专题12 概率的综合运用（6大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题12 概率的综合运用 【题型归纳目录】 题型一：随机事件、事件的运算和样本空间 题型二：互斥事件、对立事件的判断 题型三：独立事件的判断 题型四：古典概型 题型五：独立事件概率的计算 题型六：概率的综合应用 【知识点梳理】 1、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 2、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 3、相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 4、相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【典型例题】 题型一：随机事件、事件的运算和样本空间 【典例1-1】（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障， 即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生. 故选：D. 【典例1-2】（23-24高一下·天津·期末）对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．与同时发生 B．与不能同时发生 C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生 【答案】D 【解析】两个事件， 则事件表示的含义是事件至少有一个发生， 故选：D． 【变式1-1】（23-24高二上·四川凉山·期中）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得：事件A表示表示“两次都投中”； 事件B表示“两次都未投中”； 事件C表示“恰有一次投中”； 事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”， 故，所以选项A正确； 事件B和事件D是对立事件，故，所以选项B正确； 事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件表示“两次都未投中”、 “两次都投中”或“恰有一次投中”，故选项C错误； 事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以选项D正确； 故选：C. 【变式1-2】（22-23高一上·安徽淮北·期末）掷一枚骰子，设事件出现的点数不大于3，出现的点数为偶数，则（    ） A． B．事件A与是互斥事件 C．出现的点数为2 D．事件A与是对立事件 【答案】C 【解析】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果， 即，事件， 故，即事件A、B既不互斥也不对立. 显然C正确. 故选：C 【变式1-3】（22-23高一下·山西·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（    ） A． B． C．相互独立 D．互斥 【答案】C 【解析】依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为，反面向上为， 则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：， 事件A包含的结果有：，事件B包含的结果有：， 而事件A，事件B中有不同的结果，则事件A与事件B不互相包含，也不相等，故AB错误； 显然事件A，事件B都含有“”这一结果，即事件A，事件B能同时发生， 因此，事件A与事件B不互斥，故D错误； 因为，则， 所以A与B相互独立，故C正确. 故选：C. 题型二：互斥事件、对立事件的判断 【典例2-1】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】D 【解析】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 【典例2-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【解析】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 【变式2-1】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【解析】从装口袋内一次取出2个球，按照取到白球数量分类有： 两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球都是白球. 所以①②与事件“两球都为白球”互斥而不对立， 当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥. 故选：D 【变式2-2】（22-23高一下·天津南开·期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（    ） A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 【答案】B 【解析】对于A，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件与事件不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件与事件互斥却不互为对立，故B正确； 对于C，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故C错误； 对于D，事件与事件不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件与事件是互斥事件也是对立事件，故D错误． 故选：B． 题型三：独立事件的判断 【典例3-1】对于事件，下列命题不正确的是（    ） A．如果互斥，那么与也互斥 B．如果对立，那么与也对立 C．如果独立，那么与也独立 D．如果不独立，那么与也不独立 【答案】A 【解析】对于选项A，如果互斥，与可以同时发生，由互斥事件的定义得与不一定互斥，所以选项A错误； 对于选项B，如果对立，由对立事件的定义得与也对立，所以选项B正确； 对于选项C，如果独立，由相互独立事件的定义得与也独立，所以选项C正确； 对于选项D，如果不独立，由相互独立事件的定义得与也不独立，所以选项D正确； 故选：A. 【典例3-2】（23-24高一下·河北唐山·期末）已知是两个随机事件且概率均大于，则下列说法正确的为（    ） A．若与互斥，则与对立 B．若与相互独立，则与互斥 C．若与互斥，则与相互独立 D．若与相互独立，则与相互独立 【答案】D 【解析】由题意， ①互斥事件指的是不能同时发生的两个事件； ②对立事件指的是在试验中必有一个发生的两个互斥事件； ③相互独立事件指的是事件是否发生对事件发生的概率没有影响，满足等式： ； 对于A，互斥事件不一定对立， 例：投掷一枚骰子的试验中，事件“掷出点数为”，事件“掷出点数为”， 事件与事件互斥但不对立，故A错误； 对于B，相互独立事件不一定互斥， 例：抛掷两枚硬币的试验中，事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”， 事件发生与否对事件发生的概率没有影响，即事件与事件相互独立，但事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，互斥事件不一定相互独立， 例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”， 事件与事件互斥，但，， 所以不满足相互独立事件的定义，故C错误； 对于D，因为事件与事件相互独立， 所以， 又， 所以， 所以事件与事件也相互独立，故D正确. 故选：D. 【变式3-1】（23-24高一下·北京丰台·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则（    ） A．为不可能事件 B．与相互独立 C．B与D互斥 D．