08 函数的奇偶性重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 08 函数的奇偶性重难点专题 常考结论及公式 结论一：奇偶性的五个重要结论 （1）如果一个奇函数 ( )f x 在原点处有定义，即 (0)f 有意义，那么一定有 (0) 0f = ； （2）如果函数 ( )f x 是偶函数，那么 ( ) ( ) (| |)f x f x f x= − = ； （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 ( ) 0f x = ，x D ， 定义域D是 关于原点对称的非空数集； （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有 相反的单调性； （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为 相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为 相反数. 结论二：周期性的常用结论 设函数 ( ), , 0y f x x R a=   . （1）若 ( ) ( )f x a f x a+ = − ，则函数的周期为2a； （2）若 ( ) ( )f x a f x+ = − ，则函数的周期为2a； （3）若 ( ) ( 0, ) ( ) k f x a k k R f x + =   ，则函数的周期为2a； （4）若 1 ( ) ( ) 1 ( ) f x f x a f x − + = + ，则函数的周期为2a； （5）若 ( )f x 关于 x a= 与 x b= 对称，则函数的周期为2| |a b− ； （6）若 ( )f x 关于 ( ),0a 与 ( ),0b 对称，则函数的周期为2| |a b− ； （7）若 ( )f x 关于 x a= 与 ( ),0b 对称，则函数的周期为4| |a b− ； 结论三：对称性的几个常见结论 （1）若函数 ( )y f x a= + 是偶函数，即 ( ) ( )f a x f a x+ = − ，则函数 ( )y f x= 的图象 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 关于直线 x a= 对称； （2）若对于R上的任意 x 都有 (2 ) ( )f a x f x− = 或 (2 ) ( )f a x f x+ = − ，则函数 ( )y f x= 的图象关于直线 x a= 对称； （3）若函数 ( )y f x b= + 是奇函数，即 ( ) ( ) 0f x b f x b− + + + = ，则函数 ( )y f x= 的 图象关于点 ( ,0)b 对称； （4）若 ( ) ( ) 2f a x f b x c+ + − = 恒成立，则 ( )y f x= 的图象关于点 ( , ) 2 2 a b c+ 对称. 题型一 函数奇偶性的定义与判断 【例 1】（多选）已知函数 ( )f x ， ( )g x 均为定义在R 上的奇函数，且 ( ) 0f x  ， ( ) 0g x  ， 则（ ） A． ( ) ( )f x g x+ 是奇函数 B． ( ) ( )f x g x− 是奇函数 C． ( ) ( )f x g x 是偶函数 D． ( ) ( )f x g x 是偶函数 【答案】ABC 【分析】根据题意，函数 ( )f x ， ( )g x 均为定义在R 上的奇函数，利用奇偶函数的定义， 可以依次判断 ABC 正确，可以证明 D 是奇函数，故 D 错误. 【详解】因为函数 ( )f x ， ( )g x 均为定义在R 上的奇函数，所以 ( ) ( )f x f x− = − ， ( ) ( )g x g x− = − ， 对于 A 选项，设 ( ) ( ) ( )F x f x g x= + ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x f x g x F x− = − + − = − − = − ， 所以 ( ) ( )f x g x+ 为奇函数，故 A 正确； 对于 B 选项，设 ( ) ( ) ( )F x f x g x= − ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x f x g x F x− = − − − = − + = − ， 所以 ( ) ( )f x g x− 为奇函数，故 B 正确； 对于 C 选项，设 ( ) ( ) ( )F x f x g x= ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x f x g x F x− = − − = − − =   ， 所以 ( ) ( )f x g x 为偶函数，故 C 正确； 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 对于 D 选项，设 ( ) ( ) ( )F x f x g x= ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x f x g x F x− = − − = − − = − ， 所以 ( ) ( )f x g x 是奇函数，故 D 错误. 故选：ABC. 【跟踪训练 1】（多选）下列判断正确的是（ ） A． ( ) ( ) 1 1 1 x f x x x + = − − 是偶函数 B． ( ) 2 2 , 0 , 0 x x x f x x x x  +  =  − +  是奇函数 C． ( ) 2 23 3f x x x= − + − 是奇函数 D． ( ) 21 3 3 x f x x − = + − 是非奇非偶函数 【答案】BC 【分析】判断函数的奇偶性应先求函数的定义域，若定义域不关于“0”对称，则函数非 奇非偶； 若定义域关于“0”对称，再看 ( )f x 与 ( )f x− 是相等还是互为相反数，确定函数的奇偶性. 【详解】对于 A，由 1 0 1 x x +  − 且1 0x−  ，得 1 1x−   ， 则 ( )f x 的定义域不关于原点对称， 所以函数 ( )f x 为非奇非偶函数，故 A 错误; 对于 B，函数 ( )f x 的定义域关于原点对称，当 x>0 时， 0x−  ， ( ) ( ) ( ) 22 0f x f x x x x x+ − = − + + − − = ， 当 x<0 时，也有 ( ) ( ) 0f x f x+ − = ，所以 ( )f x 为奇函数，故 B 正确; 对于 C，由 23 0x−  且 2 3 0x −  ，得 2 3x = ，即 3x =  ， ( )f x 的定义域关于原点对称，此时 ( ) 0f x = ， 所以 ( )f x 既是奇函数又是偶函数，故 C 正确; 对于 D，由 21 0x−  且 3 3 0x+ −  ，得 1 1x−   且 x≠0， ( )f x 的定义域关于原点对称，因为 ( ) 2 21 1 3 3 x x f x xx − − = = + − ， ( ) ( ) 21 x x f x f x− = = − − − ，所以函数 ( )f x 为奇函数，故 D 错误. 故选:BC. 题型二 由奇偶性求解析式 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【例 2】已知函数 ( ) 2 2 2021 2022 , 0 , 0 x x x f x ax bx x  +  =  +  为奇函数，则a b+ =（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用函数是奇函数得到 ( ) ( )f x f x− = − ，然后利用方程求解a ，b ，则答案可求． 【详解】解：函数 2 2 2021 2022 , 0 ( ) , 0 x x x f x ax bx x  + =  +  为奇函数， 当 0x  时， 0x−  ，所以 2 2 2( ) (2021 2022 ) 2021 2022f x ax bx x x x x− = − = − + = − − ， 所以 2021a = − ， 2022b = ， 故 2021 2022 1a b+ = − + = ． 故选：C. 【跟踪训练 2】已知函数 ( )f x 是定义在 R上的奇函数，当 (0, )x + 时， ( ) 2 3 2f x x ax a= + + − . （1）求 ( )f x 的解析式； （2）若 ( )f x 是 R上的单调增函数，求实数 a的取值范围. 