专题03 数列求和常见解题策略（10大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（ 内蒙古专用）

专题03 数列求和常见解题策略 题型概览 题型01公式法求前n项和 题型02倒序相加法求前n项和 题型03错位相减 题型04裂项求和 题型05 分组并项求和 题型06 分段求和 题型07 奇偶分析法 题型08 数列前n项积 题型09 其它求和法 题型10 数列新概念 ( 题型01 ) 公式法求前n项和 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）记等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 为（    ） A．1或 B．1或3 C．或 D．或3 3．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知等比数列的首项为1，公比为3，则（   ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 倒序相加法求前n项和 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰辽宁锦州·期末）已知函数，则 ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为 ． 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 . ( 题型03 ) 错位相减 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若，求的前项和. 2.（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的放项和． ( 题型04 ) 裂项求和 1．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知等比数列的各项均为正数，，. (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和. 2．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知数列的前n项和. (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）若数列的首项，且满足， (1)证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. ( 题型0 5 ) 分组并项求和 1．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期中）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，且，求. 2．（22-23高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知数列满足，． (1)设，求证：是等比数列． (2)求数列的前n项和． ( 题型0 6 ) 分段求和 1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 2．（23-24高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知数列前项和为 (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. ( 题型0 7 ) 奇偶分析法 1．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 2．（24-25高三上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是各项均为正数的数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和. ( 题型0 8 ) 数列前n项积 1．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 2．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． ( 题型0 9 ) 其它求和法 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求． ( 题型0 9 ) 数列新概念 1．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和 . 2．（23-24·内蒙古呼伦贝尔·一模）若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和的调和中项； (2)已知调和数列，，，求的通项公式. 1．（23-24高三上·内蒙古呼伦贝尔·期末）数列的通项公式为，其前项和为，则（    ） A．1 B．0 C．1 D．1010 2．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（    ） A． B．33 C． D．34 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设等差数列的前和为，若使得最大，则等于 A．7 B．8 C．6或7 D．7或8 4．（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数，数列满足，前项和为．则（   ） A．函数的对称中心为 B．函数为奇函数 C．不等式的解集为 D．若，，则的最小值为 5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则 ． 6．（23-24高三上·内蒙古包头·期末）已知数列的各项均不为零，其前项和为，且，．若，则数列的前项和 ． 7．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的前n项和为，证明：． (3)若对恒成立，求λ的取值范围． 8．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）若正整数最大公约数为1，则称互质.对于正整数是不大于的正整数中与互质的数的个数，称为欧拉函数.例如.设数列是等比数列，且.数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)设，求的前2024项和（结果用表示，数字用分数）； (3)证明：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数列求和常见解题策略 题型概览 题型01公式法求前n项和 题型02倒序相加法求前n项和 题型03错位相减 题型04裂项求和 题型05 分组并项求和 题型06 分段求和 题型07 奇偶分析法 题型08 数列前n项积 题型09 其它求和法 题型10 数列新概念 ( 题型01 ) 公式法求前n项和 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）记等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式建立方程组，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得. 故选：B. 2．（23-24高二下·内蒙古通辽·期末）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 为（    ） A．1或 B．1或3 C．或 D．或3 【答案】D 【分析】运用等比数列的性质公式求解即可. 【详解】由 ，可得 ， 则 ，故 ， 解得 或 . 故选：D． 3．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知等比数列的首项为1，公比为3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由定义得到为首项为，公比为9的等比数列，利用求和公式求出答案. 