专题11 抽样、频率分布直方图、样本估计总体（7大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题11 抽样、频率分布直方图、样本估计总体 【题型归纳目录】 题型一：随机数表法 题型二：分层抽样 题型三：频率分布直方图 题型四：计算一些数据的平均数、方差、众数、中位数、百分位数 题型五：样本估计总体 题型六：分层方差的计算 题型七：平均数、方差的性质 【知识点梳理】 1、统计的相关概念 （1）普查 像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查． （2）总体、个体 在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体．组成总体的每一个调查对象称为个体．为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体． （3）抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查． （4）样本、样本量 我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量． 2、简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样． 3、简单随机抽样的方法 （1）抽签法： 把总体中的N个个体编号，把编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数． （2）随机数法： 用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本．重复上述过程，直到抽足样本所需的个数． ①用随机试验生成随机数； ②用信息技术生成随机数； ③用计算器生成随机数； ④用电子表格软件生成随机数； ⑤用R统计软件生成随机数． 4、总体均值 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称 为总体均值，又称总体平均数． 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式 5、样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称 为样本均值，又称样本平均数． 探究：总体均值与样本均值有何区别与联系？ 答案：（1）区别：当总体中个体较多时，总体均值不易计算，样本均值比较方便计算．总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性． （2）联系：在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值． 6、分层抽样定义 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样． 7、分层抽样适用范围 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层抽样． 8、分层抽样的步骤 （1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分． （2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比k＝． （3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：·Ni （其中Ni为第i层所包含的个体总数）． （4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本． 9、两种抽样方法的区别和联系 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体容量较少 分层抽样 抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取 将总体分成几部分，每一部分按比例抽取 每层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的若干部分组成 10、获取数据的途径 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的，因此如何收集数据，像统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等等都是常见的． （1）通过调查获取数据 适用范围：对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据． 注意事项：充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误． （2）通过试验获取数据． 适用范围：没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据． 注意事项：严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础． （3）通过观察获取数据． 适用范围：自然现象． 注意事项：需要专业测量设备获取观测数据． （4）通过查询获得数据． 适用范围：二手数据． 注意事项：数据来历和渠道多样，所以质量会参差不齐，必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真． 11、频率分布直方图绘制步骤 ①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． ③将数据分组． ④列频率分布表．计算各小组的频率，第i组的频率是． ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度． 12、频率分布直方图意义：各个小长方形的面积表示相应各组的频率，频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于1． 13、总体取值规律的估计：我们可以用样本观测数据的频率分布估计总体的取值规律． 14、频率分布直方图的特征：当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原式数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点． 15、常见的其他统计图：条形图、扇形图、折线图． 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例； 条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率； 折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势． 16、各个统计图特点 （1）不同的统计图在表示数据上有不同的特点．如扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势． （2）不同的统计图适用的数据类型也不同．如条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用于描述连续性数据． 17、第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 18、计算第百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据． 第2步：计算． 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第项数据的平均数． 19、四分位数 常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 20、众数、中位数、平均数定义 （1）众数：一组数据中重复出现次数最多的数． （2）中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置（或中间两个数的平均数）的数叫做这组数据的中位数． （3）平均数：如果个数，那么叫做这个数的平均数． 