专题10 立体几何中的角度、距离、体积问题（5大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题10 立体几何中的角度、距离、体积问题 【题型归纳目录】 题型一：线线角 题型二：线面角 题型三：二面角 题型四：点面距、线面距、面面距 题型五：锥体体积问题 【知识点梳理】 考点一：求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 考点二：异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 考点三：直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 考点四：作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 考点五：求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解． 【典型例题】 题型一：线线角 【典例1-1】（24-25高一下·天津·期中）已知边长为2的正方形，将沿对角线AC折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，若E为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【典例1-2】（24-25高一下·湖南常德·期中）如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中错误的是（   ） A．与平行 B．与为异面直线 C．与成60°角 D．与垂直 【变式1-1】（24-25高一下·浙江温州·期中）在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 题型二：线面角 【典例2-1】（24-25高一下·天津津南·期中）如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 【典例2-2】（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【变式2-1】（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 【变式2-2】（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 题型三：二面角 【典例3-1】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【典例3-2】（24-25高一下·湖南长沙·期中）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 【变式3-1】（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 题型四：点面距、线面距、面面距 【典例4-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 【典例4-2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【变式4-1】（23-24高一下·天津滨海新·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求点到平面的距离. 【变式4-2】（23-24高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 题型五：锥体体积问题 【典例5-1】（24-25高一下·陕西西安·期中）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，． (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值； (3)若，求多面体的体积. 【典例5-2】（24-25高一下·山东·期中）如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为. (1)求四棱锥的体积； (2)判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积. 【变式5-1】（24-25高一下·广东广州·期中）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆. (1)求其母线长； (2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积； (3)求此圆锥外接球的表面积. 【变式5-2】（24-25高一下·广东茂名·期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点. (1)求证：∥平面； (2)求三棱锥的体积. 【变式5-3】（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在直三棱柱中，，为的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直三棱柱的表面积． (3)求三棱锥的体积； 【强化训练】 1．（24-25高一下·浙江·期中）如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京大兴·期中）如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（    ）    A．9π B．10π C．12π D．14π 6．（2025·广东佛山·二模）已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（    ） A． B． C．2 D．3 7．（2025·北京·模拟预测）如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（24-25高一下·云南·期中）如图所示，在正三角形中，分别为边的中点，其中，把沿着翻折至的位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是（    ） A．点到平面的距离为 B． C．直线与直线所成的角的正弦值为 D．四棱锥的外接球半径为 9．（多选题）（24-25高一下·福建厦门·期中）已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（    ） A．圆台的体积 B．与底面所成的角为 C．二面角小于 D．正四棱台的外接球的表面积为 10．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 11．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 12．（22-23高一下·山东临沂·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，侧面底面，． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值． 13．