期末复习-选择填空解答题压轴训练-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

期末复习-选择填空解答题压轴训练 一、单选题 1．若、、是正整数，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C．设点P移动的路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则点Q的横坐标b等于（    ） A． B． C． D．5 4．已知关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．或 5．若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若的周长为14，，则的周长为（　 　） A．24 B．28 C．38 D．40 9．如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A． B． C． D．5 11．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 12．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 13．如图，是的角平分线，、分别是和的高，连接交于点．给出下列结论：①垂直平分；②垂直平分；③平分；④当时，是等边三角形．其中正确的是 ．（填序号） 14．如图，在中，点D为边AB的延长线上一点，，与的平分线相交于点E，连接CD，CE，过点E作，交BC于点G，交AB于点F，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 15．如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 16．已知、、为的三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 二、填空题 17．如图，在腰长为6的等腰中，，，点D是内一点，连接，且，E是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 18．如图，在中，，平分，，点是的中点，连接，则的长为 ． 19．如图1，中，点D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点Q是曲线部分的最低点，则的长为 . 20．如图①，在中，，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，设点到的距离为，运动的时间为，与的函数图象如图②所示，则的长为 ． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，线段在y轴上移动（点D在点C的上方），且．连接，，则的最小值是 ． 22．【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 23．如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ． 24．若关于的不等式组有解且最多有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 25．如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，，，则的度数为 ． 26．如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与直角边平行． 三、解答题 27．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 28．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求、两种电动车的单价分别是多少元． (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ (3)该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值为 ． 29．如图，已知点，满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上平移运动，设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 30．若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．          【操作感知】 （1）如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； 【探究论证】 （2）如图2，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形； 【迁移探究】 （3）如图3，和是等边三角形（），连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 31．如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①的度数是________________； ②当旋转时间_______________秒时，射线过点． (2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． (3)若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 32．如图在平行四边形中，，过点C作交于点E，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点E作交于点F，连接，若，求证：； (3)如图3，在直线上有一动点P，连接，过点A向下方作，且，过点Q作交于点H，连接，若，，直接写出的最小值． 33．已知点M和图形G，Q为图形G上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点M的双倍点．在平面直角坐标系中，点、、、． (1)如图1，若点的坐标为，则，，中，是线段关于点的双倍点的是 ； (2)如图2， ①若点的坐标为，若存在点是四边形关于点的双倍点，直接写出点横坐标的取值范围． ②若点若的坐标为，在二、四象限角平分线上存在四边形关于点的双倍点，直接写出的取值范围； (3)如图3，点为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交轴于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点，直接写出的取值范围． 34．【课本再现】 我们知道三条边分别相等的两个三角形全等，由此可推出：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 【性质证明】 请你根据下面的“已知”和“求证”证明该结论； 已知：如图1，在与中，． 求证：． 【知识应用】 如图2，在梯形中，，点E是边的中点，且平分．若，，求的长． 35．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取到最小值，最小值为 ； (2)假分式可化为带分式形式 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有 个； (3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 36．在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 0 … ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象： ①写出关于这个函数的一条性质：__________________； ②当时，的取值范围是__________________； (3)进一步探究函数图象发现； ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． 37．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点P的坐标； ②连接，如图，若是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 38．在某次数学兴趣小组活动中，小明对等边三角形进行了数学探究活动，如图，他在等边三角形内取一个点D，使得，，然后他将绕点A逆时针旋转60°得到，连接，探究以下问题． (1)求证：； (2)若，求的长． 39．某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 40．如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 41．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 42．甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图中画出与之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围． 43．