期末专题04 解三角形大题综合（5大题型23题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题04 解三角形大题综合（5大题型23题） 题型概览 题型01 求角的三角函数值 题型02 求周长 题型03 求面积及最值 题型04 求边长、角平分线及高线长 题型05 最值及范围问题 优选提升题 ( 题型01 ) 求角的三角函数值 1．(23-24高一下·湖南怀化·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)求. 2．(23-24高一下·湖南·期末)已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，. (1)求； (2)若，求的值. 3．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)已知的内角所对的边分别为，面积为，且. (1)求的值； (2)若，求及的值. ( 题型02 ) 求周长 4．(23-24高一下·湖南·期末)记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 5．(23-24高一下·湖南郴州·期末)设锐角的内角的对边分别为， (1)求角； (2)若边，面积为，求的周长． 6．(23-24高一下·湖南·期末)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若，，求的周长. 7．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角，，的对边分别为，，，若. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. ( 题型03 ) 求面积及最值 8．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若D为AC的中点，且，b＝3，求的面积． 9．(23-24高一下·湖南·期末)在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 10．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)在中，设角，，的对边分别为，，.已知向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 11．(23-24高一下·湖南·期末)已知. (1)求在上的单调递增区间； (2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求△ABC的面积的最大值. ( 题型04 ) 求边长、角平分线及高线长 12．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)已知分别为三个内角的对边，且满足. (1)求A； (2)若，求a. 13．(23-24高一下·湖南株洲·期末)在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. (1)求角的大小； (2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 14．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，BC边上的中线，求BC边上的高． ( 题型0 5 ) 最值及范围问题 15．(23-24高一下·湖南益阳安化县·期末)已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 16．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角，，所对的边分别为，，，且. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若的面积为，过点作的平行线，使得，连接，求的最小值. 17．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)已知内角所对的边长分㓩为. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 18．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小； (2)若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 19．(23-24高一下·湖南·期末)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)若，求的面积的取值范围； (3)若，且，求实数的取值范围． 20．(23-24高一下·湖南张家界·期末)已知G点为的重心，内角的对边分别为． (1)若，求实数的值； (2)若，且 （i），求实数的值； （ii），求实数的值. 21．(23-24高一下·湖南怀化·期末)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.    (1)若点分别是线段的中点，求； (2)证明：； (3)已知，点为线段的中点，，，求. 22．(23-24高一下·湖南永州·期末)当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”. (1)若，，. ①求； ②设的周长为，求的值； (2)若，，求实数的最小值. 23．(23-24高一下·湖南·期末)点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. (1)若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； (2)若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题04 解三角形大题综合（5大题型23题） 题型概览 题型01 求角的三角函数值 题型02 求周长 题型03 求面积及最值 题型04 求边长、角平分线及高线长 题型05 最值及范围问题 优选提升题 ( 题型01 ) 求角的三角函数值 1．(23-24高一下·湖南怀化·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）设，，，，利用余弦定理可求得； （2）由（1）可求得，进而利用正弦定理可求得，进而求得，利用两角差的正弦公式可求值. 【详解】（1）由已知，设，，，， 由余弦定理. （2）由，，得， 由正弦定理，得. 又由已知是最小边，所以是锐角，得， 所以. 2．(23-24高一下·湖南·期末)已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用条件将等式齐次化，再比较余弦定理即可得出结果； （2）使用正弦定理得到，再进一步确定，然后用余弦和公式即可. 【详解】（1）由已知条件和有. 所以由余弦定理可得，因为， 从而. （2）若，则结合正弦定理得. 所以，从而，这得到或. 而，故. 所以 . 3．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)已知的内角所对的边分别为，面积为，且. (1)求的值； (2)若，求及的值. 【答案】(1) (2)， 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）根据同角关系得，由面积公式和正弦定理边角化即可求解， （2）利用余弦定理即可求解，根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. 【详解】（1）由于，，所以， 又, 故，因此 （2）由余弦定理得， ，化简得，解得（负值舍去）， 进而，故，所以为锐角，故， 故， ( 题型02 ) 求周长 4．