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 14．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，多面体中，四边形为矩形，，，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 15．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线到平面的距离． 17．（24-25高一下·云南昭通·期中）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，是线段的中点，是线段上的动点． (1)与所成的角是否为定值，试说明理由； (2)若，求四面体的体积． 18．（24-25高一下·福建泉州·期中）（1）计算：； （2）若复数，求； （3）如图正四棱台的上、下底面边长分别为和，高为，求它的体积 19．（24-25高一下·广东汕头·期中）在平面直角坐标系中，已知、、. (1)若、、三点共线，求实数的值； (2)若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的体积. 20．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，圆柱轴截面是正方形，，点E在底面圆周上（除外），，F为垂足． (1)求证：平面； (2)当直线DE与平面所成角的正切值为时，求三棱锥的体积． 21．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积. 22．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 23．（24-25高一下·山东·期中）如图，在高为的四棱台中，上底面和下底面的面积分别为． (1)证明：四棱台的体积； (2)已知为正四棱台，且，，． （i）求正四棱台的体积； （ii）记几何体与几何体的体积分别为，求的值． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 立体几何中的角度、距离、体积问题 【题型归纳目录】 题型一：线线角 题型二：线面角 题型三：二面角 题型四：点面距、线面距、面面距 题型五：锥体体积问题 【知识点梳理】 考点一：求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 考点二：异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 考点三：直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 考点四：作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 考点五：求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解． 【典型例题】 题型一：线线角 【典例1-1】（24-25高一下·天津·期中）已知边长为2的正方形，将沿对角线AC折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，若E为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】 取中点为，因为为中点，所以， 即为异面直线和所成角或其补角， 设到平面的距离为，则， 因为当平面平面时，取得最大值， 所以当平面平面时，以四点为顶点的三棱锥体积最大， 又因为正方形边长为，所以，，且， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，即， 故异面直线和所成角的正切值为， 故选：A. 【典例1-2】（24-25高一下·湖南常德·期中）如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中错误的是（   ） A．与平行 B．与为异面直线 C．与成60°角 D．与垂直 【答案】A 【解析】还原成正四面体， 如图，由异面直线判定定理： 易知与为异面直线，A错， 与为异面直线，B对， 易知：，又， 所以与成角，C对， 因为正四面体对棱垂直，所以， 所以，D对， 故选：A 【变式1-1】（24-25高一下·浙江温州·期中）在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接、，由题可得，又， 则四边形为平行四边形，则， 即，所成角，即为与所成角或其补角， 又由题可得，， 则. 因此，异面直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以异面直线与所成的角为. 故选：B 题型二：线面角 【典例2-1】（24-25高一下·天津津南·期中）如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而平面，OD平面， 所以平面. （2）由，是的中点，得， 由平面，得平面，又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面， 所以平面平面 （3）在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【典例2-2】（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【解析】（1）点为中点，且， ∴， ∴， 又， ∴，故 ，即， ，平面， ∴平面， ∵平面， ∴. ∵， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 又，平面， ∴平面； （2）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，又，平面， 所以平面. 则为与平面所成的角. ，由勾股定理得， 所以，其中， 则. 【变式2-1】（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 【解析】（1）设，连接，如图： 四边形是正方形，所以. 因为底面，底面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由1知平面于， 为与平面所的角， ，分别为、的中点， ，， 又底面， 底面，底面，， 在中，， ，即与平面所成的角的大小为． 【变式2-2】（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）连接，如图： 因为三棱柱为直三棱柱，所以四边形为矩形， 又为中点，所以也是中点，且为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为，，所以； 又平面，平面，所以， 因为平面，， 所以平面平面，所以. 平面平面，平面平面，平面, 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中：，，, 所以. 