【详解】由题意得， 故为首项为，公比为9的等比数列， 则. 故选：D ( 题型02 ) 倒序相加法求前n项和 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数，则 ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，即可根据此关系求出，因为，则，利用倒序相加法求和即可， 【详解】解：已知，则： ， ， 所以， 则， 已知数列， ，， 数列的前2023项的和， 且， 两式相加，得， 故答案为：； 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 . 【答案】 【分析】利用倒序相加法可得到，即可求得前16项的和. 【详解】，① ，② 两式相加，又因为， 故，所以， 所以的前16项的和为 故答案为： ( 题型03 ) 错位相减 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据等比数列的定义结合已知条件证明即可； （2）由（1）可求得，则，然后利用分组求和法与错位相减法可求出 【详解】（1）. 则 是以1为首项2为公比的等比数列. （2）由（1）可得， ， ，∴， 设的前项和 令①， ②， ①②得， ， ∵， . 2.（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的放项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用，将已知条件变形成与的递推关系式，再写出，从而得到证明； （2）利用第（1）问求出通项公式，进而求出通项公式，从结构上发现可以借助分组求和与错位相减法求和即可． 【详解】（1）由， 得，令，可得． 当时，， 两式相减得， 则． 又，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． （2）由（1）知，， 所以． 设， 则， 所以， 即， 所以， 所以． ( 题型04 ) 裂项求和 1．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知等比数列的各项均为正数，，. (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式列式计算即可； （2）结合对数运算性质和等差数列求和公式求得，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意知，即， 又，，解得， 代入，即，得， 则的通项公式为. （2）由得 ， 故， 所以数列的前n项为 . 2．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知数列的前n项和. (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用与的关系求出，再根据等差数列的定义证明即可； （2）由（1）已得，化简并裂项，利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 则当时，， 因满足， 故数列的通项公式为. 又因， 故数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）得，则， 故 . 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）若数列的首项，且满足， (1)证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知等式变形可得，利用等比数列的定义可证得结论成立； （2）根据（1）可得，从而，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，可得， ，则，对任意的，，则， 故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为； （2）根据（1）可得， 所以，则， 设数列的前项和为， 所以. ( 题型0 5 ) 分组并项求和 1．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期中）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，且，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用与关系求数列的通项公式，用方程的思想求等差数列的通项公式； （2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列的前项和； （3）求出数列的通项公式，然后解关于n的方程即可得解 【详解】（1）当时， 得.    由已知① 当时，, ②                               ①-②得.                             所以 .                                     所以数列为等比数列，且公比为 因为，所以.              设数列公差为，       由得                               所以. 综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：. （2）设，前项和 （3）   即，即，解得 2．（22-23高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知数列满足，． (1)设，求证：是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义进行证明； （2）先求出数列的通项公式，利用分组求和的方法求和. 【详解】（1）证明：因为，所以， 因为，所以是公比为3，首项为的等比数列. （2）由（1）知，所以， 所以 . ( 题型0 6 ) 分段求和 1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用等差数列的通项公式及前n项和公式求基本量，进而写出通项公式； （2）根据的符号，讨论、，结合等差数列前n项和公式求. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以. （2）由（1）知， 当时，，则； 当时，，则， 当时，， 当时，. 综上，. 2．（23-24高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知数列前项和为 (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用与前n项和的关系即得； （2）分类讨论和的情况,进而即得. 【详解】（1）∵， ∴当时，， 当时，， 时，适合上式， ∴； （2）因为， 所以当时，，当时，， ∴当时，， 当时， ， 所以    . ( 题型0 7 ) 奇偶分析法 1．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 【答案】1078 【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的. 【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 故答案为：1078. 2．（24-25高三上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是各项均为正数的数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的知识来求得. （2）利用裂项求和法、分组求和法来求得. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以，即， 由，解得. 由，所以是首项为1，公比为3的等比数列. 所以. （2）当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以 . ( 题型0 8 ) 数列前n项积 1．