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接、，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____，______； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，连接，延长，相交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在和中，，连接，当，E，三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 44．如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于， (1)求证：；    (2)求证：；   (3)判断的形状并说明理由． 45．在中，，点D在边上，过点D作于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在边上，连接，使，若，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作，交于点G，若点G是的中点，求证：是等边三角形． 46．如图，在中，，，，点D和点E分别是边和边上的动点点D不与A，B重合，．连接，以为边向左上方作等边，连接，设． (1)用含有a的式子表示线段的长； (2)记的面积为，的面积为，求的值； (3)连接，当的周长最小时，求a的值． 47．在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 48．如图，在，点分别在边上，且不与点重合，连接． (1)从以下3个选项中选择2个作为已知条件，余下的1个作为结论，并写出结论成立的证明过程．①；②；③．选择的条件是 ，结论是 ．（填序号） (2)在（1）的条件下，设，求y关于x的函数表达式． 49．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形中，，，若点D为射线上的一点，将沿折叠，点C落在平面内一点处（如图）． (1)若点C落在线段上，求点D的坐标． (2)当的面积为50时，求的面积． (3)当是以为腰的等腰三角形时，求点D的坐标． 50．【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度 ） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质） 水（溶剂） 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：； ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度___________； ②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量，同学丙准备氯化钠的质量，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 51．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 52．冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 3台 4台 760元 第二天 5台 7台 1300元 (1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价． (2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 53．如图，在中，，点是边上一点，，点在边上． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数； (3)若，，求证：． 54．问题背景：（1）如图1，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点，于点，且．直接写出图中与全等的三角形是_____，直接写出线段，，之间满足的数量关系是_____． 类比探究：（2）如图2，已知等边及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并予以证明． 拓展应用：（3）如图3，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 55．如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线运动，且它们的速度都为2厘米/秒，设运动时间为（秒）． (1)如图1，点P，Q分别在线段上运动时，相交于点，请直接写出的度数； (2)如图2，当点P，Q分别运动到线段的延长线上时，的延长线相交于占，的度数会变化吗？若改变，请说明理由；若不变，请写出求解过程； (3)如图3，若点的速度不变，点的速度为3厘米/秒，点P，Q分别在线段上运动时，连接，当为直角三角形时，求的值． 56．阅读材料：运用完全平方公式法分解因式是把形如的多项式分解为．某些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关的运算或解题． 如：求二次三项式的最小值． 解：原式 ． 的最小值为3． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为___________． (2)求多项式的最小值． (3)已知等腰三角形的三边长都是正整数，且满足，求的周长． 57．如图所示，在中，，，，在顶点处有一点，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若两点运动4秒时，求此时的长； (3)设两点运动时间为秒，当是一个等腰直角三角形时，求的值． 58．综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则 ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． （4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ． 59．【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 60．在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； (3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习-选择填空解答题压轴训练 一、单选题 1．若、、是正整数，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解的应用，构造二元一次方程组求解，解题的关键是将原等式因式分解． 首先得出，然后将左边因式分解为，然后根据题意得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵、、是正整数， ∴ ∴得，． 故选：A． 2．已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组解集的规律“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”成为解答本题的关键． 先解不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集的情况，再结合不等式组的解集规律解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 故选C． 3．如图，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C．设点P移动的路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则点Q的横坐标b等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，通过勾股定理的逆定理及其定理即可求解． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即， 当点P运动到点C处时，如图， ∵，即，此时，即， ∵， ∴为直角三角形， 由等面积得，， ∴，即． ∴ ∴ 故选：C． 4．已知关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据． 方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，，可得，且，即可求解； 【详解】解：去分母得，， 方程的解是负数， ， 解得： ， 的取值范围是且． 故选：C． 5．若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组有解求参数，熟练掌握解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键． 根据一元一次不等式组的解法及不等式组有解的条件得出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组有解， ，即， 故选：C． 6．如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法求出不等式的解集即可，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 由图象可知：的解集为：； 故选B． 