题型三：二面角 【典例3-1】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【解析】（1）由题意知，，， 则，故， 又，且，平面，故平面， 而平面，故平面平面． （2）由可得，由（1）知平面， 所以， 又，所以． （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面，平面，故， 因为，，平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． 【典例3-2】（24-25高一下·湖南长沙·期中）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 【解析】（1）连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得. （2）因为平面，在平面， 所以， 又又分别在平面与平面内， 平面与平面的交线为， 所以即为平面与平面所成角的平面角， 又，，分别是中点， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； （3）由，， 由棱台的结构特征可知，又为的中点， 易知与平行且相等， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又在平面外，在平面内， 所以平面. 【变式3-1】（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； （2）在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； （3）在立体图形中延长BE，CD，设，连接． 平面，平面． 又平面，平面． 是平面与平面的交线， 平面平面BCDE，，平面平面， 平面，又平面， ，， 作，垂足为，连接CH， 又，平面， 平面OCH，又平面OCH， ． 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 由勾股定理得，， 故，为等边三角形， 在Rt中，，， 所以，又，故， 由勾股定理得， 所以， 又，在中，， ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值． 题型四：点面距、线面距、面面距 【典例4-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以； （3）在平面内过点作交于点， 因为，，，所以， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. 【典例4-2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【解析】（1）连接BD，交AC于O，连接， ∵四边形是正方形，∴， 由棱台的性质可得， 由，， 可得，则，， ∴四边形是平行四边形，则， 又∵平面， 平面， ∴平面； （2）因为平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离， 取中点，连，，因为，且， 所以是平行四边形，则，而平面， 故平面，又平面，故， ，得， 又，所以， 所以， 所以， 设到平面的距离为，又因为平面，到平面的距离为， 因为，所以， 所以 故直线到平面的距离为. 【变式4-1】（23-24高一下·天津滨海新·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）由正方体性质可知平面， 而平面，所以，即 由四边形为正方形，可得； 又，平面， 所以平面； （2）易知， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 在中，易知，且， 因此， 即异面直线与所成角的正切值为； （3）易知点到平面的距离与点到平面的距离相等， 易知三棱锥中，且； 所以， 设点到平面的距离为， 由可得， 解得； 即点到平面的距离为. 【变式4-2】（23-24高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 题型五：锥体体积问题 【典例5-1】（24-25高一下·陕西西安·期中）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，． (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值； (3)若，求多面体的体积. 【解析】（1）取的中点，连接， 由分别为的中点，得，， 而，且，则，且 ， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，，则为直线与所成角， 由平面，，得平面，而平面， 则，，， 直角梯形中，， 则， 在中，由可得， 在中，，， 在中，，， 所以与所成角的余弦值为. （3）在棱柱中，取中点，连接，则， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，而，， 四棱锥的体积，由，得， 三棱柱的体积， 所以多面体的体积为. 【典例5-2】（24-25高一下·山东·期中）如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为. (1)求四棱锥的体积； (2)判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积. 【解析】（1）三棱柱的体积， 三棱锥的体积为 所以四棱锥的体积. （2）为直角三角形， 理由：由题意得，，， 从而，即，可得为直角三角形， 所以， 所以 ， 因此几何体的表面积为. 【变式5-1】（24-25高一下·广东广州·期中）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆. (1)求其母线长； (2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积； (3)求此圆锥外接球的表面积. 【解析】（1）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为，高为， 由题意知，侧面展开图的弧长，则， 则圆锥高， 由其轴截面的面积为，解得，则， 则其母线长为. （2）设正四棱柱的高为，棱长为， 则，则正四棱柱的底面对角线的长为，底面对角线的一半长为， 由图可得，所以， 故正四棱柱的体积为， 因圆锥体积为. 所以该几何体的体积为. （3）设底面圆周上一点为，底面圆心为，球心为，球的半径为， 则在中有，， 即，得， 则圆锥外接球的表面积为 【变式5-2】（24-25高一下·广东茂名·期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点. (1)求证：∥平面； (2)求三棱锥的体积. 【解析】（1）连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 因为平面，平面，所以∥平面. （2）因为， 在中，，E为的中点，， 可得， 所以. 