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值，即求. 【详解】∵数列的前项积， 当时，， 当时，，， 时也适合上式， ∴， ∴当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且， 故的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为2. 故选：C. 2．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2） 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式； ( 题型0 9 ) 其它求和法 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的周期性确定数列的周期，进而可得，利用周期性求. 【详解】因为是周期为4的周期数列，且， 所以，则. 故选：C 2．（23-24高三上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解， （2）根据所给定义可用列举法求解，即可求和. 【详解】（1）设数列的公差为， 则，，解得, 故； （2）由可得前11项分别为 故的前11项分别为 所以 . ( 题型0 9 ) 数列新概念 1．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据定义可得为等差数列，即可得，进而根据裂项相消法求和即可得解. 【详解】由题意可知：，又，故为等差数列， 故，故， 故， 故数列的前项和， 故答案为： 2．（23-24·内蒙古呼伦贝尔·一模）若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和的调和中项； (2)已知调和数列，，，求的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案； （2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式. 【详解】（1）设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列， 所以，解得：， 故和的调和中项为； （2）依题意，是等差数列，设其公差为， 则， 所以， 故. 1．（23-24高三上·内蒙古呼伦贝尔·期末）数列的通项公式为，其前项和为，则（    ） A．1 B．0 C．1 D．1010 【答案】A 【分析】根据数列通项公式依次列举出数列的项，进而发现每4项之和为0，从而可求解 【详解】因为数列的通项公式为， 所以， ，……， 每4项之和为0， 所以， 故选：A 2．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（    ） A． B．33 C． D．34 【答案】A 【解析】根据，并结合倒序相加法可求出，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】函数满足， ①， ②， 由①②可得，， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题. 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设等差数列的前和为，若使得最大，则等于 A．7 B．8 C．6或7 D．7或8 【答案】D 【详解】试题分析：由题意可知，令得，所以等于7或8 考点：等差数列求和 4．（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数，数列满足，前项和为．则（   ） A．函数的对称中心为 B．函数为奇函数 C．不等式的解集为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A：计算的和是否为即可判断；B：设，计算的和是否为即可判断；C：根据函数的单调性和对称中心即可判断；D：利用数列求和得到，再根据基本不等式求最小值即可. 【详解】 . 所以函数关于对称，A正确； 令，则， 由A知，，所以. 所以不是奇函数，B错误； 因为，所以 因为在R上单调递增，所以，，C正确； 由A知，，且，， . 又因为，所以. 时，， 当且仅当即，，时等号成立； 时， ， 当且仅当即，，时等号成立； 所以若，，则的最小值为，D正确. 故选：ACD. 5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，得到为等差数列，求得其通项公式，结合累加法，得到，求得，再利用裂项求和，求得，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，，可得， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 当时， ， 且当时，也成立，所以， 所以， 所以 ， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高三上·内蒙古包头·期末）已知数列的各项均不为零，其前项和为，且，．若，则数列的前项和 ． 【答案】 【分析】由得数列的递推关系，数列奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，分别求出通项公式后，合并可得，然后用裂项相消法求和． 【详解】∵，∴，两式相减得， 又，∴， 由且得， 因此，， 综上，，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列是等差数列，是等比数列， （1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法； （5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 7．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的前n项和为，证明：． (3)若对恒成立，求λ的取值范围． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义及等差数列的定义得，再应用累加法求的通项公式，同理得到，由等比数列的定义求的通项公式； （2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论. （3）由（1）得到对恒成立，构造数列，确定其最大项即可求解； 【详解】（1）因为，所以， 所以是公差为1的等差数列，所以. 因为，所以，所以，即. 因为， 所以. 因为，所以. 因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即. （2）因为，所以，则， 所以， 故. （3）由（1）， 可化成： 即对恒成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以中最大项为， 所以 8．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）若正整数最大公约数为1，则称互质.对于正整数是不大于的正整数中与互质的数的个数，称为欧拉函数.例如.设数列是等比数列，且.数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)设，求的前2024项和（结果用表示，数字用分数）； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析； 【分析】（1）根据等比数列定义求出首项和公比可得，再由之间的关系式即可得； （2）利用错位相减法可求得的前2024项和； （3）采用作差法可得，即可得出结论. 【详解】（1）由可得，； 又因为数列是等比数列，设的公比为， 可得， 因此； 所以，即； 可得； 即； 当时，满足上式， 即可得； 所以的通项公式分别为， （2）由（1）可知， 设； 则 两式相减可得 ， 即， 所以 （3）设， 即可得， 当时，，原不等式成立； 当时，， 即可得， 所以， 即 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$