C与D互为对立 【答案】D 【解析】对于A：当第一次向上的点数为2，第二次向上的点数为3时，事件同时发生，则A错误； 对于B：， 则，则与不相互独立，故B错误； 对于C：当第一次向上的点数为1，第二次向上的点数为6时，事件同时发生，则C错误； 对于D：设样本空间为，事件C与事件D不能同时发生，且，则C与D互为对立，故D正确； 故选：D 【变式3-2】（23-24高一下·广西南宁·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立 【答案】C 【解析】由题意可知，两点数和为6的所有可能为， 两点数和为7的所有可能为， 甲乙丙丁， 对于A选项，甲与乙可以同时发生，故选项A错误； 对于B选项，由上可知错误，故选项B错误； 对于C选项，（甲丁）（甲）（丁），故选项C正确； 对于D选项，（乙丙）（乙）（丙），故选项D错误. 故选：C. 题型四：古典概型 【典例4-1】（24-25高一下·江西·期中）已知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6．现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为 ． 【答案】 【解析】甲、乙各随机出示一张卡片有，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，共个基本事件， 甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的有，，，，，共个基本事件， 故甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的概率． 故答案为：. 【典例4-2】（24-25高一上·山东威海·期末）某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ． 【答案】/ 【解析】2名高一学生干部记为：a，b；3名高二学生干部记为：，，， 则样本空间 共含有10个样本点， 设事件表示“这2名学生来自不同年级”， 则包含，即， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高一上·江西吉安·期末）吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为 . 【答案】 【解析】“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”分别记为, 随机安排三个景点的游览顺序，安排方法有，，，，，共有6种， 其中第一天游览“武功山”或“钓源古村”共有4种方法，其概率为, 故答案为： 【变式4-2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则的概率为 . 9 a 7 b c d 4 e 6 【答案】/ 【解析】这个试验的等可能结果用下表表示： a 1 1 3 3 5 5 1 1 3 3 5 5 b 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 c 3 5 5 1 1 3 3 5 5 1 1 3 d 8 8 8 8 8 8 2 2 2 2 2 2 e 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 共有种等可能的结果，其中的结果有种， 所以的概率为， 故答案为：. 题型五：独立事件概率的计算 【典例5-1】（24-25高一下·江西·期中）已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”， 则，设， 由题意可得，即， 可得，解得， 所以该难题被攻克的概率． 故选：B． 【典例5-2】（23-24高一下·安徽亳州·期末）在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】此时灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合， 由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮， 而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合， 所以灯亮的概率为. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高一下·山西大同·期末）某制造企业有两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】D 【解析】因为两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立， 所以这两台设备都没有正常运行的概率为， 所以一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为. 故选：D 【变式5-2】（23-24高一下·河南商丘·期末）某射击运动员每次射击命中十环的概率均为，若该射击运动员连续射击两次，且两次射击相互独立，则至多有一次命中十环的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连续射击两次，每次射击是相互独立的，两次都命中十环的概率为， 则至多有一次命中十环的概率为. 故选：A 题型六：概率的综合应用 【典例6-1】（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【解析】（1）把抽取2张卡片的结果记为，其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号． 依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有20种可能的结果． 用事件A表示“选出的2人不全是男生”． 方法1：  依题意知事件A包含的样本点有 ， ，共有14种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． 方法2 ： 依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有 ，共有6种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． （2）抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有25种可能的结果． 设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”， 则事件B所包含的样本点有，共有5种可能的结果， 因此，，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为． 设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”， 包含的样本点有，共有9种可能的结果， 因此，，即选出的不全是男生的概率为． 【典例6-2】（24-25高一上·北京房山·期末）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）： 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 (1)从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率； (2)若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率； (3)现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由． 【解析】（1）所有参与调研的人共有人， 不满意的人数是. 记事件“从所有参与调研的人中随机选取人，此人不满意”， 则所求概率为 （2）参与调研的青年人共有人，满意的有人. 记事件“从使用该款的青年人中随机选取人，此人满意”， 则的估计值为. 参与调研的中年人共有人，满意的有人. 记事件“从使用该款的中年人中随机选取人，此人满意”， 则的估计值为. 则从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人， 恰有人“满意”的概率估计为， ； （3）这种抽样不合理. 