09 指数函数重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 09 指数函数重难点专题 常考结论及公式 结论一：指数函数图象的对称规律 函数 xy a= 的图象与 xy a−= 的图象关于 y 轴对称， xy a= 的图象与 xy a= − 的图象 关于 x 轴对称， xy a= 的图象与 xy a−= − 的图象关于坐标原点对称. 结论二： 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数① xy a= ，② xy b= ，③ xy c= ，④ xy d= 的图象，底数 , , ,a b c d 与 1 之间的大小关系为 1 0c d a b     .由此我们可得到以下规律：在第一象 限内，指数函数 ( 0, 1)xy a a a=   的图象越高，底数越大. 结论三：指数型函数的图象 （1）函数 ( 0 1)x by a a a+=  且 的图象，可由指数函数 xy a= 的图象向左 ( 0)b  或向右 ( 0)b  平移 | |b 个单位长度而得到； （2）函数 ( 0 1)xy a b a a= +  且 的图象，可由指数函数 xy a= 的图象向上 ( 0)b  或 向下 ( 0)b  平移 | |b 个单位长度而得到； （3）函数 | |( 0 1)xy a a a=  且 的图象关于 y 轴对称，当 0x 时，其图象与指数函数 xy a= 的图象相同；当 0x  时，其图象与 0x 时其图象关于 y 轴对称. 结论四：比较幂的大小的方法 （1）同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较; （2）指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当 x 取相同指 数时可观察出函数值的大小. （3）底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较， 或借助“1”与两数比较. 结论五：指数不等式的常见类型及其求解方法 （1） ( ) ( )f x g xa a 或 ( ) ( )f x g xa a 型. 解法： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x g x a a a f x g x      或 0 1 ( ) ( ) a f x g x     . 1 ① ② ③ ④ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x g x a a a f x g x      或 0 1 ( ) ( ) a f x g x     . （2）形如 xa b 的不等式，注意将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助于函 数 xy a= 的单调性求解. 题型一 幂的大小比较 【例 1】比较下列各组数的大小： （1）1.52.5和 1.53.2； （2） 5 63 11       与 5 68 33       ； （3）1.50.3和 0.81.2. 【答案】（1） 2.5 3.21.5 1.5 ；（2） 5 5 6 63 8 11 33             ；（3） 0.3 1.21.5 0.8 . 【分析】(1)利用指数函数的单调性比较两数的大小，(2)利用指数函数的图象比较两数 的大小，(3)利用指数函数的单调性，结合中间量法比较两数的大小. 【详解】(1)∵函数 1.5xy＝ 在 R上是增函数，2.5＜3.2， ∴ 2.5 3.21.5 1.5 .＜ ， (2)作指数函数 3 ( ) 11 xy = 与 8 ( ) 33 xy = 的图象(如图)， 由图知 5 5 6 6 3 8 ( ) ( ) 11 33  ， (3)由指数函数的性质知 0.3 01.5 1.5 1＞ ＝ ， 而 1.2 00.8 0.8 1＜ ＝ ， ∴ 0.3 1.21.5 0.8＞ . 【跟踪训练 1】（多选）下列各式比较大小，正确的是（ ） A．1.72.5＞1.73 B． 2 4 3 3 1 ( ) 2 2 −  C．1.70.3＞0.93.1 D． 23 34 2 3 ( ) ( ) 3 4  【答案】BC 【分析】A、B 选项利用指数函数的单调性进行比较；C 选项利用中间值 1 比大小；D 选项利用指数函数和幂函数的单调性比较． 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【详解】解：对于选项 A：∵函数 y＝1.7x在 R上单调递增，且 2.5＜3， ∴1.72.5＜1.73，故选项 A 错误， 对于选项 B： 2 3 1 ( ) 2 ＝ 2 32 − ， ∵函数 y＝2x在 R上单调递增，且 2 4 3 3 −  − ， ∴ 2 3 1 ( ) 2 ＝ 2 4 3 32 2 − −  ，故选项 B 正确， 对于选项 C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1，故选项 C 正确， 对于选项 D：∵函数 y＝ 2 ( ) 3 x 在 R上单调递减，且 3 2 4 3  ， ∴ 23 34 2 2 ( ) ( ) 3 3  ， 又∵函数 y＝ 2 3x 在（0，+∞）上单调递增，且 2 3 3 4  ， ∴ 2 2 3 3 2 3 ( ) ( ) 3 4  ， ∴ 23 34 2 2 ( ) ( ) 3 3  ＜ 2 3 3 ( ) 4 ，故选项 D 错误， 故选：BC． 题型二 指数函数的三要素相关的问题 【例 2】若定义在实数集 R 上的函数 ( )f x 满足： ( )3, 1x − − 时， ( )1 exf x+ = ，对任意 xR，都有 ( ) ( )2 1f x f x+  = 成立，则 ( )2019f 等于（ ） A． 2e B． 2e− C．e D．1 【答案】B 【分析】根据题设条件可得函数为周期函数，从而可求 ( )2019f . 【详解】因为 ( ) ( )2 1f x f x+  = ，故 ( ) ( )4 2 1f x f x+  + = ， 故 ( ) ( )4f x f x+ = ，故 ( )f x 为周期函数，且周期为 4， 故 ( ) ( ) ( ) ( )2019 4 504 3 3 1f f f f=  + = = − ， 因为： ( )3, 1x − − 时， ( )1 exf x+ = ，故 ( ) 22 1 ef −− + = ， 即 ( ) 21 ef −− = ， 故选：B. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 2】函数 21 6xy −= − 的定义域和值域分别为（ ） A． ( 0 2x ， ， ( 0,1y B． ( 2x −∞， ，  )01y ， C． ( 0 2x ， ，  )01y ， D． ( 2x −∞， ， ( 0,1y 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义，结合指数函数性质可得定义域与值域． 【详解】 21 6 0x−−  ，解得 2 0x− ≤ ，即 2x  ，定义域为 ( ,2]− ， 因为 20 6 1x−  ，所以 20 1 6 1x− −  ， 20 1 6 1x− −  ，即值域为[0,1)． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查指数型复合函数的定义域与值域，解题关键是掌握指数 函数的单调性，特别是指数函数 xy a= （ 0a  且 1a  ）的值域是 (0, )+ ，这里也容易 出错． 