21、频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 ①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标； ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； ③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 12、方差、标准差的定义 一组数据，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为． 23、总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差．如果总体的个变量值中，不同的值共有个，记为，，其中出现的频数为，则总体方差为． 24、样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差． 25、方差、标准差特征 标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差． 【典型例题】 题型一：随机数表法 【典例1-1】（24-25高一上·江西抚州·期末）2024年10月1日是中华人民共和国建国75周年，为弘扬爱国主义精神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为（   ） 7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198 3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481 A．14 B．02 C．43 D．07 【典例1-2】（24-25高一上·河南南阳·期末）福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号01，02，…，33的33个数字组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（   ） 49  54  43  54  82  17  37  93  23  78  87  35  20  96  43  84  26  34  91  64 57  24  55  06  88  77  04  74  47  67  21  76  33  50  25  83  92  12  06  76 A．23 B．09 C．20 D．17 【变式1-1】（24-25高一上·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 【变式1-2】（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（   ） 0647  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410 9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179 A．36 B．16 C．11 D．14 题型二：分层抽样 【典例2-1】（22-23高一下·云南昭通·期末）高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（   ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 【典例2-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 【变式2-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）某校高一年级有1200名学生，其中男生700名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为72的样本，则应抽取的女生人数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【变式2-2】（24-25高一上·广西钦州·期末）某班有男生32人，女生24人，现在要用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛，则女生被抽取的人数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型三：频率分布直方图 【典例3-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（   ） A． B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250 C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256 D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252 【典例3-2】（23-24高一下·广东广州·期末）从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为 ． 【变式3-1】（24-25高二·上海·课堂例题）为了了解期末英语的测试成绩，我们抽取了三班学生的英语成绩进行分析，各数据段的分布如图（分数取整数），由此估计这次测验的优秀率（不小于80分）为 ． 【变式3-2】（23-24高一下·吉林·期中）将容量为的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为，且后三组数据的频数之和等于66，则 . 题型四：计算一些数据的平均数、方差、众数、中位数、百分位数 【典例4-1】（24-25高一上·江西·期末）某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25高一上·山东威海·期末）已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25 【变式4-1】（10-11高二上·陕西宝鸡·期中）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（   ） A．众数仅是31 B．分位数是 C．极差是38 D．中位数是44 【变式4-3】（24-25高一下·江西·期中）某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，38，26，38，40，则这组数据的70%分位数为（   ） A．26 B．32 C．35 D．38 题型五：样本估计总体 【典例5-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的a值； (2)求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 【典例5-2】（24-25高一上·江西景德镇·期末）课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.    (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)求所得数据的中位数. 【变式5-1】（24-25高一上·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 题型六：分层方差的计算 【典例6-1】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数； (2)为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差. 