02 简易逻辑用语重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 02 简易逻辑用语重难点专题 常考结论及公式 结论一：充分必要条件的集合等价形式 若满足条件 p 的对象组成的集合为 A，满足条件q 的对象组成的集合为B，则有： （1）“ p 是q的充分条件” “ p q ”  “ A B”； （2）“ p 是q的必要条件” “ p q ”  “ A B”； （3）“ p 是q的充分不必要条件” “ p q p q 且 ”  “ A B ”； （4）“ p 是q的必要不充分条件” “ p q p q且 ”  “ A B ”； （5）“ p 是q的充要条件” “ p q ”  “ =A B”； （6）“ p 是q的既不充分也不必要条件” “ p q p q且 ”  “ A与B 之间 无包含关系”； 结论二：全称量词命题和存在性量词命题的等价变形 （1）不等式的恒成立问题 “ , ( )x I f x a   成立.”  “ ( ) min f x a ”； “ , ( )x I f x a  成立.”  “ ( ) max f x a”. （2）不等式的能成立问题 “ , ( )x I f x a   成立.”  “ ( ) max f x a ”； “ , ( )x I f x a  成立.”  “ ( ) min f x a . 结论三：复杂形式全称量词命题和存在性量词命题的等价变形 （1） 0x I  ，使 ( ) ( )0 0f x g x 成立，只需 ( ) ( )0 0 0f x g x−  能成立，等价于 ( ) ( )0 0 max 0f x g x−    ； （2） 0x I  ， ( ) ( )f x g x 恒成立，只需满足 ( ) ( ) 0f x g x−  恒成立，等价于 ( ) ( ) min 0f x g x−    ； （3） 1x A  ， 2x B ， ( ) ( )1 2f x g x 成立，只需满足 ( ) ( )min maxf x g x 即可； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （4） 1x A  ， 2x B  ， ( ) ( )1 2f x g x 成立，只需满足 ( ) ( )min minf x g x 即可； （5） 1x A  ， 2x B  ， ( ) ( )1 2f x g x 成立，只需满足 ( ) ( )max maxf x g x 即可； （6） 1x A  ， 2x B  ， ( ) ( )1 2f x g x 成立，只需满足 ( ) ( )max minf x g x 即可. 题型一 文化背景中考查充分条件、必要条件的定义 【例 1】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今" 青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还"，由此推断，最 后一句“不返家乡"是“不破楼兰"的（ ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【跟踪训练 1】《左传》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”则“有毛”是“有皮”的 （ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 全称量词命题和存在性量词命题的否定形式 【例 2】已知命题 p ： a N ， b N，使得 a b ，则 p 为（ ） A． a N， b N，使得a b B． a N， b N，使得a b C． a N， b N，使得a b D． a N ， b N，使得a b 【跟踪训练 2】命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且 f（n）≤n”的否定形式是（ ） A．∀n∈N*，f（n）∉N*且 f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或 f（n）＞n C． ( )* *0 0N Nn f n  ， 且 f（n0）＞n0 D． ( )* *0 0N Nn f n  ， 或 f（n0）＞n0 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型三 集合与充要条件的关系 【例 3】定义 { | , }A B x x A x B− =   ，设A 、 B 、C 是某集合的三个子集，且满足 ( ) ( )A B B A C− −  ，则 ( ) ( )A C B B C − − 是 A B C =的（ ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【跟踪训练 3】已知集合  1 2 3A x a x a= −   + ，  2 4B x x= −   （1） 2a = 时，求 A B； （2）若 x A 是 x B 的充分条件，求实数a 的取值范围． 题型四 与高斯函数结合的充要条件问题 【例 4】设 x 为任一实数， x 表示不小于 x 的最小整数，例如， 0.9 1= ，  0.9 0− = ，那么“ 1x y−  ”是“   x y= ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【跟踪训练 4】（多选）对 x R  ， x 表示不超过 x 的最大整数，十八世纪，  y x= 被“数学王子“高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列 命题中的真命题是（ ） A． x R  ，   1x x= − B． x R  ，   1x x= + C． x 、 y R ，     x y x y+  + D．