理由：参与调研的名老年人中不满意的人数为， 满意和一般的总人数为，说明满意度之间存在较大差异， 所以从三种态度的老年中各选取人不合理.合理的抽样方法是采用分层抽样， 根据，，的具体数值来确定抽样的数目. 【变式6-1】（24-25高一上·江西九江·期末）4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (2)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 【解析】（1）由频率分布直方图，得，即， 这200位学生每天阅读的平均时间为（分钟）. （2）每天阅读的时间在和内的人数比为，则分层抽样抽取的6人中， 在内的有2人，记为，在内的有4人，记为， 这6人中随机抽取2人的试验的样本空间为，共15个样本点， 阅读的时间所在区间不同的事件，共8个样本点. 这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率为. 【变式6-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实践技能大比拼活动，满分100分（95分及以上为优秀医师），共有100人荣获“优秀医师”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄； (2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； (3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为54和1，第五组的年龄的平均数与方差分别为66和4，据此计算这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差. 附： 【解析】（1）这些人的平均年龄（岁）. （2）第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1， 从这三组中分层抽取6人，则第三组抽3人，记为；第四组抽2人，记为； 第五组抽1人，记为， 样本空间，共15个样本点， 设事件为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”， ，共11个样本点， 所以抽取的2人年龄在不同组的概率. （3）设第四组、第五组年龄的平均数分别为，方差分别为， 则， 第四组有20人，第五组有10人，设第三组和第四组所有人的年龄平均数为，方差为， 则， . 所以这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差为34. 【强化训练】 1．（22-23高一上·江西吉安·期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是 个． 【答案】15 【解析】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%， ∴摸到白球的频率为， 故口袋中白色球的个数可能是个． 故答案为：15 2．（21-22高一下·山西晋中·期末）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为 . 【答案】0.3 【解析】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环， 所以概率为． 故答案为：0.3． 3．（24-25高一下·江西赣州·期中）某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.2，0.1，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为 . 【答案】0.72/ 【解析】这两台设备在一周内都不发生故障的概率为. 故答案为：0.72. 4．（24-25高一上·河南驻马店·期末）如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 【答案】0.7424 【解析】根据题意可知电流能通过的概率为，电流能通过的概率为， 所以电流不能通过，且也不能通过的概率为， 所以电流能通过的概率为， 因为电流能通过的概率为， 所以电流能在E，F之间通过的概率为. 故答案为： 5．（24-25高一上·江西九江·期末）如图，某电子元件由三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，三种部件不能正常工作的概率分别为，各个部件是否正常工作相互独立，同时正常工作或正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是 . 【答案】/ 【解析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件. ， ，即该电子元件能正常工作的概率是. 故答案为：. 6．（24-25高一上·河南南阳·期末）甲、乙两个研究小组独立攻坚一项关键技术，假设甲组成功的概率为，乙组成功的概率为，则这项技术研究成功的概率为 . 【答案】 【解析】因为甲、乙研发新产品成功的概率分别为和． 则这项技术研究不成功的概率为， 再根据对立事件的概率之间的公式可得这项技术研究成功的概率为． 故答案为：． 7．（24-25高一上·江西·期末）甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为 . 【答案】0.76/ 【解析】记事件A为“甲零件正常工作”，事件B为“乙零件正常工作”， 事件C为“这两个零件至少有一个正常工作”， 则. 故答案为：0.76 8．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 . 【答案】 【解析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”. 连续上班两天，上班、下班的次数共4次. （1）次均不下雨，概率为：. （2）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：. （3）有次下雨但不被淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨， ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为：. （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：. （5）次均下雨：. 两天都不淋雨的概率为：， 至少有一天淋雨的概率为： . 故答案为：. 9．（23-24高一下·山西太原·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，比赛中甲、乙各投篮10次．已知甲、乙投中的次数都不少于8次，甲投中8次、9次、10次的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙投中8次、9次、10次的概率分别为0.7、0.2、0.1，且甲、乙两人投中与否相互独立，则甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为 ． 【答案】/ 【解析】设甲投中8次、9次、10次分别为事件，乙投中8次、9次、10次分别为事件， 则，， 设甲投中的次数多于乙投中的次数为事件C， 则， 可得 ， 所以甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为0.3. 故答案为：. 10．（23-24高一下·广东肇庆·期末）如图，到的电路中有5个元件，，，，，电流能通过，，，的概率都为0.8，电流能通过的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在与之间通过的概率为 ． 【答案】 【解析】设能通过电流分别为事件,事件相互独立, 设电流能在M与N之间通过为事件B, 所以 . 故答案为：. 11．（23-24高一下·江西景德镇·期中）小王和小陈两名实习生每人各加工一个零件，若小王加工的零件为一等品的概率为，小陈加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 . 