【答案】（1） ( ) 2 2 3 2 , 0 0, 0 3 2 , 0 x ax a x f x x x ax a x  + + −   = = − + − +  ；（2） 3 0, 2       【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式； （2）由分段函数解析式知，函数在 R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴 和最值可得参数范围．即 0x  时要是增函数，且端点处函数值不小于 0. 【详解】（1）因为函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 ( )0 0f = ， 当 0x  时， 0x−  ，则 ( ) ( ) ( ) 2 3 2f x x a x a− = − + − + − ( )2 3 2x ax a f x= − + − = − ， 所以 ( ) ( )2 3 2 0x ax af x x= − + − +  ， 所以 ( ) 2 2 3 2 , 0 0, 0 3 2 , 0 x ax a x f x x x ax a x  + + −   = = − + − +  . （2）若 ( )f x 是 R 上的单调增函数，且 ( )0 0f = ，则实数a 满足 0 2 3 2 0 a a  −    −  ，解得 3 0 2 a  ， 所以实数 a 的取值范围是 3 0, 2       . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调， 则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系，考查学生的分析能力， 属于较难题. 题型三 抽象函数的奇偶性 【例 3】已知 ( )4y f x= + 是定义域为R 的奇函数， ( )2y g x= − 是定义域为R 的偶函数， 且 ( )y f x= 与 ( )y g x= 的图象关于 y 轴对称，则（ ） A． ( )y f x= 是奇函数 B． ( )y g x= 是偶函数 C． ( )y f x= 关于点 ( )2,0 对称 D． ( )y g x= 关于直线 4x = 对称 【答案】A 【分析】根据函数 ( )4y f x= + ， ( )2y g x= − 的奇偶性可推出 ( )y f x= 以及 ( )y g x= 的 对称性，结合 ( )y f x= 与 ( )y g x= 的图象关于 y 轴对称，推出 ( )y f x= 的奇偶性以及对 称性，判断 A,C;同理推得 ( )y g x= 的奇偶性以及对称性，判断 B,D. 【详解】由于 ( )4y f x= + 是定义域为R 的奇函数，则 ( )y f x= 的图象关于 (4,0)成中心 对称， ( )2y g x= − 是定义域为R 的偶函数，则 ( )y g x= 的图象关于 2x = − 对称， 因为 ( )y f x= 与 ( )y g x= 的图象关于 y 轴对称，则 ( )y f x= 的图象关于 2x = 对称， 又 ( )y f x= 的图象关于 (4,0)成中心对称，则 ( )y f x= 的图象关于 (0,0)成中心对称， 故 ( )y f x= 为奇函数，A 正确； 因为 ( )y f x= 为奇函数，故 ( ) ( )f x f x− = − ， 由 ( )y f x= 与 ( )y g x= 的图象关于 y 轴对称，可得 ( ) ( ), ( ) ( )f x g x g x f x= − = − ， 故 ( ) ( ) ( ) ( )g x f x f x g x− = = − − = − ，故 ( )y g x= 为奇函数，B 错误； 由 A 的分析可知 ( )y f x= 的图象关于 2x = 对称，故 C 错误； 由 A 的分析可知 ( )y f x= 的图象关于 (4,0)成中心对称， ( )y f x= 为奇函数， 则 ( )y f x= 的图象也关于( 4,0)− 成中心对称， 而 ( )y f x= 与 ( )y g x= 的图象关于 y 轴对称， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 则 ( )y g x= 的图象关于 (4,0)成中心对称，故 D 错误， 故选：A 【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性以及对称性的应用，对抽象函数的性质的考查能 较好地反映学生的思维能力和数学素养，解答时要注意综合应用函数性质的相关知识解 答. 【跟踪训练 3】（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数 就以其名命名，其解析式为 1, ( ) 0, x D x x  =   是有理数 是无理数 ，关于函数 ( )D x 有以下四个命题，其 中真命题是（ ） A．函数 ( )D x 是奇函数 B． ,x y R， ( ) ( ) ( )D x y D x D y+ = + C．函数 ( ( ))D D x 是偶函数 D． x R， ( ( )) 1D D x = 【答案】CD 【分析】根据自变量 x 是有理数和无理数进行讨论，可判定 A、C、D，举特例根据 1x = 和 3x = 可判断 B 即可得到答案. 【详解】对于 A，当 x 为有理数时，则 x− 为有理数， 则 ( ) ( ) 1D x D x− = = ． 当 x 为无理数时，则 x− 为无理数， 则 ( ) ( ) 0D x D x− = = ． 故当 xR 时， ( ) ( )D x D x− = ， ∴函数为偶函数，所以 A 错； 对于 B 中，当 1x = 是无理数， 3y = 是无理数，则 1 3x y+ = + 是无理数， 则 ( ) 0, ( ) ( ) 1 0 1D x y D x D y+ = + = + = ，则 ( ) ( ) ( )D x y D x D y+  + ，所以 B 不正确； 对于 C 中，若自变量 x 是有理数，则  ( ) (1) 1D D x D= = ， 若自变量 x 是无理数，则  ( ) (0) 1D D x D= = ，所以 ( ( )) ( ( ))D D x D D x− = ，则 ( ( ))D D x 是 偶函数，C 正确，D 正确． 故选：CD. 题型四 利用奇偶性求含参的综合问题 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【例 4】若函数 ( ) ( )( )2 1 x f x x x a = − + 为奇函数，则 =a （ ） A． 1 2 B． 2 3 C． 3 4 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义可得 ( )( ) ( )( )2 1 2 1x x a x x a x x− − − = − − − + + ，整理化简可求得 a 的值，即得答案. 【详解】由函数 ( ) ( )( )2 1 x f x x x a = − + 为奇函数，可得 ( ) ( )f x f x− = − ， 所以 ( )( ) ( )( )2 1 2 1x x a x x a x x− − − = − − − + + ， 所以 ( )( ) ( )( )2 1 2 1x x x a x x x a− − + = − − − − + ，化简得 ( ) 22 2 1 0a x− = 恒成立， 所以2 1 0a − = ，即 1 2 a = , 经验证 ( ) ( ) 2 2 1 4 1 2 1 2 x x f x x x x = = −  − +    ，定义域关于原点对称，且满足 ( ) ( )f x f x− = − ， 故 1 2 a = ； 故选:A． 【跟踪训练 4】（多选）已知函数 ( )f x x x a= − ，其中a R ，下列结论正确的是（ ） A．存在实数a ，使得函数 ( )f x 为奇函数 B．存在实数a ，使得函数 ( )f x 为偶函数 C．当 0a  时，若方程 ( ) 1 0f x − = 有三个实根，则 2a  − D．