函数  ( )y x x x R= −  的值域为 )0,1 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型五 与全称（存在性）量词命题结合的含参范围问题 【例 5】已知命题“  2 3x x x  −   ，使得等式2 0x m− = 成立”是假命题，则实数m 的取值范围是______. 【跟踪训练 5】已知命题：“  1 1x x x  −   ，都有不等式 2x x m− −  成立”是真命 题，求实数m 的取值集合 B . 题型六 劣构性试题与开放性试题 【例 6】已知真分数 a b （b>a>0）满足 1 1 a b + + > 2 2 a a b b + + ， > 1 3 1 3 a a b b + + + + ， > 2 2 a b + + ，….根据上述 性质，写出一个全称量词命题或存在量词命题（真命题）________ 【跟踪训练 6】设集合  2 2M t t m n m n Z= = − ， ， . （1）证明：属于M 的两个整数，其积也属于M ； （2）判断 32、33、34 是否属于M ，并说明理由； （3）写出“偶数 ( )2k k Z 属于M ”的一个充要条件并证明. 课后突破训练 1．必修一课本有一段话：当命题“若 p ，则q ”为真命题，则“由 p 可以推出q ”，即一 旦 p 成立，q就成立， p 是 q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么 p 一定 不成立，q对 p 成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇 伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学 逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 2．“  1,2x  ， 2 1 0ax +  ”为真命题的充分必要条件是 A． 1a  − B． 1 4 a −≤ C． 2a  − D． 0a  3．已知a ，b 为正实数，则“ 2 ab a b  + ”是“ 16ab  ”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母．现在它们平放在桌面上， 只能看到向上面的情况如图．对于命题 p：所有大写字母的背面都写着奇数，要验证 p 的真假，至少要翻开的是（ ） A．①④ B．①② C．①③ D．①③④ 5．设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁 是甲的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（多选）取整函数： x =不超过 x的最大整数，如 1.2 1= ， 3.9 3= ，  1.5 2− = − ，以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（ ） A． x R  ，   2 2x x= B． x ， y R ，   x y= ，则 1x y−  C． x R  ，  [2 ] 2x x= D． x ， y R ，     +  +x y x y 7．（多选）在整数集Z中，被 6 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为 k ， 即  6k n k n Z= +  ， 0k = ，1，2，3，4，5，则下列结论中正确的有（ ） A．存在一个数 0x ，使得 0 2 3x  B．对于任意一个数 x ，都能使 0 1 2 3 4 5x 成立 C．“ 0a b−  ”是“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件 D．“整数 a ，b 满足 1a ， 2b ”的必要条件是“ 3a b+  ” 8．若 1 ,2 2 x        ，使 22 1 0x x− +  成立是假命题，则实数的取值范围是 ___________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 9．语句“10 个整数 1a 、 2a 、…、 10a 中至多有 6 个为正数”的否定形式为 ____________． 10．设 Rx ，用[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，则“[ ] [ ]x y ”是“ x y ”的______条件. （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”） 11．已知全集U = R，集合  1 3A x x=   ，集合  2 1B x m x m=   − ．条件① U A B =；② x A 是 x B 的充分条件；③ 1 2,x A x B    ，使得 1 2x x= ． (1)若 1m = − ，求 A B； (2)若集合 A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数 m的取值范 围． 12．已知函数 ( ) ( )2 2 , 1f x x x g x ax= − = − ，若    1 21,2 , 1,2x x  −   − ，使得 ( ) ( )1 2f x g x= ，求 a 的取值范围. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 02 简易逻辑用语重难点专题 常考结论及公式 结论一：充分必要条件的集合等价形式 若满足条件 p 的对象组成的集合为 A，满足条件q 的对象组成的集合为B，则有： （1）“ p 是q的充分条件” “ p q ”  “ A B”； （2）“ p 是q的必要条件” “ p q ”  “ A B”； （3）“ p 是q的充分不必要条件” “ p q p q 且 ”  “ A B ”； （4）“ p 是q的必要不充分条件” “ p q p q且 ”  “ A B ”； （5）“ p 是q的充要条件” “ p q ”  “ =A B”； （6）“ p 是q的既不充分也不必要条件” “ p q p q且 ”  “ A与B 之间 无包含关系”； 结论二：全称量词命题和存在性量词命题的等价变形 （1）不等式的恒成立问题 “ , ( )x I f x a   成立.”  “ ( ) min f x a ”； “ , ( )x I f x a  成立.”  “ ( ) max f x a”. （2）不等式的能成立问题 “ , ( )x I f x a   成立.”  “ ( ) max f x a ”； “ , ( )x I f x a  成立.”  “ ( ) min f x a . 结论三：复杂形式全称量词命题和存在性量词命题的等价变形 （1） 0x I  ，使 ( ) ( )0 0f x g x 成立，只需 ( ) ( )0 0 0f x g x−  能成立，等价于 ( ) ( )0 0 max 0f x g x−    ； （2） 0x I  ， ( ) ( )f x g x 恒成立，只需满足 ( ) ( ) 0f x g x−  恒成立，等价于 ( ) ( ) min 0f x g x−    ； （3） 1x A  ， 2x B ， ( ) ( )1 2f x g x 成立，只需满足 ( ) ( )min maxf x g x 即可； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （4） 1x A  ， 2x B  ， ( ) ( )1 2f x g x 成立，只需满足 ( ) ( )min minf x g x 即可； （5） 1x A  ， 2x B  ， ( ) ( )1 2f x g x 成立，只需满足 ( ) ( )max maxf x g x 即可； （6） 1x A  ， 2x B  ， ( ) ( )1 2f x g x 成立，只需满足 ( ) ( )max minf x g x 即可. 题型一 文化背景中考查充分条件、必要条件的定义 【例 1】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今" 青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还"，由此推断，最 后一句“不返家乡"是“不破楼兰"的（ ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先阅读理解题意，再利用充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意知，“不破楼兰”则可推得“不返家乡”，即必要条件成立， 反之“不返家乡”不一定是“不破楼兰”，即充分条件不成立， 故“不返家乡"是“不破楼兰"的必要不充分条件. 故选：A. 【跟踪训练 1】《左传》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”则“有毛”是“有皮”的 （ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件分析“有毛”和“有皮”的互相推出情况，由此判断属于何种条件. 【详解】根据条件可知：“有毛”则一定“有皮”，但是“有皮”不一定“有毛”， 即“有毛”可以推出“有皮”，但是“有皮”不一定能推出“有毛”， 所以“有毛”是“有皮”的充分不必要条件， 故选：A. 题型二 全称量词命题和存在性量词命题的否定形式 【例 2】已知命题 p ： a N ， b N，使得 a b ，则 p 为（ ） A． a N， b N，使得a b B． a N， b N，使得a b 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 C． a N， b N，使得a b D． a N ， b N，使得a b 【答案】C 【分析】由全称命题和特称命题的否定形式，可得解 【详解】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题 p ： a N ， b N，使得 a b 的否定 p 为： a N， b N，使得a b 故选：C 【跟踪训练 2】命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且 f（n）≤n”的否定形式是（ ） A．∀n∈N*，f（n）∉N*且 f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或 f（n）＞n C． ( )* *0 0N Nn f n  ， 且 f（n0）＞n0 D． ( )* *0 0N Nn f n  ， 或 f（n0）＞n0 【答案】D 【分析】利用全称命题的否定是特称命题形成结果即可. 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且 f （n）≤n”的否定形式是： ( )* *0 0N Nn f n  ， 或 f（n0）＞n0. 故选：D. 题型三 集合与充要条件的关系 【例 3】定义 { | , }A B x x A x B− =   ，设A 、 B 、C 是某集合的三个子集，且满足 ( ) ( )A B B A C− −  ，则 ( ) ( )A C B B C − − 是 A B C =的（ ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】作出示意图，由 ( ) ( )A B B A C− −  可知两个阴影部分均为，根据新定 义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】如图，由于 ( ) ( )A B B A C− −  ， 故两个阴影部分均为， 于是 , ,A I IV V B III IV V C I II III V= = =  ， （1）若 A B C =，则V =， A I IV = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 而 ( ) ( ) I II VC B B C I− − = ， ( ) ( )A C B B C  − − 成立； （2）反之，若 ( ) ( )A C B B C − − ， 则由于 ( ) ( ) ( )C B B II IC I V=− − ， ( )A I IV V= ， ( ) ( )I IV V I II IV  ， V =， A B C =， 故选：A 【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类 讨论、数形结合思想的应用，属于较难题. 