01 集合重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 01 集合重难点专题 常考结论及公式 结论一：集合子集的个数 对于有限集合 A，其元素个数为 n，则集合 A的子集个数为 2n，真子集个数为 2n－ 1，非空真子集个数为 2 n －2. 结论二：集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A； 结论三：德摩根·律及其推广 （1）常见两公式：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． （2）推广公式： ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2U n U U U nA A A A A A= ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2U n U U U nA A A A A A= 结论四：关于整数集（Z ）的几种变形  | 2 1 2 ,Z x x k x k k Z= = − = 或 ，  | 3 3 1, 3 2,Z x x k x k x k k Z= = = + = + 或 或 ，  | 4 1 4 , 4 2,Z x x k x k x k k Z= =  = = + 或 或 . 题型一 易错点空集的理解与辨析 【例 1】下列写法正确的是（ ） A．{ }0 B．0 .A C．  { }0 D．0 【跟踪训练 1】（多选）给出下列关系，其中正确的选项是（ ） A．     B．     C． { }  D． { }  重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 题型二 分类讨论法解决元素与集合的关系问题 【例 2】非空集合A 具有下列性质：①若 x 、 y A ，则 x A y  ；②若 x 、 y A ，则 x y A+  ，下列判断一定成立的是（ ） （1） 1 A−  ；（2） 2020 2021 A ；（3）若 x 、 y A ，则 xy A ；（4）若 x 、 y A ，则 x y A−  . A．（1）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【跟踪训练 2】已知 x ， y ， z 为非零实数，代数式 | | | | | | | | x y z xyz x y z xyz + + + 的值所组成的 集合是M ，则下列判断正确的是（ ） A．4 M B．2 M C．0 M D． 4 M−  题型三 根据数轴法求参数值或范围问题 【例 3】设集合 { | 1A x x=  或 2}x  ，  2 2| 2 2 0B x x x a a= − + − = ，U = R． （1）若B A ，求 a的取值范围； （2）若 CUA B A= ，求 a的取值范围． 【跟踪训练 3】已知集合 { | 1 2 1}A x a x a= −   + ， { 0 3}B x x=  ∣ ，U = R . （1）若 1 2 a = ，求 ( )UA BC ； （2）若 A B = ，求实数 a 的取值范围. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型四 元素个数或子集个数问题 【例 4】设[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，用 21 100       ， 22 100       ， 23 100       ，…， 2100 100       组成 集合A 的元素，求集合A 中的元素的个数． 【跟踪训练 4】在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现 象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值， 再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123 黑洞”、“卡 普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个 n 位正整数的所有数位上数字的 n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成 集合A ，集合  Z 3 4B x x=  −   ，则 A B的真子集个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 题型五 Venn图法解决集合运算问题 【例 5】(多选)图中阴影部分所表示的集合是（ ） A． UN C M B． UM N C． ( )U M N N   D． ( ) ( )U UM N 【跟踪训练 5】高二某班共有60 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、 政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少 25 人，这三门学科均不选的有15人.这三门课程均选的有10人，三门中任选两门课程的均 至少有16人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未 选生物的学生至多有________人. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型六 集合的新定义问题 【例 6】设集合 X 是实数集R 的子集，如果点 0x R 满足：对任意 0a  ，都存在 x X ，使得 00 x x a −  ，称 0x 为集合 X 的聚点，则在下列集合中： ①  0x x Z ；② , 0x x x R ；③ 1 ,x x n n  =     N ；④ , 1 n x x n n  =   +  N 以 0 为聚点的集合有___ ___． 【跟踪训练 6】（多选）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群 论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有 根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下： 设 G是一个非空集合，“· ”是 G上的一个代数运算，即对所有的 a、b∈G，有 a·b∈ G，如果 G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；② e G  ，使得 a G  ，有e a a e a =  = ，③ a G  ， b G  ，使 a·b=b·a=e，则称 G关于“·”构成一 个群.则下列说法正确的有（ ） A． { 1,0,1}G = − 关于数的乘法构成群 B．