专题03 复数（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（重庆专用）

专题03 2024重庆高一期末复数试题汇编 题型概览 题型01复数的基本概念及运算 题型02复数的模的计算性质及几何意义 题型03复平面的概念及应用 题型04复数中的综合问题 ( 题型01 ) 复数的基本概念及运算 1．（23-24高一下·重庆巫山·期末）的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 3．（23-24高一下·重庆·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）若，则复数z的虚部为（    ）． A． B．0 C．1 D．2 5．（23-24高一下·重庆长寿·期末）复数与的积是实数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知复数，则的虚部为（     ） A．1 B． C．2 D． 7．（23-24高一下·重庆·期末多选题）已知是虚数单位，复数，，，，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的实部为 C．当时，是纯虚数 D．对任意，均有 8．（23-24高一下·重庆·期末）若，是纯虚数，则 ． 9．（23-24高一下·重庆·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·重庆·期末）已知复数分别为方程的两根，则 . 11．（23-24高一下·重庆·期末）若，则 . ( 题型02 ) 复数的模的计算性质及几何意义 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末多选题）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 5．（23-24高一下·重庆·期末多选题）设，为复数，下列说法正确的是（    ）． A． B． C．若，则 D．若是实数，则为纯虚数 ( 题型03 ) 复平面的概念及应用 1．（23-24高一下·重庆·期末多选题）若复数，为的共轭复数，则以下正确的是（    ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B． C． D．为纯虚数 2．（23-24高一下·重庆·期末多选题）已知复数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 3．（23-24高一下·重庆·期末多选题）关于的方程 在复数范围内的根是，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末多选题）设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若，则（    ） A．复数z的虚部为 B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D． 5．（23-24高一下·重庆·期末多选题）设为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则存在复数，使得 B．方程在上无解 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．，复数是纯虚数 6．（23-24高一下·重庆·期末多选题）设复数的共辄复数为，为虚数单位，若，则（    ） A．复数的虚部为 B． C．在复平面内对应的点位于第三象限 D． ( 题型04 ) 复数中的综合问题 1．（23-24高一下·重庆·期末）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 2024重庆高一期末复数试题汇编 题型概览 题型01复数的基本概念及运算 题型02复数的模的计算性质及几何意义 题型03复平面的概念及应用 题型04复数中的综合问题 ( 题型01 ) 复数的基本概念及运算 1．（23-24高一下·重庆巫山·期末）的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数除法法则计算，然后根据虚部的概念求虚部. 【详解】，所以虚部为. 故选：B. 2．（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据虚部定义即可求解. 【详解】由于，故虚部为. 故选：A 3．（23-24高一下·重庆·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】直接计算虚部即可. 【详解】复数的虚部是. 故选：B. 4．（23-24高一下·重庆·期末）若，则复数z的虚部为（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合共轭复数的概念与虚部的定义即可求解. 【详解】因为， 所以， 则，故复数的虚部为1. 故选：C 5．（23-24高一下·重庆长寿·期末）复数与的积是实数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求积可得，根据复数为实数的条件，即可得解. 【详解】， 若要复数与的积是实数，     则， 反之，则复数与的积是实数， 所以是复数与的积是实数的充要条件， 故选：C. 6．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知复数，则的虚部为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数虚部的概念即可得到答案. 【详解】因为复数，则的虚部为. 故选：B. 7．（23-24高一下·重庆·期末多选题）已知是虚数单位，复数，，，，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的实部为 C．当时，是纯虚数 D．对任意，均有 【答案】BCD 【分析】利用复数的相关概念、复数模的计算逐项判断即得. 【详解】对于A，的虚部为，A错误； 对于B，的实部为，B正确； 对于C，当时，是纯虚数，C正确； 对于D，对任意，，D正确. 故选：BCD 8．（23-24高一下·重庆·期末）若，是纯虚数，则 ． 【答案】0 【分析】根据纯虚数的定义即可求解. 【详解】为纯虚数，则且，故， 故答案为：0 9．（23-24高一下·重庆·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，借助复数相等求出，再利用复数除法计算即可. 【详解】设，由，得， 即，则，即， 所以. 故选：C 10．（23-24高一下·重庆·期末）已知复数分别为方程的两根，则 . 【答案】 【分析】由题意可得，则，再结合根与系数的关系可求得结果. 【详解】因为分别为方程的两根， 所以，， 所以. 