题型三 与指数型函数有关的最值问题 【例 3】函数 ( )  ( ) 43 4 2 40 0,3 4 5 2 13 x x x x f x x + + + =  +  + 的值域是（ ） A． 40 28 , 13 9       B． 40 59 , 13 19       C． 40 65 , 13 21       D． 40 31 , 13 10       【答案】A 【分析】设 2 , [1,8]xt t=  ，则函数 ( ) 2 2 3 16 40 5 13 t t f x t t + + = + + ，令 2 2 3 16 40 ( ) 5 13 t t g t t t + + = + + = 2 1 3 ( 1) 3( 1) 9 t t t + + + + + + ， 再令 1m t= + ,则 [2,9]m ，则有 2 1 ( ) 3 3 93 9 3 m h m m m m m = + = + + + + + ，由对勾函数的性 质及反比例函数的性质求出 ( )h m 的值域即可. 【详解】解：因为 [0,3]x ，所以2 [1,8]x  ， 设 2 , [1,8]xt t=  ， 因为 ( ) 4 2 2 2 2 3 4 2 40 3 (2 ) 16 2 40 3 16 40 4 5 2 13 (2 ) 5 2 13 5 13 x x x x x x x x t t f x t t + + +  +  + + + = = = +  + +  + + + ， 令 2 2 3 16 40 ( ) 5 13 t t g t t t + + = + + = 2 2 2 3( 5 13) 1 1 3 5 13 5 13 t t t t t t t t + + + + + = + + + + + = 2 1 3 ( 1) 3( 1) 9 t t t + + + + + + ， 令 1m t= + ,则 [2,9]m ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 所以 2 1 ( ) 3 3 93 9 3 m h m m m m m = + = + + + + + ， 因为 [2,9]m ， 由对勾函数的性质可得 9 [6,10]m m +  ， 所以 9 3 [9,13]m m + +  ， 所以 1 1 1 [ , ] 9 13 9 3m m  + + ， 所以以 1 40 28 3 [ , ] 9 13 9 3m m +  + + ， 即函数的值域为 40 28 , 13 9       . 故选：A. 【跟踪训练 3】4 已知函数 1 ( ) 1 x x a f x a + = − （ 0a  ，且 1a  ）. （1）求函数的定义域和值域； （2）讨论函数的单调区间. 【答案】（1）定义域为{ | 0}x x  ，值域为 ( , 1) (1, )− − + ．（2） 1a  时 ( )f x 在 ( ,0)− 和 (0, )+ 上递减，0 1a  时， ( )f x 在 ( ,0)− 和 (0, )+ 上递增． 【解析】（1）分母不为 0 可得定义域，由指数函数性质和不等式的性质求值域； （2）用单调性定义判断并证明． 【详解】（1） 1 0xa −  ， 0x  ，定义域为{ | 0}x x  ， 1 2 ( ) 1 1 1 x x x a f x a a + = = + − − ， ∵ 1xa  ，∴0 1xa  或 1xa  ． 0 1xa  时， 1 1 0xa−  −  ，∴ 2 2 1xa  − − ， ( ) 1f x  − ， 1xa  ， 1 0xa −  ，∴ 2 ( ) 1 1 1x f x a = +  − ， ∴值域为 ( , 1) (1, )− − + ． （2）设 1 2 0x x  ， ( ) ( )( ) 2 1 1 2 1 2 1 2 22 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 x x x x x x a a f x f x a a a a −    − = + − + =    − − − −    ， ∵ 1 2 0x x  ，∴当0 1a  时， 2 1 1 2, 1 0, 1 0 x x x x a a a a −  −  ， 1 2( ) ) 0(f x f x−  ． 1 2( ) ( )f x f x ， ( )f x 递增， 当 1a  时， 2 1 1 2, 1 0, 1 0x x x xa a a a −  −  ， 1 2( ) ) 0(f x f x−  ． 1 2( ) ( )f x f x ， ( )f x 递减， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 同理，当 0x  时，0 1a  时， ( )f x 递增， 1a  时， ( )f x 递减， 综上， 1a  时 ( )f x 在 ( ,0)− 和 (0, )+ 上递减，0 1a  时， ( )f x 在 ( ,0)− 和 (0, )+ 上递 增． 【点睛】关键点点睛：本题指数型复合函数的定义域与值域，考查函数的单调性．与指 数函数有关的问题中要注意 0xa  ，这是易错的地方．函数的单调性的判断基本方法是 单调性定义，步骤：（1）设 1 2x x ，（2）作差 1 2( ) ( )f x f x− ，（3）判断差的正负，（4） 得结论． 题型四 指数型函数的单调性 【例 4】已知 (3 1) 4 , 1 ( ) { , 1x a x a x f x a x − +  =  是 ( , ) − + 上的减函数，那么a 的取值范围是 __________． 【答案】 1 1 [ , ) 6 3 【详解】由题设可得不等式组 0 1 {3 1 0 3 1 4 a a a a a   −  − +  ，解之得 1 1 6 3 a  ，应填答案 1 1 [ , ) 6 3 ． 点睛：解答本题的关键是借助题设条件，建立不等式（组），容易出错的是忽视第三个 不等式的建立，因为函数的单调递减很容易想到不等式组中第一与第二个，但第三个不 等式更为必要，尤其是其中的等号也会考虑不到而致错． 【跟踪训练 4】（1）已知函数 2 6 17 1 2 x x y − +   =     ． ①求函数的定义域、值域； ②确定函数的单调区间． （2）画出函数 | 1|2 xy −= 的图象，并依据图象指出它的相关性质． 【答案】（1）①定义为R ，值域为 1 (0, ] 256 ；②在 )3,+ 上是减函数，在 ( ),3− 上是增 函数；（2）答案见解析. 【分析】（1）①利用二次函数、指数函数的性质求复合函数的定义域和值域，②根据 指数型复合函数单调性判断函数的单调区间. （2）写出原函数的分段函数形式，根据指数函数的图象性质画出函数图象，结合图象 确定它的单调性、定义域、值域、对称性等. 【详解】（1）①设 2 6 17u x x= − + ， 由 1 ( ) 2 uy = 及 2 6 17u x x= − + 的定义域都是 ( , )− +  ，故函数 2 6 171( ) 2 x xy − += 的定义为R ． ∵ 2 26 17 ( 3) 8 8u x x x= − + = − +  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 ∴ 8 1 1 ( ) ( ) 2 2 u  ，又 1 ( ) 0 2 u  ，故原函数值域为 1 (0, ] 256 ． ②函数 2 6 17u x x= − + 在 )3,+ 上增函数，即对任意  )1 2, 3,x x  + 且 1 2x x ，有 1 2u u ， 而 1 21 1 2 2 u u             ，即 1 2y y ， 所以原函数在 )3,+ 上是减函数，同理：原函数在 ( ),3− 上 是增函数. （2） 1 1 1 2 , 1 2 1 , 1 2 x x x x y x − − −    = =       ，图象和性质如下， ①对称性：对称轴为 1x = ； ②单调性：在 ( ,1− 上单调递减，在 )1,+ 上单调递增； ③定义域为 R，值域： )1,+ . 