专题07 函数的概念及表示法（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题集合。本专题涵盖函数的概念、函数的表示法、分段函数等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的概念及表示法（讲义） 1. 函数的概念 一般地，设𝐷是非空数集，对于𝐷中的每一个𝑥，按照某个确定的对应法则𝑓，都有唯一确定的值𝑦和它对应，那么就称𝑦为𝑥的函数，记作𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝐷． 其中， 𝑥称为自变量， 𝑥的取值范围𝐷称为函数的定义域． 当𝑥_0∈ 𝐷时，与𝑥_0相对应的值𝑦_0称为函数在点𝑥_0处的函数值，记作 𝑦0=𝑓(𝑥0)． 函数值的集合{𝑦|𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈𝐷}称为函数的值域． 求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0．④对数中真数不为0. (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 2. 函数的有关性质 (1)函数的三要素： 、 、 ． (2)函数的表示法： 、 、 ． (3)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同． 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤 (1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同． (2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数． 3. 分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 知识点1 分段函数 1．（2024年河北）函数，那么______. 2．(2023年河北） 已知函数，则 _______. 3．(2022年河北) 设，则_______________. 4．(2021年河北) 函数，，则___________. 5．（2020年河北）若，则______． 6. （2025年河北样卷）已知函数，，则实数a=______． 1．已知函数，则（   ） A．3 B． C．1 D． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知分段函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知函数则（   ） A． B．0 C．64 D．22 5．已知函数，若，则（    ） A．1 B．或1 C． D．或2 6. 若函数则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，设，则（    ） A． B． C． D．0 8．设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知分段函数，若，则a的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 10．已知函数，若，则（   ） A．或2 B． C．2 D． 知识点2 求函数定义域 1．（2024年河北）函数的定义域是______. 2. (2022年河北) 函数的定义域为_______________.（用区间表示） 3. (2021年河北)函数的定义域为___________. 4.（2020年河北）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5.（2019年河北）函数的定义域为__________. 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C．R D． 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．函数的定义域是（    ） A．且 B． C． D．R 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 9．函数的定义域是 10．函数 的定义域是 . 知识点3 其他函数概念题 1．（2024年河北）设函数是一次函数，，则等于（ ） A. B. C. D. 2．(2023年河北）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. (2021年河北) 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4．(2019年河北)下列四组函数中，图像相同的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5.（2019年河北）二次函数图像的顶点坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1．已知反比例函数的图象经过点，则它的解析式是（   ） A． B． C． D． 2. 已知一元二次函数的顶点坐标为，且其图像过点，则该函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（     ） A．1 B．3 C．7 D．0 4．已知函数，如果，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5. 下列各组函数是同一函数的是（    ） ①与；      ②与； ③与；              ④与． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 6．下列各组函数是同一函数的是（   ）. A． B． C． D． 7. 下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．已知二次函数的图象经过两点，，且最大值是5，则该函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 10. 已知二次函数，其图像的顶点坐标是，且经过坐标原点，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题集合。本专题涵盖函数的概念、函数的表示法、分段函数等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的概念及表示法（讲义） 1. 函数的概念 一般地，设𝐷是非空数集，对于𝐷中的每一个𝑥，按照某个确定的对应法则𝑓，都有唯一确定的值𝑦和它对应，那么就称𝑦为𝑥的函数，记作𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝐷． 其中， 𝑥称为自变量， 𝑥的取值范围𝐷称为函数的定义域． 当𝑥_0∈ 𝐷时，与𝑥_0相对应的值𝑦_0称为函数在点𝑥_0处的函数值，记作 𝑦0=𝑓(𝑥0)． 函数值的集合{𝑦|𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈𝐷}称为函数的值域． 求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0．④对数中真数不为0. (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 2. 函数的有关性质 (1)函数的三要素：定义域、值域、对应法则． (2)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． (3)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同． 