【跟踪训练 3】已知集合  1 2 3A x a x a= −   + ，  2 4B x x= −   （1） 2a = 时，求 A B； （2）若 x A 是 x B 的充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）  | 2 7A B x x = −   ；（2） 1 ( , 4] 1, 2   − −  −    ． 【分析】（1）把 2a = 代入A 确定出A ，求出 A B即可； （2）由 x A 是 x B 成立的充分条件，得到A 为 B 的子集，分A 为空集与A 不为空集 两种情况求出 a 的范围即可． 【详解】（1）当 2a = 时，  1 7A x x=   ， 则  | 2 7A B x x = −   ； （2） x A 是 x B 成立的充分条件， A B  ， ①若 A =，则 1 2 3a a−  + ，解得 4a  − ； ②若 A ，由 A B 得到， 1 2 3 1 2 2 3 4 a a a a −  +  − −  + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 解得： 1 1 2 a− ， 综上：a 的取值范围是 1 ( , 4] 1, 2   − −  −    ． 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查充分必要条件的应用，熟练掌握 运算法则是解本题的关键，属于中档题． 题型四 与高斯函数结合的充要条件问题 【例 4】设 x 为任一实数， x 表示不小于 x 的最小整数，例如， 0.9 1= ，  0.9 0− = ，那么“ 1x y−  ”是“   x y= ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据必要不充分条件的定义判断可得答案. 【详解】当 1.8x = ， 0.9y = 时，满足 1x y−  ，但 1.8 2= ， 0.9 1= ，即   x y ； 当   x y= 时必有 1x y−  ，所以“ 1x y−  ”是“   x y= ”的必要不充分条件． 故选：C． 【跟踪训练 4】（多选）对 x R  ， x 表示不超过 x 的最大整数，十八世纪，  y x= 被“数学王子“高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列 命题中的真命题是（ ） A． x R  ，   1x x= − B． x R  ，   1x x= + C． x 、 y R ，     x y x y+  + D．函数  ( )y x x x R= −  的值域为 )0,1 【答案】CD 【解析】分 xZ和 x Z 两种情况讨论，可判断 AB 选项的正误；利用取整函数的基本 性质可判断 CD 选项的正误；利用取整函数的定义可判断 E 选项的正误. 【详解】对于 AB 选项，当 xZ时，  x x= ； 当 x Z 时，设 ( )1k x k k Z  +  ，则 =x k ，则    1x x x  + . 综上，    1x x x  + ，AB 选项均错误； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 对于 D 选项，     1x x x  + ，则  0 1x x −  ， 所以，函数  ( )y x x x R= −  的值域为 )0,1 ，D 选项正确； 对于 C 选项，由上可知，    1x x x  + ，设    x x x= + ，则  0 1x  . 若    0 1x y +  ，则     x y x y+ = + ； 若    1 2x y +  ，则      1x y x y+ = + + . 综上， x 、 y R ，     x y x y+  + ，C 选项正确； 故选：CD 【点睛】解决函数中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推 理论证，把其转化为我们熟知的函数基本性质的应用. 题型五 与全称（存在性）量词命题结合的含参范围问题 【例 5】已知命题“  2 3x x x  −   ，使得等式2 0x m− = 成立”是假命题，则实数m 的取值范围是______. 【答案】 (   ), 4 6,− − + 【分析】假设原命题为真命题，由能成立的思想可求得m 的取值范围，在实数范围内 取补集即可得到所求范围. 【详解】若原命题为真命题，则  2 3x x x  −   ，使得 2m x= 成立，则 4 6m−   ； 若原命题为假命题，则实数m 的取值范围为 (   ), 4 6,− − + . 故答案为： (   ), 4 6,− − + . 【跟踪训练 5】已知命题：“  1 1x x x  −   ，都有不等式 2x x m− −  成立”是真命 题，求实数m 的取值集合 B . 【答案】 (2, )+ ； 【详解】命题：“  1 1x x x  −   ，都有不等式 2x x m− −  成立”是真命题， 得 2x x m− −  在 1 1x−   时恒成立， ∴ 2 max( )m x x − ，得 2m  ，即  2 (2, )B m m=  = + . 