G={x|x= 1 k ，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D． { 2 | , Z}G m n m n= +  关于数的加法构成群 题型七 与集合有关的数学文化问题 【例 7】（多选）1872 年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来 定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束 了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划 分为两个非空的子集M 与N ，且满足 QM N = ，M N =， M 中的每一个元 素都小于N 中的每一个元素，则称 ( ),M N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成 立的是（ ） A．  Q 0M x x=   ，  Q 0N x x=   满足戴德金分割 B．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 C．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D．M 没有最大元素，N 也没有最小元素 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 7】（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物， 不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如 下表示：已知  3 2, NA x x n n += = +  ，  5 3, NB x x n n += = +  ，  7 2, NC x x n n += = +  ，若 x A B C ，则下列选项中符合题意的整数 x 为 （ ） A．8 B．128 C．37 D．23 课后突破训练 1．某国近日开展了大规模 COVID-19 核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合 S 表示（ ） A．无症状感染者 B．发病者 C．未感染者 D．轻症感染者 2．用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运 算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了 世人所熟知的“韦恩图”．则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A． A B C B． ( )U A B C C． ( )UA B C D． ( )UA B C 3．已知A 与 B 是集合 1,2,3, ,100 的两个子集，满足：A 与 B 的元素个数相同，且 A B为空集，若n A 时总有2 2n B+  ，则集合 A B的元素个数最多为（ ） A．62 B．66 C．68 D．74 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 4．（多选）设非空集合 S x m x n=   满足：当 x∈S时，有 x2∈S.给出如下命题，其 中真命题是（ ） A．若 m=1，则  | 1S x x=  B．若 1 2 m = − ，则 1 4 ≤n≤1 C．若 1 2 n = ，则 2 0 2 m− ≤ ≤ D．若 n=1，则 1 0m−   5．下列命题中真命题的个数是_____个． ①0  ；② { }  ；③  0 0 ；④  a ；⑤    ；⑥  0 ． 6．已知非空集合M满足  0,1,2,3M  ，若存在非负整数 k（ 3k  ），使得对任意 a M ，均有2k a M−  ，则称集合M具有性质 P，则具有性质 P的集合M的个数为 ______________. 7．若集合 2{ | ( 6) 2 0}A x ax a x= + − + = 是单元素集（集合的元素个数是 1），则实数 a =______ 8．某小区连续三天举办公益活动，第一天有 190 人参加，第二天有 130 人参加，第三 天有 180 人参加，其中，前两天都参加的有 30 人，后两天都参加的有 40 人.第一天参 加但第二天没参加活动的有___________人，这三天参加活动的最少有___________人. 9．已知集合 A中的元素全为实数，且满足：若a A ，则 1 1 a A a +  − ． (1)若 3a = − ，求出 A中其他所有元素． (2)0 是不是集合 A中的元素？请你取一个实数 ( )3a A a  − ，再求出 A中的元素． (3)根据（1）（2），你能得出什么结论？ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 10．已知集合  2 8A x x= −   ，  2 1 3B x m x m= −   + ． (1)若 A B A= ，求实数 m的取值范围； (2)若 { | }A B x a x b=   且 3b a− = ，求实数 m的值． 11．已知集合 A是方程 ( ) ( )2 21 2 1 1 0a x a x− + + + = 的解集． (1)若 A是空集，求 a的取值范围； (2)若 A是单元素集（集合中只有一个元素），求 a的值； (3)若 A中至多只有一个元素，求 a的取值范围． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 12．设集合  2 2| , ,M a a x y x y z= = −  ．求证： （1）一切奇数属于集合M ； （2）偶数4 2( )k k z−  不属于M ； （3）属于M 的两个整数，其乘积仍属于M ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 01 集合重难点专题 常考结论及公式 结论一：集合子集的个数 对于有限集合 A，其元素个数为 n，则集合 A的子集个数为 2n，真子集个数为 2n－ 1，非空真子集个数为 2 n －2. 结论二：集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A； 结论三：德摩根·律及其推广 （1）常见两公式：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． （2）推广公式： ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2U n U U U nA A A A A A= ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2U n U U U nA A A A A A= 结论四：关于整数集（Z ）的几种变形  | 2 1 2 ,Z x x k x k k Z= = − = 或 ，  | 3 3 1, 3 2,Z x x k x k x k k Z= = = + = + 或 或 ，  | 4 1 4 , 4 2,Z x x k x k x k k Z= =  = = + 或 或 题型一 易错点空集的理解与辨析 【例 1】 下列写法正确的是（ ） A．{ }0 B．0 .A C．  { }0 D．