专题01 平面向量（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（重庆专用）

专题01 2024重庆高一期末平面向量汇编 题型概览 题型01平面向量的概念及线性运算 题型02平面向量中模的运算 题型03平面向量的投影向量问题 题型04平面向量的平行垂直问题 题型05平面向量的夹角问题 题型06平面向量的最值范围问题 ( 题型01 ) 平面向量的概念及线性运算 1．（23-24高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．（23-24高一下·重庆·期末）在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆长寿·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，设向量，用向量表示向量 = . 4．（23-24高一下·重庆·期末）在中，，，.为的中点，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆·期末）如图所示的平行四边形中，满足为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·重庆·期末）等腰直角中，，，，与交于点，若，则 . 7．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在中，，设，.    (1)试用，表示； (2)若，，与的夹角为，求. ( 题型01 ) 平面向量的模的运算 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量与满足，且与的夹角为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 3．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量与的夹角为，若，，则（    ）． A．1 B． C． D．2 4．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量非零向量b满足对都有 成立，则 的值为（    ） A． B．10 C．5 D．15 5．（23-24高一下·重庆·期末）已知为单位向量，且，则的最小值为 . 6．（22-23高一下·重庆渝中·期末）已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·重庆·期末）已知平面向量，满足，，则为（    ） A．2 B． C．1 D． ( 题型01 ) 平面向量的投影向量问题 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在向量方向上的投影向量为 2．（23-24高一下·重庆·期末）设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）已知，． (1)若且，求在方向上的投影向量； (2)若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围． 4．（23-24高一下·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆·期末多选题）已知向量，，则（    ） A．向量方向上的单位向量为 B．当时，向量在向量上的投影向量为 C．当与的夹角为锐角时， D．当时， ( 题型01 ) 平面向量的垂直平行问题 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，若，则 ． 2．（23-24高一下·重庆·期末）已知平面向量，，若，则 . 3．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知点，向量，且，则点P的坐标为 . 4．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，，若，则的值为 . ( 题型01 ) 平面向量的夹角问题 1．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知，且，则与的夹角为  （     ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）已知单位向量，满足，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）已知，且. (1)求的值： (2)求向量与向量夹角的余弦值. 5．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在中， (1)用 表示； (2)求证： B、T、E三点共线； (3)若 求. 6．（23-24高一下·重庆·期末）在同一平面内，的夹角为，且，当取时，取最小值，. (1)证明三点共线； (2)若，求. ( 题型01 ) 平面向量的最值范围问题 1．（23-24高一下·重庆·期末）在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上（包括线段端点）的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 2．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）在等腰三角形ABC中，，，点O是BC的中点，，点G满足． (1)求的值； (2)若，点P是线段AG上的动点，求取值范围． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 2024重庆高一期末平面向量汇编 题型概览 题型01平面向量的概念及线性运算 题型02平面向量中模的运算 题型03平面向量的投影向量问题 题型04平面向量的平行垂直问题 题型05平面向量的夹角问题 题型06平面向量的最值范围问题 ( 题型01 ) 平面向量的概念及线性运算 1．（23-24高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】对于A，正确理解相等向量和相反向量的含义即可判断；对于B，由单位向量方向不确定即得；对于C，根据相反向量的定义易得；对于D，由共线向量的定义即可判断. 【详解】对于A，由只知两向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，因单位向量的方向不确定，故B错误； 对于C，根据定义，一对相反向量只有方向相反，模长一定相等，故C正确； 对于D，因平面向量是自由向量，故两条共线向量既可以在一条直线上， 也可以在两条平行线上，还可以有一个为零向量，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·重庆·期末）在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出几何图形，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，M为BC的中点，，， 所以. 故选：C 3．（23-24高一下·重庆长寿·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，设向量，用向量表示向量 = . 【答案】 【分析】令，利用向量减法法则有，结合线段数量关系，即可求解. 【详解】 令，则. 故答案为： 4．（23-24高一下·重庆·期末）在中，，，.为的中点，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用、表示，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为为的中点，则， 因为为上一点，设， 则 ， 又、不共线，所以，解得， 所以， 所以 ，即. 故选：A. 5．（23-24高一下·重庆·期末）如图所示的平行四边形中，满足为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量加减法和数乘运算用表示出，然后可得的值，可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， ， 又为的中点， 所以. 所以，所以. 故选：A 6．（23-24高一下·重庆·期末）等腰直角中，，，，与交于点，若，则 . 【答案】/ 【分析】令，利用基底法表示，求得，再利用数量积的运算律即可求解. 【详解】等腰直角中，， 令，则， 又， ，解得， 所以，， 所以. 故答案为：. 7．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在中，，设，.    (1)试用，表示； (2)若，，与的夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可结合图形关系求解， （2）根据模长公式即可求解. 【详解】（1）在中，， 则， （2）已知，，与的夹角为， 则， 则 ( 题型01 ) 平面向量的模的运算 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量与满足，且与的夹角为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】计算出，再根据计算出结果. 【详解】由题意得：， 所以. 故选：C 2．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】由可得，再将两边平方，结合数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以，即， 所以， 则，解得（负值已舍去）. 故选：B 3．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量与的夹角为，若，，则（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据模长的坐标公式可得，数量积的定义可得，再根据模长关系结合数量积的运算律分析求解. 