11 函数的零点与方程重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 11 函数的零点与方程重难点专题 常考结论及公式 结论一：零点存在性定理的易错结论 （1）若函数 ( )y f x= 在闭区间 ,a b 上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 ( ) ( ) 0f a f b  .则函数 ( )y f x= 一定有零点，特别是，当 ( )y f x= 在 ,a b 上单调时， 它仅有一个零点. （2）由函数 ( )y f x= （图象是一条连续不断的曲线）在闭区间 ,a b 上有零点不一定 能推出 ( ) ( ) 0f a f b  ，所以 ( ) ( ) 0f a f b  是 ( )y f x= 在闭区间 ,a b 上有零点的充 分不必要条件. 结论二：确定函数 ( )f x 的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在性定理：首先看函数 ( )y f x= 在区间 ,a b 上的图象是否连续， 再看是否有 ( ) ( ) 0f a f b  ，若有，则函数 ( )y f x= 在区间 ( ),a b 内必有零点. （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 结论三： 函数零点个数的判断方法 （1）直接求零点：令 ( ) 0f x = ，有几个解就有几个零点； （2）函数零点存在性定理：要求函数在区间 ,a b 是连续不断的曲线，且 ( ) ( ) 0f a f b  ， 再结合函数的图象与性质确定函数零点的个数； （3）利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 结论四：根据零点或方程的根所在区间求参数范围解题策略 （1）若含参a 的函数 ( ) ( )f x g x a= − 在 x M 上有零点，常用方法是分离参数转化为 方程 ( )g x a= 在 x M 上有解，则参数a 的范围即为函数 ( )g x 在M 上的值域.若二次 函数在 x M 上有零点，也可用一元二次方程根的分布求解. （2）若含参数的函数在给定的区间上有零点，且函数在该区间上严格单调，则可以直 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 接使用函数零点存在性定理列不等式（组）求参数的范围. 结论五： 由零点或方程的根的个数求参数范围的方法 （1）形如 ( ) ( )f x g x a= − 的含参函数零点问题可转化为 ( )g x a= 求解. （2）根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数范围问题，若能够将参数 分离，则常分离参数后求解，若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出，则作出函 数图象后利用数形结合求解. （3）涉及直线与二次函数（或二次函数的复合函数）有一个交点问题，要结合一元二 次方程有一个根的条件，即用判别式 0 = 求解. （4）若函数的零点可求出，则根据零点的取值与参数的关系分析判断. 结论五： 求两个或多个零点（方程的根）的和的常用技巧 （1）求函数 ( ) ( )y f x g x= − 的多个零点（或方程 ( ) ( ) 0f x g x− = 的根以及直线 y m= 与函数图象的多个交点横坐标）的和时，常转化为函数 ( )y f x= 与 ( )y g x= 两函数图 象的交点的横坐标的和的问题，首先考虑函数的对称点或对称轴问题，利用对称思想求 和. （2）若所给函数通过换元后可转化为奇函数或偶函数，可利用奇偶函数的对称性求交 点的换元后横坐标的和，然后再转化为 x 的和. 题型一 求函数的零点 【例 1】已知 ( )f x 是定义域为 ( )0, + 的单调函数，若对任意的 ( )0,x + ，都有 ( ) 2log 3f f x x − =  ，则函数 ( ) 1 2 f x y x = − 的零点为（ ） A． 1 2 B． 1 3 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据 ( )f x 单调，结合已知条件求出 ( )f x 的解析式，然后再进一步研究函数 ( ) 1 2 f x y x = − 的零点． 【详解】解：因为 ( )f x 是定义域为 ( )0, + 的单调函数，且对任意的 ( )0,x + ，都有 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 ( ) 2log 3f f x x − =  ， 故可设存在唯一的实数 ( )0,C  + ，使得 ( ) 3f C = ， 则设 ( ) 2logf x x C− = ，所以 ( ) 2logf x x C= + ， 所以 ( ) 2log 3f C C C= + = ，则 2log 3C C= − ， 由于函数 2logy x= 在 ( )0, + 上单调递增，函数 3y x= − 在 ( )0, + 上单调递减， 又 2log 2 1 3 2= = − ，所以 2C = ， 故 ( ) ( )2 2log 2 log 4f x x x= + = 再令 ( ) 1 2 0 f x x − = ， ( )0,x + ，得： 1 4 0x x − = ，解得 1 2 x =  （负值舍去）． 则函数 ( ) 1 2 f x y x = − 的零点为 1 2 . 故选：A． 【跟踪训练 1】已知 1 是函数 2( ) ( )f x ax bx c a b c= + +   的一个零点，若存在实数 0x ， 使得 0( ) 0f x  ，则 ( )f x 的另一个零点可能是（ ） A． 0 3x − B． 0 1 2 x − C． 0 3 2 x + D． 0 2x + 【答案】B 【分析】由题意可得 a＞b＞c，则 a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得 1 1 b a −   ，分类讨论即可 得到另外一个零点． 【详解】∵1 是函数 f（x）=ax2+bx+c 的一个零点， ∴a+b+c=0， ∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得 1 1 b a −   函数 f（x）=ax2+bx+c 的图象是开口向上的抛物 线，其对称轴方程为 2 b x a = − 所以 1 1 2 2 2 b a −  −  画出函数大致图象如图： 当 1 0 2 2 b a  −  时，函数的另一零点 x1∈[-1，0），x0∈（-1，1） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 则 x0-3∈（-4，-2）， 0 1 1 1 , 2 2 2 x   −  −    ， 0 3 1 5 , 2 2 2 x   +     ， ( )0 2 1,3x +  当 1 0 2 2 b a −  −  时，函数的另一零点 x1∈（-2，-1），x0∈（-2，1） 则 x0-3∈（-5，-2）， 0 1 5 1 , 2 2 2 x   −  −    ， 0 3 1 5 , 2 2 2 x   +  −    ， ( )0 2 0,3x +  综上可知 f（x）的另一个零点可能是 0 1 x 2 − 所以选 B 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法及分类讨 论的数学思想方法，属于中档题． 题型二 求零点或方程根的个数 【例 2】函数 ( ) 21.01xf x x= − 的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】分别作函数 21.01 ,xy y x= = 图像,由图可知,有三个交点,选 C. 