当 0a  时，若方程 ( ) ( )( )1 0f x k x k= +  有两个实根，则 2a k k=  【答案】AD 【分析】取 0a = 可判断 A；令 ( ) ( )f a f a= − ，结合 A 中结论可判断 B；分析分段函数 性质，转化为 ( ) , 1y f x y= = 有三个交点，数形结合可判断 C；转化为 ( ) ( )( ), 1 0y f x y k x k= = +  有两个交点，此时直线 ( )( )1 0y k x k= +  与 ( )y f x= 在 x a 的部分相切，可判断 D 【详解】选项 A，当 0a = 时， ( )f x x x= ，函数定义域为 R， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 ( ) | | ( )f x x x x x f x− = − − = − = − 为奇函数，故 A 正确； 选项 B，若函数 ( )f x 为偶函数，则 ( ) ( )f a f a= − ，即0 | 2 | 0a a a= −  −  = ，由 A，当 0a = 时，函数 ( )f x 为奇函数，不成立，故 B 错误； 选项 C， ( ) ( ), ( ), x x a x a f x x x a x a x x a −  = − =  −  当 x a≥ 时， 2( )y x x a x ax= − = − 在 ( , ) 2 a a 单调递减，( , ) 2 a + 单调 递增，在 2 a x = 取得这一段最小值 2 min 4 a y = − 当 x a 时， 2( )y x a x ax x= − = − 在 ( , )a− 单调递增 函数简图如图所示，若 ( ) 1 0f x − = 有三个实根，即 ( ) , 1y f x y= = 有三个交点，由图像可知两个函数不可能有三个交点，故 C 错 误； 选项 D， ( ) ( ), ( ), x x a x a f x x x a x a x x a −  = − =  −  ，若方程 ( ) ( )( )1 0f x k x k= +  有两个实根，即 ( ) ( )( ), 1 0y f x y k x k= = +  有两个交点，此时直线 ( )( )1 0y k x k= +  与 ( )y f x= 在 x a 的部分相切，即 ( ) 2( ) 1 ( ) 0x a x k x x k a x k− = +  + − + = 由 2( ) 4 0 2k a k k a k = − − =  − =  2a k k =  ，故 D 正确 故选：AD 题型五 由奇偶性解不等式 【例 5】已知函数 ( )f x 是定义在R上的奇函数，当 0x  时， ( ) ( )2 2 21 2 3 2 f x x a x a a= − + − − ， 若 ( ) ( )1f x f x−  对任意 x R 恒成立，则实数 a的取值范围为（ ） A． 1 1 6 6   −    ， B． 6 6 6 6   −     ， C． 1 1 3 3   −    ， D． 3 3 3 3   −     ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 【答案】B 【分析】根据函数在 0x  时的解析式及函数的奇偶性画出函数的图像，再根据 ( ) ( )1f x f x−  知，函数 ( )1f x− 的图像在函数 ( )f x 图像的下方，进而得关于 a的一元 二次不等式，从而得出结论. 【详解】当 0x  时， ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 3 2 x x a f x a a x a x a x a −    = −    −  ， ， ， ，由 ( )f x 是奇函数，可作出 ( )f x 的图 象如下． 又 ( ) ( )1f x f x−  对任意 x R 恒成立，所以 ( )1f x− 的图象恒在 ( )f x 的图象的下方， 即将 ( )f x 的图象向右平移 1 个单位长度后得到的图象恒在 ( )f x 的图象的下方， 如图所示，所以 2 23 1 3a a− +  ，解得 6 6 6 6 a    −     ， ． 故选：B． 【跟踪训练 5】已知偶函数 ( )f x 的定义域为R ，当  )0,x + 时， ( ) 2 1 x f x x − = + ，则 ( )1 1f x−  的解集为（ ） A． 1 3 , 2 2       B． 1 , 2   −    C． 3 , 2   +    D． 1 3 , , 2 2     − +        【答案】D 【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定 ( )f x 的单调性，结合 1 1 2 f   =    可构造 不等式求得结果. 【详解】 ( ) ( )1 32 3 1 1 1 1 xx f x x x x − + +− = = = − + + + + ， ( )f x 在 )0, + 上单调递减，又 ( )f x 为偶函数， 1 1 2 f   =    ， ( )1 1f x−  ， ( ) 1 1 1 , 1 2 2 f x f x    −  −    ，解得： 1 2 x  或 3 2 x  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 ( )1 1f x −  的解集为 1 3 , , 2 2     − +        . 故选：D. 题型六 函数奇偶性的综合应用问题 【例 6】（补充定义：已知函数 ( )y f x= 在定义域内的任意 x 都存在一个正常数T 使得 ( ) ( )f x T f x+ = 恒成立，则称 ( )y f x= 是以T 为周期的周期函数.可知若 ( )y f x= 是以 T 为周期的周期函数，有 ( ) ( ),f x kT f x k Z+ =  成立）已知函数 ( )y f x= 是 R 上的奇函数， 对任意 xR ，都有 ( ) ( ) ( )2 2f x f x f− = + 成立，当  1 2, 0,1x x  ，且 1 2x x 时，都有 ( ) ( )1 2 1 2 0 f x f x x x −  − ，有下列命题： ① ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2019 0f f f f+ + + + = ； ②直线 5x = − 是函数 ( )y f x= 图象的一条对称轴； ③函数 ( )y f x= 在 7,7− 上有5个零点； ④函数 ( )y f x= 在 7, 5− − 上为减函数； 则结论正确的有_________ 【答案】①②④ 【分析】由题意分析 ( )f x 的对称性 、单调性、周期性，对结论逐一判断 【详解】根据题意，函数 ( )y f x= 是 R 上的奇函数，则 (0) 0f = ； 对任意 xR ，都有 (2 ) ( ) (2)f x f x f− = + 成立，当 2x = 时，有 (0) 2 (2) 0f f= = ，则有 (2) 0f = ， 故 (2 ) ( )f x f x− = ，即 1x = 是函数 ( )f x 的一条对称轴； 又由 ( )f x 为奇函数，则 (2 ) ( )f x f x− = − − ，变形可得 ( 2) ( )f x f x+ = − ，则有 ( 4) ( 2) ( )f x f x f x+ = − + = ， 故函数 ( )f x 是周期为 4 的周期函数， 当  1 2, 0,1x x  ，且 2 2x x 时，都有 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x −  − ， 则函数 ( )f x 在区间[0 ，1]上为增函数，又由 ( )y f x= 是 R 上的奇函数， 则 ( )f x 在区间[ 1,1]− 上单调递增； 据此分析选项： 对于 A， ( 2) ( )f x f x+ = − ，则 (1) (2) (3) (4) 0f f f f+ + + = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2019 504 0 (1) (2) (3) 0f f f f f f f+ + + + =  + + + = ，故 A 正确； 对于 B， 1x = 是函数 ( )f x 的一条对称轴，且函数 ( )f x 是周期为 4 的周期函数，则 5x = 是 函数 ( )f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线 5x = − 是函数 ( )y f x= 图象的一条 对称轴，故 B 正确； 对于 C，函数 ( )y f x= 在[ 7− ，7]上有 7 个零点：分别为 6− ， 4− ， 2− ，0，2，4，6； 故 C 错误； 对于 D， ( )f x 在区间[ 1,1]− 上为增函数且其周期为 4，函数 ( )y f x= 在[ 5, 3]− − 上为增函 数，又由 5x = − 为函数 ( )f x 图象的一条对称轴，则函数 ( )y f x= 在[ 7, 5]− − 上为减函数， 故 D 正确； 故答案为：①②④． 