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤 (1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同． (2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数． 3. 分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 知识点1 分段函数 1．（2024年河北）函数，那么______. 【答案】## 【解析】 【分析】将自变量代入到分段函数对应的解析式，结合指数运算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 即， 得到. 故答案为：. 2．(2023年河北） 已知函数，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数和复合函数的概念求函数值即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 故答案：. 3．(2022年河北) 设，则_______________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据自变量的取值范围代入即可求解. 【详解】，， 故答案为：1 4．(2021年河北) 函数，，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数函数和分段函数的解析式求函数值即可. 【详解】由可知，， 所以. 故答案为：1 5．（2020年河北）若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】当，， 当，，即. 故答案为：3 6. （2025年河北样卷）已知函数，，则实数a=______． 【答案】2 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】当，， 当，， 故答案为：2 1．已知函数，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 则， 故选：A. 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别判断当时和的值域即可求解函数的值域. 【详解】当时，，值域为； 当时，，值域为， 综上，函数的值域为. 故选：A. 3．已知分段函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据自变量的范围，代入相应的函数式中，先内后外计算即可. 【详解】已知分段函数，， ，的值为. 故选：A. 4．已知函数则（   ） A． B．0 C．64 D．22 【答案】D 【分析】将自变量代入分段函数的对应的解析式，求解即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 从而. 故选：D. 5．已知函数，若，则（    ） A．1 B．或1 C． D．或2 【答案】B 【分析】分类讨论和的情况，根据题意列出方程即可得解. 【详解】函数，且， 当时，，解得或（舍）； 当时，，解得， 所以或， 故选：. 6. 若函数则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数的解析式代入即可求解. 【详解】函数，所以， 所以.   故选：B. 7．已知函数，设，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】利用的解析式求得，即的值，进而求得，从而得解. 【详解】因为， 所以，又，所以， 所以. 故选：C. 8．设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】运用分段函数知识，分别计算和的值即可求得结果. 【详解】根据题意，函数， 则， ， 则. 故选：B 9．已知分段函数，若，则a的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据分段函数的表达式分情况讨论. 【详解】分情况讨论： 当时，， 由可得，解得； 当时，， 由可得，解得（负值舍去）； 综上，a的值为0或. 故选：C. 10．已知函数，若，则（   ） A．或2 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论即可得解. 【详解】由题意得， ①当时，， 解得，舍去； ②当时，， 解得或（舍去）. 综上可知，. 故选：C. 知识点2 求函数定义域 1．（2024年河北）函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，对数的真数大于0，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则有，即， 其中，解得或， 所以，解得或， 所以函数的定义域是， 故答案为：. 2. (2022年河北) 函数的定义域为_______________.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由分式的性质及对数的定义即可得解. 【详解】由分式的性质可知分母不为. 由对数的定义可知. 所以. 解得. 用区间表示为. 故答案为:. 3. (2021年河北)函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根号被开方数大于等于0，0和负数无对数列不等式，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须有，即， 则，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4.（2020年河北）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式列出不等式求解即可. 【详解】因为函数. 所以解得. 所以函数的定义域为. 故选：A. 5.（2019年河北）函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合一元二次不等式、含绝对值的不等式与对数型函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数. 所以，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合根式、分式有意义的条件，即可求解. 【详解】要使函数有意义，须满足， 解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合根式、分式有意义的条件，即可求解. 【详解】要使函数有意义，须， 解得且， 所以函数的定义域为． 故选：D. 3．函数的定义域为（   ） A． B． C．R D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合分式、根式有意义的条件，即可求解. 【详解】因为， 所以，解得且， 即函数的定义域是. 故选：D. 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出令函数有意义的x的取值范围即可. 【详解】要使函数有意义，须， 故的定义域为． 故选：D 5．函数的定义域是（    ） A．且 B． C． D．R 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式即可求解. 