高一数学期末模拟卷（北师大版2019，必修第二册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修第二册。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以的共轭复数是，故选D. 2．，若，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由，可得，解得，故选B． 3．已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为.故选：D.    4．已知是第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D．7 【答案】B 【解析】由可得，由于是第四象限角， 则，故，故. 故选；B 5．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解析】记与轴的交点为D，因为，所以， 又轴，所以四边形为平行四边形，所以， 由题意可知：，因为轴，，所以轴， 又，所以，所以， ．故选：B． 6．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即.故选：C 7．在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】在中，因为， 由正弦定理，可得 又因为，所以， 即，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形.故选：B. 8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， 三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为，内切球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， ， ，， 三棱锥 的表面积为 ， 又，， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则的虚部为1 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，设，由，得，的虚部为1，C正确； 对于D，表示复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 是点与点的距离，而，所以，即，D正确. 故选：BCD 10．函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的值为 B．的值为 C．函数在区间上单调递增 D．当时，取最大值 【答案】AD 【解析】对于选项，由图可知，故正确； 对于选项，由图可知是该函数单调递减区间上的一个零点，故，则，又，可知，故错误； 对于选项，由前两选项可知，，令，可得, ，故错误； 对于选项，由，令，则，故正确. 故选：. 11．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于，连接、，易知，，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确 对于，连接，，如图：    ，，四边形为平行四边形， ，平面，平面， 平面，同理四边形为平行四边形， ，平面，平面， 平面，，平面，平面， 平面平面，平面，平面，故B正确 对于，    由知，又平面，平面， 平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ，故C错误 对于， 将平面和平面沿直线展开为一个平面，如图：    则当为与的交点时，取得最小值为的长度， ，， ， 中，由余弦定理可得 ， 即的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数z满足，则 ． 【答案】 【解析】复数z满足，则，所以则． 13．已知，，则 ． 【答案】 【解析】， ， 故， 所以， 解得，故， 所以. 14．正六边形的边长为1，顶点依次为，若存在点满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，所以在为直径的圆上的点， 记线段，，的中点为， 由题意，可得，，，    则， 当为的延长线与圆的交点时，可使的模最大， 同时共线同向，可使最大， 由平面几何知识可求得，所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)若，求的值． 【解】（1）， ……………………3分 所以函数的最小正周期为； …………………5分 当且仅当，即时，函数的最大值为4．…………7分 （2）因为，所以， 即， ……………………9分 所以 …………………11分 ． ……………………13分 16．（本小题满分15分）设，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积． 【解】（1）因为， 所以， 即， …………………………3分 由正弦定理得， 中，所以， …………………………6分 又，所以； …………………………7分 （2）由余弦定理得， …………………………10分 即，解得（负值舍去）， …………………………12分 所以． …………………………15分 17．（本小题满分15分）如图，一个半径为R的摩天轮，其圆心为坐标原点O，一个座舱从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转．已知旋转一周用时60分钟，经过t分钟后，座舱旋转到点，其纵坐标满足． (1)求函数的解析式； (2)若摩天轮最低点到地面距离为2米，在摩天轮转动的一圈内，有多长时间，座舱P距离地面的高度不低于242米？ (3)若摩天轮旋转周期变为T分钟，且在上单调递增，求T的取值范围． 【解】（1）由图可知，， …………………………1分 又周期，所以， …………………………2分 所以 当时，座舱在点处， 所以，即 因为，所以， …………………………4分 所以函数的解析式. …………………………5分 （2）因为摩天轮最低点到地面距离为2米， 所以座舱到地面的距离为， 由题意，即， …………………………7分 所以，解得， 整理得， 在一个周期内，当时，， …………………………9分 所以座舱P距离地面的高度不低于242米的时间为分钟 .……………10分 （3）因为，所以， 所以， …………………………11分 由得， 所以得单调递增区间为 …………………………13分 因为在上单调递增，且， 所以， 所以，即， 所以T的取值范围． …………………………15分 18．（本小题满分17分）如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 【解】（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， …………………………2分 而平面，OD平面， 所以平面. …………………………5分 （2）由，是的中点，得， …………………………6分 由平面，得平面， 又AD平面，则， …………………………8分 又､BC是平面内的两条相交直线， 因此平面，而AD平面， 所以平面平面 ………………………10分 （3）在平面内过C作CE于E，连AE， …………………………11分 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， …………………………13分 在直角中，令， 则，， …………………………15分 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. …………………………17分 19．（本小题满分17分）设是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系．向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在如图所示的斜坐标系中，若分别是的中点，分别与交于两点．    (1)试求向量的坐标，并求出当时的值； (2)若为锐角，求的取值范围； (3)若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值． 【解】（1）由题意得，故， 因为为的中点，，所以， …………………………1分 因为， 所以， 所以； …………………………3分 所以； 同理，，，为的中点，所以， 故， 则， …………………………5分 即， …………………………6分 ，又，故 ， 故； …………………………7分 （2）， ， …………………………8分 若为锐角，则且不同向共线， 由于，两向量显然不共线， 其中 ， 故，， ………………………9分 又是平面内相交成角的两条不共线射线，故， 在上单调递减， 设，故，其中为锐角， 而在上单调递增，所以， 而，故； …………………………11分    （3）连接，与相交于点，连接， …………………………12分 则，且，点为中点，四边形为平行四边形， 其中，， 所以， …………………………14分 设，则，， 所以， …………………………15分 故四边形与平行四边形的面积比为， 又平行四边形与平行四边形的面积比为， 故四边形与平行四边形的面积之比为，为定值 …………………………17分    1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修第二册。