题型五 指数型函数的图象问题 【例 5】已知函数 ( ) ( )2f x x a b x ab= − + + 满足 ( )1 0f  （其中0 a b  ），则函数 ( ) 1xg x a b= + − 的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 ( )1 0f  可得出0 1a b   ，分析函数 ( )g x 的单调性与 ( )0 1g b=  可判断 出函数 ( )g x 的图象. 【详解】因为 ( ) ( )( )f x x a x b= − − ，则 ( ) ( )( )1 1 1 0f a b= − −  ， 因为0 a b  ，则0 1a b   ，所以， ( )0 1g b=  且函数 ( )g x 在R 上单调递减， 故函数 ( )g x 的图象如 C 选项中的函数图象. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 如选：C. 【跟踪训练 5】函数 ( )f x 的图像如图所示, 则其解析式可能是（ ） A． ( ) ( )( ) 5 4 e 1 1x x f x x − = − − B． ( ) ( )( ) 5 4 e 2 1x x f x x − = − − C． ( ) ( )e 1x x f x x = − D． ( ) ( ) 5 4 1 x f x x x − = − 【答案】A 【分析】根据给定图像，分析函数定义域排除两个选项，再由 0x  时的函数值情况判 断作答. 【详解】由给定图像知，函数 ( )f x 的定义域为{ R | 0x x  且 1}x  ， 对于 B， ln 2x  且 1x  ，B 不是； 对于 C， 1x  ，C 不是； 由图像知，当 0x  时， ( ) 1f x  − 恒成立， 对于 D，当 5 4 x = − 时， 5 5 5 84 4( ) 1 5 54 9 ( 1) 4 4 f − − − = = −  − − − − ，D 不是，A 满足条件. 故选：A 题型六 与指数函数相关的实际问题 【例 6】我们知道比较适合生活的安静环境的声强级L（噪音级）为30 ~ 40dB，声强 I （单位： 2W/m ）与声强级 L（单位：dB）的函数关系式为 10aLI b=  （a ，b 为常数）．某 型号高铁行驶在无村庄区域的声强为 5.2 210 W/m− ，声强级为68dB，驶进市区附近降低 速度后的声强为 6.5 210 W/m− ，声强级为55dB，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到 安静环境要求，则声强的最大值为（ ） A． 9 210 W/m− B． 8 210 W/m− C． 7 210 W/m− D． 6 210 W/m− 【答案】B 【分析】利用题意得到 5.2 68 6.5 55 10 10 10 10 a a b b − −  =   =  ，解出 ,a b 的值，代回 10aLI b=  得到 0.1 1210 LI −= ， 通过单调性可以得到最大值 【详解】由题意可知 5.2 68 6.5 55 10 10 10 10 a a b b − −  =   =  ，解得 0.1a = ， 1210b −= ，所以 12 0.1 0.1 1210 10 10L LI − −=  = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 易得当 L越大时， I 越大， 所以当 40L = 时，达到安静环境要求下的 I 取得最大值 ( )0.1 40 12 8 2max 10 10 W/mI  − −= = ． 故选：B． 【跟踪训练 6】专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始 累计时间 t（单位：天）与病情爆发系数 ( )f t 之间，满足函数模型： 0.22( 50)1 1 ( ) t f t e− − = + ， 当 ( ) 0.1f t = 时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时 t 约为（ ） (参考数据： 1.1 3e  ) A．38 B． 40 C．45 D．47 【答案】B 【解析】根据 ( ) 0.1f t = 列式求解即可得答案. 【详解】解：因为 ( ) 0.1f t = ， 0.22( 50)1 1 ( ) t f t e− − = + ， 所以 0.22( 50)( ) 0.11 1 t f t e− − = = + ，即 0.22( 50) 01 1te− − =+ ， 所以 0.22( 50) 9te− − = ，由于 1.1 3e  ，故 ( ) 2 1.1 2.2 9e e=  ， 所以 0.22 2( ) .250te e− − = ，所以 ( )0.22 50 2.2t− − = ，解得 40t = . 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得 0.22( 50) 9te− − = ，再结合已知 1.1 3e  得 ( ) 2 1.1 2.2 9e e=  ，进而根据 0.22 2( ) .250te e− − = 解方程即可得答案，是基础题. 题型七 解指数型不等式 【例 7】不等式 2 2 23 3x ax x a+ + − 恒成立，则 a 的取值范围是_________． 【答案】 ( )2 2− ， 【分析】由 3xy = 在 R 上递增，将不等式 2 2 23 3x ax x a+ + − 恒成立，转化为 ( )2 2 2 0x a x a+ − − +  恒成立求解. 【详解】解：因为 3xy = 在 R 上递增， 所以不等式 2 2 23 3x ax x a+ + − 恒成立， 即 2 2 2x ax x a+  + − ，恒成立， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 亦即 ( )2 2 2 0x a x a+ − − +  恒成立， 则 ( ) ( ) 2 2 4 2 0a a= − − − +  ， 解得 2 2a−   ， 故 a 的取值范围是 ( )2 2− ， ． 故答案为： ( )2 2− ， 【跟踪训练 7】已知函数 ( ) 3 3x xf x k −= +  为奇函数． (1)求实数 k 的值； (2)若关于 x 的不等式 2 2 2(9 1) (1 3 ) 0ax x axf f− −− + −  只有一个整数解，求实数a 的取值 范围． 【答案】（1） 1k = − ；（2）[1,2)． 【详解】试题分析：（1）根据题意奇函数，从而可知 ( ) ( ) 0f x f x+ − = 对任意 x R 恒成 立，从而即可求得 k 的值；（2）利用（1）中的结论以及 ( )f x 的单调性，可将不等式等 价转化为 ( 2)(2 1) 0ax x− −  ，再有题意只有一个整数解，即可得到关于 a 的不等式，从 而求解． 