2024-2025学年高一下学期期末考试押题卷01-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

2024-2025学年下学期期末考试押题卷01 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（   ）． A．2 B． C． D．0 2．复数（   ） A．0 B．1 C． D． 3．如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有（   ） A．4条 B．6条 C．8条 D．2条 4．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 5．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示，已知正方体边长为，则该石凳的体积为（   ）    A． B． C． D． 6．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，三棱柱外接球的球心为，点是侧棱上的一动点．下列说法正确的个数是（   ） ①直线与直线是异面直线； ②若，则与一定不垂直； ③若，则三棱锥的体积为； ④三棱柱外接球的表面积的最大值为． A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的6个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数据，则（   ） A．样本A的极差小于样本B的极差 B．样本A的70%分位数小于样本B的30%分位数 C．样本A的平均数小于样本B的平均数 D．样本A的方差小于样本B的方差 10．已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．当时，在上的投影向量为 11．现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）.积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数为纯虚数， 则 ； 13．对一批底部周长（单位：cm）在内的树木进行研究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长的众数是 cm，中位数是 cm，平均数是 cm． 14．若向量与向量的夹角为θ，我们定义“”为向量与向量的“外积”.两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为.在中，，，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）已知，若为纯虚数，求的值. （2）设复数，.若是实数，求； （3）已知复数满足，求. 16．（15分） 某校高一学生有2000名，为了了解高一学生的体能情况，该校随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，将得到的数据按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值； (2)若跳绳次数不少于115为达标，估计该校全体高一学生达标的人数； (3)估计该校全体高一学生跳绳次数的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 17．（15分） 在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 18．（17分） 如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 19．（17分） 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； (3)已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 第4页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期期末考试押题卷01 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（   ）． A．2 B． C． D．0 【答案】B 【解析】由向量，共线，得，解得， 当时，，与方向相同，不符合题意； 当时，，与方向相反，符合题意， 所以x的值为. 故选：B 2．复数（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】复数. 故选：D 3．如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有（   ） A．4条 B．6条 C．8条 D．2条 【答案】B 【解析】与有公共点的棱所在的直线不异面，有，，，，，共6条， 与直线异面的棱所在的直线有，，，，，，共6条． 故选：B. 4．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】在中，，又，故． 由余弦定理得，结合，得， 解得，所以一定是等边三角形． 故选：D． 5．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示，已知正方体边长为，则该石凳的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】截去的四面体体积，正方体体积， 所以石凳的体积为. 故选：B. 6．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则， 又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即， 所以. 故选：C. 7．甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 分别表示甲两轮答对个，个题目的事件， 分别表示乙两轮答对个，个题目的事件， 则，， ，， 设“两轮活动星队答对个题目”，则， 因为且 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立， 所以， 因此，“星队”在两轮竞答中答对个题目的概率是 ， 故选：B 8．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，三棱柱外接球的球心为，点是侧棱上的一动点．下列说法正确的个数是（   ） ①直线与直线是异面直线； ②若，则与一定不垂直； ③若，则三棱锥的体积为； ④三棱柱外接球的表面积的最大值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，因为点平面，平面，点， 平面，所以直线与直线是异面直线，故①正确； 对于②，因为侧棱底面，，故底面, 底面，故； 而，则，即， 又平面，故平面, 又平面，故， 故当（此时点与点重合）时，平面，则直线平面， 又平面， 所以，故②错误； 对于③：若，则为正三角形，其外心为正三角形的中心，连接与交于，则为的中点， 三棱柱外接球的球心在两底面中心连线的中点， 因为平面，所以到平面的距离相等， 因为侧棱底面，平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面，所以平面， 所以到平面的距离为，即到平面的距离为， 所以，故③正确； 对④：设外接圆半径，由正弦定理得， 因为，，所以没有最大值也没有最小值， 故外接球半径没有最大值也没有最小值，故④错误. 故只有①③正确. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的6个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数据，则（   ） A．样本A的极差小于样本B的极差 B．样本A的70%分位数小于样本B的30%分位数 C．样本A的平均数小于样本B的平均数 D．样本A的方差小于样本B的方差 【答案】ACD 【解析】A选项，由图可知样本A的最高点与最低点的高度差小于样本B的最高点与最低点的高度差， 所以样本A的极差小于样本B的极差，A正确． B选项，因为，，所以样本A的70%分位数是A中最大的数据， 样本B的30%分位数是B中最小的数据，则样本A的70%分位数大于样本B的30%分位数，B不正确． C选项，由图可知样本A每个样本的数据均小于样本B的对应数据， 所以样本A的平均数小于样本B的平均数，C正确． D选项，样本A的离散程度小于样本B的离散程度，所以样本A的方差小于样本B的方差，D正确． 故选：ACD 10．已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】由，得，解得，A正确； 由，得，解得，B错误； 由，得，解得，所以，C正确； 当时，，， 所以在上的投影向量为，D正确． 故选：ACD． 11．现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）.积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ACD 【解析】对于A，甲队胜3场是指甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁， 乙队胜3场是指乙胜甲，乙胜丙，乙胜丁，不可能同时发生，故它们是互斥事件，故A正确； 对于B，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲、乙、丙各得4分，丁得3分，故B错误； 对于C，丙队积分为3分，包含两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场， 若丙胜1负2场，则其概率为， 若丙平3场，则其概率为， 所以丙队积分为3分的概率为，故C正确； 对于D，甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为， 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数为纯虚数， 则 ； 【答案】 【解析】因为， 又复数为纯虚数，所以，解得. 故答案为： 13．对一批底部周长（单位：cm）在内的树木进行研究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长的众数是 cm，中位数是 cm，平均数是 cm． 【答案】 105 103.5 【解析】由题图知，底部周长的众数是； 因为前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数在内，设为，则， 解得； 平均数是． 故答案为：；；. 14．若向量与向量的夹角为θ，我们定义“”为向量与向量的“外积”.两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为.在中，，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设分别为的中点，连接， 则，所以， 所以，故，即， 又因为，， 所以，. 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 又，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）已知，若为纯虚数，求的值. （2）设复数，.若是实数，求； （3）已知复数满足，求. 【解析】（1）因为为纯虚数， 所以且，解得； （2）因为，， 所以，又是实数， ，即，则， 所以； （3）因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 16．（15分） 某校高一学生有2000名，为了了解高一学生的体能情况，该校随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，将得到的数据按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值； (2)若跳绳次数不少于115为达标，估计该校全体高一学生达标的人数； (3)估计该校全体高一学生跳绳次数的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 【解析】（1）由图可得，得． （2）样本中的达标率为， 则估计该校全体高一学生达标的人数为. （3）估计该校全体高一学生跳绳次数的平均数为． 17．（15分） 在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 【解析】（1）依题意得，， 又 ， 所以第分位数位于，且， 他的物理成绩应不低于分较为合适． （2）依题意甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为: . 18．（17分） 如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影， 又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 19．（17分） 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； (3)已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1） 所以函数的相伴向量； （2）由题知，由，得． 又因为，即，所以． 又因为，由正弦定理，得， 即 ，因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 即的最大值为，最小值大于b边．所以的取值范围为 （3）由（2）知，， 所以， 设，因为， 所以， 又因为，所以，所以 即，所以 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得. 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$