【跟踪训练 6】已知 ( )f x 是定义在 R上的奇函数，当 0x  时， ( ) ( ) 1 2 1,0 2 1 2 , 2 2 x x f x f x x − −    =  −   有下列结论： ①函数 ( )f x 在 ( )6, 5− − 上单调递增； ②函数 ( )f x 的图象与直线 y x= 有且仅有 2 个不同的交点； ③若关于 x的方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0f x a f x a a− + + =    R 恰有 4 个不相等的实数根，则这 4 个实数根之和为 8； ④记函数 ( )f x 在 ( )*2 1,2k k k− N 上的最大值为 ka ，则 1 2 6 63 32 a a a+ + + = ． 其中所有正确结论的编号是______． 【答案】①④ 【分析】作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求 和判断选项④； 【详解】当 0x = 时， ( )0 0f = ， 若2 4x  ，则0 2 2x −  ，即 ( )31 1( ) ( 2) 2 1 2 2 x f x f x − = − = − 若4 6x  ，则2 2 4x −  ，即 ( )51 1( ) ( 2) 4 2 1 2 x f x f x − = − = − 作出函数在 0x  时的图像，如图所示， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 对于①，由图可知，函数 ( )f x 在 ( )5,6 上单调递增，由奇函数性质知，函数 ( )f x 在 ( )6, 5− − 上单调递增，故①正确； 对于②，可知函数 ( )f x 在 0x  时，图像与直线 y x= 有 1 个交点，结合函数 ( )f x 的奇 偶性知， ( )f x 的图象与直线 y x= 有 3 个不同的交点，故②错误； 对于③，设 ( )f x t= ，则关于 2[ ( )] ( 1) ( ) 0( )f x a f x a a− + + = R 的方程等价于 2 ( 1) 0t a t a− + + = ，解得： t a= 或 1t = 当 1t = 时，即 ( ) 1f x = 对应一个交点为 1 2x = ；方程恰有 4 个不同的根，可分为两种情况： （1） 1 2 t a= = ，即 ( ) 1 2 f x = 对应 3 个交点，且 2 3 2x x+ = ， 4 4x = ，此时 4 个实数根的 和为 8； （2） 1 2 t a= = − ，即 ( ) 1 2 f x = − 对应 3 个交点，且 2 3 2x x+ = − ， 4 4x = − ，此时 4 个实数 根的和为-4，故③错误； 对于④，函数 ( )f x 在  1,2 上的最大值为 ( )2 1f = ，即 1 1a = ， 由函数的解析式及性质可知，数列 na 是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列. 则数列的前 6 项和为 6 1 1 632 1 32 1 2   −     = − ，故④正确. 故答案为：①④ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 课后突破训练 1．设函数 ( )f x 的定义域为 R， ( )1f x+ 为奇函数， ( )2f x+ 为偶函数，当  1,2x 时， 2( )f x ax b= + ．若 ( ) ( )0 3 6f f+ = ，则 9 2 f   =    （ ） A． 9 4 − B． 3 2 − C． 7 4 D． 5 2 【答案】D 【分析】通过 ( )1f x+ 是奇函数和 ( )2f x+ 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ( ) 22 2f x x= − + ，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为 ( )1f x+ 是奇函数，所以 ( ) ( )1 1f x f x− + = − + ①； 因为 ( )2f x+ 是偶函数，所以 ( ) ( )2 2f x f x+ = − + ②． 令 1x = ，由①得： ( ) ( ) ( )0 2 4f f a b= − = − + ，由②得： ( ) ( )3 1f f a b= = + ， 因为 ( ) ( )0 3 6f f+ = ，所以 ( )4 6 2a b a b a− + + + =  = − ， 令 0x = ，由①得： ( ) ( ) ( )1 1 1 0 2f f f b= −  =  = ，所以 ( ) 22 2f x x= − + ． 思路一：从定义入手． 9 5 5 1 2 2 2 2 2 2 f f f f         = + = − + = −                1 3 3 5 1 1 2 2 2 2 f f f f         − = − + = − + = −                5 1 1 3 2 2 = 2 2 2 2 f f f f         − = − + = − − + −                所以 9 3 5 2 2 2 f f     = − =        ． [方法二]： 因为 ( )1f x+ 是奇函数，所以 ( ) ( )1 1f x f x− + = − + ①； 因为 ( )2f x+ 是偶函数，所以 ( ) ( )2 2f x f x+ = − + ②． 令 1x = ，由①得： ( ) ( ) ( )0 2 4f f a b= − = − + ，由②得： ( ) ( )3 1f f a b= = + ， 因为 ( ) ( )0 3 6f f+ = ，所以 ( )4 6 2a b a b a− + + + =  = − ， 令 0x = ，由①得： ( ) ( ) ( )1 1 1 0 2f f f b= −  =  = ，所以 ( ) 22 2f x x= − + ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 ( )f x 的周期 4T = ． 所以 9 1 3 5 2 2 2 2 f f f       = = − =            ． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期 性进而达到简便计算的效果． 2．已知函数 ( 1)(f x x− R) 是偶函数，且函数 ( )f x 的图像关于点 (1,0)对称，当 [ 1,1]x − 时， ( ) 1f x ax= − ，则 (2022)f =（ ） A． 1− B． 2− C．0 D．2 【答案】A 【分析】先由题给条件求得函数 ( )f x 的最小正周期为 8，再利用周期、对称轴的性质即 可求得 (2022)f 的值. 【详解】根据题意，函数 ( 1)(f x x− R) 是偶函数，则函数 ( )f x 的对称轴为 1x = − ， 则有 ( ) ( 2 )f x f x= − − ，又由函数 ( )f x 的图像关于点 (1,0)成中心对称， 则 ( ) (2 )f x f x= − − ，则有 ( 2 ) (2 )f x f x− − = − − ，则 ( 4) ( )f x f x+ = − ， 则有 ( 8) ( 4)= ( )f x f x f x+ = − + ，则函数 ( )f x 是周期为 8 的周期函数， 则 (2022) ( 2 253 8)f f= − +  ( 2) (0) 1f f= − = = − 故选：A． 3．已知偶函数 ( )f x 在[0, )+ 上单调递增，且 ( )3 0f − = ，则 ( )2 0xf x−  的解集是（ ） A． | 3 3x x−   B．{ | 1 0x x−   或 5}x  C． | 0 5x x  D．{ | 5x x  − 或 1}x  【答案】B 【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由 ( )2 0xf x−  可得到相应的不等 式组，即可求得答案. 【详解】因为 ( )f x 是偶函数且在[0, )+ 上单调递增， ( )3 0f − = ，故 ( )3 0f = ， 所以当 3x  − 或 3x  时， ( ) 0f x  ，当 3 3x−   时， ( ) 0f x  ． 所以 ( )2 0xf x−  等价于 0 2 3 2 3 x x x   −  −  − 或 或 0 3 2 3 x x   −  −  ， 解得 5x  或 1 0x−   ，所以不等式的解集为 1 0 5{ | }x x x−   或 ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 故选：B． 