试题解析：（1）显然 ( )f x 的定义域为 R ，又∵ ( )f x 是奇函数， ∴ ( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 1 3 3 0x x x x x xf x f x k k k− − −+ − = +  + +  = + + = 对一切实数 x 都成立， ∴ 1k = − ； （2）易得 ( )f x 为 R 上的单调递增函数，又由 ( )f x 是奇函数，∴ ( ) ( ) 2 2 29 1 + 1 3 0a x x a xf f− −− −  2 22 2 2 4 2 29 1 3 1 3 3 2 4 2 ( 2)(2 1) 0ax x ax ax x ax ax x ax ax x− − − − −  −    −  −  − −  ， 当 0a  时，显然不符合题意，当 0a  时，由题意不等式的解只有一个整数，从而可知 不等式的解为 1 2 ( , ) 2 a ，∴该整数解为 1，∴ 2 1 2 1 2a a      ，即实数a 的取值范围是[1,2)． 考点：1．奇函数的性质；2．不等式的性质． 【思路点睛】若已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数 法：利用 ( ) ( ) 0f x f x − = 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值，此 外将函数的单调性、奇偶性、周期性等性质放在几个函数中进行综合考查，是近几年高 考中对函数考查的新特点，本题涉及了二次函数、指数函数等．只要能够熟练掌握基本 初等函数的性质、图象特征，此类问题就很容易解决． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 题型八 指数函数的综合应用问题 【例 8】已知函数 )( 1 1 2 1x f x x= + + + ，若 )( )(4 1 2 3x xf m f m + + −  对任意 0x  恒成 立，则实数m 的最小值为（ ） A． 3 2 B． 2 2 C． 3 1 2 − D． 2 1 2 − 【答案】D 【分析】先利用函数的解析式判断出函数 ( )f x 关于点 3 (0, ) 2 对称，从而将 ( 4 1) ( 2 ) 3x xf m f m + + − 对任意 0x  恒成立，转化为 ( 4 1) (2 )x xf m f m + − 对任意 0x  恒 成立，再利用导数判断函数 ( )f x 的单调性，利用单调性去掉“ f ”，从而得到 4 1 2x xm m + − 对任意 0x  恒成立，进行参变量分离后再利用换元法以及基本不等式求 解最值，即可得到m 的最小值． 【详解】因为函数 1 ( ) 1 2 1x f x x= + + + ， 所以 1 1 ( ) ( ) 1 1 3 2 1 2 1x x f x f x x x − + − = + + + − + = + + ， 则函数 ( )f x 关于点 3 (0, ) 2 对称， 所以 ( 2 ) (2 ) 3x xf m f m− + − = ， 故 ( 4 1) ( 2 ) 3x xf m f m + + − 对任意 0x  恒成立， 即 ( 4 1) ( 2 ) ( 2 ) (2 )x x x xf m f m f m f m + + − − + − 对任意 0x  恒成立， 即 ( 4 1) (2 )x xf m f m + − 对任意 0x  恒成立， 因为 ( ) ( ) 2 2 ln 2 ' 1 0 2 1 x x f x = −  + ，则函数 ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增， 所以 4 1 2x xm m + − 对任意 0x  恒成立， 令 2 1xt = − ，则 0t  ， 所以 2 1 22 2 2 t m t t t t = + + + + 对任意 0t  恒成立， 因为 1 1 1 2 1 2 22 2 2 22 2 2t t t t − = = ++ +  + ， 当且仅当 2 t t = ，即 2t = 时取等号， 所以 2 1 2 m − ， 则实数m 的最小值为 2 1 2 − ． 故选：D． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 ( )a f x 恒成立( ( ) max a f x 即可) 或 ( )a f x 恒成立（ ( ) min a f x 即可）；② 数形结合( ( )y f x= 图象在 ( )y g x= 上方 即可)；③ 讨论最值 ( ) min 0f x  或 ( ) max 0f x  恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的 参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 【跟踪训练 8】已知函数 ( ) 2 4 2 2 2 x a x x f x x x −  +  =    ，若对任意的  )1 2,x  + ，都存在唯一的 ( )2 ,2x  − ，满足 ( ) ( )2 1f x f x= ，则实数a 的取值范围是______． 【答案】0 4a  【分析】由题意可得函数 ( )f x 在[2，＋∞）时的值域包含于函数 ( )f x 在（−∞，2）时的 值域，利用基本不等式先求出函数 ( )f x 在 x∈[2，＋∞）时的值域，当 x∈（−∞，2）时， 对 a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出 a的取值范围． 【详解】解：设函数 ( ) 2 4 , 2 x g x x x + =  的值域为A ，函数 ( ) 2 , 2x ah x x−=  的值域为 B ，因为对任意的  )1 2,x  + ，都存在唯一的 ( )2 ,2x  − ，满足 ( ) ( )2 1f x f x= ， 则 A B ，且 B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个. 当  )1 2,x  + 时， ( ) 2 4 4x g x x x x + = = + ， 因为 4 4 2 4x x x x +   = ，当且仅当 4 x x = ，即 2x = 时，等号成立， 所以  )4,A = + ， 当 ( )2 ,2x  − 时， ( ) 2 , 2 x a h x x − =  ①当 2a  时， ( ) 2 , 2a xh x x−=  ，此时 ( )22 ,aB −= + ， 22 4a−  ，解得2 4a  ， ②当 2a  时， ( ) 2 , 2 , 2 a x x a x a h x a x − −   =    ， 此时 ( )h x 在 ( ),a− 上是减函数，取值范围是 ( )1,+ ， ( )h x 在 ),2a 上是增函数，取值范围是 )21, 2 a− ， 22 4a−  ，解得0 2a  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 综合得0 4a  . 故答案为：0 4a  【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域 之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想. 课后突破训练 1．已知 4 3 2021 1 2021 1 a + = + ， 5 4 2021 1 2021 1 b + = + ，则a 与b 之间的大小关系是（ ） A． a b B．a b C．a b= D．无法比较 【答案】B 【分析】构造函数 ( ) 2021 1 xf x = + ，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 , 3 4 f f a b f f = = ，然后利用不等式的性质， 由 1b− 与 1a − 的大小判断. 