【典例6-2】（24-25高一上·江西赣州·期末）赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 (2)用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; (3)已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 【变式6-1】（24-25高一上·江西南昌·期末）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的，分位数； (2)若从这个用户中抽取一个容量为的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他个用户的评分分别为，且这个数据的平均数，记这个数据的方差为，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的个数据，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 附：；参考数据：，，. 【变式6-2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员，广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求值，并求这组数据的分位数（精确到0.1）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和方差分别为37和27.已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，据此估计第3组所有人的年龄的方差. 题型七：平均数、方差的性质 【典例7-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的标准差为 ． 【典例7-2】（23-24高一下·安徽六安·期末）若一组数据的方差为1，则数据的标准差为 . 【变式7-1】（23-24高一下·黑龙江·期末）若样本的平均数为8，其方差为3，则样本的平均数为 ，方差为 ． 【变式7-2】（23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的方差为 . 【强化训练】 1．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ） A．的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85 2．（24-25高二下·浙江·期中）某人在一次考试中每门课得分如下：则数据的第百分位数为（  ） A．87.5 B．85 C．90 D．100 3．（24-25高一下·河南·期中）已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（    ） A．8 B．64 C． D．33 4．（2025·陕西汉中·二模）某中学随机抽取了60名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是（   ） 学习时间／分钟 60 70 80 90 100 110 120 人数 9 10 14 12 8 5 2 A．75分钟 B．90分钟 C．95分钟 D．100分钟 5．（24-25高一上·江西·期末）某药品企业研发了一个新药，其药效（单位：药物单位）与某活性成分AHH的含量（单位：mg）近似满足函数关系，为检查其质量，现抽查了8个样本，得到某活性成分AHH的含量的平均为4mg，标准差为2mg，则药效的平均值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 6．（24-25高三上·云南楚雄·期末）按从小到大排列的一组数据的分位数为（    ） A．96 B．96.5 C．97 D．97.5 7．（24-25高一上·北京房山·期末）供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 8．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（   ）    A．， B．， C．， D．， 9．（24-25高一上·江西吉安·期末）在一次数学考试中，某小组11名同学成绩分别为123，92，95，92，110，97，101，97，97，107，121，则该小组数据的第80百分位数为（    ） A．101 B．107 C．110 D．121 10．（24-25高一上·江西·期末）若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（    ） A．5和20 B．5和19 C．6和20 D．6和19 11．（24-25高一上·江西·期末）已知四个不同的实数，，，，其中，，的方差为，，，的方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（24-25高一下·重庆·期中）重庆复旦中学化学选修课的“化学有机小组”对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数大很多，则下面叙述可能正确的是（ ） A．这组数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．这组数据中可能有极端大的值 D．这组数据中的众数可能和中位数相同 13．（多选题）（24-25高一下·安徽宿州·期中）一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（   ） A．众数为65 B．极差为7 C．平均数为65.4 D．80%分位数为67.5 14．（多选题）（24-25高一下·广东广州·期中）某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，，，，，，，，，则（   ） A．中位数是88.5 B．上四分位数是91 C．下四分位数是80 D．极差是30 15．（22-23高一下·天津·期末）某工厂对一批产品的长度（单位：）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在以下的产品有30个，则长度在区间内的产品个数为 .    16．（24-25高一下·广东广州·期末）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2m到12m之间，把获得的所有数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，如果有4名学生的成绩在10m到12m之间，则参加“掷实心球”项目测试的人数为 ．    17．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知数据的平均数为5，则数据的平均数是 . 18．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）若一组数据，，的平均数为4，则数据，，的平均数为 ． 19．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知一组数据的百分位数，则数据的百分位 ． 20．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知一组数据，则这组数据的第百分位数是 . 21．（24-25高一上·山东威海·期末）研究小组经过研究发现某种病毒的感染者与未感染者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到感染者和未感染者该指标的频率分布直方图如下： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将感染者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未感染者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中的值及未感染者该指标的中位数； (2)当漏诊率时，求临界值和误诊率； (3)设函数，当时，求的解析式，并求在上的最小值． 