7．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A． 8．如图，在中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若的周长为14，，则的周长为（　 　） A．24 B．28 C．38 D．40 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，进而可得，结合的周长为，可得，进一步即可得出答案． 【详解】解：由翻折可得，， ∵四边形为平行四边形， ， ，，， ∵的周长为14， ， ∵， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 9．如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，即可求解；理解不等式组的解集是解题的关键. 【详解】解：不等式组化为， 解集是， ， 解得：， 故选：D． 10．关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，准确判断无解的情况是解题的关键．先解分式方程，用m表示x，再根据方程有增根可求出x的值，就可以得到结果． 【详解】解：， 去分母得， 解得：， ∵方程有增根， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 故选：A． 11．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理．①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断；③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断；④由，，在中，应用勾股定理，即可判断；②与不一定相等，即可判断， 【详解】解：由旋转的性质可得：， ，， ， ，故①正确； ， ，即：平分，故③正确； ， ， 在中，，即：，故④正确； 与不一定相等，故②不正确， 综上所述，①③④正确， 故选：D． 12．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，，然后根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图形平移的性质可得，，， ， ， 故选：A． 13．如图，是的角平分线，、分别是和的高，连接交于点．给出下列结论：①垂直平分；②垂直平分；③平分；④当时，是等边三角形．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据角平分线性质求出，证明得，再逐个判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线，、分别是和的高， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴垂直平分，故结论①正确，结论②错误； ∵，， ∴是等边三角形，故结论④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，等边三角形的判定，能证明是解题的关键． 14．如图，在中，点D为边AB的延长线上一点，，与的平分线相交于点E，连接CD，CE，过点E作，交BC于点G，交AB于点F，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 根据角平分线的定义和三角形内角和可判断①正确；根据角平分线的性质和面积法可判断②正确；根据等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和可判断③正确；根据面积法证明可判断④正确；证明，结合④可判断⑤正确． 【详解】①∵与的平分线相交于点E， ∴， ∴ ，即，故①正确； 作于点H，作于点M，作交的延长线于点N， ∵与的平分线相交于点E， ∴． ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，故⑤正确． 故选D． 15．如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由题意可得：关于x的不等式组的解集为一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方，x轴上方所对应的自变量取值范围，再根据函数图象即可解答． 【详解】解：由题意可得：关于x的不等式组的解集为一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方，x轴上方所对应的自变量取值范围，即． 故选D． 16．已知、、为的三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理的逆定理，将等式化为是解题的关键． 将等式化为，根据等式成立的条件进而判定三角形的形状即可． 【详解】解： ①当时，上式成立，此时为等腰三角形； ②当时，上式为，此时为直角三角形； 故选：D． 二、填空题 17．如图，在腰长为6的等腰中，，，点D是内一点，连接，且，E是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短．取的中点，连接、，求出，证明，得出，即可得出，当点、、在同一直线上时，最小，为的长，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 则， ∵在等腰中，，， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，最小，为的长，即， 故选：D． 18．如图，在中，，平分，，点是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，全等三角形的性质与判定，延长交于点，证明得，，进而根据中位线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ 又∵是的中点 ∴ 故答案为：． 19．如图1，中，点D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点Q是曲线部分的最低点，则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，先根据图象得出，，再根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意和函数的图象得：， 过D作于点P，则， 设，则， ∵，即， 解得：， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图①，在中，，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，设点到的距离为，运动的时间为，与的函数图象如图②所示，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理、等腰三角形的性质，由题意可得是等腰直角三角形，从而可得当点在线段上运动时，，随着的增大而增大，当点与点重合时，最大，结合图②得出，最后由勾股定理计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得是等腰直角三角形， ∴当点在线段上运动时，， ∴当点在线段上运动时，随着的增大而增大，当点与点重合时，最大， 由图②可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，线段在y轴上移动（点D在点C的上方），且．连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，坐标与图形性质，将线段向下平移到的位置，作点A关于y轴的对称点，连接，，则，，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【详解】解：如图，将线段向下平移到的位置，作点A关于y轴的对称点，连接，， 则，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 22．【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个零件符合要求，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、勾股定理逆定理的应用等知识点，掌握勾股定理逆定理的作用是解题的关键． （1）①根据图2用两种方法表示出大正方形的面积，然后进行整理即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理验证和是否为直角即可判断这个零件是否符合要求． 【详解】（1）解：∵根据图2：大正方形面积可表示为：或， ∴，即， ∴． （2）解：这个零件符合要求，理由如下：         在中，根据勾股定理，可得： ，     在中， ∴．                     ∴是直角三角形，是直角．且 ∴这个零件符合要求． 23．如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键．观察发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加．