10 对数函数重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 10 对数函数重难点专题 常考结论及公式 结论一：常见的几个对数运算公式及结论 （1）对数式与指数式的互化： log x aa N x N=  = （2）对数恒等式： loga Na N= ; （3）对数运算性质： log na a n= ; log ( ) log loga a aMN M N= + ; log log loga a a M M N N = − ; log logna aM n M= （4）换底公式及其推论： log log ( , (0,1) (1, )) log c a c b b a c a =  + 推论： log log 1a bb a = ， log logm n aa n b b m = ， log logn n aa b b= 结论二：对数函数的图象及相关结论 （1）对数函数的图象在第一象限内，底数越大图象越靠右. （2）对于 loga b 而言，若 1a  且 1b  或0 1a  且0 1b  ，则 log 0a b  ；若 1a  且0 1b  或0 1a  且 1b  ，则 log 0a b  . （3）函数 1 ( ) log 1 a x f x x − = + （ 0a  且 1a  ）为奇函数；函数 2( ) log ( 1)af x x x= + + （ 0a  且 1a  ）为奇函数. 结论三：比较对数式大小的方法 （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母， 则需对底数进行分类讨论. （2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； （3）若底数与真数都不同，则常借助于 1,0等中间量进行比较； （4）对于不能转化为上述几种类型的，需要将已知的对数式变形或利用作差（或作商） 比较法. 结论四：简单对数不等式问题的求解策略 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （1）解决简单地对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底的对数，再利用对数 函数的单调性转化为一般不等式求解，求解时不要忘记对数函数的定义域； （2）对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按 1a  和 0 1a  进行分类讨论. . 题型一 与对数运算有关的综合问题 【例 1】已知 ,  满足 3 4, (ln 1)e e e  = − = ，其中 e 是自然对数的底数，则 的 值为（ ） A． e B． 2e C． 3e D． 4e 【答案】D 【分析】把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的 唯一性，得到 ， 关系，进而求出结论. 【详解】因为 3e e = ， 4(ln 1)β β e− = ， 所以 ln 3 + = ， ln ln(ln 1) 4 + − = ， 即 ln 3 0 + − = ， ln 1 ln(ln 1) 3 0 − + − − = ， 所以 ， ln 1 − 均为方程 ln 3 0x x+ − = 的根， 又因为方程 ln 3 0x x+ − = 的根唯一， 所以 4ln 1 3 ln ln 1 ln ln 4 e      = −  − = −  + =  = . 故选：D. 【点睛】本题考查数与方程的关系，解题的关键要把两个条件式子化为结构一致，然后 构造出一个方程，考查抽象概括能力，属于难题. 【跟踪训练 1】已知实数 ,a b满足 710 aa −= ， 4 lglg 10 3bb −= − ，则ab = ___________. 【答案】 410 【分析】根据方程与函数的关系，整理方程，转化为两个函数的交点，结合指数函数与 对数函数的反函数关系，可得交点的轴对称性，利用中点坐标公式，可得答案. 【详解】因为 710 lg 7aa a a−=  = − ，所以a 是方程 lg 7x x= − 的根；又因为 4 lg 4 lglg 10 3 10 7 (4 lg )b bb b− −= −  = − − ，所以4 lgb− 是方程10 7x x= − 的根； 又因为 lgy x= 与 10xy = 互为反函数，其图像关于 =y x 对称，且直线 =y x 与 7y x= − 的交 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 点的横坐标为 7 2 ， 因为直线 7y x= − 与 =y x 垂直，所以 (4 lg ) 7 (4 lg ) 7 2 2 a b a b + − =  + − = ，又因为 lg 7a a= − ， 所以 4(7 lg ) (4 lg ) 7 lg( ) 4 10a b ab ab− + − =  =  = . 故答案为： 410 . 题型二 与对数函数三要素有关的含参问题 【例 2】已知函数 ( ) ( )2lgf x x ax a= + − ，给出以下说法： ①若函数 ( )f x 的最小值为 0 ，则 2a = − ； ②若函数 ( )f x 的定义域为R ，则 4 0a−   ； ③若函数 ( )f x 的值域为R ，则 4a  − 或 0a  ； ④若 2a = ，则函数 ( )f x 的单调减区间为 ( ), 1− − ； ⑤若函数 ( )f x 在 ( )2, 1− − 上单调递减，则 1 2 a  ． 其中正确说法的个数为__________个． 【答案】3 【分析】根据对数型复合函数的最值、定义域、值域、单调性等知识对四个说法进行分 析，从而确定正确答案. 【详解】函数 2y x ax a= + − 的开口向上，对称轴为 2 a x = − ， ①，若函数 ( )f x 的最小值为 0 ，则 2 1 2 2 a a a a     − +  − − =        ，解得 2a = − ，①正确. ②，若函数 ( )f x 的定义域为R ，则 2 4 0, 4 0a a a = +  −   ，②错误. ③，若函数 ( )f x 的值域为R ，则 2 4 0a a = +  ，解得则 4a  − 或 0a  ，③正确. ④， 2a = 时， ( ) ( )2lg 2 2f x x x= + − ， ( )0 , 1 − − ， 20 2 0 2 2 0+  − = −  ，所以④错误. ⑤，若函数 ( )f x 在 ( )2, 1− − 上单调递减，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 0 1 1 0 a a a a a  −  −  − +  − −   − +  − −   ，解得 1 2 a  ，⑤正 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 确. 故答案为：3 【跟踪训练 2】已知函数 ( ) ( ) 2 1 2 log 2 3f x x ax= − + ． (1)若函数 ( )f x 的定义域为 ( ) ( ),1 3,−  + ，求实数a 的值； (2)若函数 ( )f x 的定义域为R ，值域为 ( , 1− − ，求实数a 的值； (3)若函数 ( )f x 在 ( ,1− 上单调递增，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 2a = (2)实数a 的值为 1 或 1− (3) )1,2 【分析】（1）根据题意可得 1，3 为方程 2 2 3 0x ax− + = 的两个根，然后根据对称轴公式 即可求得 a 的值. （2）根据题意可得 2 2 3 0x ax− +  在R 上恒成立，可得a 的范围，再由值域列出方程求 得 a 即可. （3）根据题意结合复合函数的单调性列出不等式即可. （1）令 ( ) 2 2 3u x x ax= − + ，则由题意可知 1，3 为方程 2 2 3 0x ax− + = 的两个根， 所以函数 ( )u x 的图像的对称轴方程为 2 1 3 2 2 2 a x − + = = = − ，即 2a = ． （2）由题意，对于方程 2 2 3 0x ax− + = ， ( ) 2 2 4 1 3 0a = − −    ，即 3 3a−   ， 由函数 ( )f x 的值域为 ( , 1− − ，可得当 x a= 时， ( ) ( ) 2 1 2 log 2 3 1f a a a a= −  + = − ，解得 1a = 或 1− ．