0 【详解】是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，集合与集合间是包含关 系，集合与元素间是属于符号. 故答案为:A. 【跟踪训练 1】（多选）给出下列关系，其中正确的选项是（ ） A．     B．     C． { }  D． { }  【答案】BCD 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 【分析】根据元素与集合的关系，空集是任何集合的子集即可判断各选项的正误 【详解】选项 A 中，显然不是集合    的元素，故 A 错误 不是集合    的元素，是{ } 的元素，是任何集合的子集 ∴选项 B ，C ，D都正确． 故选：BCD 【点睛】本题考查了集合的关系，空集的性质、元素与集合关系 题型二 分类讨论法解决元素与集合的关系问题 【例 2】非空集合A 具有下列性质：①若 x 、 y A ，则 x A y  ；②若 x 、 y A ，则 x y A+  ，下列判断一定成立的是（ ） （1） 1 A−  ；（2） 2020 2021 A ；（3）若 x 、 y A ，则 xy A ；（4）若 x 、 y A ，则 x y A−  . A．（1）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【详解】由①可知0 A . 对于（1），若 1 A−  ，对任意的 x A ， 0x  ，则 1 x x A− =  − ， 所以， ( )0 x x A= + −  ，这与0 A 矛盾，（1）正确； 对于（2），若 0x  且 x A ，则1 x A x =  ， 2 1 1 A = +  ，3 2 1 A= +  ， 依此类推可得知， n N  ，n A ， 2020 A  ，2021 A ， 2020 2021 A  ，（2）正确； 对于（3），若 x 、 y A ，则 0x  且 0y  ，由（2）可知，1 A ，则 1 A y  ， 所以， 1 x xy A y =  ，（3）正确； 对于（4），由（2）得，1,2 A ，取 2, 1x y= = ，则 1x y A− =  ，所以（4）错误. 故选：C. 【跟踪训练 2】已知 x ， y ， z 为非零实数，代数式 | | | | | | | | x y z xyz x y z xyz + + + 的值所组成的 集合是M ，则下列判断正确的是（ ） A．4 M B．2 M C．0 M D． 4 M−  【答案】A 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【分析】分别对 x ， y ， z 的符号进行讨论，计算出集合M 的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分 4 种情况讨论； ①、 x y、 、z全部为负数时，则 xyz也为负数，则 4 | | | | | | | | x y z xyz x y z xyz + + + = − ； ②、 x y、 、z中有一个为负数时，则 xyz为负数，则 0 | | | | | | | | x y z xyz x y z xyz + + + = ； ③、 x y、 、z中有两个为负数时，则 xyz为正数，则 0 | | | | | | | | x y z xyz x y z xyz + + + = ； ④、 x y、 、z全部为正数时，则 xyz也正数，则 4 | | | | | | | | x y z xyz x y z xyz + + + = ； 则 {4,0, 4}M = − ；分析选项可得A 符合． 故选：A. 题型三 根据数轴法求参数值或范围问题 【例 3】设集合 { | 1A x x=  或 2}x  ，  2 2| 2 2 0B x x x a a= − + − = ，U = R． （1）若B A ，求 a 的取值范围； （2）若 CUA B A= ，求 a 的取值范围． 【答案】（1）{ | 0a a  或 2}a  （2） {1}a 【详解】（1） { | 1A x x=  或 2}x  2 22 2 0x x a a− + − = 2 2 2( 2) 4(2 ) 4( 1) 0a a a = − − − = −  当 0 = ，即 1a = 时， 2{ | 2 1 0} {1}B x x x= − + = = ，此时B A 不成立，舍去 当 0  ，即 1a  时，方程 2 22 2 0x x a a− + − = 的两根为 1x a= ， 2 2x a= − 若使得B A 成立，则需 Ua C A 或2 Ua C A−  ， 即1 2a  或1 2 2a −  ，解得0 2a  . 则 B A 成立时， 0a  或 2a  综上所述：{ | 0a a  或 2}a  . （2） CUA B A = UA C B  即 UB C A 由（1）可知 { | 1A x x=  或 2}x  ，则 { |1 2}UC A x x=   ， 当 0 = ，即 1a = 时， 2{ | 2 1 0} {1} CUB x x x A= − + = =  成立 当 0  ，即 1a  时， { ,2 }B a a= − ，若使得 UB C A 成立， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 则需满足 2 U U a C A a C A   −  ，即 1 2 1 2 2 a a     −  ，解得 1a = （舍去） 综上所述 {1}a . 【跟踪训练 3】已知集合 { | 1 2 1}A x a x a= −   + ， { 0 3}B x x=  ∣ ，U = R . （1）若 1 2 a = ，求 ( )UA BC ； （2）若 A B = ，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） 1 | 0 2 x x   −      ；（2） 1 { | 2 a a  − 或 4}a . 【分析】（1）利用交并补的定义计算可得答案； （2）按 A =和 A 分类讨论，列出不等式，解出a 的取值范围． 【详解】（1）若 1 2 a = 时 1 | 2 2 A x x   = −      ，  | 0 3B x x=   ， 由 { | 0UC B x x=  或 3}x  ，所以 ( ) 1 | 0 2 UA C B x x   = −      （2）由 A B =知 当 A =时 1 2 1a a−  + ∴ 2a  − 当 A 时 2 1 1 1 3 a a a +  −  −  或 2 1 1 2 1 0 a a a +  −  +  ∴ 4a  或 1 2 2 a−   − 综上：a 的取值范围是 1 { | 2 a a  − 或 4}a . 题型四 元素个数或子集个数问题 【例 4】设[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，用 21 100       ， 22 100       ， 23 100       ，…， 2100 100       组成 集合A 的元素，求集合A 中的元素的个数． 