4．定义在 2 2− , 上的偶函数 ( )f x 在区间 0,2 上单调递减，若 ( ) ( )1f m f m−  ，则实 数 m的取值范围是（ ） A． 1 2 m  − B． 1 2 m  C． 1 1 2 m−   D． 1 2 2 m  【答案】C 【分析】由题可知 ( ) ( ) ( )f x f x f x= − = ，将 (1 ) ( )f m f m−  化为 (1 ) ( )f m f m−  ，再 根据定义域和单调性即可求解. 【详解】∵ ( )f x 是偶函数， ( ) ( ) ( )f x f x f x = − = ， 故 (1 ) ( )f m f m−  可变形为 (1 ) ( )f m f m−  ， ∵ ( )f x 在区间 0,2 上单调递减， 故 2 1 2 1 3 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 m m m m m m m m    −  −  −     −    −    −     −      . 故选：C. 5．设 , Ra b ，则“ | | | |a a b b ”是“ a b ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】构建新函数 ( )f x x x= ，可判断该函数为 R 上的奇函数且为增函数，从而可得 正确的选项. 【详解】设 ( )f x x x= ，则该函数的定义域为 R ， 且 ( ) ( )xf x f xx x x− = − = − = −− ，故函数为 R 上的奇函数， 当 0x  时， ( ) 2f x x= ，故 ( )f x 在 )0,+ 上为增函数， 故 ( )f x 为R上的增函数， 又 | | | |a a b b 时，有 ( ) ( )f a f b ，故a b ， 而当a b 时，由 ( )f x 为R 上的增函数可得 ( ) ( )f a f b 即 | | | |a a b b ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 故“ | | | |a a b b ”是“ a b ”的充要条件， 故选：D. 6．已知定义在 R 上函数 ( )f x ，对任意的  )1 2, 2017,x x  + 且 1 2x x ，都有 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− −    ，若函数 ( )2017y f x= + 为奇函数，( )( )2017 2017 0a b− −  且 4034a b+  ，则（ ） A． ( ) ( ) 0f a f b+  B． ( ) ( ) 0f a f b+  C． ( ) ( ) 0f a f b+ = D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据题意，由于  )1 2, 2017,x x  + 且 1 2x x ， ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− −    ，利 用单调性的定义得出 ( )f x 在区间 )2017,+ 上单调递减，根据函数 ( )2017y f x= + 为奇 函数，得出 ( )2017 0f = ，且根据奇函数的性质，得出 ( )f x 图象关于点 ( )2017,0 对称， 从而得出 ( )f x 在 R 上单调递减，最后根据 ( )( )2017 2017 0a b− −  且 4034a b+  ，结合 单调性和对称性，即可得出结论. 【详解】解：由题可知，定义在 R 上函数 ( )f x ，  )1 2, 2017,x x  + 且 1 2x x ， 由于 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− −    ，则 ( )f x 在区间 )2017,+ 上单调递减， 因为函数 ( )2017y f x= + 为奇函数，则 ( ) ( )2017 2017f x f x− + = − + ， 当 0x = 时，则 ( ) ( )2017 2017f f= − ，即 ( )2017 0f = ， 又因为 ( )2017y f x= + 图象关于原点 ( )0,0 对称，则 ( )f x 图象关于点 ( )2017,0 对称， 所以， ( )f x 在 R 上单调递减， 因为 ( )( )2017 2017 0a b− −  设a b ，则 2017, 2017a b  ， 则有 ( ) ( )0, 0f a f b  ， 又因为 4034a b+  ，则 ( ) ( ) 0f a f b+  . 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质的综合应用，考查单调性、奇偶性、对称性的定义和 性质，考查解题运算能力. 7．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎 曼函数定义在区间[ ]0,1 上，其基本定义是： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页   1 , , , ( ) 0, 0,1 0,1 q q x p q p p pR x x    =   =     = 当 都是正整数 只是不可以再约分的真分数 当 或者 上的无理数 ，若函数 ( )f x 是定 义在 R上的奇函数，且 ( ) (2 ) 0f x f x+ − = ，当  01x ，时， ( ) ( )f x R x= ，则 10 3 3 10 f f     + =        A． 7 30 − B． 2 7 − C． 13 30 D． 13 30 − 【答案】A 【分析】由题意可知， (2 ) ( ) ( )f x f x f x− = − = − ，从而可求得函数的周期，然后结合已知 区间上的函数解析式可求． 【详解】解：由题意可知， (2 ) ( ) ( )f x f x f x− = − = − ， 故 (2 ) ( )f x f x+ = 即函数 ( )f x 的周期 2T = ， 当 [0.1]x 时， ( ) ( )f x R x= ， 则 10 3 2 3 2 1 2 2 3 10 3 10 3 10 f f f f f           + = − +  + = − +                    ， 2 1 1 1 7 3 10 3 10 30 f   = − + = − + = −    ． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用分段函数求解函数值，解题的关键是把所要求解函数的变 量利用周期转化到已知区间上，属于中档题． 8．（多选）1837 年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一个引入了现代 函数概念：“如果对于 x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么 y 是 x 的 函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函 数”： 1, ( ) 0, R x Q D x x Q  =   (Q表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ） A． ( )D x 是偶函数 B． , ( ( )) 1x R D D x  = C．对于任意的有理数 t ，都有 ( ) ( )D x t D x+ = D．不存在三个点 1 1 2 2 3 3( , ( )), ( , ( )), ( , ( ))A x D x B x D x C x D x ，使 ABC为正三角形 【答案】ABC 【分析】利用定义判断函数奇偶性，可确定 A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、 无理数的性质，判断其它三个选项的正误. 【详解】A：由 ( )D x 定义知：定义域关于原点对称，当 x Q 则 x Q−  ，当 Rx Q 则 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 Rx Q−  ，即有 ( ) ( )D x D x− = ，故 ( )D x 是偶函数，正确； B：由解析式知： , ( ) 1x R D x  = 或 ( ) 0D x = ，即 ( ( )) 1D D x = ，正确； C：任意的有理数 t ，当 x Q 时，x t Q+  即 ( ) ( )D x t D x+ = ，当 Rx Q 时， Rx t Q+  即 ( ) ( )D x t D x+ = ，正确； D：若存在 ABC为正三角形，则其高为 1，边长为 2 3 3 ，所以当 3 3 ( ,0), (0,1), ( ,0) 3 3 A B C− 时成立，错误； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性 质判断各选项的正误. 