故实数a 的值为 1 或 1− ． （3）函数 ( )f x 在 ( ,1− 上单调递增，则 ( ) 2 2 3u x x ax= − + 在 ( ,1− 上单调递减． 易知函数 ( )u x 的图像的对称轴为直线 x a= ，所以 1a  ． 易知 ( )u x 在 1x = 时取得最小值， 当 1x = 时，有 ( )1 1 2 3 0u a= − +  ，得 2a  ， 所以实数 a 的取值范围是 )1,2 ． 题型三 对数型函数的单调性的应用 【例 3】已知函数 ( ) log (3 )af x ax= − （a＞0，且 a≠1）． (1)求 f（x）的定义域． (2)是否存在实数 a，使函数 f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为 2？若存在， 求出 a的值；若不存在，请说明理由． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【答案】(1) 3 a   −    ， (2)存在， 13 1 2 a − = 【分析】（1）令 3﹣ax＞0，解不等式即可求解； （2）假设存在 a满足题意，利用复合函数的单调性以及对数函数的性质和函数的最值 即可求解． (1)由题意可得 3﹣ax＞0，即 ax＜3， 因为 a＞0，所以解得 3 x a ＜ ． 故 f（x）的定义域为 3 a   −    ， ； (2)假设存在实数 a，使函数 f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为 2． 设函数 g（x）＝3﹣ax，由 a＞0，得﹣a＜0， 所以 g（x）在区间[1，2]上为减函数且 g（x）＞0 恒成立， 则 g（2）＞0，解得 0＜a 3 2 ＜ ， 又因为 f（x）在区间[1，2]上单调递减， 所以 a＞1，即 3 1 2 a＜ ＜ ， 又因为 f（x）在区间[1，2]上的最大值为 2， 所以 f（x）max＝f（1）＝loga（3﹣a）＝2， 整理得 a2+a﹣3＝0，解得 ( ) 13 1 0 2 a a − = ＞ ． 因为3 13 4＜ ＜ ，所以 13 1 3 1 2 2 a −   =     ， ， 所以存在实数 13 1 2 a − = ，使函数 f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为 2． 【跟踪训练 3】已知函数 1 ( ) lg(2022 | |) 2022 | | f x x x = + − + ，若 ( )log 2022 (1)af f （ 0a  且 1a  ），则 a的取值范围为__________． 【答案】 1 ,1 (1,2022] 2022      【分析】根据奇偶性定义判断 ( )f x 为偶函数，由解析式判断 ( )f x 的单调性，再讨论 a的 范围，并利用偶函数和单调性求参数的范围. 【详解】由 1 1 ( ) lg(2022 | |) lg(2022 | |) ( ) 2022 | | 2022 | | f x x x f x x x − = + − − = + − = + − + 且定义 域为 R，所以 ( )f x 为偶函数， 当 ,( )0x + 时 1 ( ) lg(2022 ) 2022 f x x x = + − + 为增函数，故在 ( ,0)x − 上 ( )f x 为减函数， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 综上，由 ( )log 2022 (1)af f ，即 log 2022 1a  − 或 log 2022 1a  ， 当 0 1a  时，则 1 1 2022 a  ；当 1a  时，则1 2022a  ， 所以 a的取值范围为 1 ,1 (1,2022] 2022      . 故答案为： 1 ,1 (1,2022] 2022      题型四 比较大小 【例 4】已知 ( )1,2x ，则下列说法正确的是（ ） A． 2 2ln 2 2ln 2 ln 2 x x x  B． 2 2ln 2 ln 2 2ln 2 x xx   C． 2 22ln 2 ln 2 ln 2 xx x  D． 2 22ln 2 ln 2 ln 2 xx x  【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性比较对数式的大小． 【详解】∵ 22 ln 2 ln 2xx = ， ( ) 2 2ln 2 ln 2x x= ， ∴比较 2 2x ， ( ) 2 2x ， 22 x 的大小关系即可． 1、当 ( )1,2x 时， 2 2xx  ， 2 2x x ，故 2 22 2 xx  ， ( ) 2 2 2 2x x ，故 2 2ln 2 ln 2 x x  ， 2 ln2 2ln2xx  ． 2、令 ( )2 2,4x t=  ，则 ( ) 2 22x t= ， 22 2 x t= ． 由 22t t ，即 ( ) 2 22 2 x x ，则 22ln 2 ln 2 xx  ． 综上， 2 22ln 2 ln 2 ln 2 xx x  . 故选：D． 【跟踪训练 4】已知 3a = ， 1 42b = ， 2 elogc = ，则 a ，b ，c 的大小关系为（ ） A． a b c  B．a c b  C．b a c  D．b c a  【答案】B 【分析】结合已知条件，比较 4a 和 4b 的大小，进而可得到 a 和b 的大小，然后利用介值 比较 a 与 c 的大小，利用介值 6 5 和对数函数性质可得b 和 c 的大小，进而得出答案. 【详解】由 4 9a = ， 4 2b = ，可知 1a b  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 又由 2e 8 ，从而 3 2e 2 2 2 = ，可得 2 3 log e 2 c a=   ， 因为 4 46 1296( ) 2 0 5 625 b − = −  ，所以 6 1 5 b  ； 因为 5 6 5e 2 2.7 64 0−  −  ，从而 5 6e 2 ，即 6 5e 2 ， 由对数函数单调性可知， 6 5 2 2 6 log e >log 2 5 c = = ， 综上所述，a c b  . 故选：B. 题型五 对数型函数的图象问题 【例 5】函数 ln| | 1( ) e xf x x = + 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当 0x  时，根据函数的极值可以排除 C、D，当 0x  时，根据函数的单调性 可以排除 B，从而得到结果. 【详解】当 0x  时， 1 ( )f x x x = + ，在 1x = 处取得最小值，排除 C、D， 当 0x  时， 1 ( )f x x x = − 为减函数， 故选:A． 【跟踪训练 5】函数 ( ) ( ) 22 2 ln 0.01x xf x x−= − + 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 【答案】C 【分析】根据解析式判断定义域，由奇偶性定义判断 ( )f x 对称性，再结合 ( )2f 的符号， 即可确定图象. 【详解】由 ( ) ( ) 22 2 ln 0.01x xf x x−= − + ， 所以 ( )f x 的定义域是R ， 又 ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 ln ( ) 0.01 2 2 ln 0.01x x x xf x x x f x− −− = − − + = − − + = − ， 所以 ( )f x 是奇函数，图象关于原点对称，且 ( ) 1 2 4 ln 4.01 0 4 f   = −     . 故选：C 题型六 对数型函数的实际应用问题 【例 6】纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆 部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对 数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在 空气中冷却，如果物体原来的温度是 1T （℃），空气的温度是 0T （℃），经过 t分钟后物 体的温度 T（℃）可由公式 ( ) ( )3 1 0 3 04 log logt T T T T= − − −  得出；现有一杯温度为 70℃ 的温水，放在空气温度为零下 10℃的冷藏室中，则当水温下降到 10℃时，经过的时间 约为（ ）参考数据： lg2 0.301 ， lg3 0.477 . A．