精品解析：2025年天津市河北区九年级二模数学试题　

河北区2024-2025学年度九年级总复习质量检测（二） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分、第Ⅰ第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必先将自己的姓名、考生号等，用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔在填在“答题卡”上，用2B铅笔将考生号对应的信息点涂黑． 2．答案答在试卷上无效．每小题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号的信息点． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 2. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，以点C为圆心，大于点C到边的距离为半径画弧交边于D点，E点，分别以点D，点E为圆心，大于长为半径画弧交于点G，点F．作直线交于点H，则点C和点H两点间的距离为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 11. 如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B、C对应点分别是点D、E，若的平分线经过点B，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项： 第Ⅱ卷共5页，用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔答在试卷后面的答题纸上，答案答在试卷上无效． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球概率是______． 14. 计算的结果为_____． 15. 计算的结果等于_______． 16. 已知直线向下平移个单位后经过点，则值为______． 17. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接． （Ⅰ）四边形面积为_____； （Ⅱ）若点是正方形对角线上一点，且，点是线段的中点，连接，线段的长为_____． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段交圆于点E，线段交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________． 三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得__________； （2）解不等式②，得__________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为____________． 20. 为了了解某校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间（单位：h），随机调查了该校七年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为_____，图①中m的值为_____，统计这组学生每周参加课外体育锻炼的时间数据的众数和中位数分别为_____和_____； （2）求统计的这组学生每周参加课外体育锻炼的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校七年级共有学生400人，估计该校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间是的人数约为多少？ 21. 在中，弦与半径互相垂直，垂足为点E，连接，点D在上，连接． （1）如图①，若是的直径，，弦交半径于点F，交弦于点G，求∠和的大小； （2）如图②，若直线与相切，切点为点D，且，求的长． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥塔的高度，某学习小组设计了一个方案：如图，点依次在同一水平直线上，，垂足为，在处测得桥顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．参考数据：． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）． 23. 已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家，文化中心离家，李明从家出发，先匀速步行了到健身园，在健身园停留了，之后匀速步行了到文化中心，在文化中心停留了后，再匀速骑行返回家，下面图中表示时间，表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 时间 3 7 12 21 距离 ②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为_____； ③当时，请直接写出李明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当李明离开家时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行回到家中，那么李明从文化中心回家途中（）两人相遇时离家的距离是多少（直接写出结果即可）？ 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，平行四边形与平行四边形关于y轴对称． （1）填空：如图①，点B的坐标为_____，点P的坐标为_____； （2）如图②，平行四边形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到平行四边形，点O，M，N，P的对应点分别为点，平行四边形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（a，b，c为常数，），，与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上，． （1）若点A的坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线顶点D的坐标； ②求点M的坐标； （2）若，且，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北区2024-2025学年度九年级总复习质量检测（二） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分、第Ⅰ第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必先将自己的姓名、考生号等，用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔在填在“答题卡”上，用2B铅笔将考生号对应的信息点涂黑． 2．答案答在试卷上无效．每小题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号的信息点． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 2. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】D 【解析】 【分析】估算的近似值，即可得到在哪两个整数之间． 【详解】解：∵，即 ， ∴在整数4与整数5之间． 故选：D． 【点睛】本题考查无理数的估算能力，理解算术平方根的意义是解决问题的关键． 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：． 4. 如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，主视图从左往右3列正方形的个数依次为1、2、1， 依此画出图形即可． 【详解】解：该立体图形的主视图是： ， 故选：A． 5. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，掌握特殊角的三角函数值的计算是关键． 根据特殊角的三角函数的计算，二次根式的计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：C ． 