【答案】76 【分析】取 1,2,3, ,49=x ，分别计算 2 100       x 的值，再考虑当 50x  时 2 100       x 的取值情 况，从而可得集合A 中的元素的个数. 【详解】设 *xN ， 当1 9x  时， 2 0 1 100   x ，此时 2 0 100   =    x ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 当10 14x  时， 2 1 2 100   x ，此时 2 1 100   =    x ， 当15 17 x 时， 2 2 3 100   x ，此时 2 2 100   =    x ， 当18 19x  时， 2 3 4 100   x ，此时 2 3 100   =    x ， 当 20 22x  时， 2 4 5 100   x ，此时 2 4 100   =    x ， 当23 24 x 时， 2 5 5.76 100   x ，此时 2 5 100   =    x ， 当25 26 x 时， 2 6.25 6.76 100   x ，此时 2 6 100   =    x ， 当 27 28 x 时， 2 7.29 7.84 100   x ，此时 2 7 100   =    x ， 当 29x = 时， 2 8.41 100 = x ，此时 2 8 100   =    x ， 当30 31 x 时， 2 9 9.61 100   x ，此时 2 9 100   =    x ， 当32 33 x 时， 2 10 10.89 100   x ，此时 2 10 100   =    x ， 当 34x = 时， 2 11.56 100 = x ，此时 2 11 100   =    x ， 当35 36 x 时， 2 12.25 12.96 100   x ，此时 2 12 100   =    x ， 当 37x = 时， 2 13.96 100 = x ，此时 2 13 100   =    x ， 当 38x = 时， 2 14.44 100 = x ，此时 2 14 100   =    x ， 当 39x = 时， 2 15.21 100 = x ，此时 2 15 100   =    x ， 当40 41 x 时， 2 16 16.81 100   x ，此时 2 16 100   =    x ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 当 42x = 时， 2 17.64 100 = x ，此时 2 17 100   =    x ， 当 43x = 时， 2 18.49 100 = x ，此时 2 18 100   =    x ， 当 44x = 时， 2 19.36 100 = x ，此时 2 19 100   =    x ， 当 45x = 时， 2 20.25 100 = x ，此时 2 20 100   =    x ， 当 46x = 时， 2 21.16 100 = x ，此时 2 21 100   =    x ， 当 47x = 时， 2 22.09 100 = x ，此时 2 22 100   =    x ， 当 48x = 时， 2 23.04 100 = x ，此时 2 23 100   =    x ， 当 49x = 时， 2 24.01 100 = x ，此时 2 24 100   =    x ， 当 50x  时， 2 25 100  x ，且 ( ) 2 21 2 1 1 100 100 100 + + − =  x x x ， 故当 50x  时， 2 100       x 均大于或等于 25，且两两相异， 故集合A 中的元素的个数为25 100 50 1 76+ − + = . 【点睛】本题考查集合中元素的个数，注意根据前后项差的关系来合理分类讨论，本 题计算较为繁琐，为较难题. 【跟踪训练 4】在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现 象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值， 再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123 黑洞”、“卡 普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个 n 位正整数的所有数位上数字的 n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成 集合A ，集合  Z 3 4B x x=  −   ，则 A B的真子集个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】根据自恋数的定义,求出A ;用列举法表示出 B ,求出交集后,由交集中元素个数, 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 即可求出真子集个数. 【详解】解:依题意,  1,2,3,4,5,6,7,8,9A= ,  2, 1,0,1,2,3B = − − 故  1,2,3A B = ,故 A B的真子集个数为 7 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的运算,考查了真子集的涵义.若集合中元素个数有n 个,则其 子集有2n 个,真子集有2 1n − 个,非空子集有2 1n − 个,非空真子集有2 2n − 个. 题型五 Venn图法解决集合运算问题 【例 5】（多选）图中阴影部分所表示的集合是（ ） A． UN C M B． UM N C． ( )U M N N   D． ( ) ( )U UM N 【答案】AC 【分析】根据 Venn 图，由集合运算的概念，即可得出结果. 【详解】阴影部分所表示的集合中的元素属于 N，不属于 M，故其表示集合 UN M 或 ( )U M N N   ． 故选:AC． 【跟踪训练 5】高二某班共有60 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、 政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少 25 人，这三门学科均不选的有15人.这三门课程均选的有10人，三门中任选两门课程的均 至少有16人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未 选生物的学生至多有________人. 【答案】8 【解析】把学生 60 人看出一个集合U ，选择物理科的人数组成为集合A ，选择化学科 的人数组成集合 B ，选择生物科的人数组成集合C ，根据题意，作出韦恩图，结合韦 恩图，即可求解. 