(23-24高一下·湖南·期末)记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，即可得答案； （2）由（1）及余弦定理可得或，后由C为钝角可排除，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以，则， 因为，所以. （2）因为，所以. 由余弦定理，得. 整理得，解得或. 因，则. 当时，，不合题意排除； 当时，，满足题意. 则，的周长为. 5．(23-24高一下·湖南郴州·期末)设锐角的内角的对边分别为， (1)求角； (2)若边，面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2)20. 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】（1）由正弦定理得到，求出； （2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 又，得， 所以，又为锐角，所以； （2）由（1）得，则， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以的周长为． 6．(23-24高一下·湖南·期末)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理以及三角恒等变换即可得证； （2）由正弦定理以及三角恒等变换即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以. 因为， 所以， 则（或，舍去），即. （2）因为，，所以，. . 由，可得， . 故的周长为. 7．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角，，的对边分别为，，，若. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角差的正弦公式得出结果； （2）由三角形面积公式及余弦定理得出结果； 【详解】（1）由及正弦定理得： 因为， 所以. 由于，∴ 所以. 又，故，即. （2）由题得的面积，故① 由余弦定理得：， 又，故②， 由①②得：， 所以的周长为. ( 题型03 ) 求面积及最值 8．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若D为AC的中点，且，b＝3，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得出角B； （2）由向量的运算得出，由余弦定理得出，进而得出，最后得出面积. 【详解】（1）因为，所以. 即，即 又，所以. （2）由，得，则由平行四边形法则可得， 则，即① 又，即② 由①②可得. 则. 9．(23-24高一下·湖南·期末)在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 10．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)在中，设角，，的对边分别为，，.已知向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省株洲市二中教育集团2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】（1）由共线定理以及A的取值范围即可求解. （2）依据正弦定理由得，接着由余弦定理即可求出，进而由面积公式即可得解. 【详解】（1）由可得， 所以， 而，所以. （2）因为，所以由正弦定理得， 所以由余弦定理知，即， 解得，故，， 所以的面积为. 11．(23-24高一下·湖南·期末)已知. (1)求在上的单调递增区间； (2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求△ABC的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用整体法得到函数的单调递增区间； （2）由得，由余弦定理得到，得到面积的最大值. 【详解】（1）由题意得， 又（），得（）， 令，得，令，得， 所以在上的单调递增区间是. （2）因为， 所以（），得， 又C是锐角，所以. 由余弦定理，得， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以， 故△ABC的面积的最大值为. ( 题型04 ) 求边长、角平分线及高线长 12．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)已知分别为三个内角的对边，且满足. (1)求A； (2)若，求a. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，从而得解； （2）利用三角形面积公式求得，再利用余弦定理即可得解. 【详解】（1）（1）因为， 由正弦定理得， 在中，，则，得， 而，可. （2）因为， 所以，即，解得， 所以. 则. 13．(23-24高一下·湖南株洲·期末)在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. (1)求角的大小； (2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 【答案】(1) (2). 【来源】湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）由，得，然后利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简变形可求得角； （2）利用余弦定理结合已知条件可求得，再由为角的角平分线，可得，利用三角形面积公式化简可求出的长. 【详解】（1）解：，，且， ， 由正弦定理得， ， ，， 在三角形中，， ，， ∵，. （2）解：，， 由余弦定理得， 即，解得. 为角的角平分线，， ∵， ∴， ∴，得 . 14．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，BC边上的中线，求BC边上的高． 【答案】(1) (2)． 【来源】湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】（1）应用两角和差的正弦余弦公式计算即可； （2）先应用向量的数量积的运算律求出b，再结合余弦定理及面积公式计算即可. 【详解】（1）由已知得． 又， 故． 因为，所以，即． 因为，所以． （2）因为，两边同时平方得， 即，解得（负值舍去）， 由余弦定理得，所以． 因为△ABC的面积， 所以． ( 题型0 5 ) 最值及范围问题 15．(23-24高一下·湖南益阳安化县·期末)已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理、基本不等式及三边关系计算可得. 【详解】（1）因为，，且， 所以， 由正弦定理得， 因为，则， ，又，． （2）因为，且， 由余弦定理， 即， 即，显然，所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以， 的取值范围为． 16．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角，，所对的边分别为，，，且. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若的面积为，过点作的平行线，使得，连接，求的最小值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为. 