专题09 立体几何中的平行垂直问题（7大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题9 立体几何中的平行垂直问题 【题型归纳目录】 题型一：平行垂直的判断 题型二：证明线面平行 题型三：证明面面平行 题型四：证明线线垂直 题型五：证明线面垂直 题型六：证明面面垂直 题型七：平行、垂直探索性问题 【知识点梳理】 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 【典型例题】 题型一：平行垂直的判断 【典例1-1】（24-25高一下·天津和平·期中）为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列描述中正确的是（   ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【典例1-2】（24-25高一下·天津·期中）设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或        ②若，则或 ③若且，则         ④且，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 【变式1-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（24-25高一下·天津·期中）已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分 题型二：证明线面平行 【典例2-1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱中，，D是的中点，与交于点E. (1)求证：平面； (2)若以为直径的球的表面积为，求三棱锥的体积. 【典例2-2】（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面； (2)若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系． 【变式2-1】（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 【变式2-2】（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； 题型三：证明面面平行 【典例3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 【典例3-2】（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式3-1】（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 题型四：证明线线垂直 【典例4-1】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【典例4-2】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：为直角三角形； (3)若，求四棱棱的体积. 题型五：证明线面垂直 【典例5-1】（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 【典例5-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 【变式5-1】（21-22高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式5-2】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在长方体中，四边形是边长为的正方形，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 题型六：证明面面垂直 【典例6-1】（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【典例6-2】（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在长方体中，，，点P为的中点．求证： (1)直线平面PAC； (2)平面平面． 【变式6-1】（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在三棱柱中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D为AB的中点. (1)求证：∥平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求证：平面平面. 【变式6-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 题型七：平行、垂直探索性问题 【典例7-1】如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【典例7-2】如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【变式7-1】（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式7-2】（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且，侧面平面ABCD. (1)设M，N分别为PD，BC的中点，求证：MN∥平面PAB； (2)设，在线段PD上是否存在一点Q，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【强化训练】 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 2．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 3．（24-25高一下·山东泰安·期中）以下说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B．用一个平面去截圆锥，截面和圆锥底面之间的部分是圆台 C．已知表示两条不同直线，表示平面，若，，则 D．已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，若，则 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一下·吉林四平·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（    ） A．平面 B．与相交 C．与是异面直线 D．四边形为正方形 6．（23-24高一下·吉林通化·期末）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 7．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 8．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 10．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于，是线段上的动点. (1)求四棱锥的体积； (2)若是的中点，求证：平面； (3)直线是否与直线互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 11．（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 立体几何中的平行垂直问题 【题型归纳目录】 题型一：平行垂直的判断 题型二：证明线面平行 题型三：证明面面平行 题型四：证明线线垂直 题型五：证明线面垂直 题型六：证明面面垂直 题型七：平行、垂直探索性问题 【知识点梳理】 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 【典型例题】 题型一：平行垂直的判断 【典例1-1】（24-25高一下·天津和平·期中）为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列描述中正确的是（   ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【答案】D 【解析】对于A： 若，，则与平行或相交或异面，故A错误； 对于B： 若，，则或与相交，故B错误； 对于C： ，，则或与异面，故C错误； 对于D： 若，，，由面面平行的性质可知，故D正确． 故选：D． 【典例1-2】（24-25高一下·天津·期中）设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或        ②若，则或 ③若且，则         ④且，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解析】对于①，由于，，所以或或且， 则有或或且，故①正确； 对于②，由于，只有一条线线垂直，不能确定或，故②错误； 对于③，由，则在内必存在直线，且 又由，则在内必存在直线，且，根据平行的传递性有， 由于，，则，又因为， 所以，又因为，所以，故③正确； 对于④， 由，设，可在平面作， 根据面面垂直性质定理可得：，又因为，所以， 同理由，设，可在平面作， 根据面面垂直性质定理可得：，又因为，所以， 因为，由图可知相交，且，所以有，故④正确； 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，由，与可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由，与可能平行或相交，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对于D，由，则与可能平行或异面，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·天津·期中）已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【答案】D 【解析】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误； 对于选项B，若，，则或，故选项B错误； 对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误； 对于选项D， 三个平面两两两平行时，可把空间分成4部分； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）； 三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）； 三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）； D正确， 故选：D. 题型二：证明线面平行 【典例2-1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱中，，D是的中点，与交于点E. (1)求证：平面； (2)若以为直径的球的表面积为，求三棱锥的体积. 【解析】（1）如图，连接，因四边形为矩形，则为的中点，又D是的中点，则得， 因平面，平面，故平面. （2）依题意，，解得，在中，. 因为正三角形，则，又平面，平面，故， 因平面，故平面，即为三棱锥的高， 则三棱锥的体积为：. 【典例2-2】（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面； (2)若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系． 【解析】（1）连接，交于，连接，由正方体的结构易知为的中点， 又E为的中点，则，平面，平面， 所以平面； （2）平面平面，证明如下： 由F为的中点，连接； E为的中点，易知， 所以为平行四边形，则， 由平面，平面，则平面， 由（1）平面，且，平面， 所以平面平面. 【变式2-1】（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接，如下图所示： 点是的中点，所以点是对角线的交点， 所以是的中点，是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由（1），连接，如上图： 则或其补角即为异面直线与所成的角 由于平面平面，，，又 得， 所以， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为． 【变式2-2】（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； 【解析】（1）因为平面，平面， 所以，又底面是矩形，则， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，，因为、分别是、的中点， 所以且，又且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面； 题型三：证明面面平行 【典例3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 【解析】（1）连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. （3）由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，． 【典例3-2】（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【解析】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得， 而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． （2）由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 【变式3-1】（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 【解析】（1）∵，分别是，的中点， ∴是的中位线，∴， 又在三棱柱中，，∴， ∴，，，四点共面. （2）∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 又，是，的中点，所以，又. 所以， ∵平面，平面，∴平面. 又，平面， 所以平面平面. 题型四：证明线线垂直 【典例4-1】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【解析】（1）连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 【典例4-2】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以； （3）在平面内过点作交于点， 因为，，，所以， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：为直角三角形； (3)若，求四棱棱的体积. 【解析】（1）作，E为垂足，如图， 在等腰梯形ABCD中，， ∴，， ∴， ∴，∴． （2）∵，平面平面PCD，平面平面PCD，平面PCD， ∴平面ADP，又平面ADP， ∴，又， ∵平面ACP， ∴平面ACP， ∵平面ACP，∴， ∴，即为直角三角形. （3）由（1）知在等腰梯形ABCD中，．， ．∴．∴． 又平面ADP，为直角三角形，， ∴，， ∴． ∴． 题型五：证明线面垂直 【典例5-1】（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 【解析】（1）如图：取的中点，连接， 则，且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，所以， 因为，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，平面，所以平面. （3）如图：取的中点，连接， 则，由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【典例5-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 【解析】（1）取的中点，在等腰中，，为的中点， ∴，在等边中，，又，平面， ∴平面，又平面，∴ （2）∵在中，，又，又，平面 ∴平面，又平面，∴ 又由（1）知（已证），，平面， ∴平面 【变式5-1】（21-22高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【解析】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 【变式5-2】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在长方体中，四边形是边长为的正方形，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）证明：记. 因为，为棱的中点，所以，则. 因为，所以，所以. 因为，所以， 所以，即. 由长方体的性质可知平面. 因为平面，所以. 因为平面，平面，且，所以平面. （2）连接，. 由题意可得三棱锥的体积. 由长方体的性质可知平面，且平面，则. 因为，，所以， 所以的面积. 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积 ， 因为，所以，解得，即点到平面的距离为. 题型六：证明面面垂直 【典例6-1】（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【解析】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 【典例6-2】（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在长方体中，，，点P为的中点．求证： (1)直线平面PAC； (2)平面平面． 【解析】（1）在长方体中，连接，分别是的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）在长方体中，平面，平面，则， 在长方体中，，四边形为正方形，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. 【变式6-1】（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在三棱柱中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D为AB的中点. (1)求证：∥平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求证：平面平面. 【解析】（1）设，连接，可知为的中点， 因为D为AB的中点，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）因为∥，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，由题意可知：， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）因为，且D为AB的中点，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 由平面，可知平面平面. 【变式6-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【解析】（1）连结交于，连结， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边行，则为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）在正三棱锥柱中，且， ，，所以四边形是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面，平面，所以， 在正三角形中，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 题型七：平行、垂直探索性问题 【典例7-1】如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； （2）连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 【典例7-2】如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：取的中点，连接、、， 因为且，故四边形为平行四边形，所以，且， 因为为的中点，则且， 因为、分别为、的中点，所以，且， 所以，且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为、分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. （2）当点为的中点时，平面平面， 因为四边形为矩形，则，因为，则， 因为四边形为菱形，则， 因为，则为等边三角形， 因为为的中点，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面， 因此，当点为的中点时，平面平面. 【变式7-1】（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 【变式7-2】（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且，侧面平面ABCD. (1)设M，N分别为PD，BC的中点，求证：MN∥平面PAB； (2)设，在线段PD上是否存在一点Q，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，， 又因为N为BC的中点，且ABCD是正方形，则∥，， 可得∥，且，可知为平行四边形，则∥， 且平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB. （2）因为ABCD是正方形，则， 且侧面平面ABCD，侧面平面，平面ABCD， 可知平面，由平面，可得， 且，，平面， 所以平面，由平面，可得， 反之，若，同理可证平面，即可得， 所以等价于， 不妨设，则，可知边上的高为， 由的面积可得，解得， 则， 所以在线段PD上是存在一点Q，使得，此时. 【强化训练】 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】A选项，若，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，所以，D正确. 故选：D 2．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【解析】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：. 3．（24-25高一下·山东泰安·期中）以下说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B．用一个平面去截圆锥，截面和圆锥底面之间的部分是圆台 C．已知表示两条不同直线，表示平面，若，，则 D．已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，若，则 【答案】C 【解析】正棱柱的定义是底面为正多边形，且侧棱垂直于底面的棱柱．仅底面是正多边形，不能确定侧棱与底面垂直，所以底面是正多边形的棱柱不一定是正棱柱，选项错误． 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和圆锥底面之间的部分才是圆台．若平面不平行于圆锥底面，得到的就不是圆台，选项错误． 线面垂直的性质为：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条直线垂直．已知，，即直线垂直于平面，直线在平面内，所以，C选项正确． 当时，与可能平行，也可能相交．例如墙角处的三个平面，两两垂直，所以不能得出，选项错误． 故选：C． 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A，当，此时直线可能在平面内，或，故A错误； 对于B，如图，设，，点是平面内一点， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 因为，且，， 且，， 所以，.又， 则，.又，所以，故B正确； 对于C，当，若，则平面可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D，当，此时平面可能平行，也可能相交，故D错误. 故选：B 5．（24-25高一下·吉林四平·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（    ） A．平面 B．与相交 C．与是异面直线 D．四边形为正方形 【答案】A 【解析】因为分别为的中点，在正方体中易证平面，不在平面内，所以平面，A对， 在平面内，与平面相交于点，不在上，所以与为异面直线，B错， 因为分别为的中点，易知， 所以与共面，C错， 设正方体的棱长为2，易知，， ， 所以四边形为菱形而不是正方形，D错， 故选：A． 6．（23-24高一下·吉林通化·期末）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 【答案】D 【解析】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D:  因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 7．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； （2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 8．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为四边形是平行四边形，则点是的中点， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以，所以点是的中点． （2）存在点，使得平面平面，此时， 因为，所以为中点， 又因为点是的中点，所以 又平面，平面，所以平面， 由（1）知，同理可得，平面， 又，平面，所以平面平面． 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）连接，由菱形内角，得是正三角形， 由M为的中点，得，由，得， 而平面，则平面，又平面， 所以. （2）连接，则为正的重心，， 在上取点，使，则， ，于是是直线和所成角或其补角， 在中，， 由余弦定理得， 所以直线和所成角的余弦值为. （3）由（2）得，，在上取点，使， 则，，而平面平面，平面，因此平面， 所以线段上存在点N，使得平面，. 10．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于，是线段上的动点. (1)求四棱锥的体积； (2)若是的中点，求证：平面； (3)直线是否与直线互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【解析】（1）连接交于，连接， 因为四棱锥中，侧棱和底面边长都等于， 所以底面是菱形，是等腰三角形，是中点， 所以，同理可得， 因为平面，，所以平面， 所以为四棱锥底面上的高， 又因为，所以底面是正方形， 所以，， 所以四棱锥的体积为. （2）如图，连接交于，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （3）不论点在侧棱的任何位置，都有， 证明：由（1）可知，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，此时与点在侧棱的位置无关. 11．（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【解析】（1）方法一： 证明：连接，如图， 因为分别是的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则. 又平面平面， 所以平面. 同理可证平面， 因为，平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下： 因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$