2025届浙江省桐乡市高三5月模拟测试数学试题

绝密★考试结束前 2025年5月桐乡市高三模拟测试 数学学科试题 考生须知： 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的极小值是，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设直线与函数的图象的公共点从左至右依次为，若，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，且，函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，直线是的内角平分线，，，则的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，4，5，6，8，10，11的下四分位数是3 B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 D. 以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 10. 已知四棱锥，底面是边长为的正方形，底面，，点满足，，下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 当时，点到平面的距离为 C. 当平面平面时， D. 当二面角为时， 11. 已知定义在上的函数，集合对于任意，在使得的所有中，下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 存在在处取到最大值 D. 存在，使得在单调递减 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则______． 13. 将个相同的球放入编号为、、的个盒子中，要求每个盒子至少放个球，且编号为的盒子中球数不超过个，则不同的放法种数为______．（用数字作答） 14. 记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求： （1）赛完4局且甲获胜的概率； （2）在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率． 16. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，，求的面积． 17. 如图，已知，平面平面，，，，点为梯形内（包括边界）一个动点，且平面． （1）求点的轨迹长度； （2）当线段最短时，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，存在，使得，求证：； （3）当时，判断的零点个数，并作出证明． 19. 在平面直角坐标系中，将每个点绕原点沿逆时针方向旋转角的变换称为旋转角为的旋转变换，设点经过旋转角的旋转变换后变成点，则 （1）在的旋转变换下，若点变成点，直线变成直线，求：的坐标和直线的斜率； （2）已知曲线是由平面直角坐标系下焦点在轴上的抛物线绕原点逆时针旋转所得的斜抛物线的方程． ①求斜抛物线的焦准距； ②已知在斜抛物线上，按如下规则依次构造点列：过点作斜率为的直线交于点，再过点作斜率为的直线交于点，记的面积为．求证：． 绝密★考试结束前 2025年5月桐乡市高三模拟测试 数学学科试题 考生须知： 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABC 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）或. 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：当时,, , 因为，所以， 当时，恒成立，所以在上单调递减，故不存在极值点，不符合已知条件； 当时，解得解得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 可得的最小值为， 当时不存在零点，不符合已知条件； 当时，解得，此时的零点为，不符合已知条件； 当时，解得， 此时有极小值点，且， 又因为，可得在上单调递增， 在上单调递减，所以，因此恒成立． 所以有． 即函数的一个零点，满足， 又，所以，得证． （3）2，证明：记， 即， ①当时，由第（2）问可知，当时，在上单调递减，在 单调递增，又在上单调递增，在单调递减，所以在递减，在单调增． 又， 所以， 又 , 因此，存在两个零点,，满足． ②当时，在单调递增，且由第（2）知， 又，所以恒成立，在不存在零点； 综上所述，存在两个零点． 【19题答案】 【答案】（1）， （2） ①焦准距为； ②由（1）可得对应的， 设曲线上有两个上有两个，其对应的点为， 则且， 则， 故 设对应的点为，对应的点为，则在抛物线上且， ，设，则， 又，且，整理得到，， 所以，而，故， 故，而也符号该式，故. 又的方程为即， 而， 而到直线的距离为， 故的面积为 ， 由于旋转变换不改变图形面积，故， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $