专题02 一元函数的导数及其应用（16种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01平均变化率 题型02求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 题型03已知切线（斜率）求参数 题型04两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 题型05基本初等函数的导数公式 题型06导数的运算法则 题型07简单复合函数的导数 题型08用导数判断或证明已知函数的单调性 题型09利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型10由函数在区间上的单调性求参数 题型11函数与导函数图象之间的关系 题型12根据极值求参数 题型13根据极值点求参数 题型14由导数求函数的最值（不含参） 题型15由导数求函数的最值（含参） 题型16函数单调性、极值与最值的综合应用 ( 题型01 ) 平均变化率 1．（20-21高二上·浙江金华·期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零．14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（ ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·浙江温州·期末）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为 ． （1）； （2）； （3）对于，存在，使得； （4）整个过程小明行走的速度一直在加快． ( 题型0 2 ) 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 1．（22-23高二上·浙江宁波·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二下·浙江·期末）设函数，则在处的切线斜率为（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 3.（21-22高三上·浙江杭州·期末）函数在点处的切线方程是 . ( 题型0 3 ) 已知切线（斜率）求参数 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·浙江金华·期末）若直线是曲线的切线，则的值可以是 .（写出一个值即可） ( 题型0 4 ) 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 1.（21-22高二下·浙江金华·期末）已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二下·浙江·期末）已知函数在点处的切线与曲线相切，且该切线经过点，则 ， ． 3.（20-21高二上·浙江宁波·期末）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． ( 题型0 5 ) 基本初等函数的导数公式 1.（24-25高二上·浙江金华·期末）已知，则 （    ） A． B． C．1 D．0 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 导数的运算法则 1.（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 3.（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)若，求； (2)若在处的切线与直线垂直，求a. ( 题型0 7 ) 简单复合函数的导数 1.（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，则 ． 3.（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)分别求出和的导数； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. ( 题型 8 ) 用导数判断或证明已知函数的单调性 1.（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知的定义域是，且，则不等式的解是 . 3.（21-22高二上·浙江·期末）已知函数 ，且 a 0 ． (1)当a =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间； (2)记函数 ，若函数有两个零点， ①求实数 a 的取值范围； ②证明：． ( 题型 9 ) 利用导数求函数的单调区间（不含参） 1.（20-21高二上·浙江宁波·期末）函数是定义是在上的可导函数，其导函数满足，则的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一·浙江·期末）函数的图象在点（1,0）处切线的方程是 ，该函数的单调递减区间是 ． ( 题型 10 ) 由函数在区间上的单调性求参数 1.（20-21高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高二上·浙江宁波·期末）设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围 ( 题型 11 ) 函数与导函数图象之间的关系 1.（21-22高二上·浙江·期末）已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·浙江丽水·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则函数图象是（    ） A． B． C． D． ( 题型 12 )根据极值求参数 1.（20-21高二上·浙江宁波·期末）已知实数，若函数的极小值大于0，则实数的取值范围是 ． 2.（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知函数（k为常数，且）． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围． ( 题型 13 ) 根据极值点求参数 1.（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数在处有极大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 2.（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数在上存在极值点，则正整数的值是 ( 题型 14 ) 由导数求函数的最值（不含参） 1.（22-23高二下·浙江·期末）已知直线与函数相切，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 2.（21-22高二下·浙江杭州·期末）已知函数，，,则 ；最小值为 . 3.（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值. ( 题型 15 ) 由导数求函数的最值（含参） 1.（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数 ， ， ． (1)当 时，讨论函数在区间 上的单调性． (2)设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小． ( 题型 16 ) 函数单调性、极值与最值的综合应用 1．（20-21高二下·浙江·期末）已知函数． （1）若在上是增函数，求实数a的取值范围； （2）若是的极值点，求在上的最大值和最小值． 2.（20-21高二下·浙江·期末）已知，设函数． （Ⅰ）若在上无极值点，求m的值； （Ⅱ）若存在，使得是在上的最值，求m的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法错误的是（   ） A．一个函数的极大值一定大于极小值 B．曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C．函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D．若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则函数在点处切线方程为 ． 8．（22-23高二下·浙江金华·期末）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）设函数在处取得极值，且，当时，最大值记为，对于任意的的最小值为 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 11．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知函数 (1)若，求； (2)若，函数在处的切线方程为，求的值； (3)若，求曲线与曲线的共同的切线方程． 12．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 13．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点有n条直线与函数的图像相切. (1)若，求n的值并求切线的方程； (2)当n取最大值时，求m的取值范围. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01平均变化率 题型02求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 题型03已知切线（斜率）求参数 题型04两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 题型05基本初等函数的导数公式 题型06导数的运算法则 题型07简单复合函数的导数 题型08用导数判断或证明已知函数的单调性 题型09利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型10由函数在区间上的单调性求参数 题型11函数与导函数图象之间的关系 题型12根据极值求参数 题型13根据极值点求参数 题型14由导数求函数的最值（不含参） 题型15由导数求函数的最值（含参） 题型16函数单调性、极值与最值的综合应用 ( 题型01 ) 平均变化率 1．（20-21高二上·浙江金华·期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零．14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据距离的平均变化率及平均速率的定义计算可得； 【详解】解：探测器与月球表面距离逐渐减小，所以； 探测器的速度逐渐减小，所以 故选：D 2．（21-22高二上·浙江温州·期末）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为 ． （1）； （2）； （3）对于，存在，使得； （4）整个过程小明行走的速度一直在加快． 【答案】3 【分析】对于（1）（2），根据平均速度的定义结合图判断即可，对于（3），由图象可知，从而可得结论，对于（4），根据曲线在各点处的切线方程的斜率的大小判断即可. 【详解】解：由题意，可知，，． 由题中图像可知，且，因此， 而，所以， 因此，此时，所以（1）正确； 因为， ，故成立，（2）正确； 由题中图像可知，直线与曲线的交点为，故存在，使得，即当时，，故（3）正确； t时刻的瞬时速度为，判断瞬时速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由题中图像可知，当时，切线方程的斜率最大， 故而在此时，瞬时速度最快，因此，（4）不正确． 故答案为：3． ( 题型0 2 ) 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 1．（22-23高二上·浙江宁波·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程. 【详解】函数的定义域为，其导函数， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为1，又， 故曲线在点处的切线方程为. 故选：D. 2．（20-21高二下·浙江·期末）设函数，则在处的切线斜率为（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【分析】先求解出，然后计算出的值即为在处的切线斜率. 【详解】因为在图象上且，所以， 所以在处的切线斜率为， 故选：B. 3.（21-22高三上·浙江杭州·期末）函数在点处的切线方程是 . 【答案】 【分析】根据切点处的导数等于切线斜率，然后点斜式可得. 【详解】因为，所以切线斜率，所以切线方程为. 故答案为： ( 题型0 3 ) 已知切线（斜率）求参数 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与相切即可求解； 【详解】由题意可知：是过原点的切线， 设切点坐标为：，， 则，解得：， 所以， 故选：C 2.（24-25高三上·浙江金华·期末）若直线是曲线的切线，则的值可以是 .（写出一个值即可） 【答案】或（写出其中一个） 【分析】设出切点坐标，利用导数以及切线列方程，由此求得的值. 