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数 图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最 大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判 断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数 的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找 到解题的思路. 【跟踪训练 2】已知函数 2 1, 1 ( ) | ln( 1) |, 1 x x f x x x −  =  −  ，则方程 ( ( )) 1f f x = 的根的个数为 （ ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】令 ( )u f x= ，先求出方程 ( ) 1f u = 的三个根 1 1u = ， 2 1 1u e = + ， 3 1u e= + ，然后 分别作出直线 1u = ， 1 1u e = + ， 1u e= + 与函数 ( )u f x= 的图象，得出交点的总数即为 所求结果. 【详解】令 ( )u f x= ，先解方程 ( ) 1f u = . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 （1）当 1u  时，则 ( ) 2 1 1f u u= − = ，得 1 1u = ； （2）当 1u  时，则 ( ) ( )ln 1 1f u u= − = ，即 ( )ln 1 1u− =  ，解得 2 1 1u e = + ， 3 1u e= + . 如下图所示： 直线 1u = ， 1 1u e = + ， 1u e= + 与函数 ( )u f x= 的交点个数为3、2、2， 所以，方程 ( ) 1f f x  =  的根的个数为3 2 2 7+ + = ，故选 A. 【点睛】本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数， 求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个 数，考查数形结合思想，属于难题． 题型三 零点存在性定理的应用 【例 3】若 ( )y f x= 在区间 ,a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是 （ ） A．若 ( ) ( ) 0f a f b  ，不存在实数 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = B．若 ( ) ( ) 0f a f b  ，存在且只存在一个实数 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = C．若 ( ) ( ) 0f a f b  ，不存在实数 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = D．若 ( ) ( ) 0f a f b  ，有可能存在实数 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理可判断 A；取函数 ( ) ( )( )1 1f x x x x= − + ，区间 2 2− , 可判 断 B；取函数 ( ) ( )( )1 1f x x x= − + ，区间 2 2− , 可判断 C、D；进而可得正确选项. 【详解】对于 A：若 ( )y f x= 在区间 ,a b 上的图象为连续不断的一条曲线，由零点存 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 在性定理可知 ( )y f x= 在区间 ( ),a b 内有零点，即存在实数 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = ，故 选项 A 不正确； 对于 B，取函数 ( ) ( )( )1 1f x x x x= − + 在区间 2 2− , 上满足 ( ) ( )2 2 0f f−   ，但其存在三 个零点： 1− ， 0，1，可知不只存在一个实数 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = ，故选项 B 不正 确； 对于 C、D：取函数 ( ) ( )( )1 1f x x x= − + 在区间 2 2− , 上满足 ( ) ( )2 2 0f f−   ，但其存在 两个零点： 1− ，1，故选项 C 不正确，选项 D 正确； 故选：D. 【跟踪训练 3】设函数 ( ) 2 3 7xf x x= + − ， ( ) ln 2 6g x x x= + − ，若实数 ,a b满足 ( ) 0f a = ， ( ) 0g b = ，则（ ） A． ( ) 0 ( )f b g a  B． ( ) 0 ( )g a f b  C． ( ) ( ) 0f b g a  D．0 ( ) ( )g a f b  【答案】B 【详解】试题分析： ( ) 2 3 7 0af a a= + − = , ( ) ln 2 6 0g b b b= + − = ． 由函数 ( ) ( ),f x g x 的图像可知a b , 因为函数 ( ) ( ),f x g x 在各自定义域内均为增函数, 所以 ( ) ( ) ( ) ( )0, 0f b f a g a g b =  = ,所以 ( ) ( )0g a f b  ．故 B 正确． 考点：1 函数图像；2 函数的单调性． 题型四 比较零点的大小关系 【例 4】若实数 , ,a b c满足 ( ) 32 ln 1 ,2 log ,2 ln a b ca b c− − −= + = = ，则（ ） A．c b a  B．a c b  C．c<a<b D．b a c  【答案】B 【分析】观察三个等式，可考虑根据 2 xy −= 的图象分别与 ( ) 3ln 1 , log , lny x y x y x= + = = 三个函数图象交点的横坐标大小关系判断即可 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【详解】画出 2 xy −= 与 ( ) 3ln 1 , log , lny x y x y x= + = = 三个函数的图象，如图可得 2 xy −= 的与 ( ) 3ln 1 , ln , logy x y x y x= + = = 交点的横坐标依次为 , ,a c b，故a c b  故选：B 【跟踪训练 4】（多选）已知函数 ( ) ( )2 1 1 xxf x x x = −  − ， ( ) ( )2log 1 1 x g x x x x = −  − 的 零点分别为 α，β，给出以下结论正确的是（ ） A．  =+ B． 22 log   + = + C． 4 +  D． 2 −  − 【答案】ABD 【分析】函数 1 xy x = − 的图象关于直线 y x= 对称， , 是函数 2xy = 和 2logy x= 的图象 与函数 1 xy x = − 的图象的交点的横坐标，则有 2log = ， 2  = ． 1    = − 1 1 1 = + − ， 直接变形判断 AB，利用基本不等式判断 C，由零点存在定理判断 3 2 2   ，构造函数 ( ) 1 h       = − = − − ，确定单调性，再计算函数值 3 1 ( ) 2 2 2 2 h = −  − ，利用单调性判 断 D． 【详解】因为函数 1 xy x = − 的图象关于直线 y x= 对称， , 是函数 2xy = 和 2logy x= 的图象与函数 1 xy x = − 的图象的交点的横坐标， 因此已知 2log = ， 2  = ． 又 1    = − 1 1 1 = + − ， ( )( )1 1 1 − − = ，即  =+ ， 因而 A、B 均正确． 