9．写出同时满足以下三个条件的一个函数 ( )f x ＝________． ① R, ( ) ( )x f x f x  − =− ； ② , R, ( ) ( ) ( )x y f xy f x f y  = ； ③ , [0, )x y  + 且 ( ) ( ) , 2 2 x y f x f y x y f + +       ． 【答案】 3x （答案不唯一） 【分析】由题可知函数为奇函数，再结合幂函数的性质即得. 【详解】∵ R, ( ) ( )x f x f x  − =− ， ∴函数 ( )f x 为奇函数，又 , R, ( ) ( ) ( )x y f xy f x f y  = ， ∴由幂函数的性质可知，函数可为 ( ) 3f x x= ，函数为奇函数， 3 3 3, R, ( ) ( ) ( ) ( )x y f xy xy x y f x f y  = = = ， 又当 ( ) 3f x x= 时， , [0, )x y  + 且 x y ， 33 3( ) ( ) 2 2 2 2 f x f y x y x y x y f + + + +    − = −        ( ) ( ) ( ) 33 3 3 3 2 24 3 3 3 8 8 x y x y x y x y xy+ − + + − − = = ( )( ) 2 3 0 8 x y x y+ − =  ，即 ( ) ( ) 2 2 x y f x f y f + +      ， ∴ ( ) 3f x x= . 故答案为： 3x . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 【点睛】本题为开放性试题，结合奇函数的概念及幂函数的性质，可得函数可为 ( ) 3f x x= ，然后证明即得. 10．设函数 ( ) ( ) 23 2 1 1 x x f x x + + = + 在区间 2 2− , 上的最大值为 M，最小值为 N，则 ( ) 2022 1M N+ − 的值为______. 【答案】1 【分析】先将函数化简变形得 ( ) 3 2 2 1 1 x x f x x + = + + ，然后构造函数 ( ) 3 2 2 1 x x g x x + + = ，可判断 ( )g x 为奇函数，再利用奇函数的性质结合 ( ) ( ) 1f x g x= + 可得 2M N+ = ，从而可求得 结果 【详解】由题意知， ( ) 3 2 2 1 1 x x f x x + = + + （  2,2x − ）， 设 ( ) 3 2 2 1 x x g x x + + = ，则 ( ) ( ) 1f x g x= + ， 因为 ( ) ( ) 3 2 2 1 x x g x g x x − − − = = − + ， 所以 ( )g x 为奇函数， ( )g x 在区间 2 2− , 上的最大值与最小值的和为 0， 故 2M N+ = ， 所以 ( ) ( ) 2022 2022 1 2 1 1M N+ − = − = . 故答案为：1 11．设 ( )y f x= 的定义域是 1,1− ，在区间 0,1 上是严格减函数；且对任意 1x ，  2 1,1x  − ， 若  1 2 1,1x x  − ，则 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22f x x f x x f x f x+ + − = ． (1)求证：函数 ( )y f x= 是一个偶函数； (2)求证：对于任意的  1,1x − ， ( ) 1f x  − ． (3)若 1 3 6 2 f   =    ，解不等式 ( ) ( )2 3 2f x f x − ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)   1 1 1 1 , , 0 . 2 3 3 2     − −          武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 【分析】（1）令 2 0x = 可得 (0) 1f = ，再令  1 20, , 1,1x x x x= =  − 代入所给条件即可求解； （2）令  1 2 , 1,1 2 x x x x= =  − ，代入所给条件即可得证； （3）原不等式可化为 22 ( ) 3 ( ) 1 0f x f x− +  ，由二次不等式解法得出 1 ( ) 2 f x  或 ( ) 1f x  ， 再由 1 3 6 2 f   =    及函数的单调性求解. （1） 令 2 0x = ，则 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) (0)f x f x f x f+ = ，即  1( ) (0) 1 0f x f − = ， 因为 ( )y f x= 的定义域是 1,1− ，在区间  0,1 上是严格减函数，所以 ( )1f x 不恒为 0， 所以 (0) 1 0f − = ，即 (0) 1f = ， 再令  1 20, , 1,1x x x x= =  − ， 则 ( ) ( ) 2 (0) ( ) 2 ( )f x f x f f x f x+ − = = ，即 ( ) ( )f x f x− = ， 所以函数 ( )y f x= 是一个偶函数. （2） 令  1 2 , 1,1 2 x x x x= =  − ， 则 ( ) ( ) 2 0 2 2 0 2 2 2 x x x f x f f f f       + = =             ， 所以 ( ) ( )0 1f x f − = − ，得证. （3） 令  1 2 , 1,1x x x x= =  − ， 则 2(2 ) (0) 2 ( )f x f f x+ = ，即 2(2 ) 2 ( ) 1f x f x= − ， 所以 21 1 1 1( ) (2 ) 2 ( ) 1 3 6 6 2 f f f=  = − = ， 由 (2 ) 3 ( ) 2f x f x − 可得 22 ( ) 1 3 ( ) 2f x f x−  − ，即 22 ( ) 3 ( ) 1 0f x f x− +  ， 解得 1 ( ) 2 f x  或 ( ) 1f x  ， 所以 1 1 ( ) ( ) 2 3 f x f = 或 ( ) 1 (0)f x f = ， 因为 ( )y f x= 在区间 0,1 上是严格减函数， 所以 1 | | 3 x  或 | | 0x  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 解得 1 3 x  或 1 3 x  − 或 0x = ， 又 1 2 1x−   ，即 1 1 2 2 x−   ， 所以 1 1 2 3 x−   − 或 1 1 3 2 x  或 0x = ， 所以不等式 ( ) ( )2 3 2f x f x − 的解集为   1 1 1 1 , , 0 . 2 3 3 2     − −          12．已知二次函数 2( ) 2f x ax bx= + − ( , )a bR ， ( ), ( 0), ( ) ( ), ( 0). f x x g x f x x  =  −  （1）若 ( 2) 0f = ，且对 x R，函数 ( )f x 的值域为 ( ,0]− ，求 ( )g x 的表达式； （2）在(1)的条件下，函数 ( ) ( )h x g x mx= − 在R 上单调递减，求实数m 的取值范围； （3）设 1 2 0x x  ， 1 2 0x x+  ， 0a  且 ( )f x 为偶函数，证明 1 2( ) ( ) 0g x g x+  【答案】（1） 2 2 2 2 2,( 0) ( ) 2 2 2, ( 0) x x x g x x x x − + −  =  − +  ；（2） 2 2m  ；（3）见解析 【分析】（1）由题意首先求得 a,b的值，据此即可确定函数 f(x)的解析式，即可确定函 数 ( )g x 的表达式； （2）由题意结合函数的解析式得到关于 m的不等式组，求解不等式组即可确定实数m 的取值范围； （3）由题意结合函数的性质可得 2 1 0x x −  ，且 2 1x x − ，据此结合函数的解析式即 可证得题中的不等式. 