【答案】/ 【解析】小王加工的零件为一等品且小陈加工的零件不是一等品的概率为， 小陈加工的零件为一等品且小王加工的零件不是一等品的概率为， 所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为. 故答案为：. 12．（23-24高一下·河南·开学考试）甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为 ． 【答案】/ 【解析】由题意得甲、乙两队获胜的概率均为，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛. 则①再进行两场比赛甲队获胜的概率为； ②再进行三场比赛甲队获胜的概率为； ③再进行四场比赛甲队获胜的概率为， 由互斥事件的概率加法公式，可得最终甲队获胜的概率为． 故答案为. 13．（23-24高一上·河南南阳·期末）某产品的质量检验包括生产过程检验（1PQC）、出货检验（OQC）两个环节，1PQC通过后才能进入OQC环节，OQC通过后才是合格产品.每个检验环节有两次机会（第一次检验未通过可修复后进行第二次检验），已知每个产品每个检验环节第一次通过的概率均为，第二次通过的概率均为，且每次检验是否通过相互独立，则每个产品成为合格品的概率为 . 【答案】 【解析】每个环节两次检验都不通过的概率为， 则每个环节通过的概率均为， 所以每个产品成为合格品的概率为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·山东潍坊·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，则甲以获胜的概率为 . 【答案】 【解析】由题意可得，甲、乙的比分为后，甲、乙又进行了4场比赛，每场比赛结果相互独立， 前2场甲一胜一负，最后2场甲连胜. 则甲以赢得比赛的概率为. 故答案为： 15．（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 【解析】（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”， 则. （2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”， 则. （3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”， 则. 16．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是. (1)分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率. 【解析】（1）设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A、B、C，则， 由题意得，， ∴， ∴或， ∴乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为或乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为. （2）设甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题为事件D， 则 ， ∴甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率为. 17．（23-24高一下·广东广州·期末）某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘. 笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题； 面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是，两道题能否答对相互独立. (1)李明笔试关中能答对的3道题记为，，，不能答对的题记为，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率； (2)求李明被录用的概率. 【解析】（1）样本空间，有6个样本点， 李明通过笔试关的事件，共3个样本点， 所以李明通过笔试关的概率. （2）依题意，李明通过面试关的事件为，则， 李明被录用的事件为，， 所以李明被录用的概率为. 18．（23-24高一下·吉林延边·期末）举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 【解析】（1）记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； （2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 19．（23-24高二下·广西南宁·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立. (1)分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率； (2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率． 【解析】（1）设小明、小王、小红成功解出该道题分别为事件A，B，C， 根据题意，则有，则， 又，所以，即， 又，则． 即小王、小红成功解出这道题的概率分别为，； （2）设三人中至少有两人成功解出这道题为事件D， 则有 ， 所以三人中至少有两人成功解出这道题的概率为． 20．（23-24高一下·河南新乡·期末）在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率； (2)已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率. 【解析】（1）A球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况. 第一种情况：A球队在3场比赛中都是平局，其概率为. 第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为. 故所求概率为. （2）不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜. 此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分. 在剩下的3场比赛中： 若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线； 若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线； 若B与D比赛平局，同理可得A可以出线. 故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线. 若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线. 当B，C，D中有一支队伍胜2场时， 若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为； 若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为. 其他情况A均可以出线. 综上，A球队最终小组出线的概率为. 21．（23-24高一下·广东东莞·期末）某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. (1)若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； (2)若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. 【解析】（1）设2个白球为，3个红球为，则不放回地依次摸出两个球的情况有： , 共有20种情况， 其中摸出的2个球颜色相同的有：，共8种情况， 所以某顾客有一次抽奖机会，其中奖的概率为； （2）设在第次抽奖时中奖为事件， 由于每次抽奖的情况相同，由（1）可知， 设两次抽奖至少有一次中奖为事件，则, 其中为互斥事件，则， 因为每次抽奖之间相互独立， 所以, ， ， 所以， 即若某顾客有两次抽奖机会，则至少有一次中奖的概率为. 