专题1.1 集合的概念和运算（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第一章集合的第1个专题：集合的概念和运算。本专题涵盖集合的概念、集合间的关系、集合的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1.1 集合的概念和运算（讲义） 知识点1 集合的概念 1.核心定义 （1）集合：由某些确定的对象组成的整体成为集合（简称集）.集合常用大写字母A,B,C……表示. （2）元素：组成集合的对象，称为元素，元素常用小写英文字母a,b,c……表示. （3）集合中元素的三个特征：确定性，互异性，无序性. （4）元素与集合关系：属于（∈）、不属于（∉），a∈A（bA） （5）特殊集合：空集，没有任何元素的集合是空集，符号为. 2.表示方法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来写在花括号内. （2）描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法.描述法表示集合的一般形式是 {x|p(x)}, 其中“x”是集合中元素的代表形式,“p(x)”是集合中元素所具有的特征性质,两者之间的竖 线不可省略. （3）常见数集符号：实数集（R）,有理数集（Q），整数集（Z），自然数集（N），正整数集（N*），复数集（C） 3.集合关系 （1）子集：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,则称集合A是集合B的子集.记作： 空集是任何集合的子集.记作：A. （2）集合相等：如果两个集合的元素完全相同 ，那么就说这两个集合相等.集合A等于集合B,记作A=B. （3）真子集：A是B的子集，且集合A与集合B不相等，则称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B, 空集是任何非空集合的真子集.记作⫋. Venn图表示： （4）子集个数：含有n个元素的集合子集的个数为个，真子集的个数为个，非空真子集的个数为： 个. 1．（2024全国模拟）下列各组对象中，不能组成集合的是（    ）. A．所有的正六边形 B．《数学》第一册中的所有习题 C．所有的数学容易题 D．所有的有理数 2．（2023浙江模拟）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024全国专题练习）已知集合中只有一个元素，则的值为（ ） A．0 B．0或1 C．1 D．不能确定 4．（2025河南模拟）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2025湖南永州模拟）已知集合，，且，求集合． 1．下列关系中正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．已知集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．满足的集合有（    ）个． A．6 B．7 C．8 D．10 4．若则实数a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 5．已知集合，集合，则（   ） A．A B． C． D． 6．下列4个命题： ①空集没有子集； ②空集是任何一个集合的真子集； ③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或者两个以上的子集 其中命题正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．设集合，则集合的子集个数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．无法确定 8．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．设集合，.若，则 10．用符号“”“”“”“”或“”填空． （1）0 ；            （2） ； （3） ；            （4） 是8的约数． 11．若集合，则的取值范围为 12．已知集合，集合，且.则实数的值为 13．集合用列举法可以表示为 ． 14．用描述法表示下列集合． (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)抛物线上所有点组成的集合． 15．已知集合，集合． (1)当时，判断集合A与集合B的关系； (2)若，求实数a的取值范围． 知识点2 集合的运算 1.交集 （1）交集的定义:由集合A与B中相同元素所组成的集合.记作A∩B.. （2）交集的运算性质： ① ② ③ 2.并集 （1）并集的定义:由集合A与B中所有元素所组成的集合.记作A∩B.. 注意：在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次. （2）并集的运算性质： ① ② ③ 3.补集 ①全集：一般地，如果一个集合含有所有研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U（通常也把给定的集合作为全集）. ②补集：对于一个集合A，它的补集是指全集U中所有不属于A的元素组成的集合，记作. . Venn图表示： 1．（2020湖南对口升学）已知集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2021湖南对口升学）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022湖南对口升学）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023湖南对口升学）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．若集合，集合，则的真子集有（    ）个． A． B． C． D． 2．若集合，则等于（   ） A． B． C． D． 3．设集合 ，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．已知全集，集合满足，则（ ） A． B． C． D． 7．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则（   ） A． B． C．或 D． 9．若集合，，则集合 10．已知集合，集合或，则 . 11．已知集合，，若，则 . 12．已知集合，，若，则 ． 13．设集合，，求，. 14．已知全集，，；求解： (1) (2) (3) 15．已知集合 (1)求， (2)若求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第一章集合的第1个专题：集合的概念和运算。本专题涵盖集合的概念、集合间的关系、集合的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1.1 集合的概念和运算（讲义） 知识点1 集合的概念 1.核心定义 （1）集合：由某些确定的对象组成的整体成为集合（简称集）.集合常用大写字母A,B,C……表示. （2）元素：组成集合的对象，称为元素，元素常用小写英文字母a,b,c……表示. （3）集合中元素的三个特征：确定性，互异性，无序性. （4）元素与集合关系：属于（∈）、不属于（∉），a∈A（bA） （5）特殊集合：空集，没有任何元素的集合是空集，符号为. 2.