又 1 1 2 4 1 1        + = + = − + + − − ≥ ，当且仅当 1 1 1   − = − 即 2 = 时等号成立， 但 ( ) 2 2 2 2 2 0 2 1 f = − = −  − ， 因而 2  ，上式等号不成立， 所以 4 +  ．C 错误． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 记 3 2 3 3 2 3 8 0 2 f   = − = −     ， ( ) 22 2 2 0f = −  ， 因此 3 2 2   而函数 ( ) 1 1 1 1 h         = − = − = − − − − 在区间 ( )1,+ 范围内单调递增， 所以 ( ) 3 1 2 2 2 2 h h    = −  −    ，所以 D 正确． 故选：ABD． 题型五 根据零点（个数）求参数或参数范围问题 【例 5】若函数 ( ) ( )( )( )3 6 3 10xf x a x a a= − − −  有两个零点，则整数 a的值共有（ ） A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．17 个 【答案】A 【分析】先判断出函数 ( ) ( )( )3 6 3xf x a x a= − − − 在 R 有两个零点为 3 6 a + 和 3log a，由 a 的范围求出符合题意的整数 a. 【详解】因为方程6 3 0x a− − = 在 R 上有且仅有一解 3 6 a x + = ， 所以要使函数 ( ) ( )( )3 6 3xf x a x a= − − − 在 R 有两个零点, 只需3 0x a− = 在 R 上有且仅有一个解,同时该解不能为 3 6 a + . 因为 3xy = 在 R 上值域为(0,+∞），因此要满足3 0x a− = 即3x a= 有解,只需 a>0. 又因为 3xy = 在R上单调递增,因此当 a>0时, 3 0x a− = 在R上有且仅有一个解 3logx a= . 因为 10a  且a>0,所以整数a可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中当a=3或a=9时, 3 3 log 6 a a + = . 因此满足条件的 a为 1,2,4,5,6,7,8 共 7 个. 故选：A 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 【跟踪训练 5】（多选）已知函数 ( ) ( ) ( ) 1 1 , 1 1 1 , 1 2 x x f x x  −   − =   =  ，若关于 x的方程 ( ) ( ) ( )22 2 1 0f x a f x a− + + = 有且仅有 9 个不同的根，则实数 a可能的取值是（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D．1 【答案】BC 【分析】画出函数图像，根据图像得到对应二次方程的解得范围，根据零点存在定理得 到范围. 【详解】当 1x  时， ( ) 1 1 1 f x x = − − ，函数在 ( )1,2 上单调递减，在 ( )2, + 上单调递增。 函数关于 1x = 对称，画出函数图像，如图所示： 根据图像知， ( )f x m= ，可能有 0 个，2 个，4 个，5 个解. ( ) ( ) ( )22 2 1 0f x a f x a− + + = 有且仅有 9 个不同的根， 则 ( )22 2 1 0x a x a− + + = 有两个根满足： 1 1 2 x = ， 2 1 1 0, ,1 2 2 x             . 1 2 x = 时恒成立，故 ( ) ( ) 2 2 2 1 8 2 1 0a a a = + − = −  ， 1 2 a  . 设 ( ) ( )22 2 1g x x a x a= − + + ， 当 0x = 时， ( )0 0g a=  ；当 1x = 时， ( ) ( )1 2 2 1 0g a a= − + +  ，解得0 1a  . 综上所述： 1 1 0, ,1 2 2 a             . 故选：BC. 题型六 求零点的和积类问题 【例 6】已知当 xR ， x 表示不超过 x 的最大整数，则称 ( )  f x x= 为取整函数，也 叫高斯函数，例如 1,2 1= ， 2,3 3− = − ，若定义在R 上的函数 ( )g x 的图象关于 y 轴对 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 称，且当 0x  ， ( ) ( ) 2 1 1g x x= − − + ，则方程 ( )( ) ( )f f x g x= 的解得和为（ ）． A．1 B． 2− C． 5 3− D． 5 3− − 【答案】D 【分析】先分析 ( )( )  f f x x= ，根据 ( )g x 的图象关于 y 轴对称得到 0x  时 ( )g x 解析 式，由此作出 ( )g x 与  y x= 的解析式，计算出交点横坐标即为方程 ( )( ) ( )f f x g x= 的 解，然后求和. 【详解】因为 x 为整数，所以 ( )( )    f f x x x = =  ， 又因为函数 ( )g x 的图象关于 y 轴对称且 x R ，所以 ( )g x 是偶函数， 当 0x  时， 0x−  ， ( ) ( ) ( ) 2 1 1g x g x x= − = − + + ，所以 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1, 0 1 1, 0 x x g x x x − + +  =  − − +  ， 作出 ( )g x 与  y x= 图象如下图：（红色的点为交点） 当 0x  时，令 ( ) 2 1 1 0x− − + = ，解得： 0x = （ 1x = 舍）；令 ( ) 2 1 1 1x− − + = ，解得： 1x = （ 2x = 舍）； 当 0x  时，令 ( ) 2 1 1 3x− + + = − ，解得： 3x = − （ 1x = 舍）；令 ( ) 2 1 1 4x− + + = − ，解得： 5 1x = − − （ 5 1x = − 舍）； 综上：所有解的和为 ( ) ( )0 1 3 5 1 5 3+ + − + − − = − − . 故选 D. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考察了数形结合思想，难度较难. （1）高斯函数的本质是一个分段函数； （2）数形结合的方法巧妙的将方程解的问题转换为函数图象的交点问题，更便于直观 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 观察和求解.除此之外数形结合思想还可以用于：解不等式、求参数范围、研究函数性 质等. 【跟踪训练 6】已知函数 ln , (0 5) ( ) 10 , ( 5) x e x f x x x    =  −  ，若 ( ) ( ) ( )f a f b f c= = （其中 a b c  ），则 abc的取值范围是______. 【答案】 (5,9) 【分析】画出函数图像，根据图像得到 1ab = ， ( )5,9c ，得到答案. 【详解】 ( ) ( ) ln 1 , 0 1 , (0 5) ( ) , 1 5 10 , ( 5) 10 , ( 5) x x x e x f x x x x x x x       = =    −   −    ，如图所示，画出函数图像. 根据图像知： 1 10b c a = = − ，故 1ab = ， ( )5,9c ，故 ( )5,9abc . 故答案为： (5,9) . 【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键. 题型七 零点的分布问题 【例 7】若 :p aR且 1 1a−   ，q：二次函数 ( )2 1 2y x a x a= + + + − 有两个零点，且 一个零点大于零，另一个零点小于零；则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据互逆命题的性质，结合一元二次方程根的判别式和根与系数关系、充分性、 必要性的定义进行求解即可. 