【详解】设切点为， ， 所以切线方程为， 整理得， 由得， 所以， 消去并化简得， 解得或， 则或， 所以的值为或. 故答案为：或（写出其中一个） ( 题型0 4 ) 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 1.（21-22高二下·浙江金华·期末）已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出切线斜率，再由切线垂直可得，利用切线公共点可得. 【详解】因为曲线在点与处的切线互相垂直， 所以当时，，当时，， 不妨设，因为在点与处的切线互相垂直， 则，即，故AB错误； 在点的切线方程为，即， 在点处的切线方程为，即， 因为切线相交于，代入切线方程可得， 即，由化简可得. 故选：D 2．（20-21高二下·浙江·期末）已知函数在点处的切线与曲线相切，且该切线经过点，则 ， ． 【答案】 【分析】依题意求出的导函数，即可求出切线方程，由切线过点，即可求出，再设上的切点坐标为，依题意得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，所以，所以函数在点处的切线为， 由因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为，因为， 所以，设切点为，则，解得 故答案为：； 3.（20-21高二上·浙江宁波·期末）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在；或． 【分析】（1）当时，，，故，再根据点斜式方程求解即可； （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则根据切点在切线上，也在曲线上得，整理得，再分当时和时两种情况求解即可. 【详解】（1）当时，，， 曲线在点处的切线方程为：， 代入整理得：. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，， 曲线在点处的切线为： 与曲线相切于点，则 由①得：，则 将、代入②得：， 整理得： 当时，，即 当时，，，因此，即 存在这样的直线，直线为或 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键在于把握切点即在曲线上又在切线上且切点处的导数值为切线的斜率这三个方面列方程求解，考查运算求解能力，是中档题. ( 题型0 5 ) 基本初等函数的导数公式 1.（24-25高二上·浙江金华·期末）已知，则 （    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据导数的定义可得，求得得解. 【详解】由，可得， 即，又，则， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义对函数求导代入计算即可. 【详解】易知， 所以. 故选：A. 3.（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由初等函数导数公式求导. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误. 故选：A ( 题型0 6 ) 导数的运算法则 1.（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为，可得， 所以，解得. 故选：C. 2.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 【答案】 【分析】先求出导函数，再代入求出切线斜率，最后点斜式得出切线即可. 【详解】曲线，，所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 3.（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)若，求； (2)若在处的切线与直线垂直，求a. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据导数的运算来求得正确答案. （2）根据斜率的关系列方程，化简求得的值. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以， 由题意知，，即， 所以，所以或. ( 题型0 7 ) 简单复合函数的导数 1.（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的运算法则逐项求导判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 2.（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可. 【详解】由， 故答案为： 3.（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)分别求出和的导数； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用导数运算律及复合函数求导即可； （2）先分别求出切线斜率再根据平行线斜率相等求参. 【详解】（1）由导数公式得， 由复合函数求导法则得； （2）由可得曲线在点处的切线的斜率 ， 从而切线方程为，即. 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得， 从而， 此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意. ( 题型 8 ) 用导数判断或证明已知函数的单调性 1.（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为，所以， 即， 令，则， 所以函数是增函数， 对于A，由，得，故A错误； 对于B，由，得， 所以，故B错误； 对于C，由，得， 所以，故C错误； 对于D，由，得， 所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数判断出函数的单调性是解决本题的关键. 2.（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知的定义域是，且，则不等式的解是 . 【答案】 【分析】变形不等式，构造函数并利用导数确守单调性。进而求解不等式. 【详解】依题意，不等式， 令函数，求导得，由， 得，函数在上单调递增，原不等式为， 因此，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用同构的思想变形，再构造函数是露头角问题的关键. 3.