故答案为： 11．（23-24高一下·重庆·期末）若，则 . 【答案】 【分析】利用复数乘法法则计算化简，再求其共轭复数即得. 【详解】由，则. 故答案为：. ( 题型02 ) 复数的模的计算性质及几何意义 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数的模计算公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：D 2．（23-24高一下·重庆·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算法则得到复数，再求复数的模即可. 【详解】因为， 所以， 所以.故选：C. 3．（23-24高一下·重庆·期末）复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法法则求得，再利用模长公式即可求解. 【详解】由可得， 所以. 故选：D 4．（23-24高一下·重庆·期末多选题）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 【答案】BD 【分析】根据复数的几何意义可得.求得即可判断A；求得即可判断B；求得即可判断C；求得即可判断D. 【详解】由，得. A：，则，又， 所以，故A错误； B：，故B正确； C：设，则， 由，得，即， 所以复数对应的点形成的图形的周长为，故C错误； D：设，则， 又，所以，即， 所以满足的复数对应的点形成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD 5．（23-24高一下·重庆·期末多选题）设，为复数，下列说法正确的是（    ）． A． B． C．若，则 D．若是实数，则为纯虚数 【答案】BC 【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于C：根据共轭复数的定义结合模长公式分析判断. 【详解】设，， 对于选项A：例如，则，两者不相等，故A错误； 对于选项B：因为，且， 则， 即，故B正确； 对于选项C：若，则， 所以，故C正确； 对于选项D：例如是实数，则也为实数，故D错误； 故选：BC. ( 题型03 ) 复平面的概念及应用 1．（23-24高一下·重庆·期末多选题）若复数，为的共轭复数，则以下正确的是（    ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B． C． D．为纯虚数 【答案】BD 【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项. 【详解】对于A，，复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点位于第四象限，故A错误； 对于B，根据复数模的公式，，则， 又，所以，故B正确； 对于C，因为则，又，故C错误； 对D，，， 所以为纯虚数，故D正确. 故选：BD. 2．（23-24高一下·重庆·期末多选题）已知复数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数，可得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，复数在复平面内对应的点为位于第四象限，所以C错误； 对于D中，，所以D正确. 故选：ABD. 3．（23-24高一下·重庆·期末多选题）关于的方程 在复数范围内的根是，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先利用实系数一元二次方程的求根公式求解，再根据复数的运算判断选项. 【详解】由求根公式可知，不妨取，，（本题与的顺序无关）， ，所以，且，故BD正确； ，故A正确； 由A可知，，，所以，故C错误. 故选：ABD 4．（23-24高一下·重庆·期末多选题）设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若，则（    ） A．复数z的虚部为 B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D． 【答案】AD 【分析】由题意，，再依次判断． 【详解】解：由题意，，则虚部为，，则A正确，B错误； 在复平面内对应的点在第二象限，C错误； ，，，D正确， 故选：AD． 5．（23-24高一下·重庆·期末多选题）设为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则存在复数，使得 B．方程在上无解 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．，复数是纯虚数 【答案】ACD 【分析】应用共轭复数计算判断A选项，特殊复数法判断B选项，计算复数判断象限判断C选项，应用纯虚数的定义得出参数判断D选项. 【详解】若复数，则存在复数=，使得,A选项正确； ，方程，因此B不正确； , 对应的点位于第一象限，C选项正确； 当时, 复数是纯虚数，D选项正确; 故选：ACD. 6．（23-24高一下·重庆·期末多选题）设复数的共辄复数为，为虚数单位，若，则（    ） A．复数的虚部为 B． C．在复平面内对应的点位于第三象限 D． 【答案】ABD 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，根据复数的定义判断A，根据复数的模判断B，根据复数的几何意义判断C，根据共轭复数及复数的乘法判断D. 【详解】因为，即，则， 所以复数的虚部为，故A正确； 因为，所以，故B正确； ，则在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD ( 题型04 ) 复数中的综合问题 1．（23-24高一下·重庆·期末）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）存在，，（ⅱ）的范围为. 【分析】（1）由已知可得，结合复数乘法的几何意义求，，由此可得结论； （2）设，， （ⅰ）先求，再求，由条件列方程求，由此可得结论； （ⅱ）求，化简关系可得，由此可求范围. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又， 所以，即， 因为， 所以， ， 所以，， （2）设，， 则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为， ， 设对应的复数为， 所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以， （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以的范围为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$