【详解】（1）∵ ( )2 0f = ， ∴2 2 2 0a b+ − = . 又对 x R  ，函数 ( )f x 的值域为 ( ,0− ， ∴ 2 0 8 0 a b a    = + = ，解得 1 2 2 a b = −  = ， 所以 ( ) 2 2 2 2f x x x= − + − . 即 ( ) ( )2 2 2 2 2, 0 , 2 2 2, ( 0). x x x g x x x x − + −  =  − +  （2）由（1）知 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2, 0 , 2 2 2, ( 0). x m x x h x x m x x − + − −   =  − + +   由 x R 时， ( )h x 单调递减， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 故 2 2 0 2 2 2 0 2 m m  −    +   ， 解得 2 2m  ， 所以，当 2 2m  时，函数 ( ) ( )h x g x mx= − 在 R 上单调递减. （3）证明∵ ( )f x 是偶函数，∴ ( ) 2 2f x ax= − ， 即 ( ) ( )2 2 2, 0 , 2, ( 0). ax x g x ax x  −  =  − +  因为 1 2 0x x  ，不妨令 1 2x x ，则 1 20x x  ， 又 1 2 0x x+  ，所以 2 1 0x x −  ，且 2 1x x − ， 故 ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 2 12 2 0g x g x ax ax a x x+ = − + + − = −  ， 所以 ( ) ( )1 2g x g x+ 的值大于零. 【点睛】本题主要考查函数的值域，函数的单调性的应用，二次函数的性质等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 08 函数的奇偶性重难点专题 常考结论及公式 结论一：奇偶性的五个重要结论 （1）如果一个奇函数 ( )f x 在原点处有定义，即 (0)f 有意义，那么一定有 (0) 0f = ； （2）如果函数 ( )f x 是偶函数，那么 ( ) ( ) (| |)f x f x f x= − = ； （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 ( ) 0f x = ，x D ， 定义域 D是 关于原点对称的非空数集； （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有 相反的单调性； （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为 相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为 相反数. 结论二：周期性的常用结论 设函数 ( ), , 0y f x x R a=   . （1）若 ( ) ( )f x a f x a+ = − ，则函数的周期为2a； （2）若 ( ) ( )f x a f x+ = − ，则函数的周期为2a； （3）若 ( ) ( 0, ) ( ) k f x a k k R f x + =   ，则函数的周期为2a； （4）若 1 ( ) ( ) 1 ( ) f x f x a f x − + = + ，则函数的周期为2a； （5）若 ( )f x 关于 x a= 与 x b= 对称，则函数的周期为2| |a b− ； （6）若 ( )f x 关于 ( ),0a 与 ( ),0b 对称，则函数的周期为2| |a b− ； （7）若 ( )f x 关于 x a= 与 ( ),0b 对称，则函数的周期为4| |a b− ； 结论三：对称性的几个常见结论 （1）若函数 ( )y f x a= + 是偶函数，即 ( ) ( )f a x f a x+ = − ，则函数 ( )y f x= 的图象 关于直线 x a= 对称； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （2）若对于R上的任意 x 都有 (2 ) ( )f a x f x− = 或 (2 ) ( )f a x f x+ = − ，则函数 ( )y f x= 的图象关于直线 x a= 对称； （3）若函数 ( )y f x b= + 是奇函数，即 ( ) ( ) 0f x b f x b− + + + = ，则函数 ( )y f x= 的 图象关于点 ( ,0)b 对称； （4）若 ( ) ( ) 2f a x f b x c+ + − = 恒成立，则 ( )y f x= 的图象关于点 ( , ) 2 2 a b c+ 对称. 题型一 函数奇偶性的定义与判断 【例 1】（多选）已知函数 ( )f x ， ( )g x 均为定义在R 上的奇函数，且 ( ) 0f x  ， ( ) 0g x  ， 则（ ） A． ( ) ( )f x g x+ 是奇函数 B． ( ) ( )f x g x− 是奇函数 C． ( ) ( )f x g x 是偶函数 D． ( ) ( )f x g x 是偶函数 【跟踪训练 1】（多选）下列判断正确的是（ ） A． ( ) ( ) 1 1 1 x f x x x + = − − 是偶函数 B． ( ) 2 2 , 0 , 0 x x x f x x x x  +  =  − +  是奇函数 C． ( ) 2 23 3f x x x= − + − 是奇函数 D． ( ) 21 3 3 x f x x − = + − 是非奇非偶函数 题型二 由奇偶性求解析式 【例 2】已知函数 ( ) 2 2 2021 2022 , 0 , 0 x x x f x ax bx x  +  =  +  为奇函数，则a b+ =（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 2】已知函数 ( )f x 是定义在 R上的奇函数，当 (0, )x + 时， ( ) 2 3 2f x x ax a= + + − . （1）求 ( )f x 的解析式； （2）若 ( )f x 是 R上的单调增函数，求实数 a的取值范围. 题型三 抽象函数的奇偶性 【例 3】已知 ( )4y f x= + 是定义域为R 的奇函数， ( )2y g x= − 是定义域为R 的偶函数， 且 ( )y f x= 与 ( )y g x= 的图象关于 y 轴对称，则（ ） A． ( )y f x= 是奇函数 B． ( )y g x= 是偶函数 C． ( )y f x= 关于点 ( )2,0 对称 D． ( )y g x= 关于直线 4x = 对称 【跟踪训练 3】（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数 就以其名命名，其解析式为 1, ( ) 0, x D x x  =   是有理数 是无理数 ，关于函数 ( )D x 有以下四个命题，其 中真命题是（ ） A．函数 ( )D x 是奇函数 B． ,x y R， ( ) ( ) ( )D x y D x D y+ = + C．函数 ( ( ))D D x 是偶函数 D． x R， ( ( )) 1D D x = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型四 利用奇偶性求含参的综合问题 【例 4】若函数 ( ) ( )( )2 1 x f x x x a = − + 为奇函数，则 =a （ ） A． 1 2 B． 2 3 C． 3 4 D．1 【跟踪训练 4】（多选）已知函数 ( )f x x x a= − ，其中a R ，下列结论正确的是（ ） A．存在实数a ，使得函数 ( )f x 为奇函数 B．存在实数a ，使得函数 ( )f x 为偶函数 C．当 0a  时，若方程 ( ) 1 0f x − = 有三个实根，则 2a  − D．当 0a  时，若方程 ( ) ( )( )1 0f x k x k= +  有两个实根，则 2a k k=  题型五 由奇偶性解不等式 【例 5】已知函数 ( )f x 是定义在R上的奇函数，当 0x  时， ( ) ( )2 2 21 2 3 2 f x x a x a a= − + − − ， 若 ( ) ( )1f x f x−  对任意 x R 恒成立，则实数 a的取值范围为（ ） A． 1 1 6 6   −    ， B． 6 6 6 6   −     ， C． 1 1 3 3   −    ， D． 