22．（24-25高一上·陕西汉中·期末）甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击次，组委会从两人的成绩中各随机抽取次成绩（满分分），如下表所示： 甲射击成绩 乙射击成绩 (1)分别求出甲、乙两名运动员次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好? 23．（24-25高一上·陕西·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 24．（24-25高一上·北京西城·期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ (2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 抽样、频率分布直方图、样本估计总体 【题型归纳目录】 题型一：随机数表法 题型二：分层抽样 题型三：频率分布直方图 题型四：计算一些数据的平均数、方差、众数、中位数、百分位数 题型五：样本估计总体 题型六：分层方差的计算 题型七：平均数、方差的性质 【知识点梳理】 1、统计的相关概念 （1）普查 像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查． （2）总体、个体 在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体．组成总体的每一个调查对象称为个体．为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体． （3）抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查． （4）样本、样本量 我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量． 2、简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样． 3、简单随机抽样的方法 （1）抽签法： 把总体中的N个个体编号，把编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数． （2）随机数法： 用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本．重复上述过程，直到抽足样本所需的个数． ①用随机试验生成随机数； ②用信息技术生成随机数； ③用计算器生成随机数； ④用电子表格软件生成随机数； ⑤用R统计软件生成随机数． 4、总体均值 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称 为总体均值，又称总体平均数． 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式 5、样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称 为样本均值，又称样本平均数． 探究：总体均值与样本均值有何区别与联系？ 答案：（1）区别：当总体中个体较多时，总体均值不易计算，样本均值比较方便计算．总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性． （2）联系：在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值． 6、分层抽样定义 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样． 7、分层抽样适用范围 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层抽样． 8、分层抽样的步骤 （1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分． （2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比k＝． （3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：·Ni （其中Ni为第i层所包含的个体总数）． （4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本． 9、两种抽样方法的区别和联系 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体容量较少 分层抽样 抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取 将总体分成几部分，每一部分按比例抽取 每层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的若干部分组成 10、获取数据的途径 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的，因此如何收集数据，像统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等等都是常见的． （1）通过调查获取数据 适用范围：对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据． 注意事项：充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误． （2）通过试验获取数据． 适用范围：没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据． 注意事项：严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础． （3）通过观察获取数据． 适用范围：自然现象． 注意事项：需要专业测量设备获取观测数据． （4）通过查询获得数据． 适用范围：二手数据． 注意事项：数据来历和渠道多样，所以质量会参差不齐，必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真． 11、频率分布直方图绘制步骤 ①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． ③将数据分组． ④列频率分布表．计算各小组的频率，第i组的频率是． ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度． 12、频率分布直方图意义：各个小长方形的面积表示相应各组的频率，频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于1． 13、总体取值规律的估计：我们可以用样本观测数据的频率分布估计总体的取值规律． 14、频率分布直方图的特征：当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原式数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点． 15、常见的其他统计图：条形图、扇形图、折线图． 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例； 条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率； 折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势． 16、各个统计图特点 （1）不同的统计图在表示数据上有不同的特点．如扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势． （2）不同的统计图适用的数据类型也不同．如条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用于描述连续性数据． 