22．（23-24高一下·河北保定·期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判. (1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由； (2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率. 【解析】（1）连续掷骰子两次的基本事件的总数为， 两次点数之和为6包含的基本事件有共个， 故乙发球的概率为， 两次点数之和能被4整除包含的基本事件有 共个， 故丙发球的概率为， 所以这个方法不公平； （2）因为在每局比赛中战胜对手的概率均为， 所以本题可用古典概型来解决， 如图所示，用树状图列举每局当裁判的可能，一共有种， 其中甲当2局裁判的可能有种， 所以在四局比赛中甲当2局裁判的概率为 23．（24-25高一上·山东潍坊·期末）某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 【解析】（1）由频率分布直方图得，， 解得． 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，平均成绩为77.5 （2）由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“至少有1名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以至少有1名学生的成绩在内的概率． （3）若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为， ②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为 ③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为； 若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为， ②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为 ③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为 ②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 因为， 所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 概率的综合运用 【题型归纳目录】 题型一：随机事件、事件的运算和样本空间 题型二：互斥事件、对立事件的判断 题型三：独立事件的判断 题型四：古典概型 题型五：独立事件概率的计算 题型六：概率的综合应用 【知识点梳理】 1、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 2、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 3、相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 4、相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【典型例题】 题型一：随机事件、事件的运算和样本空间 【典例1-1】（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（23-24高一下·天津·期末）对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．与同时发生 B．与不能同时发生 C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生 【变式1-1】（23-24高二上·四川凉山·期中）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一上·安徽淮北·期末）掷一枚骰子，设事件出现的点数不大于3，出现的点数为偶数，则（    ） A． B．事件A与是互斥事件 C．出现的点数为2 D．事件A与是对立事件 【变式1-3】（22-23高一下·山西·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（    ） A． B． C．相互独立 D．互斥 题型二：互斥事件、对立事件的判断 【典例2-1】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【典例2-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【变式2-1】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【变式2-2】（22-23高一下·天津南开·期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（    ） A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 题型三：独立事件的判断 【典例3-1】对于事件，下列命题不正确的是（    ） A．如果互斥，那么与也互斥 B．如果对立，那么与也对立 C．如果独立，那么与也独立 D．如果不独立，那么与也不独立 【典例3-2】（23-24高一下·河北唐山·期末）已知是两个随机事件且概率均大于，则下列说法正确的为（    ） A．若与互斥，则与对立 B．若与相互独立，则与互斥 C．若与互斥，则与相互独立 D．若与相互独立，则与相互独立 【变式3-1】（23-24高一下·北京丰台·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则（    ） A．为不可能事件 B．与相互独立 C．B与D互斥 D．C与D互为对立 【变式3-2】（23-24高一下·广西南宁·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立 题型四：古典概型 【典例4-1】（24-25高一下·江西·期中）已知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6．现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为 ． 【典例4-2】（24-25高一上·山东威海·期末）某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ． 【变式4-1】（24-25高一上·江西吉安·期末）吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为 . 【变式4-2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则的概率为 . 9 a 7 b c d 4 e 6 题型五：独立事件概率的计算 【典例5-1】（24-25高一下·江西·期中）已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（23-24高一下·安徽亳州·期末）在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·山西大同·期末）某制造企业有两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【变式5-2】（23-24高一下·河南商丘·期末）某射击运动员每次射击命中十环的概率均为，若该射击运动员连续射击两次，且两次射击相互独立，则至多有一次命中十环的概率为（    ） A． B． C． D． 题型六：概率的综合应用 【典例6-1】（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【典例6-2】（24-25高一上·北京房山·期末）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）： 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 (1)从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率； (2)若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率； (3)现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由． 