【分析】（Ⅰ）由三角恒等式，结合正弦定理的边角关系得，根据三角形内角的性质，即可求角的大小； （Ⅱ）利用三角形面积公式列方程求，根据向量的线性关系及向量数量积的运算律可得，应用基本不等式求的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】（Ⅰ）在中，， 由正弦定理可知：，即，化简得 ，又 ， ∴，又，故； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，又， ∴，又， ∴，即（当且仅当时等号成立） 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛： （Ⅰ）应用正弦定理的边角关系，三角恒等变换化简三角函数式，利用三角形内角的性质求角. （Ⅱ）运用三角形面积公式求参数值，结合向量的线性关系及数量积的运算律得到关于各边的函数式，利用基本不等式求最值. 17．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)已知内角所对的边长分㓩为. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A； （2）先由（1）以及为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，则. （2）因为为锐角三角形，， 所以可得， 又，故由正弦定理得： ， 因为，所以，所以，则， 所以 ， 故的取值范围为. 18．(23-24高一下·湖南·期末)在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小； (2)若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，求出此时、的值，再由余弦定理计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又，所以， 所以，即，又， 所以； （2）因为的面积为，即， 即，则，， 因为，所以， 在中， 即，当且仅当，即，时取等号， 所以，即的最小值为，此时，， 则， 所以，即. 19．(23-24高一下·湖南·期末)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)若，求的面积的取值范围； (3)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）已知条件利用正余弦定理边化角，结合倍角公式化简得，求角； （2）由正弦定理有，由，得，所以可求取值范围； （3）由，可得，由，可求实数的取值范围． 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得， 再由正弦定理及倍角公式得 ， 得，即，在锐角中，有． （2），，则． 由正弦定理，有， ． 又是锐角三角形，有，得，则， 所以． 即的面积S的取值范围； （3），由正弦定理， 得，， ，即 又，且， ， 设，函数，， 任取，则， ，， 当，，，即， 当，，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， ，， ，，则 实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理实现“边化角”，出现边的二次式一般采用到余弦定理实现“角化边”．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 20．(23-24高一下·湖南张家界·期末)已知G点为的重心，内角的对边分别为． (1)若，求实数的值； (2)若，且 （i），求实数的值； （ii），求实数的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据向量的运算法则，结合三角形重心性质得出，即可求出； （2）（i）结合三角形重心性质和余弦定理即可求出；          （ii）先用同角基本关系式统一成正余弦后，结合正余弦定理以及两角和差的正弦公式化简可求得结果. 【详解】（1）由，即， 得，   ∵点为的重心，  ∴   ，， ∴ ，解得： ． （2）如图，连接，并延长交AB于点，G点为的重心， 则D为AB的中点， 由得 ， （i）由重心的性质得，在，中， 由余弦定理得， ， ∵ ，， ∴ ，， 即，∴ ； （ii）又，∴ ∴    ． 21．(23-24高一下·湖南怀化·期末)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.    (1)若点分别是线段的中点，求； (2)证明：； (3)已知，点为线段的中点，，，求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【来源】湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据条件，可求得，，即可求出结果； （2）根据条件，将边长之比转化成面积之比，再结合题设定义，即可证明结果； （3）方法一：根据条件得到，再利用几何关系得到，设，，利用有，再利用余弦定理和正弦定理，建立方程，即可求解；方法二：设，根据条件，得到，再利用及余弦定理，建立方程，即可求解. 【详解】（1）由已知，，所以. （2）在，，，中， ，同理， 所以， 又在，，，中， ，同理， 所以， 又，，，， 所以，所以. （3）方法一： 由，可得，即，所以， 又点B为线段AD的中点，即，所以， 又，所以，，， 又已知，所以. 设，，由，得， 即，解得，…① 在中，由正弦定理可得，得，…② 在中，由正弦定理可得，得，…③ 又， 得，即，…④ 由①④解得，（负值舍去），即，， 所以. 方法二： 因为，所以，设，则， 又B为线段AD的中点，所以， 又已知，，所以， 所以，得， 所以，， 由，得， 所以，设，则， 由，互补得 ，即， 解得，所以，， 所以. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 22．(23-24高一下·湖南永州·期末)当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”. (1)若，，. ①求； ②设的周长为，求的值； (2)若，，求实数的最小值. 【答案】(1)①；② (2) 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】（1）①利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角的值，再利用副助角公式求解出；②在中，由余弦定理得到的关系，再结合等面积法建立的另外一个等式关系，进而求解出所要求的等量关系. （2）先利用角的三角函数的关系，判断出三角形是直角三角形，接着设，，，仿照第一小问的思路找到的等量关系，然后利用基本不等式求解出最值，又根据，即有，从而得解. 【详解】（1）① ， 则 ②设 而， 在中，由余弦定理得: 同理有 则 在中由余弦定理知: 即 又则 又等面积法知： 则，， 故 （2）因为 所以 所以 所以所以为直角三角形， 点为的费马点，则， 设，，，， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，，，从而推导出、，再利用基本不等式及一元二次不等式求出的取值范围. 23．(23-24高一下·湖南·期末)点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. (1)若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； (2)若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【详解】（1）如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故， . 因为， 所以， 则. （2）如图2，设， 则. 因为， 所以， 则，解得， 故. （3）如图3， 因为是的等分点， 所以. 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得. 故 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. / 学科网（北京）股份有限公司 $$