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，根据分式的加减运算法则计算即可求解，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，比较反比例函数的自变量；把点的纵坐标代入中，求得自变量的值，再比较即可． 【详解】解：由得：； 当时，； 当时，； 当时，； 则； 故选：C． 9. 《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设甲、乙原本各持钱x、y，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设甲、乙原本各持钱x、y， 则根据题意可列方程组为， 故选：A． 10. 如图，在中，，以点C为圆心，大于点C到边的距离为半径画弧交边于D点，E点，分别以点D，点E为圆心，大于长为半径画弧交于点G，点F．作直线交于点H，则点C和点H两点间的距离为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，勾股定理，等积法求线段的长，根据作图得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知， ∴，即：， ∴，即：点C和点H两点间的距离为； 故选B． 11. 如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别是点D、E，若的平分线经过点B，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．根据旋转的性质可判断A选项；根据旋转的性质证明，推出，可判断B选项；根据等腰三角形三线合一的性质，可判断C 选项；根据等腰三角形的性质和角平分线的定义，可判断D选项． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， 若，则， 而已知条件没有说明，即A选项错误； 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 与不平行，即B选项错误； ， 若，则平分， 而已知条件没有说明旋转角度，无法判断，即C选项错误； ， ， ， 的平分线经过点B， ， ，即D选项正确， 故选：D． 12. 如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定①；求出抛物线的顶点坐标可判定②；求出喷头的坐标可判定③，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项： 第Ⅱ卷共5页，用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔答在试卷后面的答题纸上，答案答在试卷上无效． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是______． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】此题主要考查了概率，关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 利用概率公式可直接得到答案． 【详解】袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球和3个蓝球， 从袋子中随机取出1个球，它是蓝球的概率是：， 故答案为：． 14. 计算的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，掌握（、都是正整数）是解题关键．根据幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 计算的结果等于_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：原式= =7-1=6 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 16. 已知直线向下平移个单位后经过点，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向下平移个单位后得到， 将点代入可得， 故答案为：． 17. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接． （Ⅰ）四边形的面积为_____； （Ⅱ）若点是正方形对角线上一点，且，点是线段的中点，连接，线段的长为_____． 【答案】 ①. 18 ②. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正方形的性质，中位线的判定和性质可证四边形是正方形，由此即可求解； （Ⅱ）根据题意得到，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，连接，交于点， ∴，， ∵点是中点， ∴，， 同理，，，， ∴四边形平行四边形，， ∴， ∴平行四边形是正方形， ∴四边形的面积为； （Ⅱ）∵点是线段中点， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵点是中点， ∴， 由正方形的对角线相互垂直得到，点共线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识的综合，掌握正方形的判定和性质，勾股定理的计算是关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段交圆于点E，线段交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________． 【答案】 ①. ②. 取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，三角形内心，正确理解题意，灵活运用知识点是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）先利用网格的特征结合圆周角定理找到圆心，再利用圆周角定理结合网格的特征找到的角平分线，两条角平分线的交点即为内心． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I，点I即为所求． 由作图得，即点为圆心，为直径， 由网格的特征得点为中点，即， ∴， ∴，即是角平分线， ∵，即是的角平分线， ∴点I为的内心． 故答案为：取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I． 三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得__________； （2）解不等式②，得__________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为____________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可； （3）根据不等式的解集在数轴上的表示方法表示解集即可； （4）根据不等式解集的规律求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解不等式②得： ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 把不等式①和②的解集在数轴上如下图： 【小问4详解】 原不等式组的解集为， 故答案为：． 20. 为了了解某校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间（单位：h），随机调查了该校七年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为_____，图①中m的值为_____，统计这组学生每周参加课外体育锻炼的时间数据的众数和中位数分别为_____和_____； （2）求统计的这组学生每周参加课外体育锻炼的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校七年级共有学生400人，估计该校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1）20，25，8，8 （2）这组数据的平均数为 （3）估计该校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间是的人数约为40 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用的人数除以所占的比例求出，用1减去其它的百分数，求出的值，利用中位数和众数的确定方法求出中位数和众数即可； （2）利用平均数的计算公式进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：，， ∴， 由图可知，位于中间的两个数均为8，出现次数最多的也是8， ∴中位数和众数均为8； 故答案为：20，25，8，8； 【小问2详解】 ， ∴这组数据的平均数为； 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生占， ∴根据样本数据，估计该校七年级400名学生中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生占，． ∴估计该校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间是的人数约为40． 