【详解】把学生 60 人看出一个集合U ，选择物理科的人数组成为集合A ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 选择化学科的人数组成集合 B ，选择生物科的人数组成集合C ，记选择物理与化学但 未选生物的学生组成集合D 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， 除这三门课程都不选的有 15 人，这三门课程都选的有 10 人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少 6 人， 单选化学的最少 6 人，单选化学、生物的最少 6 人， 单选物理、生物的最少 6 人，单选生物的最少 3 人， 以上人数最少 52 人，可作出如下图所示的韦恩图， 故D区域至多 8 人，所以单选物理、化学的人数至多 8 人， 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图 是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力. 题型六 集合的新定义问题 【例 6】设集合 X 是实数集R 的子集，如果点 0x R 满足：对任意 0a  ，都存在 x X ，使得 00 x x a −  ，称 0x 为集合 X 的聚点，则在下列集合中： ① 0x x Z ；② , 0x x x R ；③ 1 ,x x n n  =     N ；④ , 1 n x x n n  =   +  N 以 0 为聚点的集合有______． 【答案】②③ 【解析】根据集合聚点的新定义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定， 即可求解. 【详解】由题意，集合 X 是实数集R 的子集，如果点 0x R 满足：对任意 0a  ，都存 在 x X ，使得 00 x x a −  ，称 0x 为集合 X 的聚点， ①对于某个 0a  ，比如 0.5a = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 此时对任意的  0x x x  Z ，都有 0 0x x− = 或者 0 1x x−  ， 也就是说不可能 00 0.5x x −  ，从而 0 不是 0x x Z 的聚点； ②集合 0x x R ，对任意的 a ，都存在 2 a x = （实际上任意比a 小得数都可以）， 使得0 2 a x a =  ，∴0 是集合 0x x R 的聚点； ③集合 1 ,x x n n  =     N 中的元素是极限为 0 的数列， 对于任意的 0a  ，存在 1 n a  ，使 1 0 x a n  =  ， ∴0 是集合 1 ,x x n n  =     N 的聚点； ④中，集合 , 1 n x x n n  =   +  N 中的元素是极限为 1 的数列，除了第一项 0 之外，其余 的都至少比 0 大 1 2 ，∴在 1 2 a  的时候，不存在满足得0 x a  的 x ， ∴0 不是集合 , 1 n x x n n  =   +  N 的聚点． 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的 新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解 答的关键，着重考查推理与论证能力，属于难题. 【跟踪训练 6】（多选）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群 论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有 根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下： 设 G 是一个非空集合，“· ”是 G 上的一个代数运算，即对所有的 a、b∈G，有 a·b∈ G，如果 G 的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；② e G  ，使得 a G  ，有e a a e a =  = ，③ a G  ， b G  ，使 a·b=b·a=e，则称 G 关于“·”构成一 个群.则下列说法正确的有（ ） A． { 1,0,1}G = − 关于数的乘法构成群 B．G={x|x= 1 k ，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D． { 2 | , Z}G m n m n= +  关于数的加法构成群 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 【答案】CD 【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可. 【详解】对于 A：若 { 1,0,1}G = − ，对所有的 a、b G ，有 {1,0, 1}a b G  − = ， 满足乘法结合律，即①成立，满足②的 e为 1， 但当 0a = 时，不存在b G ，使得 · · 1a b b a e= = = ，即③不成立， 即选项 A 错误； 对于 B：因为 1 2 a G=  ，且 3b G=  ，但 1 3 3 2 2 a b G =  =  ， 所以选项 B 错误； 对于 C：若 RG = ，对所有的 a、 Rb ，有 Ra b+  ， 满足加法结合律，即①成立，满足②的 e为 0， Ra  ， Rb a = −  ，使 0a b b a+ = + = ，即③成立； 即选项 C 正确； 对于 D：若 { 2 | , Z}G m n m n= +  ，所有的 1 12a m n= + 、 2 22b m n G= +  ， 有 1 2 1 2( )+ 2( + )a b m m n n G+ = +  ， , , ,a b c G  ( ) ( )+ + = + +a b c a b c 成立， 即①成立；当 0a b= = 时， 2 0a b+ = ，满足的 0e = ，即②成立； 2a m n G = +  ， 2b m n G = − −  ，使 0a b b a+ = + = ，即③成立； 即选项 D 正确. 故选：CD. 题型七 与集合有关的数学文化问题 【例 7】（多选）1872 年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来 定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束 了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划 分为两个非空的子集M 与N ，且满足 QM N = ，M N =，M 中的每一个元 素都小于N 中的每一个元素，则称 ( ),M N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成 立的是（ ） A．  Q 0M x x=   ，  Q 0N x x=   满足戴德金分割 B．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 C．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D．M 没有最大元素，N 也没有最小元素 【答案】BD 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 【分析】根据集合的定义和题目要求，分析各选项即可. 