【详解】设 2 ( 1) 2 0x a x a+ + + − = 的一个根 1x 大于零，另一根 2x 小于零，则 1 2 2 0x x a= −  ， 解得 2a  ， 因为命题：若 p ，则 q 的逆否命题为：若q，则 p ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 由 1 1a a−   是 2a a  的真子集， 因此q是 p 的必要不充分条件． 故选：B． 【跟踪训练 7】函数 2( ) log 2 6 xf x x= + − ，函数 ( )f x 的零点所在的区间为 ( ), 1n n+ 且 Nn ，则n = _ ___ 【答案】2 【分析】探讨给定函数的单调性，再由零点存在性定理确定零点所在区间作答. 【详解】函数 2( ) log 2 6 xf x x= + − 定义域为 (0 )+ ，且在 (0 )+ 上单调递增， 2 3 2 2 2(2) log 2 2 6 1 0, (3) log 3 2 6 log 3 2 0f f= + − = −  = + − = +  ， 因此函数 ( )f x 的唯一零点在 (2,3)内，所以 2n = . 故答案为：2 题型八 函数与方程思想的综合应用 【例 8】已知关于 x 的方程 ( ) ( )1 1 2e e 2 0( , )x xm n x x m n− −+ + − = R 有唯一实数解， 则 m n 的值为（ ） A． 1 2 − B． 1 3 C． 1 2 D． 1 8 【答案】C 【分析】令 1t x= − ，变换得到 2 1 e et t m t n − − = − + ，令 2 1 ( ) e et t t h t − − + = + ，确定函数为偶函数，故 (0) m h n = ，计算得到答案. 【详解】由题意得 0n  ，则 2 2 1 1 1 1 2 ( 1) 1 e e e ex x x x m x x x n − − − − − − − = − = − + + ， 令 1t x= − ，则上式可化为 2 1 e et t m t n − − = − + ， 令 2 1 ( ) e et t t h t − − + = + ，则 2 2( ) 1 1 ( ) ( ) e e e et t t t t t h t h t − − − − + − + − = = = + + ，故 ( )h t 为偶函数， 关于 x 的方程 ( ) ( )1 1 2e e 2 0x xm n x x− −+ + − = 有唯一实数解， 即函数 ( )h t 的图象与 m y n = 有唯一交点，结合 ( )h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为 0， 故 0 0 1 1 (0) e e 2 m h n − = = = + ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 故选：C 【跟踪训练 8】（多选）已知 ( ) ( ) ( ) 5 2 log 1 , 1 2 2, 1 x x f x x x  −  =  − − +  ，则关于 x 的方程 1 2f x a x   + − =    ( )1a  的实根个数可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【分析】画出 ( )f x 的图像，由 1a  ，可分类讨论0 1a  ， 0a = ， a<0三种情况，令 1 2t x x = + − ，并画出图像，结合两个函数图像以及 1 2f x a x   + − =    ，判断出实根个数 构成的集合. 【详解】画出 ( )f x 的图像如图所示，令 1 2t x x = + − ，画出图像如图所示. 由 ( )5log 1 1t− = ，解得： 4 5 4 4, 5 t t= − = ，由 ( ) 2 2 2 1t− − + = ，解得 6 71, 3t t= = .. 由 ( )5log 1 0t− = ，解得： 8 0t = ，由 ( ) ( ) 2 2 2 0 1t t− − + =  ，解得 9 2 2t = + . （1）当0 1a  时， ( )f t a= ，有3解，且 4 0t−   或 4 0 5 t  或3 2 2t  + ，结合 1 2t x x = + − 的图像可知， 4 0t−   时没有 x 与其对应， 4 0 5 t  或3 2 2t  + 时每个 t 都有2个 x 与其对应，故此时 1 2f x a x   + − =    有 4个实数根. （2）当 0a = 时， ( )f t a= ，有2解，且 0=t 或 2 2t = + ， 0=t 有一个 1x = 与其对应， 2 2t = + 有两个 x 与其对应，故此时 1 2f x a x   + − =    有 3个实数根. （3）当 a<0时， ( )f t a= ，有1解，且 2 2t  + ，结合 1 2t x x = + − 的图像可知，每个 t 有两个 x 与其对应，故此时 1 2f x a x   + − =    有 2个实数根. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 综上所述，关于 x 的方程 1 2f x a x   + − =    的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数 常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成 求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数， 然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的 数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 课后突破训练 1．若函数 ( ) 1 1 2 f x ax a x = − + + + 在 0,2 上有零点，则a 的取 值范围是（ ） A． 3 5 , , 2 4     − − +       B． 3 5 , 2 4   −    C． (  5 , 1 , 4   − − +   D． 5 1, 4   −    【答案】A 【分析】化简得到 ( ) 1 1 1 2 a x x = − − + ，即函数 ( ) 1 2 g x x = + 的图象与直线 ( )1 1y a x= − − 在  0,2 上有公共点，画出图像得到答案. 【详解】 1 1 0 2 ax a x − + + = + ，即 ( ) 1 1 1 2 a x x = − − + 即函数 ( ) 1 2 g x x = + 的图象与直线 ( )1 1y a x= − − 在 0,2 上有公共点 直线 ( )1 1y a x= − − 过定点( )1, 1- 且斜率为a ，如图所示： 曲线 ( ) 1 2 g x x = + 在 0,2 上的两个端点与点( )1, 1- 连线的斜率分别为 3 2 − ， 5 4 ，结合图 象分析可知 3 5 , , 2 4 a      − − +       . 故选A 【点睛】本题考查了函数的零点问题，转化为图像的交点是解题的关键. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 2．若存在正实数b ，使得  ( )a b a b b a+ = − ，则（ ） A．实数a 的最大值为 2 1+ B．实数a 的最小值为 2 1+ C．实数a 的最大值为 2 1− D．实数a 的最小值为 2 1− 【答案】C 【分析】将题目所给方程转化为关于b 的一元二次方程，根据此方程在 0b  上有解列不 等式组，解不等式组求得a 的取值范围，进而求出正确选项. 