3.048 分钟 B．4.048 分钟 C．5.048 分钟 D．6.048 分钟 【答案】C 【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到 34log 4，用换底公式将3为底 的对数换成10为底的对数，代入已知对数值计算即可. 【详解】依题意， 1 70T = ， 0 10T = − ， 10T = ，代入公式得： ( ) ( ) ( )3 1 0 3 0 3 34 log log 4 log 80 log 20t T T T T= − − − = −   3 3 80 4lg 4 4log 4log 4 20 lg3 = = = 8lg 2 8 0.301 5.048 lg3 0.477  =   （分钟）， 故选：C. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 【跟踪训练 6】随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变 得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在 空间中自由传播时能量损耗满足传输公式： 32.44 20lg 20lgL D F= + + ，其中 D为传输 距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减）单位为dB．若 传输距离变为原来的 4 倍，传输损耗增加了18dB，则载波频率变为原来约（ ）倍 （参考数据： lg2 0.3,lg3 0.5  ） A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍 【答案】B 【分析】由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果 【详解】设 L是变化后的传输损耗，F 是变化后的载波频率，D¢是变化后的传输距离， 则 18L L = + ， 4D D = ， 18 20lg 20lg 20lg 20lg 20lg 20lg D F L L D F D F D F     = − = + − − = + ， 则 20lg 18 20lg 18 40lg 2 6 F D F D   = − = −  ，即 lg 0.3 lg 2 F F    ，从而 2F F  ， 即载波频率变为原来约 2 倍. 故选：B． 题型七 与对数函数结合的不等式综合问题 【例 7】已知函数 ( ) ( )2( ) log 9 , ( ) logxa af x a g x x ax= − = − ，若对任意 1 [1,2]x  ，存在 2 [3,4]x  使得 ( ) ( )1 2f x g x 恒成立，则实数 a的取值范围为____________． 【答案】 ( ) ( )0,1 1,3 【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可. 【详解】根据题意可得只需 ( ) ( )1 2min minf x g x 即可，由题可知 a为对数底数且 29 0 0 1a a−     或1 3a  .当0 1a  时，此时 ( ), ( )f x g x 在各自定义域内都有意义， 由复合函数单调性可知 ( )f x 在  1,2 上单调递减， ( )g x 在 3,4 上单调递减，所以 ( ) 21 min (2) log (9 )af x f a= = − ， ( )2 min (4) log (16 4 )ag x g a= = − ，所以 2 2log (9 ) log (16 4 ) 9 16 4a aa a a a−  −  −  − ，即 2 4 7 0a a− +  ，可得0 1a  ；当1 3a  时， 由复合函数单调性可知 ( )f x 在  1,2 上单调递减， ( )g x 在 3,4 上单调递增，所以 ( ) 21 min (2) log (9 )af x f a= = − ， ( )2 min (3) log (9 3 )ag x g a= = − ，所以 2 2log (9 ) log (9 3 ) 9 9 3a aa a a a−  −  −  − ，即 2 3 0a a−  ，可得1 3a  .综上： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 ( ) ( )0,1 1,3a  . 故答案为： ( ) ( )0,1 1,3 . 【跟踪训练 7】已知函数 ( ) ( )2log 4 1xf x kx= + + 为偶函数. (1)求实数 k 的值; (2)解关于m 的不等式 ( ) ( )2 1 1f m f m+  − ; (3)设 ( ) ( )( )2log 2 0xg x a a a=  +  ，若函数 ( )f x 与 ( )g x 图象有2个公共点，求实数a 的 取值范围. 【答案】(1) 1− (2) ( ) ( ), 2 0,− −  + (3) ( )2 2 2,1− 【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值； （2）判断 0x  时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式 即可； （3）由函数 ( )f x 与 ( )g x 图象有2个公共点，可得 1 2 2 2 x x x a a + = + 有两个实数根，再 利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围. （1）函数的定义或为R ， 函数 ( ) ( )2log 4 1xf x kx= + + 为偶函数. ( ) ( )f x f x − = ，即 ( ) ( )2 2og 4 1 lol g 4 1x xkx kx− + − = + + ， ( ) ( )2 2 2 2 4 1 42 log 4 1 log 4 1 log log 4 2 4 1 x x x x x x kx x− − +  = + − + = = = − + ， 1k = − ； （2） ( ) ( )2 2 2 4 1 1 log 4 1 log log 2 2 2 x x x x x f x x  +   = + − = = +       ， 当 0x  时，2 1x  ， 1 2 2 x x y = + 单调递增， ( )f x 在 )0, + 上单调递增， 又函数 ( )f x 为偶函数，所以函数 ( )f x 在 )0, + 上单调递增，在 ( ,0− 上单调递减； ( ) ( )2 1 1f m f m+  − ， 2 1 1m m +  − ， 解得 2m  − 或 0m  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 所以所求不等式的解集为 ( ) ( ), 2 0,− −  + ； （3） 函数 ( )f x 与 ( )g x 图象有2个公共点， ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 4 1 log 2 log 4 1 log 2 x x x x g x a a f x x  +  =  + = = + − =     ， 即 4 1 1 2 2 2 2 x x x x x a a +  + = = + ， 2 0xa a +  ， 设 2 0xt =  ，则 1 at a t t + = + ，即 ( ) 21 1 0a t at− + − = ， 又 2xt = 在R 上单调递增， 所以方程 ( ) 21 1 0a t at− + − = 有两个不等的正根； ( ) ( )2 1 0 Δ 4 1 1 0 0 1 1 0 1 a a a a a a −   = − −  −    −  −  −  − ，解得2 2 2 1a- < < ，即a 的取值范围为 ( )2 2 2,1− . 题型八 其他类型的综合问题 【例 8】已知函数 ( ) 1 1, 0 2 lg , 0 x x f x x x  +  =    ，若存在不相等的实数 a，b，c，d满足 ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = ，则 + + +a b c d 的取值范围为（ ） A． ( )0,+ B． 