【详解】对于选项 A，因为  Q 0M x x=   ，  Q 0N x x=   ，  Q 0 QM N x x =    ，故 A 错误； 对于选项 B，设  Q 0M x x=   ，  Q 0N x x=   ，满足戴德金分割，则 M 中没有 最大元素，N 有一个最小元素 0，故 B 正确； 对于选项 C，若M 有一个最大元素m ，N 有一个最小元素n ，若m n ，一定存在 ( , )k m n 使 QM N = 不成立；若m n= ，则M N =不成立，故 C 错误； 对于选项 D，设  2M x Q x=   ，  2N x Q x=   ，满足戴德金分割，此时M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故 D 正确． 故选:BD． 【跟踪训练 7】（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物， 不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如 下表示：已知  3 2, NA x x n n += = +  ，  5 3, NB x x n n += = +  ，  7 2, NC x x n n += = +  ， 若 x A B C ，则下列选项中符合题意的整数 x 为（ ） A．8 B．128 C．37 D．23 【答案】BD 【分析】根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答. 【详解】对于 A，因8 7 1 1=  + ，则8 C ，选项 A 错误； 对于 B，128 3 42 2=  + ，即128 A ；又128 5 25 3=  + ，即128 B ；而 128 7 18 2=  + ，即128 C ，因此，128 A B C   ，选项 B 正确； 对于 C，因37 3 12 1=  + ，则37 A ，选项 C 错误； 对于 D，23 3 7 2=  + ，即23 A ；又23 5 4 3=  + ，即23 B ；而23 7 3 2=  + ，即 23 C ，因此，23 A B C   ，选项 D 正确. 故选：BD 课后突破训练 1．某国近日开展了大规模 COVID-19 核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合 S 表示（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 A．无症状感染者 B．发病者 C．未感染者 D．轻症感染者 【答案】A 【分析】由 S A B= 即可判断 S 的含义. 【详解】解：由图可知，集合 S 是集合 A 与集合 B 的交集， 所以集合 S 表示：感染未发病者，即无症状感染者， 故选：A. 2．用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运 算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了 世人所熟知的“韦恩图”．则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A． A B C B． ( )U A B C C． ( )UA B C D． ( )UA B C 【答案】D 【分析】根据阴影部分在集合 AB 的公共部分，且不在集合 C 中可得答案. 【详解】解：由图可知，阴影部分在集合 AB 的公共部分，且不在集合 C 中， 故图中的阴影部分表示的集合为 ( )UA B C . 故选：D. 3．已知A 与 B 是集合 1,2,3, ,100 的两个子集，满足：A 与 B 的元素个数相同，且 A B为空集，若n A 时总有2 2n B+  ，则集合 A B的元素个数最多为（ ） A．62 B．66 C．68 D．74 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 【答案】B 【分析】令2 2 100n+  ，解得 49n  ，从A 中去掉形如2 2n+ 的数，此时A 中有26个 元素，注意A 中还可含以下 7 个特殊元素：10、14、18、 26、32、 42 、 46，故A 中 元素最多时，A 中共有33个元素，由此可得出结论. 【详解】令2 2 100n+  ，解得 49n  ，所以，集合A 是集合 1,2,3, ,49 的一个非空 子集. 再由 A B =，先从A 中去掉形如 ( )2 2n n N +  的数，由2 2 49n+  ，可得 23n  ， 49 23 26− = ，此时，A 中有26个元素. 由于集合A 中已经去掉了4、6、8、12、16、20、22这 7 个数，而它们对应的形如 2 2n+ 的数分别为10、14、18、26、32、 42 、 46，并且10、14、18、26、32、 42 、 46对应的形如2 2n+ 的数都在集合 B 中. 故集合A 中还可有以下 7 个特殊元素：10、14、18、 26、32、 42 、46， 故集合A 中元素最多时，集合A 中共有33个元素，对应的集合 B 也有33个元素， 因此， A B中共有66 个元素. 故选 B. 【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考 查分类讨论思想的应用，属于中等题. 4．（多选）设非空集合 S x m x n=   满足：当 x∈S 时，有 x2∈S.给出如下命题，其 中真命题是（ ） A．若 m=1，则  | 1S x x=  B．若 1 2 m = − ，则 1 4 ≤n≤1 C．若 1 2 n = ，则 2 0 2 m− ≤ ≤ D．若 n=1，则 1 0m−   【答案】BC 【分析】先由非空集合 S x m x n=   满足：当 x∈S 时，有 x2∈S，判断出m 1 或 0m  ，0 1n  ，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可 【详解】∵非空集合 S x m x n=   满足：当 x∈S 时，有 x2∈S. ∴当 m∈S 时，有 m2∈S，即 2m m ，解得：m 1 或 0m  ； 同理：当 n∈S 时，有 n2∈S，即 2n n ，解得： 0 1n  . 对于 A: m=1,必有 m2=1∈S，故必有 0 1 n m n     解得： 1m n= = ，所以  1S = ，故 A 错 误； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 对于 B: 1 2 m = − ,必有 m2= 1 4 ∈S，故必有 2 0 1 n m n      ，解得： 1 1 4 n  ，故 B 正确； 对于 C: 若 1 2 n = ，有 2 2 1 2 1 2 m m m m         ，解得： 2 0 2 m− ≤ ≤ ，故 C 正确； 对于 D: 若 n=1，有 2 2 1 1 m m m m      ，解得： 1 0m−   或 1m = ，故 D 不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解. 5．