17、第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 18、计算第百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据． 第2步：计算． 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第项数据的平均数． 19、四分位数 常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 20、众数、中位数、平均数定义 （1）众数：一组数据中重复出现次数最多的数． （2）中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置（或中间两个数的平均数）的数叫做这组数据的中位数． （3）平均数：如果个数，那么叫做这个数的平均数． 21、频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 ①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标； ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； ③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 12、方差、标准差的定义 一组数据，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为． 23、总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差．如果总体的个变量值中，不同的值共有个，记为，，其中出现的频数为，则总体方差为． 24、样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差． 25、方差、标准差特征 标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差． 【典型例题】 题型一：随机数表法 【典例1-1】（24-25高一上·江西抚州·期末）2024年10月1日是中华人民共和国建国75周年，为弘扬爱国主义精神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为（   ） 7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198 3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481 A．14 B．02 C．43 D．07 【答案】D 【解析】由随机数表法可知，前四名学生的编号依次为：、、、， 因此，选取的第四个编号为. 故选：D. 【典例1-2】（24-25高一上·河南南阳·期末）福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号01，02，…，33的33个数字组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（   ） 49  54  43  54  82  17  37  93  23  78  87  35  20  96  43  84  26  34  91  64 57  24  55  06  88  77  04  74  47  67  21  76  33  50  25  83  92  12  06  76 A．23 B．09 C．20 D．17 【答案】B 【解析】左到右依次选取两个数字，依次选取为：21，32，09， 故选：B． 【变式1-1】（24-25高一上·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 【答案】D 【解析】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14， 57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16， 则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16． 故选：D 【变式1-2】（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（   ） 0647  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410 9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179 A．36 B．16 C．11 D．14 【答案】C 【解析】由左至右依次读取，编号为：， 所以选出来的第5个零件编号是. 故选：C 题型二：分层抽样 【典例2-1】（22-23高一下·云南昭通·期末）高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（   ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 【答案】A 【解析】利用分层抽样的方法得，高一（1）班应抽出（人）， 高一（2）班应抽出（人）， 高一（3）班应抽出（人）， 则高一（1）班，高一（2）班，高一（3）班分别被抽取的人数是15，9，12， 故选：A. 【典例2-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 【答案】C 【解析】行政人员占的比例为，故行政人员应抽取的人数为. 故选：C． 【变式2-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）某校高一年级有1200名学生，其中男生700名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为72的样本，则应抽取的女生人数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【解析】设应抽取的女生人数是， 所以，计算得. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·广西钦州·期末）某班有男生32人，女生24人，现在要用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛，则女生被抽取的人数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】女生被抽取的人数为. 故选：B 题型三：频率分布直方图 【典例3-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（   ） A． B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250 C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256 D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252 【答案】D 【解析】对于选项A: 由频率直方图可知组距为则 化简得因此选项A是正确的. 对于选项B：从图中可以看出,频率最高的矩形对应的区间是[240, 260], 其中点为，即选项B是正确的. 对于选项C：易知 ，可得C是正确的. 对于选项D：从图中可以看出, 前两个区间的累计频率为， 前三个区间的累计频率为 因此中位数位于第三个区间，设中位数为 , 则可得 解得，即选项D是错误的. 故选：D. 【典例3-2】（23-24高一下·广东广州·期末）从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为 ． 【答案】 【解析】由频率分布直方图可得，解得， 所以月用电量落在区间的频率为， 所以在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为. 