81 2, 10   −    C． 61 2, 10   −    D． 81 0, 10       【答案】C 【分析】将问题转化为 y m= 与 | ( ) |f x 图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结 合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围. 【详解】由题设，将问题转化为 y m= 与 | ( ) |f x 的图象有四个交点， 1, 2 2 1, 2 0| ( ) | 2 lg ,0 1 lg , 1 x x x xf x x x x x  − −  −   + −  =   −     ，则在 ( , 2]− − 上递减且值域为[0, )+ ；在 ( 2,0]− 上递增且值域 为 (0,1]；在 (0,1]上递减且值域为[0, )+ ，在 (1, )+ 上递增且值域为 (0, )+ ； | ( ) |f x 的图象如下： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 所以0 1m  时， y m= 与 | ( ) |f x 的图象有四个交点，不妨假设a b c d   ， 由图及函数性质知： 1 4 2 0 1 10 10 a b c d−   −        ，易知： 4a b+ = − ， 101 (2, ] 10 c d+  ， 所以 61 ( 2, ] 10 a b c d+ + +  − . 故选：C 【跟踪训练 8】（多选）已知函数 ( ) 2 2 1, 0 log 1, 0 x x f x x x  +  =  −  ，则方程 ( ) ( )2 22 1 0f x f x a− + − = 的根的个数可能为（ ） A．2 B．6 C．5 D．4 【答案】ACD 【分析】先画出 ( )f x 的图象，再讨论方程 ( ) ( )2 22 1 0f x f x a− + − = 的根，求得 ( )f x 的范 围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出 ( )f x 的图象如图所示： 令 ( )t f x= ，则 2 22 1 0t t a− + − = ，则 24(2 )a = − ， 当 0 = ，即 2 2a = 时， 1t = ，此时 ( ) 1f x = ，由图 1y = 与 ( )y f x= 的图象有两个交点， 即方程 ( ) ( )2 22 1 0f x f x a− + − = 的根的个数为 2 个，A 正确； 当 0  时，即 2 2a  时， 21 2t a=  − ，则 20 2 2a −  故 21 1 2 1 2a + −  + ， 21 2 1 2 1a−  − −  ， 当 21 2t a= − − 时，即 2( ) 1 2f x a= − − ( 1,1) − ，则 x 有 2 解， 当 21 2t a= + − 时，若 t (1,2] ，则 x 有 3 解；若 t (2,1 2] + ，则 x 有 2 解， 故方程 ( ) ( )2 22 1 0f x f x a− + − = 的根的个数为 5 个或 4 个，CD 正确； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数 形结合思想，难度较大. 课后突破训练 1．已知 0.60.6a = ， lg0.6b = ， 0.61.6c = ，则（ ） A． a b c  B．a c b  C．c b a  D．c a b  【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性及特殊值即可比较三者大小. 【详解】因为 0.6xy = 在R 上单调递减，且 0.6 0 xy =  ，所以 0.6 00 0.6 0.6 1  = ，即 0 1a  ， 因为 lgy x= 在 ( )0, + 上单调递增，所以 lg0.6 lg1 0 = ，即 0b  ， 因为 1.6xy = 在R 上单调递增，所以 0.6 01.6 1.6 1 = ，即 1c  ， 所以c a b  ． 故选：D． 2．已知3 4 5 1a b c= =  ，则下列结论错误的是（ ） A．c b a  B． 1 1 1 2a b c +  C． 45log 20 2 ab ac ab bc + = + D．5 4 3c b a  【答案】D 【分析】根据指对数的关系，应用对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小. 【详解】令 3 4 5 1a b ct = = =  ，得 3 lg log 0 lg3 t a t= =  ， 4 lg log 0 lg4 t b t= =  ， 5 lg log 0 lg5 t c t= =  ， a b c  ，A 正确． 1 1 lg3 lg4 lg3 lg2 lg6 1 lg5 2 lg 2lg lg lg lg lga b t t t t t c t + = + = + =  = ，B 正确． 45 lg 4 lg5 1 1 lg 20 lg 4 lg5 lg lg log 20 2lg3 lg5 2 1lg 45 lg9 lg5 2 lg lg ab act t b c ab bc t t a c + + + + = = = = = + + + + ，C 正确． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 由 3lg 3 3lg 4 lg64lg3 1 4lg4 4lg3 lg81 lg 4 t a tb = = =  ，得：3 4a b ；由 4lg 4 4lg5 lg625lg 4 1 5lg5 5lg 4 lg1024 lg5 t b tc = = =  ，得： 4 5b c ，故5 4 3c b a  ，D 错误． 故选：D 【点睛】关键点点睛：将 a、b、c转化为对数式，根据对数的单调性及对数的运算性质 转化各选项中对数式或含 a、b、c的代数式. 3．若函数 ( ) ( )1 x xf x k a a−= − − （ 0a  且 1a  ）在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 ( ) logag x x k= + 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得 ( )g x 的解析式中参数 k 的值和a 的取值范围，再去判断其图像形状. 【详解】因为函数 ( ) ( ) ( )1 0, 1x xf x k a a a a−= − −   在 R 上是奇函数， 所以 ( )0 0f = ，所以 2k = ，经检验， 2k = 满足题意， 又因为 ( )f x 为减函数，所以0 1a  ，则 ( ) log 2ag x x= + （0 1a  ） 由 ( ) ( )4 log 4 2 log 2a ag x x x g x− − = − − + = + = 可知 ( )g x 的图象关于直线 2x = − 轴对称，排除选项 CD ； 又 ( )0 log 0 2 log 2 0a ag = + =  ，可知选项 A 错误.所以 ( )g x 的大致图象为 B． 故选：B 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 4．已知 2 2log 2( )17y x x= − + 的值域为[ , )m + ，当正数 ,a b满足 2 1 3 2 m a b a b + = + + 时， 则7 4a b+ 的最小值为（ ） A． 9 4 B．1 C． 5 2 2 4 + D．2 【答案】A 【分析】根据值域计算 4m = ，变换 ( ) ( ) 1 7 4 2 3 2 4 2 1 3 2 a b a b a a b b a b + = + + +    +  + +   ， 利用均值不等式得到答案. 【详解】 ( ) 22 2 2( )log 2 17 log 1 16( )y x x x= − +− + = ，当 1x = 时，函数有最小值4，故 4m = ； 即 2 1 4 3 2a b a b + = + + ， ( ) ( ) 1 7 4 2 3 2 4 2 1 3 2 a b a b a a b b a b + = + + +    +  + +   ( ) ( )21 2 4 5 9 5 4 3 2 4 4 2 2 3a b a b a b a b   + = + +  =  + +  + + ， 当 ( ) ( )2 3 2 2 2 3 a b a b b b a a = + + + + ，即 3 20 a = ， 3 10 b = 时等号成立. 