【详解】由 ( )ab a b b a+ = − 得 ( )2 2 1 0ab a b a+ − + = ，当 0a = 时，方程为 0, 0b b− = = 不 和题意，故这是关于b 的一元二次方程，依题意可知，该方程在 0b  上有解，注意到 1 2 1b b = ，所以由 ( ) 2 2 2 2 1 4 0 1 0 2 a a a a  = − −    − −   解得0 2 1a  − ，故实数a 的最大值为 2 1− ， 所以选 C. 【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法， 属于中档题. 3．已知函数 1(0 1) x y a m a= + −   有零点，则实数m 的取值范围是（ ） A． ( ),0− B． ( ,0− C． )0,1 D． )1,2 【答案】C 【分析】转化为 ,0 1 x a ay =   与 1y m= − 有交点，再根据 ,0 1 x a ay =   值域求解即 可. 【详解】 ,0 1 x a ay =   ， 0 1y   ， 函数 1(0 1) x y a m a= + −   有零点， 1y m = − 与 x y a= 有交点， 0 1 1m  −  ， 即0 1m  ， 故选：C 4．对于函数 ( )f x ，若在定义域内存在实数 0x ，满足 ( ) ( )0 0f x f x− = − ，则称 ( )f x 为“局 部奇函数”.已知 ( ) 4xf x ae= − − 在 R 上为“局部奇函数”，则a 的取值范围是（ ） A． )4,− + B． )4,0− C． ( , 4− − D． ( ,4− 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 【答案】B 【分析】由 ( ) ( )f x f x− = − 得出a（用 x 表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即 得参数范围． 【详解】因为 ( ) 4xf x ae= − − ，所以 ( ) 4xf x ae−− = − − ，所以 4 4x xae ae−− − = + ，则 8 e ex x a − = − + .因为 2x xe e−+  （当且仅当 0x = 时，等号成立），所以 8 4 e ex x− −  − + ，即 4 0a−   . 故选：B． 5．方程 3 3 3 2 2 2 x x x x x  + + + =    的所有实数根的平方和为（ ） A．2 B． 0 C．1 D．4 【答案】A 【分析】令 ( ) 3 2 x x f x + = ，将问题转化为 ( )( )f f x x= 的所有根的平方和问题，又 ( )f x 单 调，故只需令 ( )f x x= 即可. 【详解】令 ( ) 3 2 x x f x + = ，则方程 3 3 3 2 2 2 x x x x x  + + + =    化为 ( ) ( )3 2f x f x x+ = ， 即 ( ) ( )3 2 f x f x x + = ，故原方程等价于 ( )( )f f x x= ， 利用幂函数的单调性知，函数 ( )f x 是 R 上的增函数，任取方程的实数根 0x ， 若 0 0( ) f x x ，则必有 0 0 0 0( ( )) ( )x f f x f x x=   ，与题意矛盾； 若 0 0( )f x x ，则必有 0 0 0 0( ( )) ( )x f f x f x x=   ，与题意矛盾，所以 0 0( )f x x= ， 即 0 0 3 0 2 x x x + = ，即 0 0 3x x= ，可知原方程的所有根为 0 ，1， 1− ，其平方和为2 . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查方程的根的问题，解题的关键是利用换元法将已知条件 转化为 ( )( )f f x x= 的所有根的平方和，再结合函数的单调性求解，考查学生的函数与方 程思想的，转化与化归思想，属于较难题. 6．已知三个函数 3( )=3 , ( ) 1, ( ) log xf x x g x x h x x x+ = − = + 的零点依次为 , ,a b c，则a ，b ， c 的大小关系是（ ）． A． a b c  B．b c a  C．c b a  D．a c b  【答案】B 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 【分析】把函数零点转化为函数图像交点的横坐标，分别画出图像，数形结合，判断 ( ), ( ), ( )f x g x h x 零点的范围，再比较大小，得出答案． 【详解】由题意知， ( )=3xf x x+ 的零点为函数 y=3x 和 y x= − 的图像交点的横坐标； 3( ) logh x x x= + 的零点为函数 3y=log x和 y x= − 的图像交点的横坐标， ( )g x 的零点为 1x = ． y=3x 由图像可知， 0,0 1a c   ． 由因为 1b = ，所以b c a  ，故答案选 B． 【点睛】函数零点的求法主要有三种:(1)代数法:求 f(x)的零点,就是求方程 f(x)=0 的根;(2) 利用零点存在性定理和函数单调性； （3）转化为两个函数图像的交点问题． 7．已知函数 ( )f x 是定义在 ( ,0) (0, )− + 上的偶函数，当 0x  时， 1 2 1,0 2 ( ) 1 ( 2), 2 2 x x f x f x x − −    =  −   ，则函数 ( ) 4 ( ) 1g x f x= − 的零点个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】求函数 ( ) ( )4 1g x f x= − 的零点个数只需考查方程 1 ( ) 4 f x = 的实根个数， 当0 2x  时， 1 1 1 2 1,1 2 ( ) 2 1 1 ( ) 1,0 1 2 x x x x f x x − − −  −    = − =  −    ， ( )f x 在 (0,1]上递减，在 (1,2]上递 增， (2) 1f = ，值域为[0,1] . 当 2x  时， 1 ( ) ( 2) 2 f x f x= − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 当2 4x  时，函数 ( )f x 的值域为 1 [0, ] 2 ， 当4 6x  时，函数 ( )f x 的值域为 1 [0, ] 4 ， 当6 8x  时，函数 ( )f x 的值域为 1 [0, ] 16 ， 1 ( ) 4 f x = 在 0x  上有5个实根，又函数为偶函数， 1 ( ) 4 f x = 在 ( ,0) (0, )− + 上有 10 个实根，函数 ( ) ( )4 1g x f x= − 的零点个数为 10 个，选 D. 8．（多选）若关于 x 的方程 2 11 1 0x xa a m   + + + =    （ 0a  且 1a  ）有解，则m 的取值可 以是（ ） A． 1 2 − B． 1 3 − C． 1 4 − D．0 【答案】BC 【分析】若关于 x 的方程 2 11 1 0x xa a m   + + + =    （ 0a  且 1a  ）有解，可用换元法，利 用分离参数转化方程，配合基本不等式可求出m 的取值范围，并得到符合范围的选项 【详解】设 ( )0xa t t=  ，若 2 1 1 1 0x xa a m   + + + =    有解，等价于 2 11 1x xa a m   + = − +    ， 即 1 1 1x x a a m   + = − +    有解，换元整理得方程 1 1 1 t m t   − + = +    有解 ∵ 0t  ，∴ 1 2t t +  ，当且仅当 1t = 时取等号， ∴所以若要 1 1 1 t m t   − + = +    有解，需 1 1 2 m   − +     ， ∴即 1 0 3 m−   ， ∴m 的取值范围是 1 ,0 3   −    ． 故选：BC 9．