（21-22高二上·浙江·期末）已知函数 ，且 a 0 ． (1)当a =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间； (2)记函数 ，若函数有两个零点， ①求实数 a 的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)函数 f (x ) 在区间 (0，+ ) 上单调递减 (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）求导，求解可得导函数恒小于等于0,即得证； （2）①分析函数的单调性，由有两个实数根可求解； ②由（1）得2ln x x−，再利用其放缩可得，由此有，问题得证. 【详解】（1）当a =1 时，函数 因为 所以函数 f (x ) 在区间 (0，+ ) 上单调递减； （2）（i）由已知可得方程 有两个实数根 记 ，则 ．当 时， ，函数 k (x ) 是增函数； 当时，，函数 k (x ) 是减函数， 所以 ，故 （ii）易知，当 x 1 时，，故 ．由（1）可知，当 0x1时， ，所以 2ln x x− 由 ，得 ，所以 ． 因为 ，所以 ( 题型 9 ) 利用导数求函数的单调区间（不含参） 1.（20-21高二上·浙江宁波·期末）函数是定义是在上的可导函数，其导函数满足，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数说明其单调性，即可得到不等式的解集； 【详解】解：令，则，因为，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值也就是最大值，，所以恒成立，又当时，所以，所以恒成立，即的解集是 故选：D 2．（20-21高一·浙江·期末）函数的图象在点（1,0）处切线的方程是 ，该函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，结合导数与单调性的关系可求函数的单调递减区间． 【详解】函数的导函数为 所以当时， 所以函数的图象在点（1,0）处切线的方程为，即 由解得 所以函数的单调递减区间是 故答案为：，     ( 题型 10 ) 由函数在区间上的单调性求参数 1.（20-21高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得在上恒成立，然后可得，然后求出右边的最大值即可. 【详解】因为函数在上是单调递增函数 所以在上恒成立 所以，因为 所以 故选：D 2.（22-23高二上·浙江宁波·期末）设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，，再根据的单调性即可得到答案. 【详解】，因为函数在区间上单调递减， 所以，恒成立， 即，. 又在上单调递减，所以， 故，即， 所以m的取值范围为. 故答案为：. ( 题型 11 ) 函数与导函数图象之间的关系 1.（21-22高二上·浙江·期末）已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答 【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故 可知，导函数图象为D 故选：D 2．（21-22高二上·浙江丽水·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察导函数的符号，确定原函数的单调性即可. 【详解】由导函数的图象可知，原函数在的右侧有两个单调区间，先增后减，A正确. 故选：A. ( 题型 12 )根据极值求参数 1.（20-21高二上·浙江宁波·期末）已知实数，若函数的极小值大于0，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】，设是函数的极小值点，由和可得，然后利用可求得答案. 【详解】，由题可得，函数有极值，故，解得： 设是函数的极小值点，故， 解得： 又因为函数的极小值大于零，所以 ，解得： 所以：， 由双勾函数的知识可得在上单调递增，所以 故答案为： 2.（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知函数（k为常数，且）． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的法则及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）将函数在区间上存在极值转化为，使得，两侧的导数异号，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）当时，，， 所以， 所以， 所以在处的切线的斜率为， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为，， 所以， 因为函数在区间上存在极值， 所以，使得，两侧的导数异号， 所以，即，， 令，， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增， 所以，即, 所以实数k的取值范围为. ( 题型 13 ) 根据极值点求参数 1.（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数在处有极大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题可得或，然后分别验证可得答案. 【详解】由题， 因函数在处有极大值，则或. 若，，， ，则在上递增，在上递减， 此时在处有极小值，故不满足题意； 若，，， ，则在上递增，在上递减， 此时在处有极大值，故满足题意. 故选：C 2.（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数在上存在极值点，则正整数的值是 【答案】5 【分析】利用导数可得导函数为0时或，再根据极值点存在条件得到的值. 【详解】， 时，或， 因为函数定义域为，在左端点处无法取到极值， ，而，所以，，经检验满足题意， 故答案为：5. ( 题型 14 ) 由导数求函数的最值（不含参） 1.（22-23高二下·浙江·期末）已知直线与函数相切，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】C 【分析】设出切点坐标，求出切线方程，比较系数得出，再构造函数即可求的最值. 【详解】设切点为，，所以切线的斜率， 切线方程为，即， 所以，所以， 令，则， 令，得， 时，单调递增， 时，单调递减， 所以有最大值为，无最小值. 故选：C 2.（21-22高二下·浙江杭州·期末）已知函数，，,则 ；最小值为 . 【答案】 1 1 【分析】第一空，求出函数的导数，将代入，即可求得a的值； 第二空，判断导数的正负，确定函数的单调性，即可求得函数最小值. 