故选：A . 【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 5．若 ( )2 log 1 2 1ax x x− +  − 在 1 ,1 2       内恒成立，则实数 a的取值范围是（ ） A． 4 3 ,1 2 −          B． 4 3 ,1 2 −         C． 4 3 1, 2          D． 4 3 1, 2           【答案】D 【分析】先对不等式变形为 ( )2 2 1 log 1ax x x− +  + ，对 a进行分类讨论，得到 1a  ，再 画出两函数图象，数形结合求出 a的取值范围 【详解】由 ( )2 log 1 2 1ax x x− +  − 在 1 ,1 2       内恒成立，得 ( )2 2 1 log 1ax x x− +  + 在 1 ,1 2       内 恒成立，因为 ( ) 22 2 1 1 0x x x− + = −  在 1 ,1 2       上恒成立，当0 1a  时， ( )log 1a x+ 在 1 ,1 2       上单调递减，所以 ( ) 1 3 log 1 log 1 log 0 2 2 a a ax   +  + =     ，故舍去，所以可知 1a  才能满 足 ( )2 2 1 log 1ax x x− +  + ．令 ( ) 2 2 1f x x x= − + ， ( ) ( )log 1ag x x= + ，作出两个函数的大致 图象如图 D-6-24 所示．令 1 1 2 2 f g             ，得 1 3 log 4 2 a ，∴ 1 4 3 2 a  ，∴ 4 3 2 a        ，∴要使 ( )2 log 1 2 1ax x x− +  − 在 1 ,1 2       内恒成立，则实数 a的取值范围是 4 3 1, 2           ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 故选：D． 6．（多选）音乐是由不同频率的声音组成的，若音 1（do）的频率为 f，则简谱中七个 音 1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是 f， 9 8 f ， 81 64 f ， 4 3 f ， 3 2 f ， 27 16 f ， 243 128 f ，其中相邻两个音的频率比（后一个音比 前一个音的比）是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为 ， ( )   ， 称为全音， 称为半音，则下列关系式成立的是（参考数据：lg2 0.3010 ， lg3 0.4771 ）（ ） A． 2 = B． 2 = C． lg lg 0.01 −  D． lg 2lg 0.01 −  【答案】CD 【分析】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为 9 8 ， 9 8 ， 256 243 ， 9 8 ， 9 8 ， 9 8 ，从而根 据题意可得 9 8  = ， 256 243  = ，然后逐个计算判断即可 【详解】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为 9 8 ， 9 8 ， 256 243 ， 9 8 ， 9 8 ， 9 8 ，所以 9 8  = ， 256 243  = ， 对于 A， 2  ，所以故 A 错误， 对于 B， 2  ，所以 B 错误， 对于 C， 2 3 8 59 256lg lg lg lg lg3 lg 2 lg 2 lg3 8 243  − = − = − − + 7lg3 11lg2 0.0287 0.01= −   ，故 C 正确． 对于 D， 2 3 8 59 256lg 2lg lg 2lg lg3 lg 2 2(lg 2 lg3 ) 8 243  − = − = − − −  12lg3 19lg2 0.0062 0.01= −   ，故 D 正确． 故选：CD． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 7．（多选）已知函数 ( )f x 在区间 I上连续，若对于任意 1x ， 2x I ，且 1 2x x ，都有 ( ) ( )1 2 1 2 2 2 f x f x x x f + +       ，则称函数 ( )f x 为区间 I上的下凸函数，下列函数在定义域 上为下凸函数的是（ ） A． 1 lny x = B． 2 3y x − = C． 2 3 1 x y x + = + ， ( )1,x − + D． ( ) 1 2 1 2 2 2 x xy x − −   = + +    【答案】ACD 【分析】利用下凸函数的定义逐项分析即得. 【详解】对于 A，由 1 lny x = ，可知 ( )0,x + ，任意 1x ， ( )2 0,x  + ，且 1 2x x ， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln ln ln 2 2 2 2 2 x x f x f x x x x x +   + +  = − = −  − 1 2 1 2ln 2 2 x x x x f + +    = − =        ，故 A 正确； 对于 B， 2 3 3 2 1 y x x − = = ， ( ) ( ),0 0,x −  + ，函数在定义域上不连续，故 B 错误； 对于 C， 2 3 1 2 1 1 x y x x + = = + + + ， ( )1,x − + ，任意 1x ， ( )2 1,x  − + ，且 1 2x x ， ∴ ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 , 2 , 1 1 f x f x x x = + = + + + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 x x f x x x x +  = + = +  + + +  + ， ∵ ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 f x f x x x x x x x + + + + + + + + = = + + + ， ∴ ( )( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 x x x x + + + + + 1 2 2 2 2x x   − + =  + +  ( )( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 x x x x x x + + − + + + + ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 1 0 2 1 1 2 2 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x x + + − + + − = =  + + + + + + + + ， 即 ( ) ( )1 2 2 f x f x+  1 2 2 x x f +      ，故 C 正确； 对于 D， ( ) ( ) 1 2 1 2 2 4 2 2 2 2 x x x xf x x x − −   = + + = +  +    ，可知 x R ，任意 1x ， 2 Rx  ，且 1 2x x ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 ∵ 1 2 1 2 24 4 2 4 x x x x + +   ， 1 2 1 2 22 2 2 2 4 2 x x x x +  +    ， ( )1 2 1 22 2 2x x x x+ = + ， ∴ ( ) ( ) 1 2 1 21 2 1 21 2 1 2 2 24 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 x x x xx x x xf x f x x x + ++ + +  +  + + =  +  ( ) 1 21 2 2 x x x x f +  + + =     ，故 D 正确． 