【详解】设 ( ) 2021 1 xf x = + ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 , 3 4 f f a b f f = = ， 所以 ( ) ( ) ( ) 4 3 3 3 3 4 3 2021 2021 2020 2021 1 3 2021 1 2021 1 f f a f − −  − = = = + + ， ( ) ( ) ( ) 5 4 4 4 4 5 4 2021 2021 2020 2021 1 4 2021 1 2021 1 f f b f − −  − = = = + + ， 而 4 4 3 4 4 3 2020 2021 2020 2021 2020 2021 2021 1 2021 2021 2021 1     = + + + ， 所以 1 1b a−  − ，即a b ， 故选：B 2．函数 ( ) 2 e ex x x f x − = + 的图象大致是（ ） A． B． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断当 x 趋近于+时，函数 ( )f x 的趋势，即可得答 案. 【详解】解：因为 ( ) 2 e ex x x f x − = + 的定义域为 R， ( ) ( ) ( ) 2 2 e e e ex x x x x x x f xf − − − − = = = + + ， 所以 ( )f x 为偶函数，其图象关于 y轴对称，故排除 C，D； 当 x 趋近于+时，ex 趋近于+， 2x 趋近于+， e x− 趋近于 0， 但是ex 比 2x 增长速度快得多，所以 2 e ex x x −+ 趋近于 0，故排除 A． 故选：B. 3．已知函数 ( ) 1 1 2e e 1 x x f x + + = + 的图像与过点 ( )1,1− 的直线有 3 个不同的交点 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ， 3 3( , )x y ，则 ( ) ( ) 2 2 1 2 3 1 2 3x x x y y y+ + + + + =（ ） A．8 B．10 C．13 D．18 【答案】D 【分析】分析函数 ( )f x 的对称性，再借助对称性的性质计算作答. 【详解】函数 ( ) 1 1 2e e 1 x x f x + + = + 定义域为 R，且 ( ) 0 0 2e 1 1 e 1 f − = = + ，即点 ( )1,1− 在函数图象 上， Rx  ， 2e 2e 2 2e 2 e 1 e ( 1 ) ( 1 1 e ) e 1 1 x x x x x x x f x f x − − − − + − + = + = + = + + + + ，因此，函数 ( )f x 的图 象关于点 ( )1,1− 对称， 依题意，不妨令 2 21, 1x y= − = ，则点 ( )1 1,x y 与 ( )3 3,x y 关于点 ( )1,1− 对称，即 1 3 2x x+ = − 且 1 3 2y y+ = ， 所以 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 ( 3) 3 18x x x y y y+ + + + + = − + = . 故选：D 【点睛】结论点睛：函数 ( )y f x= 的定义域为 D， x D  ，存在常数 a，b使得 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 ( ) ( ) 2f a x f a x b− + + = 或者 ( ) ( )2 2f a x f x b− + = ，则函数 ( )y f x= 图象关于点 ( ),a b 对称. 4．某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化，开展了以核心价值观为主题的系列宣传 活动，并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索. 此后，该网站的点击量每 月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的（ ） A．2倍以上，但不超过3倍 B．3倍以上，但不超过4倍 C．4倍以上，但不超过5倍 D．5倍以上，但不超过6倍 【答案】D 【分析】设第一个月的点击量为 1，则根据题意求出 4 个月后点击量，从而可得答案. 【详解】设第一个月的点击量为 1,则 4 个月后点击量 4 81(1 50%) (5,6) 16 y = + =  ， 所以该网站的点击量和原来相比，增长为原来的 5 倍以上，但不超过 6 倍． 故选：D． 5．设函数 2 , 0 ( ) 1, 0 x x f x x − =   ，则满 ( ) ( )1 2f x f x+  的 x的取值范围是（ ） A． ( , 1]− − B． (0, )+ C． ( 1,0)− D． ( ,0)− 【答案】D 【分析】首先画图，再根据函数的单调性，列式求 x 的取值范围. 【详解】由条件画图可得， 可知， 2 0 2 1 x x x    + ，解得： 0x  . 故选：D 6．用 { ,min a b，}c 表示 a，b，c 三个数中的最小值.设函数 ( )  ( )2 , 1,9 0xf x min x x x= + −  ， 则函数 ( )f x 的最大值为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 【分析】在同一坐标系内画出三个函数 9y x= − ， 1y x= + ， 2xy = 的图象，以此确定出 函数 ( )f x 图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值． 【详解】 ( )  ( )2 , 1,9 0xf x min x x x= + −  如图所示： 则 ( )f x 的最大值为 1y x= + 与 9y x= − 交点的纵坐标， 由 1 9 y x y x = + = −    ，得 ( )4,5A 即当 4x = 时， 5y = ． 故选 B． 【点睛】本题考查了函数的概念、图象、最值问题.利用了数形结合的方法.关键是通过 题意得出 ( )f x 的简图． 7．（多选）若对于函数 ( )f x 定义域内的任意一个自变量 1x 都存在唯一个自变量 2 x ，使 得 1 2( ) ( ) 3f x f x = 成立的函数是（ ） A． ( ) 3f x x= B． 1( ) 3xf x += C． 3 ( ) 3f x x x = + D． 3 ( )f x x = 【答案】BD 【分析】先化简原式为 1 2( ) ( ) 9f x f x = ，将选项中的函数逐一代入整理，定义域内再判断 该等式是否能成立，即得结果. 【详解】由 1 2( ) ( ) 3f x f x = 知， 1 2( ) ( ) 9f x f x = . 