于面积的等分.那么是否还存在其他直线,也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢?你肯定会说,那当然有!对角线所在的直线也可以(如图2).你还能发现其他直线吗?它们之间有什么共同的规律呢? 如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分,那么应该如何画出这两条直线呢?你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线(如图3).你还能找到其他直线吗?它们之间又有什么规律呢? 我们知道,矩形是一种特殊的平行四边形,对于一般的平行四边形(如图4),是否和矩形一样,也存在这样的直线,将其面积二等分,或进一步将其面积四等分?它们之间又有什么规律呢? 问题1:平分平行四边形的面积,除以下两种方法以外(图5、图6),你还有其他什么方法?请在图7中画出来. 问题2:通过平分平行四边形的面积,你发现了什么?你能平分下面图案(图8)的面积吗? 问题3:老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放,请你试着将整个图形的面积平分. 问题4:如图10,平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形,经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分,请你画出这条直线,并直接写出该直线的表达式. 23.(本题6分)如图,一次函数y=﹣kx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点,且∠BAO=30 . (1)如图1,把 AOB绕点A顺时针旋转60 后得到,则点的坐标是多少? (2)如图2,把 AOB绕点A顺时针旋转90 后得到,则点的坐标是多少? (3)如图3,若存在x轴上一点C,使 ACB为等腰三角形,直接写出点C坐标. 24.(本题8分)已知:如图,在中,,M是的中点,点D、G在上,点E、F在上,且,相交于点P.求证:四边形是菱形. 25.(本题8分)如图,已知,在直角坐标系中,直线y=−x+8与x轴、y轴分别交于点A、C,点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向左移动,点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动,如果P、Q两点同时出发. (1)求点A、C的坐标; (2)若点B在y轴上,且与点A、C构成以AC为腰的等腰三角形,请直接写出所有符合条件的B点坐标. (3)经过几秒钟,能使 POQ的面积为8个平方单位. 26.(本题10分)如图,在边长为的正方形中,过中点作正,过点的直线分别交边、于点、、已知点、分别是线段、的动点,且是等边三角形. (1)判断与的位置关系,并说明理由. (2)当点在线段上时 ①求证: ②试判断的结果是否变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出这个值. (3)设,点关于的对称点为,若点落在的内部,请直接写出的范围. 27.(本题10分)矩形的边在x轴上,点C、D在第一象限,且,点A的坐标为,如图(1). (1)直接写出点C的坐标为( , ); (2)过点A的直线与矩形的一条边交于点E,如果直线把矩形分成两部分图形的面积比为,求直线的解析式; (3)P是线段上动点,,连接,以为直角边在的逆时针方向作等腰直角三角形,且,,如图(2). ①求出点Q的坐标(用含m的式子表示);②连接,当线段的长度最短时,求m的值; 1 学科网(北京)股份有限公司 $$