【详解】由题意得：，， 故； 则， 当时，，递减，当时，，递增， 故， 故答案为：1；1 3.（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值. 【答案】(1) (2)21 【分析】（1）求导可得，可求切线方程； （2）求导可得在上的单调性，从而可求结论. 【详解】（1）因为，所以. 所以切线方程为，即. （2）令， 因为，所以在单调递增，单调递减， 所以. ( 题型 15 ) 由导数求函数的最值（含参） 1.（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数； (2) 【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间． （2）求导根据函数的单调性即可求解最值． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 当，解得：， 当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数； （2）的定义域为， ， 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为． . 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数 ， ， ． (1)当 时，讨论函数在区间 上的单调性． (2)设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)，. 【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间； （2）利用导数求出函数的单调区间，得到的最大值，通过构造函数根据单调性比较与的大小. 【详解】（1）当时，则， 令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减； （2）， 令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值， ∵，， 因为，所以， ∴. ( 题型 16 ) 函数单调性、极值与最值的综合应用 1．（20-21高二下·浙江·期末）已知函数． （1）若在上是增函数，求实数a的取值范围； （2）若是的极值点，求在上的最大值和最小值． 【答案】（1）a≤5（2）最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15. 【分析】（1）转化为在恒成立，即在恒成立，利用单调性求出在上的最小值即可得解； （2）根据是的极值点求出，分析单调性即可求出最值. 【详解】（1）因为在上是增函数， 令f′(x)＝3x2－2ax＋30在上恒成立， ∴min 在上为增函数， 当时，， ∴a≤5. （2）f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0， ∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3. 令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去). 当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0， 即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9. 又f(1)＝－1，f(5)＝15， ∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15. 【点睛】关键点点睛：第（1）问转化为在恒成立是解题关键，第（2）问根据是的极值点求出是解题关键. 2.（20-21高二下·浙江·期末）已知，设函数． （Ⅰ）若在上无极值点，求m的值； （Ⅱ）若存在，使得是在上的最值，求m的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求出m的值. （Ⅱ）求函数的导数，根据在上的最值，建立条件关系即可求m的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由题意可知， 由于在上无极值点，故，解得. （Ⅱ）由于，故 （i）当或，即或时， 取即满足题意，此时或， （ii）当，即时，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故或， 即或， 从而或， 所以或或， 此时. （iii）当，即时， 列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故或， 即或， 从而或， 所以或或， 此时， 综上所述，m的取值范围为或. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题的关键是判断出函数的单调性，确定函数的最值，同时考查推理论证能力以及分类讨论的思想，考查了综合解题能力. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，并判断奇偶性，应用导数研究其单调性，结合已知确定区间对应的函数值符号，即可求的解集. 【详解】令且，则，即为偶函数， 在上，即在上单调递减， 所以在上单调递增，且， 所以上，即有， 上，即有， 由，又，则解集为. 故选：B 3．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式. 【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 . 从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意. 2. 当 时，此时不等式 等价于 . 由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意. 综上，不等式 的解集是 ， 故选：B. 4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项整理得，设，利用导数得到其单调性，分和讨论即可. 【详解】， ， 设，则， 设，则在上恒成立， 在上单调递增，且， 当时，在单调递增， ，即， 当时，则，不妨取，即， 当时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， ，即，而有在上恒成立， ，即， 综上可得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是移项整理，利用导数并分类讨论求其最小值，对时需利用隐零点法求解其最值. 