用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加． 又∵， ∴． 故答案为：． 24．若关于的不等式组有解且最多有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解， ， 解得， 解方程，得， 关于的分式方程的解为非负数， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 综上所述，且， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 25．如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】根据、、分别是、、的中点，可知是的中位线，是的中位线，结合，可知，，，接着利用平行线的性质，可得到，，从而得到，最后利用算得答案． 【详解】解：在四边形中，，、、分别是、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形的中位线，等腰三角形的判定与性质，平行的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 26．如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与直角边平行． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 延长交于点，可求，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置时，所旋转的度数，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ， ， ， ①如图，    当时，， 此时旋转的度数为， ()； ②如图    当时，， ， 此时旋转的度数为， ()； 综上所述：或． 故答案为或． 三、解答题 27．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 【答案】(1)分式是分式的“和美分式”，见解析 (2) 【分析】本题考查分式的计算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出两个分式的差和积，根据新定义，进行判断即可； （2）仿照题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：分式是分式的“和美分式”，理由如下： ∵ ， ∴， ∴分式是分式的“和美分式”； （2）设的“和美分式”为A， 则， 整理得， ∴ ， ∴的“和美分式”为． 28．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求、两种电动车的单价分别是多少元． (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ (3)该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值为 ． 【答案】(1)、两种电动车的单价分别为元、元 (2)当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元 (3)或 【分析】（1）设A，B两种电动车的单价分别为a元、b元，根据“若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元”、“若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元”列出方程组求解； （2）设购买A种电动车m辆，先用m表示出B种电动车的辆数，再根据“种电动车的数量不多于种电动车数量的一半”列出不等式求出m，再设所需购买总费用为w元，根据A、B两种电动车的单价列出w关于m的函数关系式，利用一次函数增性求出最小值即可； （3）设，将代入求出函数表达式，设，将，代入求出函数表达式，分“”、“”两种情形，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：设A，B两种电动车的单价分别为a元、b元， 由题意得，，解得， 答：A、B两种电动车的单价分别为元、元． （2）设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车辆，， 解得， 设所需购买总费用为w元， 则， ∵， ∴w随着m的增大而减小， ∵m取正整数， ∴时，w最少， ∴， 答：当购买A种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元． （3）设，将代入得，， 解得， ∴， 当时，， 当时，设， 将，代入得，， 解得， ∴， 依题意，当时，， 即，解得， 当时，， 即， 解得（舍去）或． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了利用二元一次方程组解决销售问题，利用一元一次不等式解决销售问题，利用一次函数解决销售问题，两个一次函数的交点问题，利用待定系数法求一次函数解析式，解题关键是利用待定系数法求出一次函数解析式． 29．如图，已知点，满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上平移运动，设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)存在， (3)不变，定值为3 【分析】本题考查非负性，坐标与图形，坐标与平移，正确的求出点的坐标，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）非负性求出的值，进而得到的坐标，平移求出坐标即可； （2）过D作的延长线，垂足为H，设M点坐标为，连接，根据，列出方程进行求解即可； （3）分当点N在线段上和点N运动到线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平移， ∴，，即：，； （2）解：存在 过D作的延长线，垂足为H，如图所示： ∵点C和点D的坐标分别为和， ， 设M点坐标为，连接， ， ， ，即，解得， 存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变 理由如下： 当点N在线段上时，如图所示，设运动时间为t秒，， 过D作的延长线，垂足为H，连接， ， ， 当点N运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为t秒，，连接， ； 为定值3，故其值不会变化． 30．若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．          【操作感知】 （1）如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； 【探究论证】 （2）如图2，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形； 【迁移探究】 （3）如图3，和是等边三角形（），连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析；（3）4 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“勾股四边形”，勾股定理、直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质，充分利用其特点解题． （1）利用勾股定理计算画图即可； （2）先利用旋转的性质得到，，，则可判断是等边三角形，所以，，再证明，利用勾股定理得到，从而得到，然后根据题中定义可判断四边形是勾股四边形； （3）将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到 ，证明为直角三角形，得出，即，可求出答案． 【详解】解：（1）如图所示，四边形，即为所求； 连接，，， ， ，，， ， 四边形，即为所求； （2）∵ ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即四边形是勾股四边形； （3）连接，，过点B作于点F， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴． 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是以为勾股边的勾股四边形，且， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 31．如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①的度数是________________； ②当旋转时间_______________秒时，射线过点． (2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值． (3)若两条射线和所在直线交于点， ①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）； ②若射线在的左侧，当时，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)秒 (3)①  ② 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）①根据两直线平行，同旁内角互补，从而得到结果； ②由的度数列出方程，得到结果； （2）由，得到内错角相等，再利用三角形内角和，求出结果； （3）①由的内角和得到方程，求得结果， ②注意要根据题意，画出图形，结合条件，利用的内角和，求得结果. 