【变式5-3】（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在直三棱柱中，，为的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直三棱柱的表面积． (3)求三棱锥的体积； 【解析】（1）在直三棱柱中，连接交于点，连接， 由四边形为矩形，得为的中点，而为的中点，， 又平面，平面，所以平面． （2）在直三棱柱三棱柱中，侧面，，均为矩形， 又，则底面，均为直角三角形， 由，，得， 所以三棱柱的表面积为 . （3）依题意，平面，平面，则，又， 平面，于是平面， 由为的中点，得点到平面的距离等于点到平面距离的一半，为， 而的面积， 所以三棱锥的体积. 【强化训练】 1．（24-25高一下·浙江·期中）如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知形成三棱锥，如图： 取的中点，连接，，过点作于点，连接， 因为，所以，，， 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面，所以平面， 故为与平面所成角， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以，且， 因为，所以，又， 所以，在直角三角形中，， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：D 2．（24-25高一下·北京大兴·期中）如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，因为平面，平面，所以， 所以，， 所以，点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部， 连接交于点，因为四边形为正方形，所以为的中点，且， 因为正方形的边长为，则，所以， 设点到的距离为，则， 所以，面积的最小值为， 故， 即三棱锥体积的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 取棱的中点，连接，，又是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角. 设，则，，. 在中，由余弦定理可得， 则，所以. 故选：A 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，所以梯形的高， 所以，则，又， 所以，即， 当平面平面时，三棱锥的体积最大， 又平面平面，平面，所以平面. 的中点为球心，取的中点，则为的中位线， 所以，平面. 以为直径的球被平面所截的截面为圆面， 由以上分析可知点为该圆的圆心，其半径， 该圆面面积为. 故选：B 5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（    ）    A．9π B．10π C．12π D．14π 【答案】C 【解析】设圆柱的底面半径为， 因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的母线长为， 因为为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径， 所以， 所以当点到平面的距离最大时三棱锥的体积取得最大值， 所以当平面时，三棱锥的体积取得最大值， 所以，解得， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：C 6．（2025·广东佛山·二模）已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为， 因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为， 取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上， 如下图所示： 根据线面角的定义知，则，因为，， 所以，在中，， 所以，解得或，即. （若球心O在的延长线上时，，求得，此时） 故选：D. 7．（2025·北京·模拟预测）如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取、的中点、，连接，，， 则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则， ，得， 在直角梯形中，，则， 则正四棱台的体积为. 故选：B 8．（多选题）（24-25高一下·云南·期中）如图所示，在正三角形中，分别为边的中点，其中，把沿着翻折至的位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是（    ） A．点到平面的距离为 B． C．直线与直线所成的角的正弦值为 D．四棱锥的外接球半径为 【答案】ACD 【解析】A选项，如图1所示，作，交于，延长交于，连接， 则，故为二面角的平面角， 故， 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面， 在平面中作，交于点， 由面面垂直的性质可知平面， 故的长即为点到平面的距离， 在正三角形中，， ，故A正确； B选项，为边的中点，故， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，，故为等边三角形， 故， 在中，，由勾股定理得， 则，由勾股定理逆定理得与不垂直，故B错误； C选项，连接，易得，， 就是直线与所成的角，， 故，所以，故C正确； D选项，易得，故为底面梯形的外接圆的圆心， 设四棱锥的外接球的球心为，则平面，且. 若在平面的上方，如图1所示：设，外接球的半径为， 过作的垂线，垂足为，则， 易得，解得，舍去； 故在平面的下方，如图2所示：设，外接球的半径为， 过作的垂线，垂足为，则， 易得，解得， ，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）（24-25高一下·福建厦门·期中）已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（    ） A．圆台的体积 B．与底面所成的角为 C．二面角小于 D．正四棱台的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】根据题意，作图如下： 过作，作截面的平面图，易知为等腰梯形， 且为中点，易得 故，即圆台的高， 又 又，即四棱台的上下底面长分别为和； 对A：圆台的体积 ，故A正确； 对B：易得即为与底面所成角， 在三角形中 又，故，即与底面所成的角为，故B正确； 对C：过作，垂足为，连接 由面，//，则面，又面，故， 又，面，故面， 又面，故，则即为二面角的平面角； ，又， 故，由B选项知，结合在单调递增可知，故C错误； 对D：设外接球半径为，球心到下底距离为，在的平面图中，为球心， 则，故，解得； 故表面积，故D正确； 故选：ABD 10．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【答案】 【解析】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 11．