选项 A 中， ( ) 3f x x= ，定义域为 R，代入已知式即 1 29 9x x = ，即 1 2 1=x x ，取 1 0x = 时， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 不存在 2x R 使得 1 2 1=x x ，故该函数不满足题意； 选项B中， 1( ) 3xf x += ，定义域为R，代入已知式即 1 21 13 3 9x x+ + = ，即 1 23 1x x+ = ，即 1 2 0x x+ = ， 任意一个自变量 1 Rx  都存在唯一个自变量 2 1x x R= −  ，使得 1 2 0x x+ = ，故该函数满 足题意； 选项 C 中， 3 ( ) 3f x x x = + 定义域为 ( ) ( ),0 0,−  + ，代入已知式即 1 2 1 2 3 3 9 3 3x x x x    + +     =  ，即 1 2 1 2 1 1 1x x x x    + +     =  ， 对勾函数 1 y x x = + 是奇函数，当 0x  时，且在 ( )0,1 上递减，在 ( )1,+ 上递增，值域为  )2, + ，根据对称性知 0x  时值域为 ( , 2− − ， 即函数 (   ) 1 , 2 2,y x x = +  − − + ， 取 1 > 0x 时，  )1 1 1 2,x x +  + ，要使 1 2 1 2 1 1 1x x x x    + +     =  ，则 2 2 1 1 11 1 0 21 ,x x x x   + =    + ，而 1 y x x = + 值域 (   ), 2 2,− − + ，定义域内不存在 2x 使 2 2 1 0, 2 1 x x   +     ， 即不存在 2x 使得 1 2 1 2 1 1 1x x x x    + +     =  ，故该函数不满足题意； 选项 D 中， 3 ( )f x x = ，定义域为 ( )0, + ，代入已知式即 1 2 3 3 9 x x  = ，即 1 2 1 1 1 x x  = ， 即 1 2 1=x x ，对任意正实数 1x ，都存在其倒数为 2 1 1 x x = ，使得 1 2 1=x x ，故该函数满足题 意. 故选：BD . 【点睛】关键点点睛： 本题解题关键在于将函数代入 1 2( ) ( ) 9f x f x = 后得到 1 2,x x 的关系式，在定义域内任意取 1 x 时是否存在 2x 使恒等式成立，可借助于值域突破难点. 8．已知函数 2 1 ( ) 2 1 x x a f x  − = + ，a为实数．若对于任意的 1x  ，都有1 ( ) 3f x  ，则 a的 取值范围为________． 【答案】2 3a  【分析】将问题为 2 1 1 3 2 1 x x a  −   + 在 [1, )x + 上恒成立，进一步转化为 1 22 1 2 3x xa− −+   + 在 [1, )x + 上恒成立，即可求参数范围. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 【详解】由 2 1 1 3 2 1 x x a  −   + 在 [1, )x + 上恒成立，且2 1 0x +  ， 所以 ( 1)2 2 0 2 1 ( 3)2 4 0 2 1 x x x x a a  − −  +  − −   + ，即 1 2 ( 1)2 1 ( 3)2 1 x x a a − −  −   −  ， 则 1 22 1 2 3x xa− −+   + 在 [1, )x + 上恒成立，而 12 1 (1,2]x− +  ， 22 3 (3,5]x− +  ， 所以2 3a  . 故答案为：2 3a  9．函数 ( )f x 是定义在R 上的偶函数，且当 0x  时， ( )( ) 1xf x a a=  ．若对任意的  0,2 1x t + ，均有 ( )   3 ( )f x t f x+  ，则实数 t 的取值范围是________． 【答案】 1 4 , 2 9   − −    . 【分析】根据函数 ( )f x 为偶函数，且在 )0, + 单调递增，转化为 3x t x+  对任意  0,2 1x t + 恒成立，进而可得结果. 【详解】∵ ( )f x 是定义在R 上的偶函数，且当 0x  时， ( )( ) 1xf x a a=  ， ∴ ( )( ) 1xf x a a=  ，则  ( ) ( ) 33 3 ( ) 3 x x f x a a f x= = = ， 则 ( )   3 ( )f x t f x+  等价于 ( ) ( )3f x t f x+  ， 当 0x  时 ( )f x 为增函数，则 3x t x+  ，即 2 28 2 0x tx t− −  对任意  0,2 1x t + 恒成立， 设 ( ) 2 28 2g x x tx t= − − ，则 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 2 1 0 27 30 8 0 g t g t t t   −    +  + +   ，解得 2 4 3 9 t−   − ，又 2 1 0t +  ，所以 1 4 2 9 t−   − . 故答案为： 1 4 , 2 9   − −    . 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为 3x t x+  对任意  0,2 1x t + 恒成立. 10．已知 ( ) ( 2 )( 3), ( ) 2 2= − + + = −xf x m x m x m g x ，若同时满足条件：① , ( ) 0  x R f x 或 ( ) 0g x  ；② ( , 4), ( ) ( ) 0  − − x f x g x .则 m的取值范围是________________. 【答案】 ( )4, 2 − −m 【详解】根据 ( ) 2 2 0xg x = −  可解得 x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致 f(x)在 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 1x  是必须是 ( ) 0f x  ，当 m=0 时， ( ) 0f x = 不能做到 f(x)在 1x  时 ( ) 0f x  ，所以舍 掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故 m<0,且此时 2 个根为 1 22 , 3x m x m= = − − ， 为保证条件成立，只需 1 2 2 1 3 1 x m x m =  = − −     1 2 4 m m       − ，和大前提 m<0 取交集结果为 4 0m−   ； 又由于条件 2 的限制， ( ) 0, ( , 4)g x x  − − ， 可分析得出在 ( , 4), ( ) 0x f x  − −  ， 因此-4 应该在两个根之间，当 ( 1,0)m − 时， 3 4 2m m− −  −  ，解得交集为空，舍． 当 m=-1 时，两个根同为 2− ，舍． 当 ( 4, 1)m − − 时，2 4 3m m −  − − ，解得 2m  − ，所以 ( 4, 2)m − − 综上所述， ( 4, 2)m − − ． 【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉 及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想． 11．（1）求值： ( ) ( ) 31 4 0.54 3 442 2 2 0.01 −  + − −   ； （2）已知 1 1 2 2 2x x − + = ，求 2 2 1 x x x x − − + + 的值. 【答案】（1）0；（2）1 【分析】（1）根据指数的运算即可求出答案；（2）先将 1 1 2 2 2x x − + = 两边平方可求得 1 2x x−+ = ，再将 1 2x x−+ = 两边平方可求得 2 2 2x x−+ = ，最后相除可求结果. 【详解】（1）原式= 3 1 3 1 4 24 4 4 22 2 2 (10 )  − − + − ， = 32 2 10 0+ − = ； （2）由 1 1 2 2 2x x − + = 平方得 1 1 2x x−+ = ， 由 1 1 2x x−+ = 平方得 2 2 2x x−+ = ， 2 2 1 1 1 x x x x − − − +  = + . 12．已知奇函数 ( )f x 和偶函数 ( )g x 满足 ( ) ( ) 2xf x g x+ = . (1)求 ( )f x 和 ( )g x 的解析式； (2)若对于任意的  1 1,3x  ，存在  2 1,3x  ，使得 ( ) ( )1 2g x kf x= ，求实数 k 的取值范围. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 【答案】(1) ( ) 2 2 2 x x f x −− = ， ( ) 2 2 2 x x g x −+ = ； (2) 65 5 , 63 3       . 【分析】(1)根据已知条件再用－x替换 x再构造一个关于 ( )f x 、 ( )g x 的方程，与已知 方程联立即可求得答案； (2)设 A= ( ) |1 3g x x  ，B= ( ) |1 3kf x x  ，由题可知 A B ，列出不等式组即可求 出 k的范围． 【详解】（1）由题可知， ( ) ( )f x f x− = − ， ( ) ( )g x g x− = ， ( ) ( ) 2xf x g x+ = ，① 故 ( ) ( ) 2 xf x g x −− + − = ，即 ( ) ( ) 2 xf x g x −− + = ，② ①和②联立解得， ( ) 2 2 2 x x f x −− = ， ( ) 2 2 2 x x g x −+ = ； （2）设 A= ( ) |1 3g x x  ， 令  2 2,8x t=  ，则 ( ) 2 2 2 x x g x −+ = 化为 1 2 y t t + = ， 易知 1 2 y t t + = 在  2,8t 上单调递增，故 ( ) min 1 2 52 2 4 g x + = = ， ( ) max 1 8 658 2 16 g x + = = ， 故 5 65 , 4 16 A   =     ； 设 B= ( ) |1 3kf x x  ， 令  2 2,8x t=  ，则 ( ) 2 2 2 x x f x −− = 化为 1 2 y t t − = ， 易知 1 2 y t t − = 在  2,8t 单调递增，故 ( ) min 1 2 32 2 4 f x − = = ， ( ) max 1 8 638 2 16 f x − = = 则  1,3x 时， ( ) 3 63 , 4 16 f x       ． 若对于任意的  1 1,3x  ，存在  2 1,3x  ，使得 ( ) ( )1 2g x kf x= ， 则 A B ，则显然 k＞0，则 B= 3 63 , 4 16 k k       ， 则 5 65 3 63 , , 4 16 4 16 k k             ， 则 3 5 4 4 65 63 16 16 k k       ，解得 65 5 , 63 3 k       ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 09 指数函数重难点专题 常考结论及公式 结论一：指数函数图象的对称规律 函数 xy a= 的图象与 xy a−= 的图象关于 y 轴对称， xy a= 的图象与 xy a= − 的图象 关于 x 轴对称， xy a= 的图象与 xy a−= − 的图象关于坐标原点对称. 结论二： 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数① xy a= ，② xy b= ，③ xy c= ，④ xy d= 的图象，底数 , , ,a b c d 与 1 之间的大小关系为 1 0c d a b     .由此我们可得到以下规律：在第一象 限内，指数函数 ( 0, 1)xy a a a=   的图象越高，底数越大. 结论三：指数型函数的图象 （1）函数 ( 0 1)x by a a a+=  且 的图象，可由指数函数 xy a= 的图象向左 ( 0)b  或向右 ( 0)b  平移 | |b 个单位长度而得到； （2）函数 ( 0 1)xy a b a a= +  且 的图象，可由指数函数 xy a= 的图象向上 ( 0)b  或 向下 ( 0)b  平移 | |b 个单位长度而得到； （3）函数 | |( 0 1)xy a a a=  且 的图象关于 y 轴对称，当 0x 时，其图象与指数函数 xy a= 的图象相同；当 0x  时，其图象与 0x 时其图象关于 y 轴对称. 结论四：比较幂的大小的方法 （1）同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较; （2）指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当 x 取相同指 数时可观察出函数值的大小. （3）底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较， 或借助“1”与两数比较. 结论五：指数不等式的常见类型及其求解方法 （1） ( ) ( )f x g xa a 或 ( ) ( )f x g xa a 型. 解法： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x g x a a a f x g x      或 0 1 ( ) ( ) a f x g x     . 1 ① ② ③ ④ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x g x a a a f x g x      或 0 1 ( ) ( ) a f x g x     . （2）形如 xa b 的不等式，注意将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助于函 数 xy a= 的单调性求解. 题型一 幂的大小比较 【例 1】比较下列各组数的大小： （1）1.52.5和 1.53.2； （2） 5 63 11       与 5 68 33       ； （3）1.50.3和 0.81.2. 【跟踪训练 1】（多选）下列各式比较大小，正确的是（ ） A．1.72.5＞1.73 B． 2 4 3 3 1 ( ) 2 2 −  C．1.70.3＞0.93.1 D． 23 34 2 3 ( ) ( ) 3 4  题型二 指数函数的三要素相关的问题 【例 2】若定义在实数集 R 上的函数 ( )f x 满足： ( )3, 1x − − 时， ( )1 exf x+ = ，对 任意 xR ，都有 ( ) ( )2 1f x f x+  = 成立，则 ( )2019f 等于（ ） A． 2e B． 2e− C． e D．1 【跟踪训练 2】函数 21 6xy −= − 的定义域和值域分别为（ ） A． (0,2], [0,1)x y  B． ( ,2], [0,1)x y −  C． (0,2], [0,1)x y  D． ( ,2], (0,1]x y −  重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型三 与指数型函数有关的最值问题 【例 3】函数 ( )  ( ) 43 4 2 40 0,3 4 5 2 13 x x x x f x x + + + =  +  + 的值域是（ ） A． 40 28 , 13 9       B． 40 59 , 13 19       C． 40 65 , 13 21       D． 40 31 , 13 10       【跟踪训练 3】已知函数 1 ( ) 1 x x a f x a + = − （ 0a  ，且 1a  ）. （1）求函数的定义域和值域； （2）讨论函数的单调区间. 题型四 指数型函数的单调性 【例 4】已知 (3 1) 4 , 1 ( ) { , 1x a x a x f x a x − +  =  是 ( , ) − + 上的减函数，那么a 的取值范围 是__________． 