【详解】（1）解：①， ， 故答案为： ； ②∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， ∴当秒后，过点时，旋转了， ∴此时， ， ， 故答案为：； （2）解：∵射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转， ∴设， ， ， 又∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转， ∴当秒后，旋转了 即： ， ， ， ∴此时对应的旋转时间的值是秒； （3）解：① ∵根据题意有：， ， 在中，， ， ； ②∵的旋转速度要比的旋转速度快， ∴当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图所示， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即：， ， ． 32．如图在平行四边形中，，过点C作交于点E，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点E作交于点F，连接，若，求证：； (3)如图3，在直线上有一动点P，连接，过点A向下方作，且，过点Q作交于点H，连接，若，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得为等腰直角三角形，即可得出，由平行四边形的性质可得，，从而可得，即，设，则，，再由勾股定理计算即可得解； （2）由题意可得为等腰直角三角形，即可得出，由平行四边形的性质可得，，，从而可得，即，作交的延长线于，则，证明，得出，，证明，得出，，结合，求出，从而可得，由直角三角形的性质可得，即可得证； （3）由题意可得为等腰直角三角形，推出，，由平行四边形的性质可得，，，，，推出，即，由勾股定理可得，，求出，以为直角边作等腰直角，连接，令交于，交于，交于，则，，证明，求出，作直线，令直线交于，则点在直线上运动，，为值，则为等腰直角三角形，四边形为矩形，得出，，，，作点关于直线的对称点，取，连接交直线于，连接，则四边形为平行四边形，得出，由轴对称的性质可得，，， 即可推出，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，为，作交的延长线于，则四边形为矩形，求出，，由勾股定理可得，即的最小值为，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； （2）证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，即， 如图，作交的延长线于， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，以为直角边作等腰直角，连接，令交于，交于，交于， 则，， ∵，且， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作直线，令直线交于，则点在直线上运动，，为值， ∴为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 作点关于直线的对称点，取，连接交直线于，连接， 则四边形为平行四边形， ∴， 由轴对称的性质可得，，， ∴， 由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，为， 作交的延长线于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 33．已知点M和图形G，Q为图形G上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点M的双倍点．在平面直角坐标系中，点、、、． (1)如图1，若点的坐标为，则，，中，是线段关于点的双倍点的是 ； (2)如图2， ①若点的坐标为，若存在点是四边形关于点的双倍点，直接写出点横坐标的取值范围． ②若点若的坐标为，在二、四象限角平分线上存在四边形关于点的双倍点，直接写出的取值范围； (3)如图3，点为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交轴于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①② (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及新定义“双倍点”等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据“双倍点”的定义，逐一判断即可； （2）①分别求出点关于点的对称点的坐标即可解答问题； ②设直线上存在的点的坐标为，四边形上的点的坐标为，再根据“双倍点”的定义得出，可得，由可得答案； （3）利用图象法解决问题即可． 【详解】（1）解：∵、， ∴设在线段上，且， ∵， ∴的中点为， 若点的坐标是的中点，则， ∴， 故不是线段关于点的双倍点 ∵， ∴的中点为， 若点的坐标是的中点，则， ∴， 故不是线段关于点的双倍点； ∵， ∴的中点为， 若点的坐标是的中点，则， ∴， 故是线段关于点的双倍点； 故答案为：； （2）解：①∵点、、、， ∴点关于点的对称点的坐标为； 点关于点的对称点的坐标为； 点关于点的对称点的坐标为； 点关于点的对称点的坐标为； ∴点横坐标的取值范围． ②设直线上存在的点的坐标为，四边形上的点的坐标为，则 ， 解得：， ∵点在直线上， ∴， ∴， 由、、、知：，， ∴， ∴， 解得； （3）解：如图：是平行于的一组直线， 当经过时，则， ∴， 此时，直线与轴、轴的交点分别为，，此时线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点， 当经过时，则， ∴， 此时，直线与轴、轴的交点分别为，，此时线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点， 当时，交点不可能成为四边形关于的双倍点， 当经过四边形内部时，即时交点不可能成为四边形关于的双倍点， 同理，当时，线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点， 当时，交点不可能成为四边形关于的双倍点， 综上，当或时，线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点． 34．【课本再现】 我们知道三条边分别相等的两个三角形全等，由此可推出：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 【性质证明】 请你根据下面的“已知”和“求证”证明该结论； 已知：如图1，在与中，． 求证：． 【知识应用】 如图2，在梯形中，，点E是边的中点，且平分．若，，求的长． 【答案】（1）见解析（2）7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证出，由证明即可； （2）根据角平分线这个条件添加辅助线即可． 【详解】解：（1）∵和中，， （勾股定理）． ∴． ∵． ∴． 在与中， ． ∴． （2）证明：作垂足为M，如图所示： ∵平分， ∴， ∵点E为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴． 35．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取到最小值，最小值为 ； (2)假分式可化为带分式形式 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有 个； (3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3,6 (2)；4 (3)，最大值是 【分析】本题主要考查了分式的加减，分式的化简求值，完全平方公式的应用， 对于（1），根据题中分式确定原式的最小值即可； 对于（2），将假分式化为真分式再判断满足条件的整数值； 对于（3），根据题意将原式改写为，然后根据不等式的性质进行计算可得答案． 【详解】（1）解：令，则， 得， 所以当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3,6； （2）解：， ∵x为整数，且为整数， ∴或或或， 解得或或或，共4个． 故答案为：；4； （3）解：∵， ∴， ∴ ， 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， 所以当时，分式取最大值，最大值为． 36．在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 0 … ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象： ①写出关于这个函数的一条性质：__________________； ②当时，的取值范围是__________________； (3)进一步探究函数图象发现； ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小（答案不唯一）；② (3)①2；② 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）①根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质； ②根据函数图象写出当时，的取值范围即可； （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． 