题型六 劣构性试题与开放性试题 【例 6】已知真分数 a b （b>a>0）满足 1 1 a b + + > 2 2 a a b b + + ， > 1 3 1 3 a a b b + + + + ， > 2 2 a b + + ，….根据上述 性质，写出一个全称量词命题或存在量词命题（真命题）________ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【答案】 0, 0b a m n     ， a m a n b m b n + +  + + （答案不唯一） 【分析】结合条件及全称量词命题、存在量词命题的概念即得. 【详解】∵真分数 a b （b>a>0）满足 1 1 a b + + > 2 2 a a b b + + ， > 1 3 1 3 a a b b + + + + ， > 2 2 a b + + ，… ∴ 0, 0b a m n     ， a m a n b m b n + +  + + . 故答案为： 0, 0b a m n     ， a m a n b m b n + +  + + . 【跟踪训练 6】设集合  2 2M t t m n m n Z= = − ， ， . （1）证明：属于M 的两个整数，其积也属于M ； （2）判断 32、33、34 是否属于M ，并说明理由； （3）写出“偶数 ( )2k k Z 属于M ”的一个充要条件并证明. 【答案】（1）见解析；（2）32M ，33M ，34M 理由见解析；（3） k 为偶数， 证明见解析. 【分析】（1）设 1t ， 2t M ，则对 1 2t t 进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行 判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证 必要性. 【详解】（1）设集合  2 2M t t m n m n Z= = − ， ， 中的元素 2 21 1 1= −t m n ， 2 2 2 2 2= −t m n ，所以 ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2= − − = − − +t t m n m n m m m n n m n n ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2= + − + = + − +m m n n m n n m m m n n m n n m ， 因为 ， m n Z ，所以 1 2 1 2+m m n n ， 1 2 1 2+m n n m Z ，所以有 1t ， 2t M ，则 1 2t t M ，所 以属于M 的两个整数，其积也属于M . （2）因为 2 232 6 2= − ，所以32M ； 假设33M ，则 ( )( )2 233 = += − −m mn n m n ，因为 ， m n Z ，所以m n+ 与m n− 有相 同奇偶性，因为 33 为奇数，所以m n+ 与m n− 一个为奇数一个为偶数，则m n+ 与m n− 有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以33M ； 假设34M ，同上可得 ( )( )2 234 = += − −m mn n m n ，因为 ， m n Z ，所以m n+ 与 m n− 有相同奇偶性，因为 34 为偶数，所以m n+ 与m n− 均为偶数，所以( )( )+ −m n m n 应为 4 的倍数，而 34 不是 4 的倍数，所以假设不成立，所以34M . （3）“偶数 ( )2k k Z 属于M ”的一个充要条件是 k 为偶数. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 充分性：因为 k 为偶数，设 2k a= ( )a Z ，所以2 4=k a，而 ( ) ( ) 2 2 1 1 4+ − − =a a a ，所 以 ( ) ( ) 2 2 2 1 1= + − −k a a 满足集合  2 2M t t m n m n Z= = − ， ， ，所以偶数 ( )2k k Z 属 于 M ； 必要性：因为偶数 ( )2k k Z 属于M ，所以 ( )( )2 22 == − + −mk m n mn n ，因为 ， m n Z ，所以m n+ 与m n− 有相同奇偶性，因为 ( )2k k Z 为偶数，所以m n+ 与m n− 均为偶数，所以 ( )( )+ −m n m n 应为 4 的倍数，2k 必为 4 的倍数，即 k 必为 2 的倍数， 所以 k 为偶数. 【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证 法证明，以及会证明充要条件. 课后突破训练 1．必修一课本有一段话：当命题“若 p ，则q ”为真命题，则“由 p 可以推出q ”，即一 旦 p 成立，q就成立， p 是 q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么 p 一定 不成立，q对 p 成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇 伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学 逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果. 【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件， 故选：B. 2．“  1,2x  ， 2 1 0ax +  ”为真命题的充分必要条件是 A． 1a  − B． 1 4 a −≤ C． 2a  − D． 0a  【答案】A 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 【解析】利用参变量分离法得出 2 1 a x  − ，求出函数 2 1 y x = − 在区间  1,2 上的最小值， 即可得出实数 a 的取值范围，即可得出答案. 