【详解】由题意可得：，， 则，所以. 故选：A. 4．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量非零向量b满足对都有 成立，则 的值为（    ） A． B．10 C．5 D．15 【答案】C 【分析】根据题意转化为几何图形，求向量的模. 【详解】如图，，，， 若对都有成立，则，即， 如图，，， 根据，，可知，， 所以. 故选：C 5．（23-24高一下·重庆·期末）已知为单位向量，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值. 【详解】因为为单位向量，有，得， 由，得，得， 所以，又，所以， 而， 则 当且仅当与方向相反时“=”成立 所以的最小值为； 故答案为： 6．（22-23高一下·重庆渝中·期末）已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，根据条件求出，利用向量减法的几何意义和三角形三边关系定理求出的范围，再结合二次函数的单调性即可求得. 【详解】设，则，由两边平方得，，整理得，， 因是非零不共线向量，则，即，解得，， 此时函数是增函数，故，即的取值范围为. 故选：D. 7．（23-24高一下·重庆·期末）已知平面向量，满足，，则为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算可得，，相减，结合模长公式即可求解. 【详解】由和得，， 故两式相减可得， 故， 故选：B ( 题型01 ) 平面向量的投影向量问题 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在向量方向上的投影向量为 【答案】D 【分析】根据向量坐标，分别计算向量的和，差的坐标，运用两向量数量积坐标公式和夹角坐标公式计算即可判断A,B,C选项，利用投影向量的计算公式可判断D项. 【详解】对于A，因，则，即A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，由，因，则，故C错误； 对于D，向量在向量方向上的投影向量为，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·重庆·期末）设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，以及投影向量的定义与计算，即可求解. 【详解】由向量为单位向量，，当的夹角为时，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 3．（23-24高一下·重庆·期末）已知，． (1)若且，求在方向上的投影向量； (2)若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据模长的坐标运算求得，再结合投影向量的定义分析求解； （2）根据题意可知且与不共线，结合向量的坐标运算分析求解. 【详解】（1）因为，，则， 若且，则，解得， 则，，可得， 所以在方向上的投影向量. （2）因为，． 若与的夹角为钝角，则且与不共线， 则，解得且， 所以实数m的取值范围为. 4．（23-24高一下·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点D的坐标为，根据题意可知，结合向量的坐标表示分析求解即可. 【详解】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为. 故选：B. 5．（23-24高一下·重庆·期末多选题）已知向量，，则（    ） A．向量方向上的单位向量为 B．当时，向量在向量上的投影向量为 C．当与的夹角为锐角时， D．当时， 【答案】BC 【分析】向量方向上的单位向量为即可判断A；向量在向量上的投影向量为判断B；根据且与不同向判断C，根据求出，再由向量模的坐标表示判断D. 【详解】对于A：因为，则， 所以向量方向上的单位向量为，故A错误； 对于B：当时，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C：当与的夹角为锐角，则且与不同向， 故，解得，故C正确； 对于D：当，则，解得，所以， 所以，所以，故D错误. 故选：BC ( 题型01 ) 平面向量的垂直平行问题 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，若，则 ． 【答案】 【分析】首先求出的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以. 故答案为：． 2．（23-24高一下·重庆·期末）已知平面向量，，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 3．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知点，向量，且，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】由向量，得，而点， 所以点P的坐标为. 故答案为： 4．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】根据平行得到方程，求出的值. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： ( 题型01 ) 平面向量的夹角问题 1．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知，且，则与的夹角为  （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及数量积公式计算向量的夹角； 【详解】由题设， 结合向量夹角范围知：，则与的夹角为. 故选：B. 2．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示，列式计算即得. 【详解】由向量，， 得与夹角的余弦值. 故选：A. 3．（23-24高一下·重庆·期末）已知单位向量，满足，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积计算向量的夹角； 【详解】因为，两边平方可得，解得， 则 故选：B. 4．（23-24高一下·重庆·期末）已知，且. (1)求的值： (2)求向量与向量夹角的余弦值. 【答案】(1)2 (2). 【分析】（1）利用向量垂直关系即可求解；（2）由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为， 则 因为，则有，解得. （2）可知， 设与的夹角为，则 所以向量与向量夹角的余弦值. 5．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在中， (1)用 表示； (2)求证： B、T、E三点共线； (3)若 求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则进行运算即可； （2）计算可得，从而得证； （3）根据公式，计算得解. 【详解】（1）根据题意， ； （2）根据题意，， 由（1）可得，又有公共点， 所以B、T、E三点共线； （3）根据题意，， ， ， 则 ， . 6．（23-24高一下·重庆·期末）在同一平面内，的夹角为，且，当取时，取最小值，. (1)证明三点共线； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得答案； （2）对两边平方再开方，结合二次函数求最值.可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 可得， 所以， 因为向量有共同的起点， 所有三点共线； （2），所以 ， 因为，所以当时有最小值， 此时，， 可得，因为，可得. ( 题型01 ) 平面向量的最值范围问题 1．（23-24高一下·重庆·期末）在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上（包括线段端点）的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据图形特征建系写出坐标，再根据数量积公式计算化简，最后求最值即可. 【详解】   以AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴， 因为，所以 因为，所以， ， 当时，的最大值为3. 故选：D. 2．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用数形结合及极化恒等式，化，求解即可． 【详解】解：如图， 根据投影向量定义知，，则，且， 因为，所以点C在以O为圆心，半径的圆上运动． 设M是AB的中点，由极化恒等式得：， 因为，此时， 即的最小值为， 故选：D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 4．（23-24高一下·重庆·期末）在等腰三角形ABC中，，，点O是BC的中点，，点G满足． (1)求的值； (2)若，点P是线段AG上的动点，求取值范围． 【答案】(1)6； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出点的坐标，再利用数量积的坐标表示计算即得. （2）设点，再利用数量积的坐标表示求出，然后求出最值即得. 【详解】（1）在中，，，点O是BC的中点，，得， 以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，由，得是的重心，， 于是， 所以. （2）由（1）知，设，由，得， 则，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$