【详解】（1）①解：∵， ∴当时，； 当时，； 1 2 3 4 ②函数图象如图， （2）解：①函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； ②根据函数图象可知：当时，； （3）解：①观察图形可知， 方程有2个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与直线无交点， 观察图形可知，此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 37．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点P的坐标； ②连接，如图，若是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，等腰三角形的定义以及性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； （3）先由两点间距离公式求出，然后分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：对于， 由得：， ∴， 由得：，解得， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、 如图1，过点B作于点D， ∴，， ∴， 解得， 或 ∴或； ②∵， ∴， 当时，则或； 当时，如图： 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴此时点M与点C重合， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，点M的坐标为或或或． 38．在某次数学兴趣小组活动中，小明对等边三角形进行了数学探究活动，如图，他在等边三角形内取一个点D，使得，，然后他将绕点A逆时针旋转60°得到，连接，探究以下问题． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握旋转的性质以及等边三角形的判定方法是解题的关键． （1）先利用旋转的性质和等边三角形的性质判断出是等边三角形即可； （2）先证明，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长度，即求出的长度，再用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明：∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 39．某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1) (2)一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 40．如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 41．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，求出点A和点B的坐标； （）设，由（）得点的坐标为，点的坐标为，则，，，然后由即可求出的值，从而求解； （）分当时和当时进行分析即可； 【详解】（1）解：由得， 当时；当时，，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：设， 由（）得点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴，即 ， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由：如图， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 当时， ∴的坐标为，的坐标为， 当时， ∴， ∴的坐标为． 综上所述：存在，点Q的坐标为或或 42．甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图中画出与之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围． 【答案】(1)30 (2) (3)见解析， 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据单价总价数量，即可解决问题． （2）函数表达式单价数量，与x的函数表达式结合图象利用待定系数法即可解决． （3）画出函数图象后，根据在下面即可解决问题． 【详解】（1）解：甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克（元） 故答案为：30； （2）解：由题意知 由图可得，当时，； 当时，设， 将和代入， 得， 解得， ∴， ∴， （3）解：函数的图象如图所示， 由， 解得， ∴点的坐标为； 由， 解得， ∴点的坐标为； 由图象可知选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围是． 43．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接、，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____，______； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，连接，延长，相交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在和中，，连接，当，E，三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；；（2）；．理由见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，则，因为，，即可作答． 【详解】解：（1）如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，30． （2），理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 44．如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于， (1)求证：；    (2)求证：；   (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等边三角形，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质． （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形 ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： 由（2）知，， 是等边三角形． 45．在中，，点D在边上，过点D作于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在边上，连接，使，若，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作，交于点G，若点G是的中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）首先根据和三角形内角和定理得到，然后利用得到，最后根据三角形内角和定理求解即可； （2）首先根据结合三角形内角和定理得到，然后利用，证明出，根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，首先由得到，然后证明出，进而得到，，证明出是等边三角形， 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴． ， ， ， ． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵点G是中点， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 46．如图，在中，，，，点D和点E分别是边和边上的动点点D不与A，B重合，．连接，以为边向左上方作等边，连接，设． (1)用含有a的式子表示线段的长； (2)记的面积为，的面积为，求的值； (3)连接，当的周长最小时，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可求得，进一步得出结果； （2）作于H，作，交的延长线于点Q，可证明，从而，进一步得出结果； （3）过点作，作，利用三角形内角和推出，结合，证明．由此得到线段关系，进而推出．在直角三角形中，根据所对直角边是斜边的一半，得出，进而算出．又已知，所以，即为的中垂线．根据中垂线的性质，得到 ，当点落在边上时，的周长取最小值．