表示方法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来写在花括号内. （2）描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法.描述法表示集合的一般形式是 {x|p(x)}, 其中“x”是集合中元素的代表形式,“p(x)”是集合中元素所具有的特征性质,两者之间的竖 线不可省略. （3）常见数集符号：实数集（R）,有理数集（Q），整数集（Z），自然数集（N），正整数集（N*），复数集（C） 3.集合关系 （1）子集：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,则称集合A是集合B的子集.记作： 空集是任何集合的子集.记作：A. （2）集合相等：如果两个集合的元素完全相同 ，那么就说这两个集合相等.集合A等于集合B,记作A=B. （3）真子集：A是B的子集，且集合A与集合B不相等，则称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B, 空集是任何非空集合的真子集.记作⫋. Venn图表示： （4）子集个数：含有n个元素的集合子集的个数为个，真子集的个数为个，非空真子集的个数为： 个. 1．（2024全国模拟）下列各组对象中，不能组成集合的是（    ）. A．所有的正六边形 B．《数学》第一册中的所有习题 C．所有的数学容易题 D．所有的有理数 【答案】C 【分析】根据集合的确定性判断. 【详解】集合的性质有：互异性，确定性，无序性， A.所有的正六边形符合集合的性质，故能构成集合； B.《数学》第一册中的所有习题符合集合的性质，故能构成集合； C.所有的数学容易题不符合确定性，故不能构成集合； D.所有的有理数符合集合的性质，故能构成集合. 故选:C. 2．（2023浙江模拟）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合中元素的描述，依次分析中元素到集合的取值，从而得解. 【详解】因为，， 当时，，当时，，当时，， 所以. 故选：C. 3．（2024全国专题练习）已知集合中只有一个元素，则的值为（ ） A．0 B．0或1 C．1 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据集合中只有一个元素，可得出方程只有一个根，再分别讨论两种情况即可. 【详解】已知集合中只有一个元素， 则当时，，符合题意； 当时，有，解得，符合题意. 所以的值为0或1， 故选：B. 4．（2025河南模拟）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】将集合中的元素依次代入中，并根据集合中元素的互异性可求解. 【详解】由于，且集合，则有 ①当，时，；②当，时，；③当，时，；④当，时，； 根据集合中元素的互异性，可得，集合中共3个元素. 故选：C 5．（2025湖南永州模拟）已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】利用集合中元素的性质即可求解. 【详解】因为集合，且， 所以，解得或， 当时， ，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时， 集合中，集合，符合题意， 所以集合. 1．下列关系中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】A：为实数，故，A正确； B：是负整数，故，B错误； C：是无理数，故，C错误； D：是一个无限不循环小数，故，D错误. 故选：A. 2．已知集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合之间的关系逐个分析即可. 【详解】选项A，，所以，该选项错误. 选项B，，所以，该选项错误. 选项C，是一个开区间，不包含端点，所以，该选项错误. 选项D，，所以，该选项正确. 故选：D. 3．满足的集合有（    ）个． A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，集合可以是集合中包含元素的真子集，进而可求解. 【详解】因为，所以集合中必须有元素，又， 所以集合可以是集合中包含元素的真子集， 即，因此有7个. 故选：B. 4．若则实数a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】A 【分析】根据集合与集合的关系和元素的互异性即可求解. 【详解】因为，所以，解得或， 当时集合为，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 当时集合为，满足题意， 所以实数a的值为. 故选：A. 5．已知集合，集合，则（   ） A．A B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的真包含关系求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：B. 6．下列4个命题： ①空集没有子集； ②空集是任何一个集合的真子集； ③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或者两个以上的子集 其中命题正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由空集的定义逐项判断命题即可. 【详解】对于①，空集是它自身的子集，故①错误； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故②错误； 对于③，由空集的定义，可得空集的元素个数为零，故③正确； 对于④，空集只有一个子集，就是它自身，故④错误. 故选：B. 7．设集合，则集合的子集个数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用集合的描述求得其元素个数，进而求得其子集个数，从而得解. 【详解】因为，有个元素， 所以集合的子集个数为. 故选：C. 8．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合关系的表示及子集的概念判断. 【详解】A，，故A错误； B，是集合中的元素，，故B错误； C，因为，所以，故C正确； D，，故D错误. 故选：C. 9．设集合，.若，则 【答案】 【分析】由集合之间的关系确定参数即可. 【详解】因为集合，，若， 所以. 故答案为：. 10．用符号“”“”“”“”或“”填空． （1）0 ；            （2） ； （3） ；            （4） 是8的约数． 【答案】 【分析】根据题意，结合元素与集合、集合与集合之间的关系，即可判断求解. 【详解】（1）因为，所以； （2）根据集合相等的概念可知； （3）因为与R都是集合，结合集合与集合之间的关系可知； （4）因为是8的约数，结合集合与集合之间的关系可知是8的约数. 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）. 11．