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法错误的是（   ） A．一个函数的极大值一定大于极小值 B．曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C．函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D．若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 【答案】ACD 【分析】举例判断AB的正确性，对CD根据函数的有关性质可直接判断. 【详解】对A选项：函数的极值是局部性质，极大值与极小值的大小不定， 比如，在处有极大值，在处有极小值，极大值小于极小值，故A错误； 对B选项：函数在处的切线为，与有无数个公共点，故B正确； 对C选项：函数在闭区间上的最大值，有可能在极大值点出取得，也由可能是在区间的端点处取得，故C错误； 对D选项：函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足，故D错误. 故选：ACD 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据初等函数及导数的运算法则求函数的导数判断AB，结合复合函数求导公式及导数运算法则，初等函数求导公式求导判断CD. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 三、填空题 7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则函数在点处切线方程为 ． 【答案】 【分析】求导，求出斜率，写出切线方程. 【详解】由已知， 则，又， 所以切线方程为， 即. 故答案为：. 8．（22-23高二下·浙江金华·期末）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】令，则题意转化为时,恒成立，根据与的取值范围分类讨论，列出不等式求解. 【详解】当时, ，，故在上单调递增， 当时, ，在上单调递减， 令，则当时, ；当时,， 则题意转化为时,恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故，则． 所以，当时,，恒成立. 当时，，恒成立. 当且时，恒成立. 只需考虑且时,，即恒成立， 当时，，单调递增， 则由恒成立，得，解得， 当时，，单调递增， 则由恒成立，得，矛盾， 综上可得：或. 故答案为：或． 9．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）设函数在处取得极值，且，当时，最大值记为，对于任意的的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用导数求函数的单调性及极值，结合韦达定理求参数，再分类讨论的范围计算即可. 【详解】由已知得有两个不同实数根， 可得， 则， 可得， 令，解得或；令，解得； 易知在和上单调递增，在上单调递减， 故当时，上单调递减，上单调递增， 而， 当，即时，， 当时，， 当时，， 当时，， 显然对于，当时，. 故答案为：2 四、解答题 10．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）求导得，由此即可求解； （2）求导得，根据导数与极值的关系列表即可得解. 【详解】（1）， ∵在点处的切线平行于直线， ∴，∴； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 3 + 0 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴极大值为，极小值为. 11．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知函数 (1)若，求； (2)若，函数在处的切线方程为，求的值； (3)若，求曲线与曲线的共同的切线方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）对函数求导，代入自变量求值即可； （2）对函数求导，根据导数的几何意义可得，并写出切线方程，结合已知得，即可得结果； （3）导数的几何意义求切线方程，再由直线与圆相切及点线距离公式求公切点横坐标，即可得切线方程. 【详解】（1）由题设，则，所以； （2）由，则，故， 所以切线方程为，结合已知得， ∴； （3）若，则，则在处的切线方程为， 又与圆相切，则，则， 所以公切线方程为. 12．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）根据极值点求得，再应用导数研究函数的单调区间和最值即可. 【详解】（1）当时，，则， ∴，则在点处的切线方程为； （2）因为， 由题意，解得，检验符合， 故，列表如下： 4 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为． 由解析式易知，当时；当时，且， 所以． 综上，的增区间为、，减区间为，. 13．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点有n条直线与函数的图像相切. (1)若，求n的值并求切线的方程； (2)当n取最大值时，求m的取值范围. 【答案】(1)，切线方程为； (2)n取最大值3时，m的取值范围为. 【分析】（1）在上，为切点时，利用导数几何意义得到切线方程，不是切点时，设出切点为，表达出切线方程，代入切线方程，得到，令，，求导得到其单调性，并得到函数无零点，从而得到，切线方程为； （2）设切点为，表达出切线方程，将代入切线得到，令，求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到n取最大值3时，m的取值范围为. 【详解】（1）时，在上， ， 若为切点，则， 故切线方程为，即， 若不是切点，设切点为， 则， 故切线方程为， 又在切线方程上， 故，整理得， 令，， 则， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 又时，，故恒成立， 故，，无零点， 综上，，切线方程为 （2）设切点为，， 在处的切线方程为， 将代入切线方程中得， 整理得，令， 则， 列表如下： 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由得，解得或， 画出的图象，如下： 由图可知，当时，直线与图象有3个交点，为最大值， 故n取最大值3时，m的取值范围为. 【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$