此时，根据，，推出 ，所以，即，解方程可得答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）如图，作于H，作，交BC的延长线于点Q， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）如图，过点作，作， ， ， 又， ， ，， ， 又， ， ， 又， ， 为的中垂线， ， 当点落在边上时取最小值， 此时点，，，的位置如图所示， ， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质垂直平分线的判定和性质，解题关键是作辅助线．构造全等三角形． 47．在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析 (2)10 (3)见解析 【分析】（1）①根据等边三角形的性质结合折叠的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质，折叠的性质及角的等量代换，得到，设 ，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）作，分别交于．证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵等边三角形，F为中点， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）证明：作 ，，分别交于K，G，H． ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 48．如图，在，点分别在边上，且不与点重合，连接． (1)从以下3个选项中选择2个作为已知条件，余下的1个作为结论，并写出结论成立的证明过程．①；②；③．选择的条件是 ，结论是 ．（填序号） (2)在（1）的条件下，设，求y关于x的函数表达式． 【答案】(1)①②，③，或②③，①，或①③，②；证明见解析 (2) 【分析】（1）分三种情况讨论：选择条件①②，结论③，或选择条件②③，结论①，或选择条件①③，结论②，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明即可； （2）如图，连接，求解，证明，，，利用勾股定理可得，整理即可得到答案． 【详解】（1）解：选择条件①②，结论③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择条件②③，结论①， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择条件①③，结论②， 理由：∵， ∴， ∵； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 而， ∴， 整理得：； 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，列函数关系式，理解题意，清晰的分类讨论是解题关键． 49．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形中，，，若点D为射线上的一点，将沿折叠，点C落在平面内一点处（如图）． (1)若点C落在线段上，求点D的坐标． (2)当的面积为50时，求的面积． (3)当是以为腰的等腰三角形时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)16或144 (3)点D的坐标为或或 【分析】（1）根据题意画出图形，然后结合折叠的性质得到四边形是正方形，求出，，进而求解即可； （2）根据题意分点在x轴上方和点在x轴下方两种情况讨论，然后根据的面积为50求出，求出，勾股定理求出，进而求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分和两种情况讨论，过点作分别交，于点E，F，然后分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵长方形中，，， ∴ 由折叠得，， ∴四边形是正方形 ∴， ∴； （2）如图所示，当点在x轴上方时，过点作分别交，于点E，F ∴， ∵的面积为50 ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的面积； 如图所示，当点在x轴下方时，过点作分别交，所在直线于点E，F ∴， ∵的面积为50 ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的面积， 综上所述，的面积为16或144； （3）如图所示，当时，过点作分别交，于点E，F ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∴， 由折叠得， ∴ 解得 ∴； 如图所示，当时，且点在x轴上方时，过点作分别交，于点E，F ∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∴， 由折叠得， ∴ 解得 ∴； 如图所示，当时，且点在x轴下方时，过点作分别交，所在直线于点E，F ∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∴， 由折叠得， ∴ 解得 ∴； 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，坐标与图形综合，解题的关键是掌握以上知识点． 50．【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度 ） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质） 水（溶剂） 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：； ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度___________； ②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量，同学丙准备氯化钠的质量，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）8 【分析】本题考查分式运算的应用，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据浓度与溶质、溶剂之间的关系即可求解； （2）用替换的分子，即可证明； （3）设，可得，进而可得，推出，即可求解． 【详解】解：（1）①同学甲配制的溶液浓度， 故答案为：； ②同学乙、丙要配制相同浓度的溶液， ， 解得， 检验：当时，，当时， 所以原分式方程的解是； （2）证明：， ， 当三瓶氯化钠溶液混合时 ， 任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变 （3）解：设， 则， ， ， ， ， ． 51．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①；②直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 52．冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 3台 4台 760元 第二天 5台 7台 1300元 (1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价． (2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元 (2)A型号的取暖器最多能采购22台 (3)能，购进方案：方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台；方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式； （1）设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据销售3台A型号、4台B型号取暖器的收入为760元，销售5台A型号、7台B型号取暖器的收入为1300元，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A型号的取暖器购进a台，则B型号的取暖器购进台，根据总价单价数量结合总价不多于3020元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （3）根据总利润每台的利润销售数量(购进数量)，结合总利润超过1400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合（2）的结论即可得出结论． 【详解】（1）解：设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据题意，得 解得 答：A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元． （2）解：设购进A型号取暖器a台，则购进B型号取暖器台． 根据题意，得， 解得． 答：A型号的取暖器最多能采购22台． （3）解：由（2）可得， 解得， 因为且a为整数， 所以a可取21或22， 所以在（2）的条件下该超市能实现利润超过1400元的目标． 购进方案： 方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台． 