故答案为： 【变式3-1】（24-25高二·上海·课堂例题）为了了解期末英语的测试成绩，我们抽取了三班学生的英语成绩进行分析，各数据段的分布如图（分数取整数），由此估计这次测验的优秀率（不小于80分）为 ． 【答案】/ 【解析】由图可知，的频率为； 的频率为 所以不小于分的频率为 以频率估计概率，这次测验的优秀率为 故答案为：0.56 【变式3-2】（23-24高一下·吉林·期中）将容量为的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为，且后三组数据的频数之和等于66，则 . 【答案】120 【解析】根据题意，频率＝频数比总数，知道频率之比为频数之比，后三组频数之比. 频数分别设为，则总数为，则， 解得，则. 故答案为：120. 题型四：计算一些数据的平均数、方差、众数、中位数、百分位数 【典例4-1】（24-25高一上·江西·期末）某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平均数为. 因此，估计该校学生的平均身高是. 故选：C. 【典例4-2】（24-25高一上·山东威海·期末）已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25 【答案】C 【解析】由题意可知：数据的极差为：，故A错误； 数据的中位数为：，故B错误； 因为，故数据的第70%分位数为第6个数，故C正确； 因为数据的平均数为：，故D错误. 故选：C 【变式4-1】（10-11高二上·陕西宝鸡·期中）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将这些数从小到大重新排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17， 故其中位数，众数， 平均数， 故. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（   ） A．众数仅是31 B．分位数是 C．极差是38 D．中位数是44 【答案】B 【解析】由题知，每个数出现的次数都是一次，A错误； 将这10个数据从小到大排列为31，32，38，41，47，48，58，63，68，82； 易知为整数，所以分位数是第1个数与第2个数的平均值， 即为，B正确； 极差为，C错误； 中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，D错误. 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一下·江西·期中）某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，38，26，38，40，则这组数据的70%分位数为（   ） A．26 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【解析】这组数据从小到大的排列为26，28，32，38，38，40，48． 因为，所以这组数据的70%分位数为38． 故选：D 题型五：样本估计总体 【典例5-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的a值； (2)求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 【解析】（1）由题意可得，解得. （2）由题意可知：， 所以业主评分平均数的估计值为74. （3）评分低于70分的三组频率之比为， 故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为， 即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8. 【典例5-2】（24-25高一上·江西景德镇·期末）课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.    (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)求所得数据的中位数. 【解析】（1）根据题意，时间在内的有80人，频率为， 所以， 再由频率分布直方图可知：， 解得 ； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ； （3）显然中位数位于内，设中位数为， 则， 解得：. 【变式5-1】（24-25高一上·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【解析】（1）由图可得，得. （2）设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为， 因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.5. 所以，由，得. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨. （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差 题型六：分层方差的计算 【典例6-1】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数； (2)为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差. 【解析】（1）由题意得：，解得， 抽取的样本中，设第百分位数为， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以，， 则， 解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为. （2）由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、， 在的有人，设为、、. 则样本空间为， ， 设事件两人分别来自和， 则，则， 因此，所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为， 在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为； 这个数据的平均数为，方差为. 由题意，，，，， 且，，则. 由分层抽样方差公式可得： 故得分在内的平均数为，方差为. 【典例6-2】（24-25高一上·江西赣州·期末）赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 (2)用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; (3)已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 【解析】（1）由，解得 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为 （2）从中抽取2人，记为A，B， 从中抽取3人，记为a，b，c 所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：，共有10种情况， 取到2人满意度分值在同一区间有有4种情况，所以概率为， 人满意度分值在同一区间的概率为； （3）满意度分值在的频率为，人数为 在的频率为，人数为30， 满意度分值在的平均数，方差， 在的平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数， 满意度分值在的方差为s22-2] 【变式6-1】（24-25高一上·江西南昌·期末）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的，分位数； (2)若从这个用户中抽取一个容量为的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他个用户的评分分别为，且这个数据的平均数，记这个数据的方差为，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的个数据，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 附：；参考数据：，，. 