故选：ACD． 8．（多选）已知函数 ( ) ( )2 5ln 1 3f x x x x= + + + + ，函数 ( )g x 满足 ( ) ( ) 6g x g x− + = . 则（ ） A． ( ) 1 lg7 lg 6 7 f f   + =    B．函数 ( )g x 的图象关于点 ( )3,0 对称 C．若实数a 、b 满足 ( ) ( ) 6f a f b+  ，则 0a b+  D．若函数 ( )f x 与 ( )g x 图象的交点为 ( )1 1,x y 、 ( )2 2,x y 、 ( )3 3,x y ，则 1 1 2 2 3 3 6x y x y x y+ + + + + = 【答案】AC 【分析】计算得出 ( ) ( ) 6f x f x− + = ，可判断 A 选项；利用函数对称性的定义可判断 B 选项；分析函数 ( )f x 的单调性，可判断 C 选项；利用函数的对称性可判断 D 选项. 【详解】对于 A 选项，对任意的 x R ， 2 1 0x x x x+ +  +  ， 所以，函数 ( ) ( )2 5ln 1 3f x x x x= + + + + 的定义域为R ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )52 2 5ln 1 3 ln 1 3f x f x x x x x x x − + = + − + − + + + + + +   ( )2 2ln 1 6 6x x= + − + = ， 所以， ( ) ( ) ( ) 1 lg7 lg lg7 lg7 6 7 f f f f   + = + − =    ，A 对； 对于 B 选项，因为函数 ( )g x 满足 ( ) ( ) 6g x g x− + = ，故函数 ( )g x 的图象关于点 ( )0,3 对 称，B 错； 对于 C 选项，对于函数 ( ) ( )2ln 1h x x x= + + ，该函数的定义域为R ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ln 1 ln 1 ln 1 0h x h x x x x x x x− + = + − + + + = + − = ，即 ( ) ( )h x h x− = − ， 所以，函数 ( )h x 为奇函数， 当 0x  时，内层函数 2 1u x x= + + 为增函数，外层函数 lny u= 为增函数， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 所以，函数 ( )h x 在 )0, + 上为增函数，故函数 ( )h x 在 ( ,0− 上也为增函数， 因为函数 ( )h x 在R 上连续，故函数 ( )h x 在R 上为增函数， 又因为函数 5 3y x= + 在R 上为增函数，故函数 ( )f x 在R 上为增函数， 因为实数 a 、b 满足 ( ) ( ) 6f a f b+  ，则 ( ) ( ) ( )6f a f b f b − = − ，可得a b − ，即 0a b+  ，C 对； 对于 D 选项，由上可知，函数 ( )f x 与 ( )g x 图象都关于点 ( )0,3 对称， 由于函数 ( )f x 与 ( )g x 图象的交点为 ( )1 1,x y 、 ( )2 2,x y 、 ( )3 3,x y ， 不妨设 1 2 3x x x  ，若 2 0x  ，则函数 ( )f x 与 ( )g x 图象的交点个数必为偶数，不合乎 题意， 所以， 2 0x = ，则 2 3y = ，由函数的对称性可知，点 ( )1 1,x y 、( )3 3,x y 关于点 ( )0,3 对称， 则 1 3 0x x+ = ， 1 3 6y y+ = ，故 1 1 2 2 3 3 9x y x y x y+ + + + + = ，D 错. 故选：AC. 【点睛】结论点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化： ①函数 ( )f x 的图象关于点 ( ),a b 对称，则 ( ) ( )2 2f x f a x b+ − = ； ②函数 ( )f x 的图象关于直线 x a= 对称，则 ( ) ( )2f x f a x= − . 9．方程 2lg 100xx = 的解是__________. 【答案】 10x =  和 1 10 x =  【分析】将最外层的指数幂设未知量，将对数式化成指数式，，再根据对数方程求解． 【详解】 2lg 100xx = ，定义中要求 2 0x  ， ( ,0) (0, )x  −  + ， 令 2lg x t= ， 100tx = 210t x = ，代入 ( 10 ) 100t t = ，化简得 2 2210 100 10 t = = 2 2 2 t  = 解得 2t =  2t = 时， 2 100x = ， 10x =  2t = − 时， 2 1 100 x = ， 1 10 x =  即方程 2lg 100xx = 的解是 10x =  和 1 10 x =  【点睛】对数式可以直接转化成指数式，而指数式不能直接转化成对数式，需考虑底数 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 取值范围． 复杂一点的对数式与指数式方程可选择选择中间项设未知量，化简方程． 10．已知函数 ( ) 4log ,0 4 1 3, 4 2 x x f x x x     =  − +   ，若a b c  且 ( ) ( ) ( )f a f b f c= = ，则 ( )1 c ab + 的 取值范围是___________． 【答案】 ( )16,64 【详解】作出函数 ( ) 4log ,0 4 1 3, 4 2 x x f x x x     =  − +   的图象，如图所示． ∵a b c  时， ( ) ( ) ( )f a f b f c= = ，∴ 4 4log loga b− = ，即 4 4log log =0a b+ ，则 4log =0ab ， ∴ 1 1 4 6 4 a b c      ，且 1ab = ，∴ ( )4 616 2 1 2 2 64 c cab=  + =  = ，即 ( )1 c ab + 的取 值范围是 ( )16,64 ，故答案为 ( )16,64 . 11．已知 0a  且 1a  ，函数 ( ) ( )2logaf x x x a= − + 的定义域为R ． (1)求 a 的取值范围； (2)讨论关于 x 的不等式 ( ) 1 logaf x x + 的解集． 【答案】(1) 1 ( ,1) (1, ) 4  + ； (2)分类求解，答案见解析. 【分析】(1)利用对数函数定域可得 2 0x x a− +  恒成立，再用判别式列式计算作答. (2)由(1)的结论结合对数函数单调性分类讨论，求解关于 x 的一元二次不等式作答. （1） 因函数 ( ) ( )2logaf x x x a= − + 的定义域为R ，则 Rx  ， 2 0x x a− +  成立， 即有： 1 4 0a = −  ，解得 1 4 a  ，又 0a  且 1a  ，因此， 1 1 4 a  或 1a  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 所以 a 的取值范围是 1 ( ,1) (1, ) 4  + . （2） 由(1)知， 1 1 4 a  或 1a  ，不等式 2( ) 1 log log ( ) loga a af x x x x a ax +  − +  ， 当 1 1 4 a  时，函数 logay x= 在 (0, )+ 上单调递减，于是得 20 x x a ax − +  ，即 ( 1)( ) 0x x a− −  ，解得 1 a x ， 当 1a  时，函数 logay x= 在 (0, )+ 上单调递增，于是得 2 0x x a ax− +   ，即 ( 1)( ) 0x x a− −  ，且 0x  ，解得0 1x  或 x a ， 所以，当 1 1 4 a  时，原不等式的解集为 ( ,1)a ， 当 1a  时，原不等式的解集为 ( ) ( )0,1 ,a  + . 12．已知函数 1 ( ) log ,( 0 1 a x f x a x + =  − 且 1)a  (1)判断函数 ( )f x 的奇偶性； (2)判断函数 ( )f x 在 ( )1,+ 上的单调性，并给出证明； (3)当 ( ), 2x n a − 时，函数 ( )f x 的值域是 ( )1,+ ，求实数a 与自然数n 的值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)答案见解析，证明见解析；(3) 1n = ， 2 3a = + . 