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 【解析】（1）在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）由三棱柱所有棱长都为2，，得都是正三角形， 而O为BC中点，则，，平面，， 于是平面，又，则平面， 为直线与平面所成角， 因此，，而平面，则， 又为中点，则， 在中，，，则， 由，，得是二面角的平面角， 所以二面角的大小. 12．（22-23高一下·山东临沂·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，侧面底面，． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值． 【解析】（1）四棱锥的底面是正方形，则， 侧面底面，侧面底面，平面，则平面， 又平面，于是，而，平面， 所以平面. （2）取、的中点分别为、，连接、、，则，， 由，得，而平面，则平面， 而，于是平面，又平面，则，又， 因此是侧面与底面所成二面角的平面角，，， 则，所以侧面与底面所成二面角的正切值为. 13．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：因为是一条母线，所以平面，而平面，则， 因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即， 又平面且， 所以平面，而平面，则平面平面. （2）设，则，. 取的中点，则，， 作，垂足于，则，即， 进而，所以. 因为分别是的中点，连接， 所以，又，. 由，可知，是二面角的平面角. 所以. 故二面角的余弦值为. 14．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，多面体中，四边形为矩形，，，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）∵，， 又，，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）作于，因为平面， 由（1）知平面，所以， 又，、平面， 所以平面，连结， ∵，∴点到平面的距离等于点到平面的距离， 设直线与平面所成角为， 又，， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知平面，设点到平面的距离为， 又，则，得到， 又，，， 所以. 15．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）连接交于点，连接， 因为底面为正方形，则为的中点， 且点是的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，则， 又因为为正方形，则， 且，，平面，所以平面， 由平面，所以 因为点是的中点，，，则， 可得，，， 则，可知， 所以， 设点到平面的距离为， 由，可得， 即，解得， 即点到平面的距离为． 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线到平面的距离． 【解析】（1）连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为为等边三角形，且D是的中点， 所以，由正三棱柱的性质知，平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （3）由（1）知平面， 以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离， 由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而2， 4， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 17．（24-25高一下·云南昭通·期中）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，是线段的中点，是线段上的动点． (1)与所成的角是否为定值，试说明理由； (2)若，求四面体的体积． 【解析】（1）如图，因为平面平面， ，平面，所以平面． ∵平面，所以，同理可证． 又四边形为菱形， ∴，四边形为矩形，∴， 所以，． 又为的中点，所以． 设，连接，，所以． 又平面，所以平面． 又平面，所以， 故与所成角为定值． （2），，可得， 由（1）得平面， 所以四面体的体积为：． 18．（24-25高一下·福建泉州·期中）（1）计算：； （2）若复数，求； （3）如图正四棱台的上、下底面边长分别为和，高为，求它的体积 【解析】（1） . （2）. （3）四棱台的体积 . 19．（24-25高一下·广东汕头·期中）在平面直角坐标系中，已知、、. (1)若、、三点共线，求实数的值； (2)若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的体积. 【解析】（1）因为、、，所以，， 因为、、三点共线，则，所以，解得. （2）由（1）知，， 因为，所以，即，可得， 所以，，故， 以的边所在直线为轴， 其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径为，高 的圆锥， 故该几何体的体积为. 20．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，圆柱轴截面是正方形，，点E在底面圆周上（除外），，F为垂足． (1)求证：平面； (2)当直线DE与平面所成角的正切值为时，求三棱锥的体积． 【解析】（1）在圆柱中，平面，平面，则， 由点在以为直径的圆上（除外），得， 而平面，则平面，又平面， 因此，又，平面， 所以平面. （2）由平面，得是直线DE与平面所成的角，则， 在中，， 而，则， 又， 所以三棱锥的体积. 21．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积. 【解析】（1）设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积. （2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以. 又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 22．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【解析】（1）取中点，连接，如图所示， ∵为的中点.，∴且， 又为的中点，又∵，且， ∴，且，∴，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面；平面，∴平面． （2）. 23．（24-25高一下·山东·期中）如图，在高为的四棱台中，上底面和下底面的面积分别为． (1)证明：四棱台的体积； (2)已知为正四棱台，且，，． （i）求正四棱台的体积； （ii）记几何体与几何体的体积分别为，求的值． 【解析】（1）将四棱台的侧棱延长后，侧棱必定交于一点，设该点为， 设小棱锥的高为，则，， 而，故， 故四棱台的体积， 故 . （2）（i）由（1）中公式可得正四棱台的体积为： ， （ii）如图，连接， 则，， 而，故，故， 故，故几何体的体积，故， 故. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$