关于函数 ( ) | ln | 2 ||f x x= − ，下列描述正确的有（ ） A． ( )f x 在区间 (1,2)上单调递增 B． ( )y f x= 的图象关于直线 2x = 对称 C．若 1 2 1 2, ( ) ( ),x x f x f x = 则 1 2 4x x+ = D． ( )f x 有且仅有两个零点 【答案】ABD 【分析】作出函数 ( )f x 的图象，由图象观察性质判断各选项． 【详解】根据图象变换作出函数 ( )f x 的图象（ ( ) ln 2f x x= − ，作出 lny x= 的图象， 再作出其关于 y 轴对称的图象，然后向右平移 2 个单位， 最后把 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去即可得），如图， 由图象知 ( )f x 在 (1,2)是单调递增，A 正确，函数图象关于直线 2x = 对称，B 正确； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 1 2( ) ( )f x f x k= = ，直线 y k= 与函数 ( )f x 图象相交可能是 4 个交点，如图， 如果最左边两个交点横坐标分别是 1 2,x x ，则 1 2 4x x+ = 不成立，C 错误， ( )f x 与 x 轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D 正确． 故选：ABD． 10．已知定义在 ( )0 +， 上的单调函数 ( )f x ，若对任意 ( )0x +， 都有 ( ) 1 2 log 3f f x x   + =    ，则方程 ( ) 2f x x= + 的解集为_______． 【答案】 416， ． 【分析】由题可求 ( ) 1 2 2 logf x x= − ，再利用数形结合即求. 【详解】∵定义在 ( )0 +， 上的单调函数 ( )f x ，对任意 ( )0x +， 都有 ( ) 1 2 log 3f f x x   + =    ， 令 ( ) 1 2 logf x x c+ = ，则 ( ) 3f c = ， 在上式中令 x c= ，则 ( ) 1 1 2 2 log log 3f c c c c c+ = = −， ，解得 2c = ， 故 ( ) 1 2 2 logf x x= − ， 由 ( ) 2f x x= + 得， 1 2 2 log 2x x− = + 即 2log x x= ， 在同一坐标系中作出函数 2logy x= 和 y x= 的图像， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 可知这两个图像有 2 个交点，即 ( )4 2， 和 ( )16 4， ， 则方程 ( ) 2f x x= + 的解集为 416， ． 故答案为： 416， . 11．设函数 ( ) 2 3 6f x ax x− +＝ ， ( ) ( )3 7g x m x − +＝ （a R ，m R ）. (1)若函数 ( )y f x= 有且只有一个零点，求实数 a值及相应的零点； (2)当 a＝1 时，若  1 2,3x  ，总 ( 2 1,4x  ，使得 ( ) ( )1 2f x g x＝ 成立，求实数 m的取值 范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 3 ( , 3] ( , ) 2 − − + 【分析】（1）讨论 0a = 和 0a  两种情况求解可得出； （2）根据题意 ( )y f x= 的值域是 ( )y g x= 的值域的子集，讨论m 的范围根据单调性求 出 ( )y g x= 的值域即可列出不等式求解. 【详解】（1）函数 ( ) 2 3 6f x ax x= − + 有且只有一个零点， 所以方程 2 3 6 0ax x− + = 有且仅有一个根， 当 0a = 时， 3 6 0x− + = ，即 2x = ，满足题设； 当 0a  时， 9 24 0a = − = ，即 3 8 a = ，此时 4x = ，满足题设； 综上， 0a = 时，零点为 2； 3 8 a = ，零点为 4. （2）因为对任意的  1 2,3x  ，总 ( 2 1,4x  ，使得 ( ) ( )1 2f x g x＝ 成立， 所以 ( )y f x= 的值域是 ( )y g x= 的值域的子集， 可得 1a = 时， ( ) 2 3 6f x x x= − + 在[2,3]上单调递增，且 ( ) ( )2 4, 3 6f f= = ， 所以 ( )y f x= 的值域为[4,6] . 当 0m  时， ( )g x 在 (1,4]上单调递增，故 (1) ( ) (4)g g x g ，即7 2 ( ) 7m g x m−  + ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 所以可得 7 2 4 7 6 m m −   +  , 解得 3 2 m  ； 当 0m = 时， ( ) 7g x = ，不满足题意； 当 0m  时， ( )g x 在 (1,4]上单调递减，故 (4) ( ) (1)g g x g  ，即 7 ( ) 7 2m g x m+   − ， 所以可得 7 4 7 2 6 m m +   −  ，解得 3m  − ； 综上，m的取值范围为 3 ( , 3 ( 2 ] , )− − + . 12．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家 鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数 ( )f x ，存在一个点 0x ， 使得 ( )0 0f x x= ，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称 0x 为该函数的一个不动点． 现 新定义： 若 0x 满足 ( )0 0f x x= − ，则称 0x 为 ( )f x 的次不动点． (1)判断函数 ( ) 2 2f x x= - 是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说 明理由； (2)已知函数 ( ) 1 1 2 g x x= + ，若a 是 ( )g x 的次不动点，求实数a 的值： (3)若函数 ( ) ( )1 2 log 4 2x xh x b= −  在 0,1 上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的 取值范围． 【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是 2 和 1− ； (2) 2 3 a = − ； (3) 0,1 . 【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答. (2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答. (3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答. （1） 依题意，设 0x 为 ( )f x 的不动点，即 ( )0 0f x x= ，于是得 2 0 02x x− = ，解得 0 2x = 或 0 1x = − ， 所以 ( ) 2 2f x x= - 是“不动点” 函数，不动点是 2 和 1− . （2） 因 ( ) 1 1 2 g x x= + 是“次不动点”函数，依题意有 ( )g a a= − ，即 1 1 2 a a+ = − ，显然 0a  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 解得 2 3 a = − ， 所以实数 a 的值是 2 3 − . （3） 设 ,m n分别是函数 ( ) ( )1 2 log 4 2x xh x b= −  在[ ]0,1 上的不动点和次不动点，且 ,m n唯一， 由 ( )h m m= 得： ( )1 2 log 4 2m mb m−  = ，即 1 4 2 ( ) 2 m m mb−  = ，整理得： 1 2 4 m m b = − ， 令 ( ) 1 2 4 m m m = − ，显然函数 ( )m 在[ ]0,1 上单调递增，则 ( )min (0) 0m = = ， ( ) max 7 (1) 4 m = = ，则 7 0 4 b  ， 由 ( )h n n= − 得： ( )1 2 log 4 2n nb n−  = − ，即4 2 2n n nb−  = ，整理得： 2 1nb = − ， 令 ( ) 2 1nu n = − ，显然函数 ( )u n 在[ ]0,1 上单调递增， min( ) (0) 0u n u= = ， max( ) (1) 1u n u= = ， 则0 1b  ， 综上得：0 1b  ， 所以实数b 的取值范围[ ]0,1 . 