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 2．，若，则实数为（   ） A． B． C． D． 3．已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．已知是第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D．7 5．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（    ） A． B． C．4 D．8 6．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则的虚部为1 D．若，则 10．函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的值为 B．的值为 C．函数在区间上单调递增 D．当时，取最大值 11．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数z满足，则 ． 13．已知，，则 ． 14．正六边形的边长为1，顶点依次为，若存在点满足，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)若，求的值． 16．（本小题满分15分）设，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积． 17．（本小题满分15分）如图，一个半径为R的摩天轮，其圆心为坐标原点O，一个座舱从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转．已知旋转一周用时60分钟，经过t分钟后，座舱旋转到点，其纵坐标满足． (1)求函数的解析式； (2)若摩天轮最低点到地面距离为2米，在摩天轮转动的一圈内，有多长时间，座舱P距离地面的高度不低于242米？ (3)若摩天轮旋转周期变为T分钟，且在上单调递增，求T的取值范围． 18．（本小题满分17分）如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 19．（本小题满分17分）设是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系．向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在如图所示的斜坐标系中，若分别是的中点，分别与交于两点．    (1)试求向量的坐标，并求出当时的值； (2)若为锐角，求的取值范围； (3)若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修第二册。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 2．，若，则实数为（   ） A． B． C． D． 3．已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．已知是第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D．7 5．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（    ） A． B． C．4 D．8 6．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则的虚部为1 D．若，则 10．函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的值为 B．的值为 C．函数在区间上单调递增 D．当时，取最大值 11．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数z满足，则 ． 13．已知，，则 ． 14．正六边形的边长为1，顶点依次为，若存在点满足，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)若，求的值． 16．（本小题满分15分）设，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积． 17．（本小题满分15分）如图，一个半径为R的摩天轮，其圆心为坐标原点O，一个座舱从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转．已知旋转一周用时60分钟，经过t分钟后，座舱旋转到点，其纵坐标满足． (1)求函数的解析式； (2)若摩天轮最低点到地面距离为2米，在摩天轮转动的一圈内，有多长时间，座舱P距离地面的高度不低于242米？ (3)若摩天轮旋转周期变为T分钟，且在上单调递增，求T的取值范围． 18．（本小题满分17分）如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 19．（本小题满分17分）设是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系．向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在如图所示的斜坐标系中，若分别是的中点，分别与交于两点．    (1)试求向量的坐标，并求出当时的值； (2)若为锐角，求的取值范围； (3)若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D B B C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 【解】（1）， ……………………3分 所以函数的最小正周期为； …………………5分 当且仅当，即时，函数的最大值为4．…………7分 （2）因为，所以， 即， ……………………9分 所以 …………………11分 ． ……………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为， 所以， 即， …………………………3分 由正弦定理得， 中，所以， …………………………6分 又，所以； …………………………7分 （2）由余弦定理得， …………………………10分 即，解得（负值舍去）， …………………………12分 所以． …………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由图可知，， …………………………1分 又周期，所以， …………………………2分 所以 当时，座舱在点处， 所以，即 因为，所以， …………………………4分 所以函数的解析式. …………………………5分 （2）因为摩天轮最低点到地面距离为2米， 所以座舱到地面的距离为， 由题意，即， …………………………7分 所以，解得， 整理得， 在一个周期内，当时，， …………………………9分 所以座舱P距离地面的高度不低于242米的时间为分钟 .……………10分 （3）因为，所以， 所以， …………………………11分 由得， 所以得单调递增区间为 …………………………13分 因为在上单调递增，且， 所以， 所以，即， 所以T的取值范围． …………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， …………………………2分 而平面，OD平面， 所以平面. …………………………5分 （2）由，是的中点，得， …………………………6分 由平面，得平面， 又AD平面，则， …………………………8分 又､BC是平面内的两条相交直线， 因此平面，而AD平面， 所以平面平面 ………………………10分 （3）在平面内过C作CE于E，连AE， …………………………11分 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， …………………………13分 在直角中，令， 则，， …………………………15分 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. …………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）由题意得，故， 因为为的中点，，所以， …………………………1分 因为， 所以， 所以； …………………………3分 所以； 同理，，，为的中点，所以， 故， 则， …………………………5分 即， …………………………6分 ，又，故 ， 故； …………………………7分 （2）， ， …………………………8分 若为锐角，则且不同向共线， 由于，两向量显然不共线， 其中 ， 故，， ………………………9分 又是平面内相交成角的两条不共线射线，故， 在上单调递减， 设，故，其中为锐角， 而在上单调递增，所以， 而，故； …………………………11分    （3）连接，与相交于点，连接， …………………………12分 则，且，点为中点，四边形为平行四边形， 其中，， 所以， …………………………14分 设，则，， 所以， …………………………15分 故四边形与平行四边形的面积比为， 又平行四边形与平行四边形的面积比为， 故四边形与平行四边形的面积之比为，为定值 …………………………17分    2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$