【详解】 “  1,2x  ， 2 1 0ax +  ”为真命题， 2 1 a x   − 对任意的  1,2x 恒成立， 由于函数 2 1 y x = − 在区间  1,2 上单调递增，则 min 1y = − ， 1a  − . 故选：A. 【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求 解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题. 3．已知a ，b 为正实数，则“ 2 ab a b  + ”是“ 16ab  ”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由 16ab  ，利用均值不等式，可证明 2 ab a b  + ；若 2 ab a b  + ，举反例可知 16ab  不一定成立，即得解 【详解】由a ，b 为正实数， 2a b ab +  ，当且仅当a b= 时等号成立 若 16ab  ，可得 1 16 2 2 22 ab ab ab a b ab  =  = + ，故必要性成立； 当 2, 10a b= = ，此时 2 ab a b  + ，但 20 16ab =  ，故充分性不成立； 因此“ 2 ab a b  + ”是“ 16ab  ”的必要不充分条件 故选：B 4．有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母．现在它们平放在桌面上， 只能看到向上面的情况如图．对于命题 p：所有大写字母的背面都写着奇数，要验证 p 的真假，至少要翻开的是（ ） A．①④ B．①② C．①③ D．①③④ 【答案】A 【分析】分析题目即可得出答案. 【详解】根据命题 p：所有大写字母的背面都写着奇数，因为①的背面为大写字母， ④的背面可能是大写字母， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 所以要验证 p的真假，至少要翻开的是①④. 故选：A. 5．设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁 是甲的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件概念求解即可. 【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲  乙， 因为丙是乙的充要条件，所以丙 乙，即甲  丙， 又因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙  丁， 所以甲  丁，即丁是甲的必要不充分条件. 故选：B 6．（多选）取整函数： x =不超过 x的最大整数，如 1.2 1= ， 3.9 3= ，  1.5 2− = − ，以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（ ） A． x R  ，   2 2x x= B． x ， y R ，   x y= ，则 1x y−  C． x R  ，  [2 ] 2x x= D． x ， y R ，     +  +x y x y 【答案】BC 【分析】根据取整函数的定义，利用特殊值法，进行判别选项的真假，可得答案. 【详解】 1.5x = 时，   2 3 3x = = ，但    2 2 1.5 2 1 2x = =  = ，故 A 为假命题； 设   x y k Z= =  ，则 1k x k  + ， 1k y k  + ，∴ 1x y−  ，故 B 为真命题； 2x = 时，       2 4 4 2 2 2x x= = = = ，故 C 为真命题； 0.5x = ， 0.6y = 时，有    0x y+ = ，但       1.1 1x y x y+ = =  + ，故 D 为假命题． 故选：BC． 7．（多选）在整数集Z中，被 6 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为 k ， 即  6k n k n Z= +  ， 0k = ，1，2，3，4，5，则下列结论中正确的有（ ） A．存在一个数 0x ，使得 0 2 3x  武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 B．对于任意一个数 x ，都能使 0 1 2 3 4 5x 成立 C．“ 0a b−  ”是“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件 D．“整数 a ，b 满足 1a ， 2b ”的必要条件是“ 3a b+  ” 【答案】CD 【分析】对 A，假设存在一个数 0x ，使得 0 2 3x   ，从而推出矛盾即可；对 B，举 反例 2x = 判断即可；对 C，设整数a ，b 属于同一“类”，再分别分析充分与必要性判 断即可；对 D，设 26 1a n= + ， 2n Z， 36 2b n= + ， 3n Z 判断即可. 【详解】对于 A，假设存在一个数 0x ，使得 0 2 3x   ，则 0 16 2 6 3n n+ = + ， 0n ， 1n Z ，显然不成立，故 A 错误； 对于 B，当 2x = 时， 0 1 2 3 4 5x      ，故 B 错误； 对于 C，若整数 a ，b 属于同一“类”，则整数a ，b 被 6 除所得余数相同，从而 −a b 被 6 除所得余数为 0，即 0a b−  ，若 0a b−  ，则 −a b被 6 除所得余数为 0，则整数 a ，b 被 6 除所得余数相同，故“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“ 0a b−  ”， 故 C 正确； 对于 D，若整数 a ，b 满足 1a ， 2b ，则 26 1a n= + ， 2n Z， 36 2b n= + ， 3n Z ，所以 ( )2 36 3a b n n+ = + + ， 2 3n n+ Z，所以 3a b+  ，故 D 正确． 