【分析】（1）利用奇偶性定义判断 ( )f x 奇偶性. （2）利用单调性定义，结合作差法、分类讨论思想求 ( )f x 的单调性. （3）由题设得 2a n + 且 Nn ，结合（2）有 ( )f x 在 ( )1,+ 上递减，结合函数的区间 值域，求参数 a、n即可. (1)由题设有 1 0 1 x x +  − ，可得函数定义域为 , 1( ) , )1(− −  + ， 1 1 1 ( ) log log log ( ) 1 1 1 a a a x x x f x f x x x x − + − + − = = = − = − − − + − ， 所以 ( )f x 为奇函数. (2)令 1 2 1x x  ，则 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) log log log 1 1 1 a a a x x x x x x f x f x x x x x x x + + + − − − = − = − − − + − ， 又 1 2 2 1 1 2 2 1 2 11 ( 1) 2( ) 0x x x x x x x x x x+ − − − − + − = −  ，则 1 2 2 1 1 2 2 1 1 0 1 1 x x x x x x x x + − −   − + − ， 当 0 1a  时， 1 2( ) ) 0(f x f x−  ，即 1 2( ) ( )f x f x ，则 ( )f x 在 ( )1,+ 上递增. 当 1a  时， 1 2( ) ) 0(f x f x−  ，即 1 2( ) ( )f x f x ，则 ( )f x 在 ( )1,+ 上递减. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 (3)由 Nn ，则 2 0a n−   ，即 2a n + ， 结合（2）知： ( )f x 在 ( )1,+ 上递减且值域为 ( )1,+ ， 要使 ( )f x 在 ( ), 2n a− 值域是 ( )1,+ ，则 1n = 且 ( 2) 1f a − = ，即 2 4 1 0a a− + = ， 所以 2 3a =  ，又 2 3a n + = ，故 2 3a = + . 综上， 1n = ， 2 3a = + . 【点睛】关键点点睛：第三问，注意 2 0a n−   ，即有 ( )f x 在 ( )1,+ 上递减，再根据 区间值域求参数. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 10 对数函数重难点专题 常考结论及公式 结论一：常见的几个对数运算公式及结论 （1）对数式与指数式的互化： log x aa N x N=  = （2）对数恒等式： loga Na N= ; （3）对数运算性质： log na a n= ; log ( ) log loga a aMN M N= + ; log log loga a a M M N N = − ; log logna aM n M= （4）换底公式及其推论： log log ( , (0,1) (1, )) log c a c b b a c a =  + 推论： log log 1a bb a = ， log logm n aa n b b m = ， log logn n aa b b= 结论二：对数函数的图象及相关结论 （1）对数函数的图象在第一象限内，底数越大图象越靠右. （2）对于 loga b 而言，若 1a  且 1b  或0 1a  且0 1b  ，则 log 0a b  ；若 1a  且0 1b  或0 1a  且 1b  ，则 log 0a b  . （3）函数 1 ( ) log 1 a x f x x − = + （ 0a  且 1a  ）为奇函数；函数 2( ) log ( 1)af x x x= + + （ 0a  且 1a  ）为奇函数. 结论三：比较对数式大小的方法 （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母， 则需对底数进行分类讨论. （2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； （3）若底数与真数都不同，则常借助于 1,0等中间量进行比较； （4）对于不能转化为上述几种类型的，需要将已知的对数式变形或利用作差（或作商） 比较法. 结论四：简单对数不等式问题的求解策略 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （1）解决简单地对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底的对数，再利用对数 函数的单调性转化为一般不等式求解，求解时不要忘记对数函数的定义域； （2）对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按 1a  和 0 1a  进行分类讨论. . 题型一 与对数运算有关的综合问题 【例 1】已知 ,  满足 3 4, (ln 1)e e e  = − = ，其中 e 是自然对数的底数，则 的 值为（ ） A． e B． 2e C． 3e D． 4e 【跟踪训练 1】已知实数 ,a b满足 710 aa −= ， 4 lglg 10 3bb −= − ，则ab = ___________. 题型二 与对数函数三要素有关的含参问题 【例 2】已知函数 ( ) ( )2lgf x x ax a= + − ，给出以下说法： ①若函数 ( )f x 的最小值为 0 ，则 2a = − ； ②若函数 ( )f x 的定义域为R ，则 4 0a−   ； ③若函数 ( )f x 的值域为R ，则 4a  − 或 0a  ； ④若 2a = ，则函数 ( )f x 的单调减区间为 ( ), 1− − ； ⑤若函数 ( )f x 在 ( )2, 1− − 上单调递减，则 1 2 a  ． 其中正确说法的个数为__________个． 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 2】已知函数 ( ) ( ) 2 1 2 log 2 3f x x ax= − + ． (1)若函数 ( )f x 的定义域为 ( ) ( ),1 3,−  + ，求实数a 的值； (2)若函数 ( )f x 的定义域为R ，值域为 ( , 1− − ，求实数a 的值； (3)若函数 ( )f x 在 ( ,1− 上单调递增，求实数a 的取值范围． 题型三 对数型函数的单调性的应用 【例 3】已知函数 ( ) log (3 )af x ax= − （a＞0，且 a≠1）． (1)求 f（x）的定义域． (2)是否存在实数 a，使函数 f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为 2？若存在， 求出 a的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练 3】已知函数 1 ( ) lg(2022 | |) 2022 | | f x x x = + − + ，若 ( )log 2022 (1)af f （ 0a  且 1a  ），则 a的取值范围为__________． 题型四 比较大小 【例 4】已知 ( )1,2x ，则下列说法正确的是（ ） A． 2 2ln 2 2ln 2 ln 2 x x x  B． 2 2ln 2 ln 2 2ln 2 x xx   C． 2 22ln 2 ln 2 ln 2 xx x  D． 2 22ln 2 ln 2 ln 2 xx x  【跟踪训练 4】已知 3a = ， 1 42b = ， 2 elogc = ，则 a ，b ，c 的大小关系为（ ） A． a b c  B．a c b  C．b a c  D．