3 3 3 3   −     ， 【跟踪训练 5】已知偶函数 ( )f x 的定义域为R ，当  )0,x + 时， ( ) 2 1 x f x x − = + ，则 ( )1 1f x−  的解集为（ ） A． 1 3 , 2 2       B． 1 , 2   −    C． 3 , 2   +    D． 1 3 , , 2 2     − +        武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型六 函数奇偶性的综合应用问题 【例 6】（补充定义：已知函数 ( )y f x= 在定义域内的任意 x 都存在一个正常数T 使得 ( ) ( )f x T f x+ = 恒成立，则称 ( )y f x= 是以T 为周期的周期函数.可知若 ( )y f x= 是以 T 为周期的周期函数，有 ( ) ( ),f x kT f x k Z+ =  成立）已知函数 ( )y f x= 是 R 上的奇函数， 对任意 xR ，都有 ( ) ( ) ( )2 2f x f x f− = + 成立，当  1 2, 0,1x x  ，且 1 2x x 时，都有 ( ) ( )1 2 1 2 0 f x f x x x −  − ，有下列命题： ① ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2019 0f f f f+ + + + = ； ②直线 5x = − 是函数 ( )y f x= 图象的一条对称轴； ③函数 ( )y f x= 在 7,7− 上有5个零点； ④函数 ( )y f x= 在 7, 5− − 上为减函数； 则结论正确的有_________ 【跟踪训练 6】已知 ( )f x 是定义在 R上的奇函数，当 0x  时， ( ) ( ) 1 2 1,0 2 1 2 , 2 2 x x f x f x x − −    =  −   有下列结论： ①函数 ( )f x 在 ( )6, 5− − 上单调递增； ②函数 ( )f x 的图象与直线 y x= 有且仅有 2 个不同的交点； ③若关于 x的方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0f x a f x a a− + + =    R 恰有 4 个不相等的实数根，则这 4 个实数根之和为 8； ④记函数 ( )f x 在 ( )*2 1,2k k k− N 上的最大值为 ka ，则 1 2 6 63 32 a a a+ + + = ． 其中所有正确结论的编号是______． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 课后突破训练 1．设函数 ( )f x 的定义域为 R， ( )1f x+ 为奇函数， ( )2f x+ 为偶函数，当  1,2x 时， 2( )f x ax b= + ．若 ( ) ( )0 3 6f f+ = ，则 9 2 f   =    （ ） A． 9 4 − B． 3 2 − C． 7 4 D． 5 2 2．已知函数 ( 1)(f x x− R) 是偶函数，且函数 ( )f x 的图像关于点 (1,0)对称，当 [ 1,1]x − 时， ( ) 1f x ax= − ，则 (2022)f =（ ） A． 1− B． 2− C．0 D．2 3．已知偶函数 ( )f x 在[0, )+ 上单调递增，且 ( )3 0f − = ，则 ( )2 0xf x−  的解集是（ ） A． | 3 3x x−   B．{ | 1 0x x−   或 5}x  C． | 0 5x x  D．{ | 5x x  − 或 1}x  4．定义在 2 2− , 上的偶函数 ( )f x 在区间 0,2 上单调递减，若 ( ) ( )1f m f m−  ，则实 数 m的取值范围是（ ） A． 1 2 m  − B． 1 2 m  C． 1 1 2 m−   D． 1 2 2 m  5．设 , Ra b ，则“ | | | |a a b b ”是“ a b ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 6．已知定义在 R 上函数 ( )f x ，对任意的  )1 2, 2017,x x  + 且 1 2x x ，都有 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− −    ，若函数 ( )2017y f x= + 为奇函数，( )( )2017 2017 0a b− −  且 4034a b+  ，则（ ） A． ( ) ( ) 0f a f b+  B． ( ) ( ) 0f a f b+  C． ( ) ( ) 0f a f b+ = D．以上都不对 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 7．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎 曼函数定义在区间[ ]0,1 上，其基本定义是：   1 , , , ( ) 0, 0,1 0,1 q q x p q p p pR x x    =   =     = 当 都是正整数 只是不可以再约分的真分数 当 或者 上的无理数 ，若函数 ( )f x 是定 义在 R上的奇函数，且 ( ) (2 ) 0f x f x+ − = ，当  01x ，时， ( ) ( )f x R x= ，则 10 3 3 10 f f     + =        A． 7 30 − B． 2 7 − C． 13 30 D． 13 30 − 8．（多选）1837 年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一个引入了现代 函数概念：“如果对于 x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么 y 是 x 的 函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函 数”： 1, ( ) 0, R x Q D x x Q  =   (Q表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ） A． ( )D x 是偶函数 B． , ( ( )) 1x R D D x  = C．对于任意的有理数 t ，都有 ( ) ( )D x t D x+ = D．不存在三个点 1 1 2 2 3 3( , ( )), ( , ( )), ( , ( ))A x D x B x D x C x D x ，使 ABC为正三角形 9．写出同时满足以下三个条件的一个函数 ( )f x ＝________． ① R, ( ) ( )x f x f x  − =− ； ② , R, ( ) ( ) ( )x y f xy f x f y  = ； ③ , [0, )x y  + 且 ( ) ( ) , 2 2 x y f x f y x y f + +       ． 10．设函数 ( ) ( ) 23 2 1 1 x x f x x + + = + 在区间 2 2− , 上的最大值为 M，最小值为 N，则 ( ) 2022 1M N+ − 的值为______. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 11．设 ( )y f x= 的定义域是 1,1− ，在区间 0,1 上是严格减函数；且对任意 1x ，  2 1,1x  − ， 若  1 2 1,1x x  − ，则 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22f x x f x x f x f x+ + − = ． (1)求证：函数 ( )y f x= 是一个偶函数； (2)求证：对于任意的  1,1x − ， ( ) 1f x  − ． (3)若 1 3 6 2 f   =    ，解不等式 ( ) ( )2 3 2f x f x − ． 12．已知二次函数 2( ) 2f x ax bx= + − ( , )a bR ， ( ), ( 0), ( ) ( ), ( 0). f x x g x f x x  =  −  （1）若 ( 2) 0f = ，且对 x R，函数 ( )f x 的值域为 ( ,0]− ，求 ( )g x 的表达式； （2）在(1)的条件下，函数 ( ) ( )h x g x mx= − 在R 上单调递减，求实数m 的取值范围； （3）设 1 2 0x x  ， 1 2 0x x+  ， 0a  且 ( )f x 为偶函数，证明 1 2( ) ( ) 0g x g x+ 