故选：CD． 8．若 1 ,2 2 x        ，使 22 1 0x x− +  成立是假命题，则实数的取值范围是 ___________. 【答案】 2 2  【分析】转化为“ 1 ,2 2 x        ，使得 22 1 0x x− +  成立”是真命题，利用不等式的基本 性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论. 【详解】 min 1 2 2 2x x   + =    9．语句“10 个整数 1a 、 2a 、…、 10a 中至多有 6 个为正数”的否定形式为 ____________． 【答案】10 个整数 1a 、 2a 、…、 10a 中至少有 7 个为正数 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 【分析】根据命题的否定变换形式即可求解. 【详解】“10 个整数 1a 、 2a 、…、 10a 中至多有 6 个为正数”的否定形式为： 10 个整数 1a 、 2a 、…、 10a 中至少有 7 个为正数. 故答案为：10 个整数 1a 、 2a 、…、 10a 中至少有 7 个为正数 10．设 Rx ，用[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，则“[ ] [ ]x y ”是“ x y ”的______条件. （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】分析命题真假性，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，即可得到答 案. 【详解】[ ] [ ]x y ，即[ ] [ ]x y 或[ ] [ ]x y= ，当[ ] [ ]x y 时，可推出 x y ；但当   x y= 时，如 2.1x = ， 2.3y = ，此时 x y ，所以“[ ] [ ]x y ”不能推出“ x y ”，即充分性不成 立. x y ，即 x y 或 x y= ，当 x y= 时，必有   x y= ；当 x y 时，可推出[ ] [ ]x y 或 [ ] [ ]x y= ，所以“ x y ”能推出“[ ] [ ]x y ”，即必要性成立.所以“[ ] [ ]x y ”是“ x y ”的必 要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 11．已知全集U = R，集合  1 3A x x=   ，集合  2 1B x m x m=   − ．条件① U A B =；② x A 是 x B 的充分条件；③ 1 2,x A x B    ，使得 1 2x x= ． (1)若 1m = − ，求 A B； (2)若集合 A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数 m的取值范 围． 【答案】(1) 1 2x x ＜ (2) （- ,-2）或 | 2m m −＜ 【分析】（1）可将 1m = − 带入集合 B 中，得到集合 B 的解集，即可求解出答案； （2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合A 与集合 B 之间的关系，即可完成求解. (1) 当 1m = − 时，集合  2 2B x x= −   ，集合  1 3A x x=   ，所以  1 2A B x x =  ＜ ； (2) 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 i.当选择条件①时，集合  2 1B x m x m=   − ， 当B =时， UA B A= ，舍； 当集合B  时，即集合2 1m m−＜ ， 1 3 m＜ 时，  | 2 1U B x x m x m=   −或 ， 此时要满足 UA B =，则 2 1 3 1 m m   − ＜ ，解得m＜-2， 结合 1 3 m＜ ，所以实数 m的取值范围为 （- ,-2）或 | 2m m −＜ ； ii.当选择条件②时，要满足 x A 是 x B 的充分条件，则需满足在集合B  时， 集合A 是集合 B 的子集，即 2 1 3 1 m m   − ＜ ，解得m＜-2， 所以实数 m的取值范围为 （- ,-2）或 | 2m m −＜ ； iii.当选择条件③时，要使得 1 2,x A x B    ，使得 1 2x x= ，那么需满足在集合B   时，集合A 是集合 B 的子集，即 2 1 3 1 m m   − ＜ ，解得m＜-2， 所以实数 m的取值范围为 （- ,-2）或 | 2m m −＜ ； 故，实数 m的取值范围为 （- ,-2）或 | 2m m −＜ . 12．已知函数 ( ) ( )2 2 , 1f x x x g x ax= − = − ，若    1 21,2 , 1,2x x  −   − ，使得 ( ) ( )1 2f x g x= ，求 a 的取值范围. 【答案】详见解析 【详解】若    1 21,2 , 1,2x x  −   − ，使得 ( ) ( )1 2f x g x= ，即 ( )g x 在 1,2− 上的值域 要包含 ( )f x 在 1,2− 上的值域，又在 1,2− 上 ( )  1,3f x  − . ①当 0a  时， ( ) 1g x ax= − 单调递减，此时 ( ) ( ) 1 3 { 2 1 g g −   − ， 解得 4a  − ； ②当 0a = 时， ( ) 1g x = − ，显然不满足题设； ③当 0a  时， ( ) 1g x ax= − 单调递增，此时 ( ) ( ) 2 3 { 1 1 g g  −  − ， 解得 2a  .综上，    1 21,2 , 1,2x x  −   − ，使得 ( ) ( )1 2f x g x= ，a 的取值范围为  ( ), 4 2,− −  + .