b c a  武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型五 对数型函数的图象问题 【例 5】函数 ln| | 1( ) e xf x x = + 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练 5】函数 ( ) ( ) 22 2 ln 0.01x xf x x−= − + 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 题型六 对数型函数的实际应用问题 【例 6】纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆 部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对 数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在 空气中冷却，如果物体原来的温度是 1T （℃），空气的温度是 0T （℃），经过 t分钟后物 体的温度 T（℃）可由公式 ( ) ( )3 1 0 3 04 log logt T T T T= − − −  得出；现有一杯温度为 70℃ 的温水，放在空气温度为零下 10℃的冷藏室中，则当水温下降到 10℃时，经过的时间 约为（ ）参考数据： lg2 0.301 ， lg3 0.477 . A．3.048 分钟 B．4.048 分钟 C．5.048 分钟 D．6.048 分钟 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 6】随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变 得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在 空间中自由传播时能量损耗满足传输公式： 32.44 20lg 20lgL D F= + + ，其中 D为传输 距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减）单位为dB．若 传输距离变为原来的 4 倍，传输损耗增加了18dB，则载波频率变为原来约（ ）倍 （参考数据： lg2 0.3,lg3 0.5  ） A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍 题型七 与对数函数结合的不等式综合问题 【例 7】已知函数 ( ) ( )2( ) log 9 , ( ) logxa af x a g x x ax= − = − ，若对任意 1 [1,2]x  ，存在 2 [3,4]x  使得 ( ) ( )1 2f x g x 恒成立，则实数 a的取值范围为____________． 【跟踪训练 7】已知函数 ( ) ( )2log 4 1xf x kx= + + 为偶函数. (1)求实数 k 的值; (2)解关于m 的不等式 ( ) ( )2 1 1f m f m+  − ; (3)设 ( ) ( )( )2log 2 0xg x a a a=  +  ，若函数 ( )f x 与 ( )g x 图象有2个公共点，求实数a 的 取值范围. 题型八 其他类型的综合问题 【例 8】已知函数 ( ) 1 1, 0 2 lg , 0 x x f x x x  +  =    ，若存在不相等的实数 a，b，c，d满足 ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = ，则 + + +a b c d 的取值范围为（ ） A． ( )0,+ B． 81 2, 10   −    C． 61 2, 10   −    D． 81 0, 10       武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【跟踪训练 8】（多选）已知函数 ( ) 2 2 1, 0 log 1, 0 x x f x x x  +  =  −  ，则方程 ( ) ( )2 22 1 0f x f x a− + − = 的根的个数可能为（ ） A．2 B．6 C．5 D．4 课后突破训练 1．已知 0.60.6a = ， lg0.6b = ， 0.61.6c = ，则（ ） A． a b c  B．a c b  C．c b a  D．c a b  2．已知3 4 5 1a b c= =  ，则下列结论错误的是（ ） A．c b a  B． 1 1 1 2a b c +  C． 45log 20 2 ab ac ab bc + = + D．5 4 3c b a  3．若函数 ( ) ( )1 x xf x k a a−= − − （ 0a  且 1a  ）在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 ( ) logag x x k= + 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 4．已知 2 2log 2( )17y x x= − + 的值域为[ , )m + ，当正数 ,a b满足 2 1 3 2 m a b a b + = + + 时， 则7 4a b+ 的最小值为（ ） A． 9 4 B．1 C． 5 2 2 4 + D．2 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 5．若 ( )2 log 1 2 1ax x x− +  − 在 1 ,1 2       内恒成立，则实数 a的取值范围是（ ） A． 4 3 ,1 2 −          B． 4 3 ,1 2 −         C． 4 3 1, 2          D． 4 3 1, 2           6．（多选）音乐是由不同频率的声音组成的，若音 1（do）的频率为 f，则简谱中七个 音 1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是 f， 9 8 f ， 81 64 f ， 4 3 f ， 3 2 f ， 27 16 f ， 243 128 f ，其中相邻两个音的频率比（后一个音比 前一个音的比）是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为 ， ( )   ， 称为全音， 称为半音，则下列关系式成立的是（参考数据：lg2 0.3010 ， lg3 0.4771 ）（ ） A． 2 = B． 2 = C． lg lg 0.01 −  D． lg 2lg 0.01 −  7．（多选）已知函数 ( )f x 在区间 I上连续，若对于任意 1x ， 2x I ，且 1 2x x ，都有 ( ) ( )1 2 1 2 2 2 f x f x x x f + +       ，则称函数 ( )f x 为区间 I上的下凸函数，下列函数在定义域 上为下凸函数的是（ ） A． 1 lny x = B． 2 3y x − = C． 2 3 1 x y x + = + ， ( )1,x − + D． ( ) 1 2 1 2 2 2 x xy x − −   = + +    8．（多选）已知函数 ( ) ( )2 5ln 1 3f x x x x= + + + + ，函数 ( )g x 满足 ( ) ( ) 6g x g x− + = . 则（ ） A． ( ) 1 lg7 lg 6 7 f f   + =    B．函数 ( )g x 的图象关于点 ( )3,0 对称 C．若实数a 、b 满足 ( ) ( ) 6f a f b+  ，则 0a b+  D．若函数 ( )f x 与 ( )g x 图象的交点为 ( )1 1,x y 、 ( )2 2,x y 、 ( )3 3,x y ，则 1 1 2 2 3 3 6x y x y x y+ + + + + = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 9．方程 2lg 100xx = 的解是__________. 10．已知函数 ( ) 4log ,0 4 1 3, 4 2 x x f x x x     =  − +   ，若a b c  且 ( ) ( ) ( )f a f b f c= = ，则 ( )1 c ab + 的 取值范围是___________． 11．已知 0a  且 1a  ，函数 ( ) ( )2logaf x x x a= − + 的定义域为R ． (1)求 a 的取值范围； (2)讨论关于 x 的不等式 ( ) 1 logaf x x + 的解集． 12．已知函数 1 ( ) log ,( 0 1 a x f x a x + =  − 且 1)a  (1)判断函数 ( )f x 的奇偶性； (2)判断函数 ( )f x 在 ( )1,+ 上的单调性，并给出证明； (3)当 ( ), 2x n a − 时，函数 ( )f x 的值域是 ( )1,+ ，求实数a 与自然数n 的值．