【解析】（1）由表可知这个用户评分按从小到大排列如下：，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ， 因为，， 所以这个用户评分的，分位数分别为第项数据和第项和第项数据的平均数， 分别为，，据此估计该地区所有用户评分的，分位数分别约为和． （2）设丢失数据为， 则，解得， 所以 ， 由题意知评分在，即内的满意度等级为“级”， 样本中评分在内的有人， 则可估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为. （3）由题意，，，， 因为老系统的10个数据占两个系统所有数据总和的 所以，， 即新老系统所有评分的方差为. 【变式6-2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员，广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求值，并求这组数据的分位数（精确到0.1）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和方差分别为37和27.已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，据此估计第3组所有人的年龄的方差. 【解析】（1）由表中数据可得，解得， 设第40百分位数为， 因为前2组频率 前3组频率，所以位于第三组：内 即. （2）由题意得，第2组和第3组的频率分别为， 故第2组和第3组所抽取的人数分别为 设第2组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，第2组人数3人， 设第3组的宣传使者的年龄平均数为，方差为， 第3组人数7人第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则，求得， 即第3组所有宣传使者的年龄平均数为40， .解得， 即第3组所有宣传使者的年龄方差为6. 题型七：平均数、方差的性质 【典例7-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的标准差为 ． 【答案】 【解析】因为数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为， 则数据，，…，的标准差为. 故答案为：. 【典例7-2】（23-24高一下·安徽六安·期末）若一组数据的方差为1，则数据的标准差为 . 【答案】2 【解析】数据的方差为， 故数据的标准差为. 故答案为：2 【变式7-1】（23-24高一下·黑龙江·期末）若样本的平均数为8，其方差为3，则样本的平均数为 ，方差为 ． 【答案】 9. 3. 【解析】易知，即可知， 所以，可得的平均数为9； 而，即， 所以， 所以样本的方差为3； 故答案为：9，3. 【变式7-2】（23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的方差为 . 【答案】/ 【解析】一组数据的方差是， 另一组数据的方差为. 故答案为： 【强化训练】 1．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ） A．的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85 【答案】D 【解析】对于A：由频率分布直方图可得，解得，故A正确； 对于B：由图易得在区间的人最多，故可估计这组数据的众数为，故B正确； 对于C：，故成绩低于分的有人，即C正确； 对于D：由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：， 故这组数据的第85百分位数在第五组数据中， 设这组数据的第85百分位数为， 则有，解得， 即估计这组数据的第85百分位数为86，故D错误. 故选：D. 2．（24-25高二下·浙江·期中）某人在一次考试中每门课得分如下：则数据的第百分位数为（  ） A．87.5 B．85 C．90 D．100 【答案】C 【解析】把以上六个数据按从小到大排列：， 由，所以取第5个数作为第75百分位数，即90， 故选：C. 3．（24-25高一下·河南·期中）已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（    ） A．8 B．64 C． D．33 【答案】A 【解析】由题意，样本数据的方差为16， 则样本，，，…，的方差为， 所以样本，，，…，的标准差为． 故选：A 4．（2025·陕西汉中·二模）某中学随机抽取了60名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是（   ） 学习时间／分钟 60 70 80 90 100 110 120 人数 9 10 14 12 8 5 2 A．75分钟 B．90分钟 C．95分钟 D．100分钟 【答案】C 【解析】因为，所以第75百分位数是所有数据从小到大排列的第45项和第46项的平均数， 由表中数据可知，第45项为90，第46项为100，所以第75百分位数是分钟． 故选：C. 5．（24-25高一上·江西·期末）某药品企业研发了一个新药，其药效（单位：药物单位）与某活性成分AHH的含量（单位：mg）近似满足函数关系，为检查其质量，现抽查了8个样本，得到某活性成分AHH的含量的平均为4mg，标准差为2mg，则药效的平均值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【解析】由题意：， ， 则 即， 所以. 所以 . 故选：A 6．（24-25高三上·云南楚雄·期末）按从小到大排列的一组数据的分位数为（    ） A．96 B．96.5 C．97 D．97.5 【答案】D 【解析】共10个数，，所以分位数为第8个，第9个数据的平均数，即 故选：D 7．（24-25高一上·北京房山·期末）供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 【答案】C 【解析】对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是， 有（人），故选项A正确； 对于B：12月份用电量不低于20度的频率是， 有（人），故选项B正确； 对于C：12月份人均用电量为： （度），故选项C错误； 对于D，用电量在的有：人， 所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在一组的概率为，故选项D正确. 故选：C. 8．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】， 故， ， ，故， 故选：B. 9．（24-25高一上·江西吉安·期末）在一次数学考试中，某小组11名同学成绩分别为123，92，95，92，110，97，101，97，97，107，121，则该小组数据的第80百分位数为（    ） A．101 B．107 C．110 D．121 【答案】C 【解析】数据从小到大排序为：92，92，95，97，97，97，101，107，110，121，123， 因为，所以数据的第80百分位数为第9项数据110， 故选：C 10．（24-25高一上·江西·期末）若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（    ） A．5和20 B．5和19 C．6和20 D．6和19 【答案】A 【解析】因为样本，，…，的平均数和方差分别为3和5， 所以样本，，…，的平均数和方差分别为和. 故选：A 11．（24-25高一上·江西·期末）已知四个不同的实数，，，，其中，，的方差为，，，的方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 同理， 由题意得， 即，整理可得， 因为，所以． 