下列命题中真命题的个数是_____个． ①0∈∅；②∅∈{∅}；③0∈{0}；④∅∈{a}；⑤∅⊂{∅}；⑥∅⊂{0}． 【答案】4 【分析】由空集的定义及空集与集合的关系，注意{0}表示由元素 0 组成的集合，可一 一作出判断． 【详解】由空集是不含任何元素的集合及空集是任何集合的子集可判断出： ①0∉Φ；②Φ∈{Φ}；③0∈{0}；④Φ⊊{a}；⑤Φ⊂{Φ}；⑥Φ⊂{0}． 故②③⑤⑥为真命题． 故答案为 4． 【点睛】本题考查了元素与集合的关系判断及空集与集合的关系，属于基础题． 6．已知非空集合 M 满足  0,1,2,3M  ，若存在非负整数 k（ 3k  ），使得对任意 a M ，均有2k a M−  ，则称集合 M 具有性质 P，则具有性质 P 的集合 M 的个数为 ______________. 【答案】8 【分析】分 k 的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合M ，从而得到答案. 【详解】当 0k = 时，M 为{0}. 当 1k = 时，M 为{1},{0,2},{0,1,2} 当 2k = 时，M 为{2},{1,3},{1,2,3} 当 3k = 时，M 为{3} . 所以满足条件的集合M 有 8 个. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 故答案为：8 【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、新定义，考查了分类 讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题． 7．若集合 2{ | ( 6) 2 0}A x ax a x= + − + = 是单元素集（集合的元素个数是 1），则实数 a =______ 【答案】 0 或 2或18 . 【分析】 0a = 时， 6 2 0x− + = ，集合 1 3 A   =     ，满足题意， 0a  时，方程 2 ( 6) 2 0ax a x+ − + = 有两相等实根，由判别式 0 = ，能求出实数a 的值. 【详解】 0a = 时， 6 2 0x− + = ， 1 3 x = ， 方程只有一个解，集合 1 3 A   =     ，满足题意， 0a  时，方程 2 ( 6) 2 0ax a x+ − + = 有两相等实根，判别式 0 = ， 即 2( 6) 8 0a a = − − = ，整理得 2 20 36 0a a− + = ， 解得 2a = 或 18a = ， 所以实数 a 的值为 0或2或18， 故答案为： 0或2或18 . 【点睛】该题考查的是有关根据集合中元素的个数求参数的取值的问题，在解题的过 程中，注意对最高次项系数是否为零进行讨论，属于较难题目. 8．某小区连续三天举办公益活动，第一天有 190 人参加，第二天有 130 人参加，第三 天有 180 人参加，其中，前两天都参加的有 30 人，后两天都参加的有 40 人.第一天参 加但第二天没参加活动的有___________人，这三天参加活动的最少有___________人. 【答案】 160 290 【分析】根据题意画出 Venn 图，a 表示只去第一天的人，b 表示只去第二天的人， c 表示只去第三天的人.d 表示只去第一天与第二天的人， e表示只去第一天与第三天的 人， f 表示只去第二天与第三天的人， g 表示三天都去的人，要使总人数最少，则令 g 最大，其次d ､ e､ f 也尽量大，由此计算可得答案. 【详解】解：根据题意画出 Venn 图，如图所示： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 a 表示只去第一天的人， b 表示只去第二天的人， c 表示只去第三天的人， d 表示只去第一天与第二天的人， e表示只去第一天与第三天的人， f 表示只去第二天与第三天的人， g 表示三天都去的人， ∴要使总人数最少，则令 g 最大，其次d ､ e､ f 也尽量大， 30d g+ = ， 40f g+ = ，∴ max 30g = ， 0d = ， 10f = ， 190a d g e+ + + = ， ∴ 160a e+ = ， 140c e+ = ， ∴ max 140e = ，∴ 0c = ， 20a = ， 则这三天参加活动的最少有： 20 90 0 0 140 10 30 290a b c g+ + ++ = + + + + + + = 人. 故答案为：160，290. 9．已知集合 A 中的元素全为实数，且满足：若a A ，则 1 1 a A a +  − ． (1)若 3a = − ，求出 A 中其他所有元素． (2)0 是不是集合 A 中的元素？请你取一个实数 ( )3a A a  − ，再求出 A 中的元素． (3)根据（1）（2），你能得出什么结论？ 【答案】(1)A 中其他所有元素为 1 2 − ， 1 3 ，2 (2)0 不是 A 中的元素，答案见解析 (3)A 中没有元素 1− ，0，1；A 中有 4 个元素，其中 2 个元素互为负倒数，另外 2 个元 素也互为负倒数． 【分析】（1）把 3a = − 代入 1 1 a a + − ，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解. （2）假设0 A ，计算并导出矛盾得 0 不是A 的元素，取 3a = ，求出集合A 中元素即 可. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 （3）由（2）可观察出A 中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论， 进而由“若a A ，则 1 1 a A a +  − ”推证即可. （1） 由题意，可知 3 A−  ， 则 ( ) ( ) 1 3 1 1 3 2 A + − = −  − − ， 1 1 12 1 3 1 2 A   + −    =    − −    ， 1 1 3 2 1 1 3 A + =  − ， 1 2 3 1 2 A + = −  − ， 所以 A 中其他所有元素为 1 2 − ， 1 3 ，2． （2） 假设0 A ，则 1 0 1 1 0 A + =  − ， 而当1 A 时， 1 1 a a + − 不存在，假设不成立， 所以 0 不是 A 中的元素． 取 3a = ，则 1 3 2 1 3 A + = −  − ， ( ) ( ) 1 2 1 1 2 3 A + − = −  − − ， 1 1 13 1 2 1 3 A   + −    =    − −    ， 1 1 2 3 1 1 2 A + =  − ， 所以当3 A 时，A 中的元素是 3， 2− ， 1 3 − ， 1 2 ． （3） 猜想：A 中没有元素 1− ，0，1；A 中有 4 个元素，其中 2 个元素互为负倒数，另外 2 个元素也互为负倒数． 由（2）知 0，1 A ， 若 1 A−  ，则 ( ) ( ) 1 1 0 1 1 A + − =  − − ，与0 A 矛盾， 则有 1 A−  ，即 1− ，0，1 都不在集合 A 中． 