21. 在中，弦与半径互相垂直，垂足为点E，连接，点D在上，连接． （1）如图①，若是的直径，，弦交半径于点F，交弦于点G，求∠和的大小； （2）如图②，若直线与相切，切点为点D，且，求的长． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可求解； （2）连接，根据切线的性质可得，根据，可得，再证得为等边三角形，可得，结合，可得，然后在中，利用勾股定理解得即可． 【小问1详解】 解：在中，弦于点E， ， ∴， ， ， 是的直径， ∴， ； ， ， 又弦于点E，即， ． 【小问2详解】 解：连接， 直线切于点D， ，即， ， ， ， 同（1）得， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥塔的高度，某学习小组设计了一个方案：如图，点依次在同一水平直线上，，垂足为，在处测得桥顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．参考数据：． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）． 【答案】（1）线段的长约为； （2）桥塔的高度约为． 【解析】 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）根据题意，，在中，，，则，所以，由此即可求解； （2）根据，，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，，于D，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：线段长约为； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 答：桥塔的高度约为． 23. 已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家，文化中心离家，李明从家出发，先匀速步行了到健身园，在健身园停留了，之后匀速步行了到文化中心，在文化中心停留了后，再匀速骑行返回家，下面图中表示时间，表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 时间 3 7 12 21 距离 ②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为_____； ③当时，请直接写出李明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当李明离开家时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行回到家中，那么李明从文化中心回家途中（）两人相遇时离家的距离是多少（直接写出结果即可）？ 【答案】（1）①，，2；②；③当时，；当时，； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题，一元一次方程与行程问题，理解函数图象，正确列式，求解函数解析式是关键． （1）①根据图示可得李明的速度，由行程的数量关系即可求解；②结合图示，运用行程的数量关系计算即可；③结合图示，运用待定系数法即可求解； （2）分别算出李明回家的速度，李明的爸爸回家的速度，设李明走了追到，即两人相遇，由此列式得到相遇时间，根据行程的数量关系即可求解． 【小问1详解】 解：①健身园离家，匀速步行了到健身园， ∴李明的速度为， ∴当时间为的距离为， ∵在健身园停留了， ∴当时间为的距离为， ∵之后匀速步行了到文化中心，即时间为时，李明到了文化中心，并在文化中心停留了， ∴当时间为的距离为， ∴填表如下， 时间 距离 ②李明从健身园步行到文化中心的速度为， 故答案为：； ③当时，设距离关于时间的函数解析式为，把点代入解析式得 ， ， 解得，， ∴， 当时，距离的值不变， ∴； 【小问2详解】 解：当李明离开家时，李明距家距离为，此时李明的爸爸从文化中心回家，用时， ∴李明的爸爸的速度为， ∵李明用时回到家， ∴李明的速度为， 设李明走了追到，即两人相遇， ∴， 解得，， ∴当时，两人相遇， ∴李明走了， ∴两人相遇时离家的距离是． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，平行四边形与平行四边形关于y轴对称． （1）填空：如图①，点B的坐标为_____，点P的坐标为_____； （2）如图②，平行四边形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到平行四边形，点O，M，N，P的对应点分别为点，平行四边形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）； （2）①，且；②． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得，根据关于y轴对称的点性质得； （2）①根据，两平行四边形重叠部分为四边形时，得，；②根据，得，当时，；当时，；当时，，；当时，，；当时，，；故当时，． 【小问1详解】 解：∵平行四边形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形与平行四边形关于y轴对称， ∴点P与点C关于y轴对称， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①如图，当时， ∵平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形， ∴点在边上，点在边上， ∵，， ∴，； ②∵， ∴， ∴， 由轴对称与平移知，， 当时，重叠部分是等边三角形， ∵， ∴， ∴当时，； 当时，重叠部分是梯形， ∵，， ∴, ∴； 当时，重叠部分是六边形形， ∵，，， ∴， ∴； 当时，重叠部分是梯形， ∵，， ∴， ∴； 综上，． 故． 【点睛】本题考查了平行四边形平移，熟练掌握平行四边形性质，平移性质，轴对称性质，等边三角形和梯形面积公式，等边三角形的判定和性质，两点间的距离公式，分类讨论，是解题的关键． 25. 已知抛物线（a，b，c为常数，），，与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上，． （1）若点A的坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线顶点D的坐标； ②求点M的坐标； （2）若，且，求a的值． 【答案】（1）①该抛物线顶点D的坐标为；②； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点的坐标；②求出点坐标，根据，得到，解直角三角形，求出的值，进而得到点的坐标即可； （2）根据，得到抛物线解析式为，分别求出的坐标，同法（1）②求出的坐标，过D点向x轴引垂线，垂足记为点H，解直角三角形，求出，进行求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线经过点， ，即， ∵抛物线过点，且， 得解得， ∴， ， 该抛物线顶点D的坐标为； ②把代入抛物线，解得，即， ∵， ∴， ∵点M在y轴负半轴上，． ∴在中，， ∵在中，， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 由，得：，代入，得：， ∴， ， ． 由点M在y轴负半轴上，． 在中，， 在中，， ∴， ∵抛物线与y轴负半轴相交于点C， ，即， ∴， 过D点向x轴引垂线，垂足记为点H， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$