【变式6-1】（24-25高一上·江西九江·期末）4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (2)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 【变式6-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实践技能大比拼活动，满分100分（95分及以上为优秀医师），共有100人荣获“优秀医师”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄； (2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； (3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为54和1，第五组的年龄的平均数与方差分别为66和4，据此计算这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差. 附： 【强化训练】 1．（22-23高一上·江西吉安·期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是 个． 2．（21-22高一下·山西晋中·期末）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为 . 3．（24-25高一下·江西赣州·期中）某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.2，0.1，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为 . 4．（24-25高一上·河南驻马店·期末）如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 5．（24-25高一上·江西九江·期末）如图，某电子元件由三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，三种部件不能正常工作的概率分别为，各个部件是否正常工作相互独立，同时正常工作或正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是 . 6．（24-25高一上·河南南阳·期末）甲、乙两个研究小组独立攻坚一项关键技术，假设甲组成功的概率为，乙组成功的概率为，则这项技术研究成功的概率为 . 7．（24-25高一上·江西·期末）甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为 . 8．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 . 9．（23-24高一下·山西太原·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，比赛中甲、乙各投篮10次．已知甲、乙投中的次数都不少于8次，甲投中8次、9次、10次的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙投中8次、9次、10次的概率分别为0.7、0.2、0.1，且甲、乙两人投中与否相互独立，则甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为 ． 10．（23-24高一下·广东肇庆·期末）如图，到的电路中有5个元件，，，，，电流能通过，，，的概率都为0.8，电流能通过的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在与之间通过的概率为 ． 11．（23-24高一下·江西景德镇·期中）小王和小陈两名实习生每人各加工一个零件，若小王加工的零件为一等品的概率为，小陈加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 . 12．（23-24高一下·河南·开学考试）甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为 ． 13．（23-24高一上·河南南阳·期末）某产品的质量检验包括生产过程检验（1PQC）、出货检验（OQC）两个环节，1PQC通过后才能进入OQC环节，OQC通过后才是合格产品.每个检验环节有两次机会（第一次检验未通过可修复后进行第二次检验），已知每个产品每个检验环节第一次通过的概率均为，第二次通过的概率均为，且每次检验是否通过相互独立，则每个产品成为合格品的概率为 . 14．（23-24高一上·山东潍坊·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，则甲以获胜的概率为 . 15．（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 16．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是. (1)分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率. 17．（23-24高一下·广东广州·期末）某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘. 笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题； 面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是，两道题能否答对相互独立. (1)李明笔试关中能答对的3道题记为，，，不能答对的题记为，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率； (2)求李明被录用的概率. 18．（23-24高一下·吉林延边·期末）举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 19．（23-24高二下·广西南宁·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立. (1)分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率； (2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率． 20．（23-24高一下·河南新乡·期末）在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率； (2)已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率. 21．（23-24高一下·广东东莞·期末）某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. (1)若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； (2)若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. 22．（23-24高一下·河北保定·期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判. (1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由； (2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率. 23．（24-25高一上·山东潍坊·期末）某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$