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有 关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 11 函数的零点与方程重难点专题 常考结论及公式 结论一：零点存在性定理的易错结论 （1）若函数 ( )y f x= 在闭区间 ,a b 上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 ( ) ( ) 0f a f b  .则函数 ( )y f x= 一定有零点，特别是，当 ( )y f x= 在 ,a b 上单调时， 它仅有一个零点. （2）由函数 ( )y f x= （图象是一条连续不断的曲线）在闭区间 ,a b 上有零点不一定 能推出 ( ) ( ) 0f a f b  ，所以 ( ) ( ) 0f a f b  是 ( )y f x= 在闭区间 ,a b 上有零点的充 分不必要条件. 结论二：确定函数 ( )f x 的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在性定理：首先看函数 ( )y f x= 在区间 ,a b 上的图象是否连续， 再看是否有 ( ) ( ) 0f a f b  ，若有，则函数 ( )y f x= 在区间 ( ),a b 内必有零点. （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 结论三： 函数零点个数的判断方法 （1）直接求零点：令 ( ) 0f x = ，有几个解就有几个零点； （2）函数零点存在性定理：要求函数在区间 ,a b 是连续不断的曲线，且 ( ) ( ) 0f a f b  ， 再结合函数的图象与性质确定函数零点的个数； （3）利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 结论四：根据零点或方程的根所在区间求参数范围解题策略 （1）若含参a 的函数 ( ) ( )f x g x a= − 在 x M 上有零点，常用方法是分离参数转化为 方程 ( )g x a= 在 x M 上有解，则参数a 的范围即为函数 ( )g x 在M 上的值域.若二次 函数在 x M 上有零点，也可用一元二次方程根的分布求解. （2）若含参数的函数在给定的区间上有零点，且函数在该区间上严格单调，则可以直 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 接使用函数零点存在性定理列不等式（组）求参数的范围. 结论五： 由零点或方程的根的个数求参数范围的方法 （1）形如 ( ) ( )f x g x a= − 的含参函数零点问题可转化为 ( )g x a= 求解. （2）根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数范围问题，若能够将参数 分离，则常分离参数后求解，若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出，则作出函 数图象后利用数形结合求解. （3）涉及直线与二次函数（或二次函数的复合函数）有一个交点问题，要结合一元二 次方程有一个根的条件，即用判别式 0 = 求解. （4）若函数的零点可求出，则根据零点的取值与参数的关系分析判断. 结论五： 求两个或多个零点（方程的根）的和的常用技巧 （1）求函数 ( ) ( )y f x g x= − 的多个零点（或方程 ( ) ( ) 0f x g x− = 的根以及直线 y m= 与函数图象的多个交点横坐标）的和时，常转化为函数 ( )y f x= 与 ( )y g x= 两函数图 象的交点的横坐标的和的问题，首先考虑函数的对称点或对称轴问题，利用对称思想求 和. （2）若所给函数通过换元后可转化为奇函数或偶函数，可利用奇偶函数的对称性求交 点的换元后横坐标的和，然后再转化为 x 的和. 题型一 求函数的零点 【例 1】已知 ( )f x 是定义域为 ( )0, + 的单调函数，若对任意的 ( )0,x + ，都有 ( ) 2log 3f f x x − =  ，则函数 ( ) 1 2 f x y x = − 的零点为（ ） A． 1 2 B． 1 3 C．2 D．3 【跟踪训练 1】已知 1 是函数 2( ) ( )f x ax bx c a b c= + +   的一个零点，若存在实数 0x ， 使得 0( ) 0f x  ，则 ( )f x 的另一个零点可能是（ ） A． 0 3x − B． 0 1 2 x − C． 0 3 2 x + D． 0 2x + 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型二 求零点或方程根的个数 【例 2】函数 ( ) 21.01xf x x= − 的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练 2】已知函数 2 1, 1 ( ) | ln( 1) |, 1 x x f x x x −  =  −  ，则方程 ( ( )) 1f f x = 的根的个数为 （ ） A．7 B．5 C．3 D．2 题型三 零点存在性定理的应用 【例 3】若 ( )y f x= 在区间 ,a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是 （ ） A．若 ( ) ( ) 0f a f b  ，不存在实数 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = B．若 ( ) ( ) 0f a f b  ，存在且只存在一个实数 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = C．若 ( ) ( ) 0f a f b  ，不存在实数 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = D．若 ( ) ( ) 0f a f b  ，有可能存在实数 ( ),c a b ，使得 ( ) 0f c = 【跟踪训练 3】设函数 ( ) 2 3 7xf x x= + − ， ( ) ln 2 6g x x x= + − ，若实数 ,a b满足 ( ) 0f a = ， ( ) 0g b = ，则（ ） A． ( ) 0 ( )f b g a  B． ( ) 0 ( )g a f b  C． ( ) ( ) 0f b g a  D．0 ( ) ( )g a f b  题型四 比较零点的大小关系 【例 4】若实数 , ,a b c满足 ( ) 32 ln 1 ,2 log ,2 ln a b ca b c− − −= + = = ，则（ ） A．c b a  B． a c b  C．c<a<b D．b a c  武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 4】（多选）已知函数 ( ) ( )2 1 1 xxf x x x = −  − ， ( ) ( )2log 1 1 x g x x x x = −  − 的 零点分别为 α，β，给出以下结论正确的是（ ） A．  =+ B． 22 log   + = + C． 4 +  D． 2 −  − 题型五 根据零点（个数）求参数或参数范围问题 【例 5】若函数 ( ) ( )( )( )3 6 3 10xf x a x a a= − − −  有两个零点，则整数 a的值共有（ ） A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．17 个 【跟踪训练 5】（多选）已知函数 ( ) ( ) ( ) 1 1 , 1 1 1 , 1 2 x x f x x  −   − =   =  ，若关于 x的方程 ( ) ( ) ( )22 2 1 0f x a f x a− + + = 有且仅有 9 个不同的根，则实数 a可能的取值是（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D．1 题型六 求零点的和积类问题 【例 6】已知当 xR ， x 表示不超过 x 的最大整数，则称 ( )  f x x= 为取整函数，也 叫高斯函数，例如 1,2 1= ， 2,3 3− = − ，若定义在R 上的函数 ( )g x 的图象关于 y 轴对 称，且当 0x  ， ( ) ( ) 2 1 1g x x= − − + ，则方程 ( )( ) ( )f f x g x= 的解得和为（ ）． A．1 B． 2− C． 5 3− D． 5 3− − 【跟踪训练 6】已知函数 ln , (0 5) ( ) 10 , ( 5) x e x f x x x    =  −  ，若 ( ) ( ) ( )f a f b f c= = （其中 a b c  ），则 abc的取值范围是______. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型七 零点的分布问题 【例 7】若 :p aR且 1 1a−   ，q：二次函数 ( )2 1 2y x a x a= + + + − 有两个零点，且 一个零点大于零，另一个零点小于零；则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练 7】函数 2( ) log 2 6 xf x x= + − ，函数 ( )f x 的零点所在的区间为 ( ), 1n n+ 且 Nn ，则n = _ ___ 题型八 函数与方程思想的综合应用 【例 8】已知关于 x 的方程 ( ) ( )1 1 2e e 2 0( , )x xm n x x m n− −+ + − = R 有唯一实数解， 则 m n 的值为（ ） A． 1 2 − B． 1 3 C． 1 2 D． 1 8 【跟踪训练 8】（多选）已知 ( ) ( ) ( ) 5 2 log 1 , 1 2 2, 1 x x f x x x  −  =  − − +  ，则关于 x 的方程 1 2f x a x   + − =    ( )1a  的实根个数可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 课后突破训练 1．若函数 ( ) 1 1 2 f x ax a x = − + + + 在 0,2 上有零点，则a 的取 值范围是（ ） A． 3 5 , , 2 4     − − +       B． 3 5 , 2 4   −    C． (  5 , 1 , 4   − − +   D． 5 1, 4   −    武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 2．若存在正实数b ，使得  ( )a b a b b a+ = − ，则（ ） A．实数a 的最大值为 2 1+ B．实数a 的最小值为 2 1+ C．实数a 的最大值为 2 1− D．实数a 的最小值为 2 1− 3．已知函数 1(0 1)xy a m a= + −   有零点，则实数m 的取值范围是（ ） A． ( ),0− B． ( ,0− C． )0,1 D． )1,2 4．对于函数 ( )f x ，若在定义域内存在实数 0x ，满足 ( ) ( )0 0f x f x− = − ，则称 ( )f x 为“局 部奇函数”.已知 ( ) 4xf x ae= − − 在 R 上为“局部奇函数”，则a 的取值范围是（ ） A． )4,− + B． )4,0− C． ( , 4− − D． ( ,4− 5．方程 3 3 3 2 2 2 x x x x x  + + + =    的所有实数根的平方和为（ ） A．2 B． 0 C．1 D．4 6．已知三个函数 3( )=3 , ( ) 1, ( ) log xf x x g x x h x x x+ = − = + 的零点依次为 , ,a b c，则a ，b ， c 的大小关系是（ ）． A． a b c  B．b c a  C．c b a  D．a c b  7．已知函数 ( )f x 是定义在 ( ,0) (0, )− + 上的偶函数，当 0x  时， 1 2 1,0 2 ( ) 1 ( 2), 2 2 x x f x f x x − −    =  −   ，则函数 ( ) 4 ( ) 1g x f x= − 的零点个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．（多选）若关于 x 的方程 2 11 1 0x xa a m   + + + =    （ 0a  且 1a  ）有解，则m 的取值可 以是（ ） A． 1 2 − B． 1 3 − C． 1 4 − D．0 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 9．关于函数 ( ) | ln | 2 ||f x x= − ，下列描述正确的有（ ） A． ( )f x 在区间 (1,2)上单调递增 B． ( )y f x= 的图象关于直线 2x = 对称 C．若 1 2 1 2, ( ) ( ),x x f x f x = 则 1 2 4x x+ = D． ( )f x 有且仅有两个零点 10．已知定义在 ( )0 +， 上的单调函数 ( )f x ，若对任意 ( )0x +， 都有 ( ) 1 2 log 3f f x x   + =    ，则方程 ( ) 2f x x= + 的解集为_______． 11．设函数 ( ) 2 3 6f x ax x− +＝ ， ( ) ( )3 7g x m x − +＝ （a R ，m R ）. (1)若函数 ( )y f x= 有且只有一个零点，求实数 a值及相应的零点； (2)当 a＝1 时，若  1 2,3x  ，总 ( 2 1,4x  ，使得 ( ) ( )1 2f x g x＝ 成立，求实数 m的取值 范围. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 12．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家 鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数 ( )f x ，存在一个点 0x ， 使得 ( )0 0f x x= ，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称 0x 为该函数的一个不动 点． 现新定义： 若 0x 满足 ( )0 0f x x= − ，则称 0x 为 ( )f x 的次不动点． (1)判断函数 ( ) 2 2f x x= − 是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说 明理由； (2)已知函数 ( ) 1 1 2 g x x= + ，若a 是 ( )g x 的次不动点，求实数a 的值： (3)若函数 ( ) ( )1 2 log 4 2x xh x b= −  在 0,1 上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数 b 的取值范围．