【详解】因为函数， 所以为使分式有意义，， 解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数式中的分母不为零，列不等式可求解. 【详解】要使函数有意义，则， 解得. 故函数的定义域为. 故选：D 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数真数大于零，分母不为零，二次根式被开方数大于等于零列式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 8．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据分母不为零及真数大于零列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 所以，解得且， 所以定义域为且， 故选：. 9．函数的定义域是 【答案】 【分析】使函数的分母，以及根式有意义，即可求解. 【详解】由题意知函数， 所以，即， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 10．函数 的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零，偶次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则需满足 ，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 知识点3 其他函数概念题 1．（2024年河北）设函数是一次函数，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设一次函数为，根据已知条件代入解析式求解即可. 【详解】设一次函数解析式为， 由得： ，即，解得. 所以函数解析式为. 故选：D. 2．(2023年河北）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】换元法得到函数解析式即可. 【详解】设，则，代入原函数得． 即． 故选：B. 3. (2021年河北) 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域、值域、函数解析式依次判断各选项. 【详解】A选项，，故不是同一函数； B选项，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数； C选项，是常函数定义域为，的定义域为，故不是同一函数； D选项，的定义域为且，是同一函数. 故选：D. 4．(2019年河北)下列四组函数中，图像相同的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域，再结合解析式判断即可. 【详解】函数的定义域为.函数的定义域为.故A错误. 函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误. 函数的定义域为.函数的定义域为.故C错误. 函数的定义域为.函数的定义域也为. 定义域及对应关系均相同，则两函数图像相同.故D正确. 故选：D. 5.（2019年河北）二次函数图像的顶点坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标求解参数即可. 【详解】因为二次函数图像的顶点坐标为. 所以，解得. 故选：C. 1．已知反比例函数的图象经过点，则它的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出反比例函数解析式，根据待定系数法即可得解. 【详解】设反比例函数解析式为，， 因为过点，则，解得， 所以解析式为， 故选：. 2. 已知一元二次函数的顶点坐标为，且其图像过点，则该函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可设出函数的解析式，将已知点代入，即可求解. 【详解】因为一元二次函数的顶点坐标为，可设函数解析式为， 又函数图像过点， 所以，解得， 所以函数解析式为. 故选：A. 3．已知函数，则（     ） A．1 B．3 C．7 D．0 【答案】C 【分析】在中，令可求得的值. 【详解】在中 令得 ， 故选：C 4．已知函数，如果，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用换元法求解的解析式，再求解a的值即可. 【详解】因为， 令，， ， 所以， 将a代入，，即. 故选：B. 5. 下列各组函数是同一函数的是（    ） ①与；      ②与； ③与；              ④与． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【分析】根据函数表示相同函数的定义判断即可. 【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数； ②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数； ③与的定义域都是，并且定义域内，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数； ④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数； 所以是同一函数的是③④． 故选：C． 6．下列各组函数是同一函数的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的概念及函数的三要素，即可判断求解. 【详解】因为与的对应法则不同，故不是同一函数，故选项A不符合题意； 因为与的定义域都是，且对应法则相同，故是同一函数， 故选项B符合题意； 因为的定义域是实数集R，的定义域是，且对应法则不同，故不是同一函数， 故选项C不符合题意； 因为的定义域是实数集R，的定义域是，故不是同一函数， 故选项D不符合题意； 故选：B. 7. 下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同一个函数的概念判断. 【详解】与的定义域和对应关系均不同，不是同一个函数，故A错误； 与的定义域和对应关系均不同，不是同一个函数，故B错误； 与的定义域和对应关系均相同，是同一个函数，故C正确； 与的定义域不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：C. 8．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】如果要表示同一函数，需要同时满足定义域和对应法则相同，据此即可求解. 【详解】A选项，函数和的定义域都为R， 根据诱导公式，，，对应法则也相同， 故A选项表示同一函数； B选项，函数的定义域为， ，则函数定义域为， 定义域不同，不表示同一函数； C选项，函数的定义域都为R，函数的定义域为， 定义域不同，不表示同一函数； D选项，函数，与对应法则不同，不表示同一函数. 故选：A. 9．已知二次函数的图象经过两点，，且最大值是5，则该函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得对称轴，最大值是，故可设，代入其中一个点的坐标即可求出的值，问题得以解决． 【详解】二次函数的图象经过两点，,则对称轴为，最大值为, 可设, 则,解得, 故. 故选： 10. 已知二次函数，其图像的顶点坐标是，且经过坐标原点，则 ． 【答案】 【分析】根据顶点坐标，表示出二次函数的顶点式，再代入求出，化简为一般式即可. 【详解】，由题意得，即，∴． 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$