若集合，则的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得，一元二次方程没有实数根，即判别式，求解即可得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以一元二次方程没有实数根， 即， 解得， 故答案为：. 12．已知集合，集合，且.则实数的值为 【答案】1 【分析】根据题意，结合子集的概念，分类讨论，，时三种情况，即可求解. 【详解】因为集合，集合，且， 当时，，集合，此时集合A不是集合B的子集，不满足题意； 当时，，集合，满足，符合题意； 当时，，集合，此时集合A不是集合B的子集，不满足题意； 综上所述，. 故答案为：1. 13．集合用列举法可以表示为 ． 【答案】 【分析】根据集合的列举法，常用数集的概念即可求解. 【详解】由题意得，是自然数集，所以. 故答案为：. 14．用描述法表示下列集合． (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2)． (3) 【分析】根据描述法表示集合即可求解。 【详解】（1）所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为. （2）不等式解集为，所以不等式解集，用描述法可表示为. （3）抛物线上所有点组成的集合，用描述法可表示为. 15．已知集合，集合． (1)当时，判断集合A与集合B的关系； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求集合，然后利用集合之间的关系可判断； （2）利用集合之间的关系求参数即可. 【详解】（1），则， 又集合，则； （2）因为， 则，即，无解； 则实数a的取值范围. 知识点2 集合的运算 1.交集 （1）交集的定义:由集合A与B中相同元素所组成的集合.记作A∩B.. （2）交集的运算性质： ① ② ③ 2.并集 （1）并集的定义:由集合A与B中所有元素所组成的集合.记作A∩B.. 注意：在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次. （2）并集的运算性质： ① ② ③ 3.补集 ①全集：一般地，如果一个集合含有所有研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U（通常也把给定的集合作为全集）. ②补集：对于一个集合A，它的补集是指全集U中所有不属于A的元素组成的集合，记作. . Venn图表示： 1．（2020湖南对口升学）已知集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据交集的定义，求解集合的参数. 【详解】∵，∴. 而，故得到. 故选：D. 2．（2021湖南对口升学）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合运算中交集的定义求集合与集合的交集. 【详解】由题意集合，，则两者的交集为. 故选：C. 3．（2022湖南对口升学）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合. 所以. 故选：A. 4．（2023湖南对口升学）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题目条件及并集的定义即可求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 5．（2024湖南对口升学）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】. 故选：A. 1．若集合，集合，则的真子集有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出中的元素个数，再由真子集的定义及计算公式即可求解. 【详解】因为方程的， 所以，联立可得， 因为方程的， 所以函数与函数有2个交点， 即中有个元素，则的真子集有个． 故选：C. 2．若集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的概念及运算可求解. 【详解】由题可得 . 故选：D 3．设集合 ，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据并集的概念运算即可． 【分析】集合A为，B为， 则 故选：A 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集的定义求解即可. 【详解】已知集合，， 则. 故选：A. 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的交并补的运算进行求解即可. 【详解】因为， 所以，则. 故选B. 6．已知全集，集合满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全集以及补集的定义求解即可. 【详解】因为全集中只含有元素，中只含有元素3和5， 所以集合中只含有元素1,2,4，即． 故选：B. 7．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集、交集的概念及运算可求解. 【详解】因为全集，集合，所以， 所以. 故选：A 8．已知集合，，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】由题意得，集合，， 则 . 故选：B. 9．若集合，，则集合 【答案】 【分析】根据集合的交集的定义求解即可. 【详解】集合，，则集合. 故答案为：. 10．已知集合，集合或，则 . 【答案】 【分析】由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为集合， 集合或， 所以. 故答案为：. 11．已知集合，，若，则 . 【答案】或 【分析】根据集合的并集转化为子集关系，建立方程求解即可. 【详解】已知集合，， 由，得， 所以或， 解得或或， 当时，不满足集合中元素的互异性，舍去， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意， 故答案为：或. 12．已知集合，，若，则 ． 【答案】0或或 【分析】根据交集的概念可得，再由子集的概念即可确定的值. 【详解】已知集合， 因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，， 则或，解得， 所以0或或， 故答案为：0或或. 13．设集合，，求，. 【答案】， 【分析】根据交集和并集的概念运算即可. 【详解】已知集合， ， 则， . 14．已知全集，，；求解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据集合的并运算即可求解. （2）根据集合的补运算即可求解. （3）根据集合的交运算和补运算即可求解. 【详解】（1）由题意得，，， 则 . （2）由题意得，全集，， 则或. （3）由题意得，或. 15．已知集合 (1)求， (2)若求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集、并集和补集的概念即可求解. （2）根据交集的概念，分析集合必须与集合有公共元素，即可求解. 【详解】（1）因为集合， 所以，或， 则. （2）因为，则集合必须与集合公共元素， 又， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$