故选:B． 12．（多选题）（24-25高一下·重庆·期中）重庆复旦中学化学选修课的“化学有机小组”对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数大很多，则下面叙述可能正确的是（ ） A．这组数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．这组数据中可能有极端大的值 D．这组数据中的众数可能和中位数相同 【答案】ACD 【解析】一组数据的中位数比平均数大很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值， 即可能有异常值，故正确； 当数据近似对称时，平均数与中位数应接近相等，故错误； 一组数据的中位数比平均数大很多，众数可能和中位数相同，故正确. 故选：. 13．（多选题）（24-25高一下·安徽宿州·期中）一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（   ） A．众数为65 B．极差为7 C．平均数为65.4 D．80%分位数为67.5 【答案】ABD 【解析】由题意知样本数据从小到大排列如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69， 65出现次数最多，故众数为65，故A正确； 极差为，故B正确； 平均数，故C错误； ，所以80%分位数为，故D正确． 故选：ABD． 14．（多选题）（24-25高一下·广东广州·期中）某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，，，，，，，，，则（   ） A．中位数是88.5 B．上四分位数是91 C．下四分位数是80 D．极差是30 【答案】BCD 【解析】将数据从小到大排列，有，，，，，，，，. 对于A，因数据个数为9，则中位数为第5个数据，即89，故A错误； 对于B，上四分位数为分位数，因，则上四分位数为第7个数据， 即91，故B正确； 对于C，下四分位数为分位数，因，则下四分位数为第3个数据， 即80，故C正确； 对于D，极差为，故D正确. 故选：BCD 15．（22-23高一下·天津·期末）某工厂对一批产品的长度（单位：）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在以下的产品有30个，则长度在区间内的产品个数为 .    【答案】55 【解析】由频率分布直方图可知，长度在区间内的频率为 ， 长度在以下的频率为 则长度在区间内的产品个数为， 故答案为：55. 16．（24-25高一下·广东广州·期末）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2m到12m之间，把获得的所有数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，如果有4名学生的成绩在10m到12m之间，则参加“掷实心球”项目测试的人数为 ．    【答案】 / 【解析】由，得. 学生的成绩在10m到12m之间的频率为，频数为， 所以参加“掷实心球”项目测试的人数为（人）. 故答案为：；. 17．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知数据的平均数为5，则数据的平均数是 . 【答案】13 【解析】因为数据的平均数为5， 所以， ， 所以的平均数是13. 故答案为：13. 18．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）若一组数据，，的平均数为4，则数据，，的平均数为 ． 【答案】10 【解析】若一组数据，，的平均数为4， 则数据，，的平均数为． 故答案为：10 19．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知一组数据的百分位数，则数据的百分位 ． 【答案】 【解析】若一组数据的百分位数，则数据的百分位. 故答案为：. 20．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知一组数据，则这组数据的第百分位数是 . 【答案】 【解析】数据小到大排列为：12，25，30，42，50，68共6个数字，， 所以这组数据的第百分位数是第五个数50. 故答案为：50. 21．（24-25高一上·山东威海·期末）研究小组经过研究发现某种病毒的感染者与未感染者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到感染者和未感染者该指标的频率分布直方图如下： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将感染者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未感染者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中的值及未感染者该指标的中位数； (2)当漏诊率时，求临界值和误诊率； (3)设函数，当时，求的解析式，并求在上的最小值． 【解析】（1）在感染者该指标的频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1， 所以，解得， 在未感染者该指标的频率分布直方图中，前两个小矩形的面积之和为， 前三个小矩形的面积之和为， 所以未感染者该指标的中位数在第三组，且为； （2）依题可知，第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得， ． （3）当时， ； 当时， ， 故， 所以在区间的最小值为． 22．（24-25高一上·陕西汉中·期末）甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击次，组委会从两人的成绩中各随机抽取次成绩（满分分），如下表所示： 甲射击成绩 乙射击成绩 (1)分别求出甲、乙两名运动员次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好? 【解析】（1）甲运动员次射击成绩的平均数为； 乙运动员次射击成绩的平均数为； 甲运动员次射击成绩的方差为； 乙运动员次射击成绩的方差为； （2）甲、乙两名运动员的平均成绩相同，方差， 甲运动员的射击成绩更稳定，即甲运动员射击成绩更好. 23．（24-25高一上·陕西·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【解析】（1）， ． 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第80百分位数， ，解得， 第80百分位数为86． （2）由频率分布直方图知，样本成绩为，，的三组答卷的市民有个样本， 成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应在答卷成绩为的市民中，抽取人． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 总平均数， 总方差为． 24．（24-25高一上·北京西城·期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ (2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【解析】（1）由频率分布直方图及分层抽样的概念得： 应从评分在内的用户中抽取的人数为：； （2）由频率分布直方图得： B地区用户对该公司产品的评分小于60分的概率为：， B地区用户对该公司产品的评分大于60分的概率为：， 设这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分为事件A， 则； （3）， ， 所以 ，， 则. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$