方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台． 53．如图，在中，，点是边上一点，，点在边上． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数； (3)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，因为，所以，而，即可根据“”证明，则； （2）由，，求得，由，，，根据“”证明，得，则； （3）由，，得，则，而，所以，则． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，且，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的度数是． （3）证明：，， ， ， ， ， ． 54．问题背景：（1）如图1，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点，于点，且．直接写出图中与全等的三角形是_____，直接写出线段，，之间满足的数量关系是_____． 类比探究：（2）如图2，已知等边及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并予以证明． 拓展应用：（3）如图3，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，得出，，证明，得出，即可得解； （2）在上截取，连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）延长至，使，再在上取点，使，连接，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，再证明，得出，即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）结论：， 证明：在上截取，连接， ， 在等边中，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长至，使，再在上取点，使，连接，， ， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 依题意：，，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 55．如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线运动，且它们的速度都为2厘米/秒，设运动时间为（秒）． (1)如图1，点P，Q分别在线段上运动时，相交于点，请直接写出的度数； (2)如图2，当点P，Q分别运动到线段的延长线上时，的延长线相交于占，的度数会变化吗？若改变，请说明理由；若不变，请写出求解过程； (3)如图3，若点的速度不变，点的速度为3厘米/秒，点P，Q分别在线段上运动时，连接，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)的度数为 (2)不变化，理由见解析 (3)的值为或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质即可证明，则有，即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）分两种情况考虑：；；根据含30度直角三角形的性质建立方程即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ∴， ∴， ∴ ， 即的度数为； （2）解：不变化，理由如下： 是等边三角形， ，， ； ， ， 即， 在和中，， ， ； ∵， ， ； （3）解：根据题意得，，， ， ①当时， ， ， ，即， 解得，， ②当时， ， ， ，即， 解得，， 综上可得，的值为或． 56．阅读材料：运用完全平方公式法分解因式是把形如的多项式分解为．某些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关的运算或解题． 如：求二次三项式的最小值． 解：原式 ． 的最小值为3． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为___________． (2)求多项式的最小值． (3)已知等腰三角形的三边长都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)8 (3)10 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解及等腰三角形的定义，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得周长． 【详解】（1）解： ， ， 解得 ． 故答案为：； （2）解：原式 ． ， ． 多项式 的最小值是 8 ． （3）解： ， ． ． 则 ， 解得 ． 为等腰三角形， 或 ． 由三角形的三边关系，得 ，故 ． 三边分别为 2，4，4 ． 的周长为 ． 57．如图所示，在中，，，，在顶点处有一点，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若两点运动4秒时，求此时的长； (3)设两点运动时间为秒，当是一个等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质． （1）根据勾股定理的逆定理，解答即可得； （2）当两点运动秒时，求得和的长度，再根据勾股定理解答即可得； （3）当是一个等腰直角三角形时，，设两点运动时间为秒时，求得的长度，当点从点向点运动时，，根据等腰直角三角形的性质进行解答即可得；当点从点向点运动时，，根据等腰直角三角形的性质进行解答即可得． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在中，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， （2）当两点运动4秒时，，， ∴， 在中，根据勾股定理， ， （3）当是一个等腰直角三角形时，， 设两点运动时间为t秒时，，则， 当点Q从点C向点B运动时，， ∴， 解得， 当点Q从点B向点C运动时，， ∴ 解得， 即当是一个等腰直角三角形时，t的值是或． 58．综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则 ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． （4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ． 【答案】（1）3.5；（2）12；（3）16；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解． （2）将看成，进而根据，即可求解； （3）设，，根据可得，而，进而根据完全平方公式变形即可求解． （4）结合图形由长方形的面积为，即可得出结果． 【详解】解：（1） 又 ， ； （2）∵，则 故答案为：； （3）∵两块直角三角板全等， ，， 点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ，． 设，． ， 又， ， ， ， ， 答：一块直角三角板的面积为16． （4）根据图形长方形的面积为：， 则分解因式． 59．【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出． （2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明． 【详解】证明：（1）点是的中点， ， ， ， ． ， 垂直平分 ， ， 在 中， ， ． （2）， 证明如下： 如图，延长至点，使 ，连接 ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 60．在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； (3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由长方形的性质及折叠的性质证出，在根据等角对等边即可得出结论． （2）设，则，由（1）的结论以及翻转的性质可得出，，由勾股定理可得出答案． （3）方法1：连接，设，，，由折叠得，，， 由勾股定理解，，可得，由勾股定理解，可得，联立，通过加减消元解出，即可求解； 方法2：延长交的延长线于点M，证明，得出，，设，，由折叠知，，，由勾股定理得出，进而求出y，进而可求出． 【详解】（1）证明∶∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∴， 在中， ， 即， 解得： ∴． （3）解：方法1：如图，连接， 设，，， 则，， 由折叠得，，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 由得：， 由得：， 得：， ∵， ∴， 即． 方法2：延长交的延长线于点M， ∵， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴ ∴，， 设，， 由折叠知， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$