【跟踪训练 4】（1）已知函数 2 6 17 1 2 x x y − +   =     ． ①求函数的定义域、值域； ②确定函数的单调区间． （2）画出函数 | 1|2 xy −= 的图象，并依据图象指出它的相关性质． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型五 指数型函数的图象问题 【例 5】已知函数 ( ) ( )2f x x a b x ab= − + + 满足 ( )1 0f  （其中0 a b  ），则函数 ( ) 1xg x a b= + − 的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练 5】函数 ( )f x 的图像如图所示, 则其解析式可能是（ ） A． ( ) ( )( ) 5 4 e 1 1x x f x x − = − − B． ( ) ( )( ) 5 4 e 2 1x x f x x − = − − C． ( ) ( )e 1x x f x x = − D． ( ) ( ) 5 4 1 x f x x x − = − 题型六 与指数函数相关的实际问题 【例 6】我们知道比较适合生活的安静环境的声强级L（噪音级）为30 ~ 40dB，声强 I （单位： 2W/m ）与声强级 L（单位：dB）的函数关系式为 10aLI b=  （a ，b 为常数）．某 型号高铁行驶在无村庄区域的声强为 5.2 210 W/m− ，声强级为68dB，驶进市区附近降低 速度后的声强为 6.5 210 W/m− ，声强级为55dB，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到 安静环境要求，则声强的最大值为（ ） A． 9 210 W/m− B． 8 210 W/m− C． 7 210 W/m− D． 6 210 W/m− 【跟踪训练 6】专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始 累计时间 t（单位：天）与病情爆发系数 ( )f t 之间，满足函数模型： 0.22( 50)1 1 ( ) t f t e− − = + ， 当 ( ) 0.1f t = 时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时 t 约为（ ） (参考数据： 1.1 3e  ) A．38 B． 40 C．45 D．47 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型七 解指数型不等式 【例 7】不等式 2 2 23 3x ax x a+ + − 恒成立，则 a 的取值范围是_________． 【跟踪训练 7】已知函数 ( ) 3 3x xf x k −= +  为奇函数． (1)求实数 k 的值； (2)若关于 x 的不等式 2 2 2(9 1) (1 3 ) 0ax x axf f− −− + −  只有一个整数解，求实数a 的取值 范围． 题型八 指数函数的综合应用问题 【例 8】已知函数 )( 1 1 2 1x f x x= + + + ，若 )( )(4 1 2 3x xf m f m + + −  对任意 0x  恒成 立，则实数m 的最小值为（ ） A． 3 2 B． 2 2 C． 3 1 2 − D． 2 1 2 − 【跟踪训练 8】已知函数 ( ) 2 4 2 2 2 x a x x f x x x −  +  =    ，若对任意的  )1 2,x  + ，都存在唯一的 ( )2 ,2x  − ，满足 ( ) ( )2 1f x f x= ，则实数a 的取值范围是______． 课后突破训练 1．已知 4 3 2021 1 2021 1 a + = + ， 5 4 2021 1 2021 1 b + = + ，则a 与b 之间的大小关系是（ ） A． a b B．a b C．a b= D．无法比较 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 2．函数 ( ) 2 e ex x x f x − = + 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 ( ) 1 1 2e e 1 x x f x + + = + 的图像与过点 ( )1,1− 的直线有 3 个不同的交点 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ， 3 3( , )x y ，则 ( ) ( ) 2 2 1 2 3 1 2 3x x x y y y+ + + + + =（ ） A．8 B．10 C．13 D．18 4．某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化，开展了以核心价值观为主题的系列宣传 活动，并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索. 此后，该网站的点击量每 月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的（ ） A．2倍以上，但不超过3倍 B．3倍以上，但不超过4倍 C．4倍以上，但不超过5倍 D．5倍以上，但不超过6倍 5．设函数 2 , 0 ( ) 1, 0 x x f x x − =   ，则满 ( ) ( )1 2f x f x+  的 x的取值范围是（ ） A． ( , 1]− − B． (0, )+ C． ( 1,0)− D． ( ,0)− 6．用 { ,min a b，}c 表示 a，b，c 三个数中的最小值.设函数 ( )  ( )2 , 1,9 0xf x min x x x= + −  ， 则函数 ( )f x 的最大值为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 7．（多选）若对于函数 ( )f x 定义域内的任意一个自变量 1x 都存在唯一个自变量 2 x ，使 得 1 2( ) ( ) 3f x f x = 成立的函数是（ ） A． ( ) 3f x x= B． 1( ) 3xf x += C． 3 ( ) 3f x x x = + D． 3 ( )f x x = 8．已知函数 2 1 ( ) 2 1 x x a f x  − = + ，a为实数．若对于任意的 1x  ，都有1 ( ) 3f x  ，则 a的 取值范围为________． 9．函数 ( )f x 是定义在R 上的偶函数，且当 0x  时， ( )( ) 1xf x a a=  ．若对任意的  0,2 1x t + ，均有 ( )   3 ( )f x t f x+  ，则实数 t 的取值范围是________． 10．已知 ( ) ( 2 )( 3), ( ) 2 2= − + + = −xf x m x m x m g x ，若同时满足条件：① , ( ) 0  x R f x 或 ( ) 0g x  ；② ( , 4), ( ) ( ) 0  − − x f x g x .则 m的取值范围是________________. 11．（1）求值： ( ) ( ) 31 4 0.54 3 442 2 2 0.01 −  + − −   ； （2）已知 1 1 2 2 2x x − + = ，求 2 2 1 x x x x − − + + 的值. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 12．已知奇函数 ( )f x 和偶函数 ( )g x 满足 ( ) ( ) 2xf x g x+ = . (1)求 ( )f x 和 ( )g x 的解析式； (2)若对于任意的  1 1,3x  ，存在  2 1,3x  ，使得 ( ) ( )1 2g x kf x= ，求实数 k 的取值范围.