若实数 1a A ，则 1 2 1 1 1 a a A a + =  − ， 1 2 1 3 12 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 a a a a A aa a a + + + − = = = −  +− − − ， 13 1 4 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 aa a a A a a a a   + −  + − = = = = −  − +  − −    ， 1 4 1 5 1 14 1 1 1 1 1 11 1 1 a a a a a A aa a − + + + = = =  −− − + ． 结合集合中元素的互异性知，A 中最多只有 4 个元素 1a ， 2a ， 3a ， 4a 且 1 3 1a a = − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 2 4 1a a = − ． 显然 1 2a a ，否则 1 1 1 1 1 a a a + = − ，即 2 1 1a = − ，无实数解． 同理， 1 4a a ，即 A 中有 4 个元素． 所以 A 中没有元素 1− ，0，1；A 中有 4 个元素，其中 2 个元素互为负倒数，另外 2 个 元素也互为负倒数． 10．已知集合  2 8A x x= −   ，  2 1 3B x m x m= −   + ． (1)若 A B A = ，求实数 m 的取值范围； (2)若 { | }A B x a x b =   且 3b a− = ，求实数 m 的值． 【答案】(1) 1 , 2   − +   . (2)m= 2− 或 1. 【分析】（1）利用集合间的包含关系建立不等式组，分类讨论进行求解. （2）根据已知，利用集合的交集运算，分类讨论进行求解. （1） 由 A B A = ，知B A ． ①当B =时，2 1 3m m−  + ，解得 4m≥ ； ②当B  时，有 4?       3 8?    2 1 2 m m m   +   −  − ，解得 1 4 2 m−   ． 所以实数 m 的取值范围为 1 , 2   − +   ． （2） 因为  2 8A x x= −   ， ( )8 2 10− − = ， { | }A B x a x b =   ，且 3b a− = ，则 ①当 A B B= 时，有 ( )3 2 1 3m m+ − − = ，解得 1m = ， 则 { |1 4}B x x=   ，此时  1 4A B x x =   ，满足题意； ②当 { | 2 1 8}A B x m x= −   时，有 ( )8 2 1 3m− − = ，解得 3m = ， 则 { | 5 6}B x x=   ，此时  5 6A B x x =   ，不满足题意，舍去； ③当 { | 2 3}A B x x m= −   + 时，有 ( )3 2 3m+ − − = ，解得 2m = − ， 此时  5 1B x x= −   ，  2 1A B x x = −   ，满足题意． 综上，实数 m 的值为 2− 或 1． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 11．已知集合 A 是方程 ( ) ( )2 21 2 1 1 0a x a x− + + + = 的解集． (1)若 A 是空集，求 a 的取值范围； (2)若 A 是单元素集（集合中只有一个元素），求 a 的值； (3)若 A 中至多只有一个元素，求 a 的取值范围． 【答案】(1) ( , 1− − (2)1 (3) (   , 1 1− − 【分析】（1）需对参数 a 进行分类讨论，分 2 1 0a − = 和 2 1 0a −  两种情况求解； （2）结合（1）可直接求解； （3）将（1）（2）结论综合，即为对应取值范围. （1） 若 2 1 0a − = ，则 1a = 或 1a = − ，当 1a = 时，方程为4 1 0x+ = ， 其解为 1 4 x = − ，所以 A 是单元素集． 当 1a = − 时，方程为0 1 0x + = ，无实数解，所以 A 为空集． 所以，若 A 是空集， 则 1a = − 或 ( ) ( ) 2 2 2 1 0, 4 1 4 1 8 8 0, a a a a  −    = + − − = +  即 1a  − ，所以 a 的取值范围为 ( , 1− − ； （2） 由（1）可知，若 A 是单元素集，则 1a = 或 2 1 0, 0, a −    = 即 1a = ； （3） 由（1）（2）知，若 A 中至多只有一个元素，即 A 为空集或单元素集，则 a 的取值范围 为 (   , 1 1− − . 12．设集合  2 2| , ,M a a x y x y z= = −  ．求证： （1）一切奇数属于集合M ； （2）偶数4 2( )k k z−  不属于M ； （3）属于M 的两个整数，其乘积仍属于M ． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） 证明见解析；（3） 证明见解析． 【分析】（1）根据奇数的表达式，结合集合元素描述等式进行证明即可； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 （2）根据 x y+ 与 x y− 的奇偶性，结合反证法进行证明即可； （3）根据集合元素描述等式进行证明即可. 【详解】证明：（1）设 a 为任意奇数，则 2 1( )a k k z= −  ，因为 2 22 1 ( 1) ,k k k− = − − 且 , 1k k − 均为整数， a M ．由a 的任意性知，一切奇数属于M ． （2）首先我们证明如下命题： 设： ,x y z ，则 x y+ 与 x y− 具有相同的奇偶性． 以下用反证法证明． 假设 (4 2)k M−  ，则存在 ,x y z ，使得 2 2 4 2 ( )( ) 2(2 1)x y k x y x y k− = −  + − = − ．若 x y+ 与 x y− 同为奇数，则（ x y+ ）（ x y− ）必定为奇数，而2(2 1)k − 表示偶数，矛 盾；若 x y+ 与 x y− 同为偶数，则（ x y+ ）（ x y− ）必定被 4 整除，但2(2 1)k − 表示 不能被 4 整除的偶数，也导致矛盾． 综上所述，形如4 2k − 的偶数不属于M ． （3）设 ,a b M ，则存在 1 1 2 2, , ,x y x y z ，使得 2 2 2 2 1 1 2 2,a x y b x y= − = − ． 2 2 2 2 1 1 2 2( )( )ab x y x y= − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 12 2x x y y x x y y x x y y x y x y+ − + − − = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )x x y y x y x y− − − ， 又因为 1 2 1 2x x y y− ， 1 2 2 1x y x y− 均为整数，  ab M ． 【点睛】方法点睛：证明偶数4 2( )k k z−  不属于M ，可以运用反证法来证明.